liu復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1liu復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)第一頁，共33頁。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx(fx) )1. 微分微分(wi fn)定義定義:2. 重要重要(zhngyo)關(guān)系關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義定義能能第1頁/共32頁第二頁，共33頁。3.多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)全微分的求法；全微分的求法；4. 判定判定(pndng)函數(shù)可微的方法函數(shù)可微的方法:定義法定義法偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù)是是第2頁/共32頁第三頁，共33頁。回顧：一元復(fù)合回顧：一元復(fù)合(fh)(fh)函數(shù)的求導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)法則法則（鏈?zhǔn)椒▌t）（鏈?zhǔn)椒▌t）問題問題(wnt(wnt):)

2、:dydy dudxdu dx則則復(fù)合復(fù)合(fh)(fh)而成的函數(shù)而成的函數(shù)則則? xy即即?dd xy),(),(),(. 2yxvyxuvufz 復(fù)合而成的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)? ?zzxy 則則第3頁/共32頁第四頁，共33頁。第四節(jié)第四節(jié)一元一元(y yun)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則(fz)本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容(nirng):一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第九章 第4頁/共32頁第五頁，共33頁。定理定理(dngl). 若函數(shù)若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù)處

3、偏導(dǎo)連續(xù)(linx), 在點在點 t 可導(dǎo)可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt則有則有I.I.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)一元函數(shù)的情形：的情形：證證: 由已知由已知 可微可微),(vu在點),(vufz 又有又有 在點在點 t 處可導(dǎo)處可導(dǎo) ( ),( )utvt 則有則有代入：代入：第5頁/共32頁第六頁，共33頁。代入：代入：利用一元函數(shù)的一階微分形式不變性利用一元函數(shù)的一階微分形式不變性( )yf u 對于函數(shù)對于函數(shù) 不論不論 u 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,d( )dyfuu 都都有有d( )dyfuu ( 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)(d

4、o sh)公式公式 )zvutt若定理若定理(dngl)中中 說明(shumng): 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為減弱為可微可微, 則定理結(jié)論則定理結(jié)論仍成立仍成立.特點特點: :中間變量是中間變量是一元函數(shù)一元函數(shù). .第6頁/共32頁第七頁，共33頁。解解?dd0 xxz第7頁/共32頁第八頁，共33頁。1) 中間變量多于兩個的情形中間變量多于兩個的情形(qng xing). 例如例如,設(shè)下面所涉及設(shè)下面所涉及(shj)的函數(shù)都可微的函數(shù)都可微 .z2) 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.例如例如,z口訣口訣 : :2 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.第8頁

5、/共32頁第九頁，共33頁。類似地還可以類似地還可以(ky)推廣：推廣：設(shè)設(shè)),(wvufz 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而而),(),(),(yxwyxvyxu 都具有偏導(dǎo)數(shù)，都具有偏導(dǎo)數(shù)，則則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)),(),(),(yxyxyxfz 有對自變量有對自變量x、y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，且且zvuyxyxwxy第9頁/共32頁第十頁，共33頁。注意注意(zh y)：1.這里這里v與與x無關(guān)，無關(guān)，且在一元函數(shù)求導(dǎo)時，且在一元函數(shù)求導(dǎo)時，將記號將記號”“ 改為改為“d”.zvuxyy2.2.注意各個符號的含義注意各個符號的含義. .3.3.弄清變量間的關(guān)系弄清變量間的關(guān)系.

6、.第10頁/共32頁第十一頁，共33頁。其中其中(qzhng)即即令令zvu xyxwyzuxxyy第11頁/共32頁第十二頁，共33頁。第12頁/共32頁第十三頁，共33頁。兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別(qbi)區(qū)別區(qū)別(qbi)類似類似zuxxyy第13頁/共32頁第十四頁，共33頁。當(dāng)它們當(dāng)它們(t men)都可微時都可微時,有有 這樣一來，我們就可以對各類多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)這樣一來，我們就可以對各類多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù). .只要弄清它們只要弄清它們(t men)(t men)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，及變量之間的關(guān)系，用鎖鏈法則和正確的符號表示即可的復(fù)合結(jié)構(gòu)，及變量之間的關(guān)系，用鎖鏈法則和正確的符號表示即

7、可. .口訣口訣 : :有幾個有幾個(j )(j )中間變量就有幾項中間變量就有幾項, ,有幾層復(fù)合就有幾層乘積有幾層復(fù)合就有幾層乘積. .第14頁/共32頁第十五頁，共33頁。解解xzyzveusinxvvzyvvzveucos第15頁/共32頁第十六頁，共33頁。解解xf第16頁/共32頁第十七頁，共33頁。求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)的步驟：的步驟：畫出變量畫出變量(binling)關(guān)系圖；關(guān)系圖；由關(guān)系圖得出由關(guān)系圖得出(d ch)求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式;求出求出所需的偏導(dǎo)數(shù)所需的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)或?qū)?shù));代入公式代入公式,化簡即可化簡即可.x例例4 設(shè)解解求求恰當(dāng)?shù)?/p>

8、利用求導(dǎo)的四則法則，會使計算簡單恰當(dāng)?shù)睦们髮?dǎo)的四則法則，會使計算簡單. .第17頁/共32頁第十八頁，共33頁。為簡便(jinbin)起見 , 引入記號f 具有(jyu)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解解 令zyx則則第18頁/共32頁第十九頁，共33頁。由題意由題意(t y)知知:混合偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)(do sh)相等，相等，1998二階連續(xù)二階連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，第19頁/共32頁第二十頁，共33頁。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh)具有具有(jyu)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則全微分則全微分當(dāng)當(dāng)),(),(yxvyxu 時，時，有有全微分形式不變性的實質(zhì)：全微分形式不變性的實質(zhì)：無論無論z是自變量

9、是自變量u、v的函數(shù)或是中間變量的函數(shù)或是中間變量u、v的函數(shù)，的函數(shù)，它的全微分形式是一它的全微分形式是一 樣的樣的.第20頁/共32頁第二十一頁，共33頁。第21頁/共32頁第二十二頁，共33頁。例例2 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求利用利用(lyng)全微分形式不變性再解例全微分形式不變性再解例2 解解所以(suy)第22頁/共32頁第二十三頁，共33頁。例例8 8解解dzzudyyudxxudu 第23頁/共32頁第二十四頁，共33頁。1. 復(fù)合復(fù)合(fh)函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t例如例如(lr), 3f2. 全微分形式不變性全微分形式不變性不論不論 u ,

10、v 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,第24頁/共32頁第二十五頁，共33頁。.uvuxzzvx .uvuyzzvy zvuttzvuyxyxzvyxyx牢記求導(dǎo)的公式牢記求導(dǎo)的公式和方法和方法(fngf)、符號、符號求抽象求抽象(chuxing)(chuxing)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)-鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t有幾個中間有幾個中間(zhngjin)(zhngjin)變量就有幾項變量就有幾項, ,有幾層復(fù)合就有幾層乘積有幾層復(fù)合就有幾層乘積. .第25頁/共32頁第二十六頁，共33頁。P82 題8(2)1f 1f 2f 第26頁/共32頁第二十七頁，共33頁。1. 已知求解解: 由兩

11、邊(lingbin)對 x 求導(dǎo), 得第27頁/共32頁第二十八頁，共33頁。求),(yxfz 在點)1 , 1(處可微 , 且設(shè)函數(shù)解解: 由題設(shè)(2001考研考研(ko yn)第28頁/共32頁第二十九頁，共33頁。2.zx y 求求20002zx y 第29頁/共32頁第三十頁，共33頁。2zx y 121112212222(),(),ffxxxffxffyyyy 第30頁/共32頁第三十一頁，共33頁。糾正(jizhng)作業(yè),arcsin) 1(),(yxyxyxf ).1 ,(xfx . 1) 1 ,( xfx第31頁/共32頁第三十二頁，共33頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。定理. 若函數(shù)。在點 t 可導(dǎo),。I.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形：。( 全導(dǎo)數(shù)公式 )