隨機(jī)振動(dòng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)PPT課件

1、 隨機(jī)振動(dòng)雖不具有確定性，但仍可利用統(tǒng)計(jì)的方法研究其規(guī)律性。隨機(jī)振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述為隨機(jī)過程，本章將首先簡略地討論隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。對(duì)激勵(lì)與響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性相互關(guān)系的研究是隨機(jī)振動(dòng)的重要內(nèi)容。 在介紹工程中幾種典型隨機(jī)振動(dòng)問題之后，本章著重討論線性多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)在單個(gè)和多個(gè)隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)，主要采用功率譜密度方法在頻率域內(nèi)進(jìn)行。最后簡要討論非線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)問題。第1頁/共178頁6-1 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性 1平穩(wěn)過程和遍歷過程 隨機(jī)過程是大量現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象。在同樣條件下重復(fù)同樣的試驗(yàn)。 例如：在同樣道路同樣車速條件下進(jìn)行n次汽車道路試驗(yàn)，記錄下汽車大梁上某個(gè)點(diǎn)應(yīng)力的時(shí)間歷程。每次記錄稱

2、作一個(gè)樣本函數(shù)，樣本的數(shù)目n必須很大，理論上應(yīng)有無限多個(gè)。第2頁/共178頁 隨機(jī)過程是所有樣本函數(shù)的集合，記作X(t)(圖6.1)。 在任一采樣時(shí)刻，隨機(jī)過程的各個(gè)樣本值都不相同，構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)變量。各個(gè)值之所以不同，是由于路面的不規(guī)則性等許多不確定因素影響的結(jié)果，對(duì)于隨機(jī)過程的研究興趣不在于樣本函數(shù)本身，而在于總體的統(tǒng)計(jì)特性。 第3頁/共178頁 圖6-1 樣本函數(shù)第4頁/共178頁 例如： 隨機(jī)過程 在 瞬時(shí)的集合平均值 或簡稱為均值，也稱為數(shù)學(xué)期望，定義為 (6.1.1) 式中以符號(hào)E表示集合平均。 1t)(1txnkknxtxntXEt1111)(1lim)()()(tX第5頁/共17

3、8頁 一般與時(shí)刻 有關(guān)。 在 和 時(shí)刻構(gòu)成兩個(gè)隨機(jī)變量 和 ，對(duì)各樣本 和 的乘積取集合平均，得到 (6.1.2) 稱作隨機(jī)過程 在 和 時(shí)刻的自相關(guān)函數(shù)，它既是時(shí)間差 的函數(shù)，也與時(shí)刻 有關(guān)。)(1tx)(tX1t1t1t)(1tX)(1tX)(1txk)(1txk111111( ,)( )()1lim( )()xkknRt tE X tX txtxtn),(11ttRx( )X t1t1t1t第6頁/共178頁 如果隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)與采樣時(shí)刻 無關(guān)，則稱隨機(jī)過程為(弱)平穩(wěn)過程，對(duì)于平穩(wěn)過程，均值為常數(shù) (6.1.3) 而自相關(guān)函數(shù)僅依賴時(shí)差 (6.1.4)1txxt)()(),

4、(11xxRttR第7頁/共178頁 如果平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)可以用任何一個(gè)充分長的樣本函數(shù)的時(shí)間平均值來計(jì)算，即 (6.1.5) (6.1.6) 則稱此平穩(wěn)過程為(弱)遍歷過程。22)(1limTTkTxdttxT22)()(1lim)(TTkkTxdttxtxTR第8頁/共178頁 隨機(jī)過程的遍歷性對(duì)于工程計(jì)算十分重要，因?yàn)樗鼮楦鶕?jù)實(shí)測(cè)的少量樣本函數(shù)來估計(jì)此隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性提供理論依據(jù)， 但要在實(shí)踐中驗(yàn)證遍歷性條件十分困難，只能根據(jù)過程的物理性質(zhì)，先假定有遍歷性，待有了足夠的數(shù)據(jù)以后再去檢驗(yàn)假定的正確性。 以下討論的隨機(jī)過程都假定是平穩(wěn)的和遍歷的。第9頁/共178頁2相關(guān)函數(shù)

5、式(6.1.6)定義的自相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)變量在不同時(shí)刻之間相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。 =0時(shí)的自相關(guān)函數(shù) 稱為隨機(jī)過程的均方值，用 表示 （6.1 .7） 若X表示位移、速度或電流，則均方值相應(yīng)地與系統(tǒng)的勢(shì)能、動(dòng)能或功率成比例。因此可以認(rèn)為均方值是平均能量或功率的一種測(cè)度。)0(xR2x)()0(22tXERxx第10頁/共178頁 方差是另一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，定義為 (6.1.8) 若X(t)為隨機(jī)振動(dòng)過程，則均值 表示靜態(tài)分量，均值的平方 表示靜態(tài)分量的能量，方差 表示動(dòng)態(tài)分量的能量。 當(dāng)均值為零時(shí)，方差等于均方值。 稱作標(biāo)準(zhǔn)差。2222)(xxxxtXEx2x2xx第11頁/共178頁 自相關(guān)函

6、數(shù)有以下性質(zhì)(證明從略): (1) ，自相關(guān)函數(shù)是時(shí)差 的偶函數(shù)。 (2) ，時(shí)差 不為零時(shí)的自相關(guān)函數(shù)就是均方值。 (3) ，時(shí)差 為零時(shí)隨機(jī)過程的自相關(guān)程度最大。 (4) ，自相關(guān)函數(shù)為時(shí)差 的衰減函數(shù)，當(dāng) 時(shí)趨于均值的平方(圖6.2)。)()(xxRR22)0(xxXER)0()(xxRR2)(limxxR第12頁/共178頁 圖6.2自相關(guān)函數(shù)第13頁/共178頁 設(shè)有兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)，它們之間相隔時(shí)差 的相關(guān)性由互相關(guān)函數(shù)描述，定義為 )9 . 1 . 6( )()()(tYtXERxy)10. 1 . 6( )()()(tXtYERyx第14頁/共178頁 互相關(guān)

7、函數(shù)有以下性質(zhì)(證明從略)： (1) 為非奇、非偶函數(shù)， 但有 。 (2) (3) 性質(zhì)(3)表明平穩(wěn)隨機(jī)過程 和 它的導(dǎo)數(shù)過程在同一時(shí)刻互不相關(guān)。 )(xyR)()(yxxyRR)0()0()(yxxyRRR0)()()0(tXtXERxx( )X t( )X t第15頁/共178頁3. 功率譜密度函數(shù) 相關(guān)函數(shù)給出隨機(jī)過程在時(shí)差域內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性，而功率譜密度則是在頻率域內(nèi)表示隨機(jī)振動(dòng)過程在各頻率成分上的統(tǒng)計(jì)特性。定義平穩(wěn)隨機(jī)過程 的功率譜密度函數(shù)為自相關(guān)函數(shù) 的傅里葉變換，即 (6.1.11)( )X t)(xRdeRSixx)()(第16頁/共178頁 其逆變換為 (6.1.12) 以上兩

8、式構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，稱作維納辛欽(WienerX )關(guān)系式。式（6.1.11）的積分存在條件為 絕對(duì)可積，即 (6.1.13)deSRixx)(21)()(xRdRx)(第17頁/共178頁 由于自相關(guān)函數(shù)的衰減性，此條件自然滿足。平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)本身不滿足絕對(duì)可積條件，因此不能直接作傅里葉變換。 令式(6.1.12)中，得到 (6.1.14) 可見 表示隨機(jī)過程的均方值在頻率域內(nèi)的分布密度。由于在電學(xué)中電壓或電流的平方與功率成正比，因此將 稱作功率譜密度函數(shù)，或簡稱自譜。在隨機(jī)振動(dòng)中 表示能量在各角頻率上的分布密度。 dSRxxx)(21)0(2)(xS)(xS)(xS第18頁/共178

9、頁 根據(jù)物理意義推知 (6.1.15) 由于 為偶函數(shù)，式(6.1.11)可寫為 (6.1.16) 可見 也是 的偶函數(shù)。與此類似，式(6.1.12)可寫為 (6.1.17)0)(xS)(xRdRdiRSxxxcos)(2)sin)(cos()(0dSRxxcos)(1)(0)(xS第19頁/共178頁 在整個(gè)頻率域內(nèi)定義的稱作雙邊功率譜。工程中實(shí)測(cè)得到的功率譜僅對(duì)的正值有定義，稱作單邊功率譜，記作， (6.1.18) 計(jì)算功率譜時(shí)通常用頻率代替角頻率(rad/s)，上式可寫作 )(xS)(xG)0( )(2)(xxSG)(Hzf)19. 1 . 6()(4)(2)(xxxSfSfG第20頁/

10、共178頁 維納辛欽關(guān)系式(10.1. 11)和(10.1.12)相應(yīng)地改寫為 (6.1.20) (6.1.21)deRfSfixx2)()(dfefSRfixx2)(21)(第21頁/共178頁 隨機(jī)過程 的導(dǎo)數(shù)過程 的功率譜密度可以證明為 （6.1.22） 同樣有 （6.1.23）( )X t( )X t)()(2xxSS)()()(42xxxSSS 第22頁/共178頁 對(duì)于兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)和Y(t)，也可利用傅里葉變換定義它們的互功率譜密度函數(shù)，或簡稱互譜 (10.1.24) 其逆變換為 (10.1.25)deRSixyxy)()(deSRixyxy)(21)(第23頁/共1

11、78頁 互譜沒有自譜那樣明顯的物理意義，但它在頻率域上討論兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相互聯(lián)系時(shí)也具有應(yīng)用價(jià)值，互譜有以下性質(zhì)(證明從略)： (1) 是復(fù)函數(shù)，其虛部不等于零。 (2) 是 的共軛函數(shù)。 (3) 。)(xyS)( ),()()(yxyxyxxySSSS)(yxS)()()(2yxxySSS第24頁/共178頁 利用此性質(zhì)可定義量綱一的相干函數(shù)為 （6.1.26） 且有 (6.1.27)()()()(22yxxyyxSSS1)(02xy第25頁/共178頁4. 窄帶過程、寬帶過程和理想白噪聲 根據(jù)功率譜密度分布的不同頻率范圍，可將隨機(jī)過程區(qū)分為窄帶過程和寬帶過程。 窄帶過程包含的頻率成分集

12、中在一個(gè)狹窄的頻帶上，功率譜密度函數(shù)具有尖峰特性，接近于簡諧振動(dòng)。隨著 的增大，其相關(guān)程度減小得較緩慢(圖 6.3a)。第26頁/共178頁 寬帶過程包含的頻率成分很豐富，分布在較寬的頻帶上，功率譜密度函數(shù)比較平坦，因此有高度的隨機(jī)性。時(shí)間差 稍大一些其相關(guān)程度迅速降低(圖 6.3b)。 極端的寬帶過程為理想白噪聲，其功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，而具有無限寬頻帶。 (6.1.28)()(0SSx第27頁/共178頁 圖6.3 (a) 窄帶過程(b)寬帶過程第28頁/共178頁 代入式（6.1.14），得到的能量為無限大，因此理想白噪聲實(shí)際上并不存在。 工程中的實(shí)際隨機(jī)過程頻帶寬度總是有限的。 若在足

13、夠?qū)挼挠邢揞l帶上功率譜密度分布比較均勻，則可將此過程近似地當(dāng)作理想白噪聲以簡化計(jì)算。第29頁/共178頁 將（6.1.28）代入式（6.1.12）計(jì)算理想白噪聲的自相關(guān)函數(shù)，得到 （6.1.29） 可以證明上式括號(hào)內(nèi)的積分式恰好等于狄拉克分布函數(shù)。為此先將作傅里葉變換，得到 （6.1.30） deSRix21)(0)()(1)(dei第30頁/共178頁 然后對(duì)1進(jìn)行逆變換，得到 （6.1.31） 則式（6.1.29）表示的自相關(guān)函數(shù)可用函數(shù)表示為 （6.1.32） 因此對(duì)于理想白噪聲，即使相隔極小的時(shí)差，彼此已不再相關(guān)。dei21)()()(0SRx第31頁/共178頁5概率密度函數(shù) (1)

14、一維概率密度函數(shù) 一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)，當(dāng)時(shí)間t為給定值時(shí)就成為隨機(jī)變量，利用各樣本函數(shù)的集合計(jì)算此隨機(jī)變量不大于某個(gè)特定值x的概率，記作 )(txk)(xtXPr第32頁/共178頁 當(dāng)x值變化時(shí)可定義函數(shù) 稱為概率分布函數(shù)，如圖6.4a 所示。P(x)為單調(diào)升函數(shù)，具有下列性質(zhì) （6.1.34）(6.1.33) )()(xtXPxPr1)(, 1)(0,0)(PxPP第33頁/共178頁 定義一維概率密度函數(shù)為 （6.1.35） X(t)的值在和之間的概率可用概率密度函數(shù)表示為（圖6.4b） （6.1.36）dtxdPxxPxxPxpx)()()(lim)(02x1xdxxpxxxPx

15、xr)()(2121第34頁/共178頁 圖6.4 概率與概率密度函數(shù)第35頁/共178頁 則概率分布函數(shù)也可定義為 （6.1.37） 概率密度函數(shù)具有下列性質(zhì) （6.1.38）dxxpxPx)()(1)(, 0)(lim, 0)(dxxpxpxPx第36頁/共178頁 前面定義的均值 可用概率密度函數(shù)p(x)表示為 （6.1.39） 即隨機(jī)變量X(t)的一次矩，其幾何意義為p(x)曲線與x軸所圍面積形心的x坐標(biāo)(圖6.4b),前面定義的均方值 為X(t)的二次矩， （6.1.40）xdxxxpxEx)(2xdxxpxx)(22第37頁/共178頁 前面定義的方差為X(t)相對(duì)于均值的二次矩，

16、即二次中心矩， （6.1.41）2222)()(xxxxdxxpx第38頁/共178頁 (2)聯(lián)合概率密度函數(shù) 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)，在給定時(shí)刻t構(gòu)成兩個(gè)隨機(jī)變量。它們同時(shí)滿足 和 的概率 稱為聯(lián)合概率分布函數(shù)，記作P(x,y)， (6.1.42)xtX)(ytY)()(,)(ytYxtXPr)(,)(),(ytYxtXPyxPr第39頁/共178頁 也可定義聯(lián)合概率密度函數(shù)，使?jié)M足 (6.1.43) 和 同時(shí)成立的概率為 (6.1.44) 可用曲面所圍成的一部分體積表示(圖6.5)。dydxyxpyxPyx),(),(21)(xtXx21)(ytYydydxyxpyyyxxxP

17、yyxxr),(),(21212121第40頁/共178頁 圖6.5 聯(lián)合概率密度函數(shù)第41頁/共178頁 聯(lián)合概率密度函數(shù)有以下性質(zhì) (6.1.45)0),(yxp1),(dxdyyxpdyyxpxp),()(dxyxpyp),()(第42頁/共178頁 若 可分離變量 (6.1.46) 則稱X(t)和Y(t)為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。),(yxP)()(),(ypxpyxP第43頁/共178頁 隨機(jī)變量X(t)和Y(t)的實(shí)連續(xù)函數(shù)g(x,y)的數(shù)學(xué)期望或均值可表示為 (6.1.47) 當(dāng) 時(shí)，它的期望值稱作x和y之間的協(xié)方差，記作 ， (6.1.48)dydxyxpyxgyxgE),(),(),()(

18、),(yxyxyxgxyCyxyxyxxyxyEdydxyxpyxyxEC),()()(第44頁/共178頁 定義以下量綱一的量，稱作相關(guān)系數(shù)， (6.1.49) 可以證明 (6.1.50)yxxyxyC10 xy第45頁/共178頁 若有 (6.1.51) 則稱隨機(jī)變量X和Y是不相關(guān)的，這時(shí)有 (6.1.52)YEXEXYE0 , 0 xyxyC第46頁/共178頁 (3)正態(tài)過程 在隨機(jī)振動(dòng)中最常見的一類隨機(jī)變量的分布函數(shù)為正態(tài)分布，也稱作高斯(CFGauss)分布。其一維概率密度函數(shù)為 (6.1.53) 是對(duì)稱于過 的垂直軸的一種鐘形分布(圖6.6)。222)(21)(xxxxexpx第

19、47頁/共178頁 圖6.6高斯分布曲線第48頁/共178頁 由于標(biāo)準(zhǔn)差是相對(duì)于均值的分散度的一種度量 因此愈大曲線愈平坦， x的值在左右分布愈分散。 p(x)在無限域上的積分等于1，但在的鄰域內(nèi)的積分等于0.9973，接近為1。 因此工程中常將隨機(jī)變量在均值附近的變化范圍取作。x3xxxxxx3第49頁/共178頁 兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合正態(tài)概率密度函數(shù)為 (6.1.54)()(2)(1212222121),(yyyyxxxyxxxyyyxxxyyxeyxp第50頁/共178頁 若相關(guān)系數(shù)，則簡化為 (6.1.55) 可見當(dāng)隨機(jī)變量X和Y服從二維正態(tài)分布時(shí)，不相關(guān)即等同于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。0 xy

20、)()( 2121),(22222)(2)(ypxpeeyxpyyxxyyxx第51頁/共178頁 正態(tài)分布是比較簡單，也研究得相當(dāng)充分的一種分布函數(shù)。 在實(shí)踐中如果影響隨機(jī)變量的因素很多，且每一種因素的影響都很小，就可以近似地認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量是正態(tài)分布。 對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)變量，只要給出均值和二次矩，其概率密度函數(shù)就可根據(jù)式(6.1.53)和(6.1.54)完全確定。 第52頁/共178頁 當(dāng)隨機(jī)過程在每個(gè)給定時(shí)刻的隨機(jī)變量均為聯(lián)合正態(tài)分布時(shí)，就稱此隨機(jī)過程為正態(tài)過程或高斯過程。許多自然現(xiàn)象如大氣湍流、海浪、路面不平度等都可用正態(tài)過程近似地描述。 正態(tài)過程最重要的特點(diǎn)是經(jīng)過線性運(yùn)算之后仍為正

21、態(tài)過程。 因此當(dāng)一個(gè)線性系統(tǒng)的激勵(lì)為正態(tài)過程時(shí)，其響應(yīng)也必為正態(tài)過程。第53頁/共178頁 正態(tài)過程的另一重要特征是它的高次矩可由均值和二次矩導(dǎo)出。設(shè) =0，則有 (6.1.56) 證明過程從略。xnntxEntxE)() 12(531)(22第54頁/共178頁6-2 工程中的隨機(jī)振動(dòng)問題 1不平路面上行駛的車輛 將車輛簡化為單自由度質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，由于路面不平引起接觸處的位移激勵(lì) (圖6.7)，動(dòng)力學(xué)方程為 (6.2.1)(1tx11kxxckxxcxm 第55頁/共178頁 圖6.7 不平路面上的車輛第56頁/共178頁 實(shí)際量測(cè)表明，路面沿縱向路程s的不平度h(s)是局部均勻的、具有

22、零均值的、遍歷的高斯隨機(jī)場(chǎng)。隨機(jī)場(chǎng)與隨機(jī)過程名稱的不同是由于將時(shí)間變量t改為空間坐標(biāo)s，時(shí)間頻率 也改為波數(shù) 即以波長 代替周期T。相應(yīng)地，平穩(wěn)過程改稱為均勻隨機(jī)場(chǎng)。設(shè) 為路程差，則路面不平度相對(duì)空間的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度定義為 (6.2.2) (6.2.3) T/2/2k)()()(shshERhdeRkSikhh)()(第57頁/共178頁 當(dāng)車輛以勻速v行駛時(shí)，空間與時(shí)間之間有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系 (6.2.4) 將隨機(jī)場(chǎng) 轉(zhuǎn)換為隨機(jī)過程 ，其自相關(guān)函數(shù)完全相同 (6.2.5)vkvTvvts/,)(sh)()(1vthtX)()(1hxRR第58頁/共178頁 利用式(6.2.4)推導(dǎo)隨機(jī)過

23、程與隨機(jī)場(chǎng)的功率譜密度之間的關(guān)系，得到 (6.2.6) 計(jì)算波數(shù)功率譜密度 的經(jīng)驗(yàn)公式為 (6.2.7)(1)(1)()(11kSvdeRvdeRShikhixx)(kShnhkkS)(第59頁/共178頁 其中 根據(jù)不同等級(jí)的路面不平度作出規(guī)定。 將式(6.2.4)中的k代入后得到的功率譜密度與速度v有關(guān) (6.2.8), 25 . 1 nnnxvS1)(1第60頁/共178頁 若將汽車懸掛裝置的上下部分質(zhì)量分別考慮，則可將車輛簡化為串聯(lián)質(zhì)量的二自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)問題。 若分別考慮車輛前后輪承受地面激勵(lì)，也可將車輛簡化為在對(duì)稱平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的剛體，歸結(jié)為另一種類型的二自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)。 若

24、考慮更多因素，包括間隙和干摩擦等非線性因素，則車輛模型可更為復(fù)雜，工程中多用等效線性化方法分析其統(tǒng)計(jì)特性。 第61頁/共178頁 2船舶在風(fēng)浪中的橫搖 對(duì)于開闊洋面上充分發(fā)展了的風(fēng)浪，其波高 在同一位置和不太長時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為是零均值的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。關(guān)于波高功率譜密度的計(jì)算，國際上廣泛采用的公式為 (6.2.9) 式中 為重力加速度， 為名義波高，與風(fēng)速有關(guān)。45)(eaSghga ,11. 3,101 . 82312331h第62頁/共178頁 從圖6.8可見海浪能量主要分布在0.10.6Hz之間。具有零速的船舶在橫浪作用下的響應(yīng)以橫搖為主。列出解耦的橫搖動(dòng)力學(xué)方程 (6.2.10) 式中J

25、為船舶連同水的附加質(zhì)量在內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，c和k分別為粘阻系數(shù)和恢復(fù)力矩系數(shù)，M(t)為隨機(jī)波浪產(chǎn)生的隨機(jī)激勵(lì)力矩。 )(tMkcJ 第63頁/共178頁 圖6.8 海浪的波高功率譜密度 第64頁/共178頁 M(t)的功率譜密度 與波高功率譜密度、船舶的吃水深度、尺寸、形狀及水動(dòng)力學(xué)等因素有關(guān)。 因而船舶在隨機(jī)波浪作用下的橫搖問題歸結(jié)為單自由度線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)問題。 當(dāng)橫搖幅度較大時(shí)，還必須考慮恢復(fù)力矩和阻尼力矩的非線性因素。當(dāng)橫搖運(yùn)動(dòng)與船舶其他運(yùn)動(dòng)耦合時(shí)就成為多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)問題。)(MS第65頁/共178頁 3地震載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動(dòng) 重要的建筑物如原子能反應(yīng)堆、水壩、橋梁等必須將地

26、震載荷作為重要的設(shè)計(jì)載荷。地震波傳至地表時(shí)產(chǎn)生鉛垂方向和水平方向的運(yùn)動(dòng)。水平運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的破壞作用尤為巨大。 圖6.9為兩層樓房的簡化模型。第66頁/共178頁 圖6.9 建筑物的簡化模型第67頁/共178頁 只考慮地震加速度的水平分量 ，列出樓房相對(duì)地面的動(dòng)力學(xué)方程 gx )11. 2 . 6( )()()11. 2 . 6( )()(2221112221122121121111bxmxkkxkxccxcxmaxmxxkxxcxmgg 第68頁/共178頁 地震有初震、強(qiáng)震和衰減三個(gè)階段，是明顯的不平穩(wěn)隨機(jī)過程。 工程中有兩種處理方法： 一種為確定性方法，即采用盡可能接近一次強(qiáng)地震加速度 的記

27、錄作為輸入，計(jì)算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。但不能保證另一次地震能得到同樣結(jié)果。 另一種為隨機(jī)振動(dòng)方法，即探討地震隨機(jī)過程的一般規(guī)律，強(qiáng)震階段的水平分量常視為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。gx 第69頁/共178頁 如卡耐-塔基米(Kanai-Tajimi)模型，其加速度的功率譜密度為 (6.2.12) 式中參數(shù) 和 取決于震源至地面的介質(zhì)性質(zhì)，對(duì)硬土層可取 和 為一常數(shù)。為考慮地震過程的非平穩(wěn)性，也可使 與確定的時(shí)間函數(shù)A(t)相乘，稱作漸進(jìn)譜密度。)0( )(4)(1 )(41 )(2222022gggggxSSg gg5g0,6 . 0Sg)(gxS 第70頁/共178頁 4風(fēng)載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動(dòng) 風(fēng)載荷是塔

28、架、煙囪等高層建筑和大跨度橋梁等結(jié)構(gòu)的重要設(shè)計(jì)載荷。結(jié)構(gòu)上作用的風(fēng)載荷可分為定常部分和脈動(dòng)部分。剛度較大的建筑只需將定常部分作為靜載荷考慮。對(duì)于柔度愈來愈大的高層建筑，則必須同時(shí)考慮定常部分和脈動(dòng)部分，后者為隨機(jī)載荷。 對(duì)于飛機(jī)，高空大氣湍流產(chǎn)生的突風(fēng)載荷是重要的設(shè)計(jì)載荷，這是一種隨機(jī)載荷。飛機(jī)在嚴(yán)重的湍流中可能造成超載而破壞。第71頁/共178頁10-3 線性系統(tǒng)對(duì)單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng) 1單自由度線性系統(tǒng)對(duì)單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的晌應(yīng) 設(shè)質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)受到隨機(jī)力F(t)激勵(lì)，動(dòng)力學(xué)方程為 ) 1 . 3 . 6()(tFkxxcxm 第72頁/共178頁 系統(tǒng)的響應(yīng)特性可用脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)或復(fù)頻響

29、應(yīng)函數(shù) 描述(圖6.10)。寫出杜哈梅積分形式的解，將積分的上下限擴(kuò)展為 不影響結(jié)果， （6.3.2） 若激勵(lì)F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是平穩(wěn)隨機(jī)過程，其統(tǒng)計(jì)特性可計(jì)算如下。)(H),(dhtFdthFtx)()()()()(第73頁/共178頁 圖6.10 受單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的單自由度線形系統(tǒng)第74頁/共178頁 (1)均值 利用式(6.1.1)對(duì)式(6.3.2)求平均，并將求平均與積分的次序互換，導(dǎo)出 由于F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，有 (6.3.4)3 . 3 . 6()()()()()(dhtFEdhtFEtxExFtFEtFE)()(第75頁/共178頁 則式(6.3.3)化作 上

30、式中的積分可用 時(shí)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)值H(0)表示。 得到 即響應(yīng)的均值與激勵(lì)的均值只相差一個(gè)常值乘子H(0)。)5 . 3 . 6()(dhFx0)6 . 3 . 6()0(FHx第76頁/共178頁 當(dāng)激勵(lì)的靜態(tài)分量為零時(shí)，響應(yīng)的靜態(tài)分量亦為零。 今后為分析方便，只討論激勵(lì)力與響應(yīng)的均值皆為零的情形。第77頁/共178頁 (2)自相關(guān)函數(shù) 利用式（6.1.2）和(6.3.2)計(jì)算自相關(guān)函數(shù)，用 表示積分變量，并交換求平均與積分求和的次序，導(dǎo)出 (6.3.7) 此積分僅依賴于時(shí)差 與時(shí)間t無關(guān)。21,122211212121222111)()()()()()()()()()()()()()(dd

31、hRhddtFtFEhhdhtFdhtFEtxtxERFx第78頁/共178頁 (3)激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù) 利用式(6.1.9)和(6.3.2)計(jì)算激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)，導(dǎo)出 (6.3.8)dhRdhtFtFEdhtFtFEtxtFERFFx)()()()()()()()()()()(第79頁/共178頁 即互相關(guān)函數(shù)等于激勵(lì)的自相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積積分。當(dāng)激勵(lì)為理想白噪聲時(shí)，根據(jù)式(6.1.32)有 (6.3.9) 其中 為激勵(lì)的常值功率譜密度。代人式(6.3.8)，得到白噪聲激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)為 (6.3.10) 利用此結(jié)果可從實(shí)驗(yàn)測(cè)得的 推算出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù) 。)()

32、(0SRF0S)()(0hSRFx)(FxR)(h第80頁/共178頁 (4)自譜 利用式(6.3.11)和(6.3.7)計(jì)算響應(yīng)的自譜，導(dǎo)出 (6.3.11)22)(21112121212211)()()()()()()(dehdeRdehdeddRhhSiiFiiFx第81頁/共178頁 注意到中括號(hào)內(nèi)的積分即激勵(lì)的自譜 且由式(2.5.22)導(dǎo)出 (6.3.12) 其中*號(hào)表示復(fù)數(shù)的共扼)(FS)()()()()(221121HdehHHdehii第82頁/共178頁 代人式(6.3.11)后得到 (6.3.13) 此結(jié)果表明，根據(jù)激勵(lì)譜 與系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)的幅頻特性 即可求出響應(yīng)譜。

33、)()()()()(*)(2FFxSHSHHS)(FS)(H第83頁/共178頁 (5)均方值 利用式(6.1.14)和(6.3.13)計(jì)算響應(yīng)的均方值，得到 (6.3.14)dSHFx)()(2122第84頁/共178頁 當(dāng)激勵(lì)為理想白噪聲時(shí)， 等于常值 ，均方值為 (6.3.15) 其中積分 可查閱附錄中的積分公式。)(FS0SdHSx202)(2dH2)(第85頁/共178頁 對(duì)于弱阻尼系統(tǒng)，其阻尼比 ，幅頻特性曲線在固有頻率 附近有很尖的峰值，則 有更尖的峰值。 當(dāng)激勵(lì)譜 具有較平坦形狀時(shí)，式(6.3.14)右端積分中對(duì)均方值 的貢獻(xiàn)主要來自共振頻率附近的小區(qū)間內(nèi)，因此可近似地域涸有頻

34、率 處的激勵(lì)譜值 代替 。102)(H)(FS2x0)(0FS)(FS第86頁/共178頁 亦即近似地認(rèn)為系統(tǒng)受到功率譜密度 的白噪聲激勵(lì)。 從式(6.3.13)還可看出，即使激勵(lì)譜 為較平坦的寬帶，但響應(yīng)譜 主要集中在 附近的窄帶內(nèi)。 因此線性系統(tǒng)在實(shí)踐中常起到窄帶濾波器的作用。)(00FSS )(FS)(xS0第87頁/共178頁 (6)激勵(lì)與響應(yīng)的互譜 對(duì)式(6.3.8)作傅里葉變換，得到 (6.3.16) dehdeRdedhRdeRSiiFiFiFxFx)()()()()()()()(第88頁/共178頁 導(dǎo)出 (6.3.17) 此簡潔結(jié)果表明互譜與激勵(lì)譜之間通過復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)相聯(lián)系。

35、 從實(shí)驗(yàn)測(cè)得 與 之后，也可利用式(6.3.17)求出復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 所包含的幅頻和相頻的完整信息。而利用式(6.3.13)只能得到 的幅頻特性，且在推導(dǎo)過程中未計(jì)入噪聲的影響。式(6.3.17)在有噪聲存在時(shí)其結(jié)果不變，因此關(guān)系式(6.3.17)比(6.3.13)更為有用。)()()(FFxSHS)(FxS)(FS)(H2)(H第89頁/共178頁 在實(shí)踐中常引入系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)的譜相干函數(shù)，定義為 (6.3.18) )()()()(2xFFxFxSSSv第90頁/共178頁 對(duì)于線性系統(tǒng)，將式(6.3.13)和(6.3.17)代入后，得到 (6.3.19) 因此系統(tǒng)為線性時(shí)，譜相干函數(shù)應(yīng)等于

36、1。如果測(cè)試得到的譜相干函數(shù)不等于1，則可能是系統(tǒng)內(nèi)存在非線性因素，也可能是測(cè)試過程中存在噪聲影響。1)()()()()()(22FFFFxSHSSHv第91頁/共178頁 例6.3.1 一單自由度線性系統(tǒng)受到隨機(jī)激勵(lì)力F(t)作用(圖6.11)。F(t)是均值為零、自譜為 的理想白噪聲平穩(wěn)過程。 求系統(tǒng)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)、自譜、均方值和激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)及互譜。 0S第92頁/共178頁 圖6.11 受隨機(jī)激勵(lì)的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)第93頁/共178頁 解： 已知系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為 （a）)0(0)0(sin1)(tttemthdtd第94頁/共178頁 將白噪聲自相關(guān)函數(shù)(6.1.32)代人

37、式(6.3.7)計(jì)算響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，得到 （b）11102121021)()()()()()(dhhSddShhRx第95頁/共178頁 將式(a)代入上式，積分得到 （c）)0()sin(cos2)(sinsin)(0111)2(2201ddddddxeckSdtemSR第96頁/共178頁 由于自相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)，對(duì)于情形，可將上式中的，代以，寫作 （d） 此相關(guān)函數(shù)為幅值按負(fù)指數(shù)衰減的振蕩曲線。0)0( )sin(cos2)(0dddxeckSRe第97頁/共178頁 利用式(6.1.14)計(jì)算響應(yīng)的均方值，得到 （e） 當(dāng)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)不易求得時(shí)，也可利用式(6.3.15)計(jì)算

38、響應(yīng)的均方值，其中的積分可應(yīng)用附錄中的積分公式計(jì)算。ckSRxx2)0(02第98頁/共178頁 將式(6.3.13)中的代以式(2.1.5)，代以，計(jì)算響應(yīng)的自譜，得到 （f）)(H)(FS0S22220)()(cmkSSx第99頁/共178頁 利用式(6.3.8)計(jì)算激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)，得到 （g）ddddFxemSdemSRsinsin)()(00第100頁/共178頁 利用式（6.3.17）計(jì)算激勵(lì)與響應(yīng)的互譜，得到 （h） icmkSSFx20)(第101頁/共178頁 2多自由度線性系統(tǒng)對(duì)單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng) 以上對(duì)單自由度線性系統(tǒng)的討論過程也適用于受單個(gè)激勵(lì) F(t)的多自由度

39、線性系統(tǒng)(圖6.12)。設(shè)系統(tǒng)的自由度為n，其第 i個(gè)廣義坐標(biāo)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性與單自由度系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性表達(dá)式完全相同，只需相應(yīng)地用對(duì)激勵(lì)力F(t)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。 實(shí)踐表明，在頻率域內(nèi)進(jìn)行響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性分析要比時(shí)差域內(nèi)的分析簡單得多。)(thi)(iH)(txi)(txi第102頁/共178頁 圖6.12受單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的多自由度線性系統(tǒng) 第103頁/共178頁 例6.3.2 圖6.13為一雙層隔振系統(tǒng)，m為隔振對(duì)象的質(zhì)量，為隔振器質(zhì)量，彈簧和阻尼皆為線性。設(shè)基礎(chǔ)位移激勵(lì)冗是均值為零自譜為的理想白噪聲。 求振動(dòng)傳遞率和隔振對(duì)象位移響應(yīng)的均方值。1m)(0tx0S第104頁

40、/共178頁 圖6.13雙層隔振系統(tǒng)第105頁/共178頁 解 ： 設(shè)絕對(duì)位移如圖示，列出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 （a）321,xxx0)()()()(0)()(0)()(011131220111112223132313xxkxxkxxkxxcxmxxkxxcxxkxxcxm 第106頁/共178頁 定義振動(dòng)的傳遞率的平方為隔振對(duì)象輸出量的自譜與輸入量的自譜之比，即 （b）rT)(3tx)(xS)(0tx)(FS)()()(2FxrSST第107頁/共178頁 對(duì)于線性系統(tǒng)，利用式(6.3.13)從上式導(dǎo)出 （c） 為計(jì)算各復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)，設(shè)輸入量簡諧變化，各輸出量為 （d）)()(HTrtietx)

41、(0tieHtx)()(11tieHtx)()(22tieHtx)()(33第108頁/共178頁 將各簡諧函數(shù)代人方程組(a)，得到，的一組線性代數(shù)方程并解出 （e） )(3H)(2H)(1HiBAiBAH22113)(第109頁/共178頁 其中 （f）)1)(2)1 (2) 1(2)1(4)1)() 1(2) 1(42223222222221221ssssssBsssssAsBsaA第110頁/共178頁 且有 （g） 代人式(e)，(c)計(jì)算振動(dòng)的傳遞率，得到 （h）mmkkkkccmkcmks121100,2,22222122122121)()()(BAABABBBAATr第111頁

42、/共178頁 隔振對(duì)象位移的均方值為 （i） 可利用附錄中的積分表計(jì)算。)(3xdHSx2302)(23第112頁/共178頁6.4 線性系統(tǒng)對(duì)多個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng) 1脈沖晌應(yīng)矩陣和幅頻響應(yīng)矩陣 設(shè)n自由度的線性系統(tǒng)受到m個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)()，討論系統(tǒng)的響應(yīng)問題(圖6.14)第i坐標(biāo)的響應(yīng)對(duì)于沿第j坐標(biāo)的激勵(lì)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)分別為和。nm )(txi)(tFj)(thij), 2 , 1;, 2 , 1(),(mjniHij第113頁/共178頁 圖6.14受多個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的多自由度線性系統(tǒng)第114頁/共178頁 它們分別構(gòu)成脈沖響應(yīng)矩陣和復(fù)頻響應(yīng)矩陣 (6.4.1)(th)(H)()(

43、ththij)()(ijHH第115頁/共178頁 由于有個(gè)坐標(biāo)不受激勵(lì)，因此可將原階矩陣中相應(yīng)的列略去,成為階矩陣， 和互相構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，即有 (6.4.2) (6.4.3) 工程中常采用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出或nnmnmnmn)(H)(th)(H)(thdehHi)()(deHthi)(21)(第116頁/共178頁 2響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性 將和排成列陣 (6.4.4) 分別表示系統(tǒng)激勵(lì)和響應(yīng)，則可進(jìn)行與上節(jié)類似的分析，只須將標(biāo)量以矩陣代替。), 2 , 1)(mjtFj), 2 , 1)(njtxi)()( ),()(txtxtFtFij第117頁/共178頁 （1）相關(guān)矩陣 n個(gè)響應(yīng)的自相關(guān)和互相

44、關(guān)函數(shù)為 (6.4.5) 以為元素構(gòu)成的相關(guān)矩陣 (6.4.6), 2 , 1,( )()()(nlktxtxERlkxxlk)()()(txtxERTxxlkxxRnn)(xxR第118頁/共178頁 將上式中的和以杜哈梅積分表示，用和作為積分變量，得到 (6.4.7) 進(jìn)行與式類似的推倒，得到響應(yīng)與激勵(lì)的相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.8)(tx)(tx21)()()()()(222111dhtFdtFhERTTxx122211)()()()(ddhRhRTFFxx第119頁/共178頁 (2)功率譜密度矩陣 定義平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度矩陣為相關(guān)矩陣的傅里葉變換，而后者為前者的逆變換，則

45、對(duì)式(6.4.8)兩邊作傅里葉變換后，進(jìn)行與式(6.3.11)類似的推導(dǎo) (6.4.9)deddhRhSiTFFxx)()()()(12221122)(21112211)()()(dehdeRdehiTiFFi第120頁/共178頁 得到響應(yīng)與激勵(lì)的功率譜密度矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.10) 其中為的共扼陣，即)()()(*)(TFFxxHSHS)(*H)(H)(H第121頁/共178頁 (3)激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣 n個(gè)響應(yīng)與m個(gè)激勵(lì)之間的互相關(guān)矩陣為 (6.4.11)()()(txtFERTFx第122頁/共178頁 進(jìn)行與式(6.3.8)類似的推導(dǎo)， (6.4.12) (6.4.13)

46、()()()(dhtFtFERTTFxdhtFtFETT)()()(dhRRTFFFx)()()(第123頁/共178頁 (4)激勵(lì)與響應(yīng)的互譜密度矩陣 定義激勵(lì)與響應(yīng)的互譜密度矩陣為互相關(guān)矩陣的傅里葉變換。對(duì)式(6.4.13)兩邊作傅里葉變換后，進(jìn)行與式(6.3.16)類似的推導(dǎo) (6.4.14)deRSiFxFx)()(ddehRiTFF)()(dehdeRiTiFF)()()()(第124頁/共178頁 得到互譜密度矩陣與激勵(lì)的功率譜密度矩陣和系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)矩陣之間的關(guān)系式 (6.4.15)(H)(FFS)(FxS)()()(TFFFxHSS第125頁/共178頁 例6.4.1 以勻速v

47、沿不平路面行駛的汽車簡化為剛體，質(zhì)量和對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m和，質(zhì)心位置如圖6.15所示，彈簧和粘阻系數(shù)均已知，設(shè)路面高度沿路程s的變化為高斯隨機(jī)場(chǎng)，汽車的前后輪著地高度和的功率譜密度為已知。 求響應(yīng)的功率譜密度矩陣。CJ2121,cckk)(2tx)(1tx)()(21xxSS第126頁/共178頁 圖6.15 不平路面上的汽車第127頁/共178頁 解 ： 以汽車的質(zhì)心垂直位移x和相對(duì)水平面的傾角為義坐標(biāo)，建立二自由度剛體微幅振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 (a) (b)()()()()()()()()()(222211112221212221212211221121212121xcxkbxcxkabka

48、kxbkakbcacxbcacJxcxcxkxkbkakxkkbcacxccxmc 第128頁/共178頁 先計(jì)算系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，為此令 (c) 代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出 (d)tietx)(10)(2txtieHtx)()(11tieHt)()(21)(21H)(11H12122211122211)()(kcccaccH12122211111221)()(kcccaccH第129頁/共178頁 再令 (e) 代入方程(a)和(b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出 tietxtx)( 0)(21tieHtx)()(12tieHt)()(22)(22H)

49、(12H,)()(22122211122212kcccbccH22122211121122)()(kccccbcH第130頁/共178頁 其中 (g)()()( ,222122221222121122122111222111bcaciJbkakcbcacibkakcccimkkcickkickkc第131頁/共178頁 則得到復(fù)頻響應(yīng)矩陣 (h) 作為激勵(lì)的前后輪高度變化 和 之 間具有相關(guān)性， (i)()()()()(22211211HHHHH)(2tx)(1tx)()(012txtx第132頁/共178頁 其中 為常值時(shí)差，則相關(guān)函數(shù)為 ( j) 功率譜密度為 (k)vl0)()()()(

50、)()(001121121xxxRtxtxEtxtxER)()()()(10001210)(0 xiiixxxSeedeRS第133頁/共178頁 激勵(lì)過程 和 有相同的自譜 由路面隨機(jī)場(chǎng)導(dǎo)出，見式(6.2.6)。用同樣步驟還可導(dǎo)出 (l) (m)(2tx)(1tx)(1xS)()(0112xxxRR)()(1012xixxSeS第134頁/共178頁 得到激勵(lì)的功率譜密度矩陣 (n) 將式(h)和(n)代大式(6.4.10)，得到響應(yīng) 的功率譜密度矩陣 (o)11)()(001iixFFeeSS)()()(*)(TFFxxHSHSTxX),(第135頁/共178頁6.5 隨機(jī)響應(yīng)的模態(tài)分析法

51、 1多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)晌應(yīng) 除以上直接應(yīng)用脈沖響應(yīng)函數(shù)和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)求線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的方法以外，模態(tài)分析法是另一種求隨機(jī)響應(yīng)的有效方法。由于只有低階模態(tài)對(duì)響應(yīng)有顯著影響，因此模態(tài)分析法對(duì)于自由度多的系統(tǒng)可明顯減少計(jì)算工作量。第136頁/共178頁 討論受隨機(jī)激勵(lì)的n自由度線性系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為 (6.5.1) 其中質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K可利用作以下變換 (6.5.2)(tFKxxCxM EMNTNNTNKNNTNCC第137頁/共178頁 其中 為系統(tǒng)的簡正模態(tài)矩陣，E為n階單位陣， 為本征值矩陣, 為振型阻尼矩陣，亦假設(shè)為對(duì)角陣 (6.5.3) (6.5.4)NNC)(222

52、21ndiag)222(2211nnNdiagC第138頁/共178頁 將坐標(biāo)x變換為簡正坐標(biāo) (6.5.5) 則動(dòng)力學(xué)方程解稠為 (6.5.6)Nx)()(txtxNN)(tFxxCxTNNNNN 第139頁/共178頁 包含n個(gè)獨(dú)立的微分方程 (6.5.7) 可對(duì)每個(gè)方程利用杜哈梅積分計(jì)算隨機(jī)響應(yīng)， (6.5.8), 2 , 1( )(2)(2nitFxxxTiNNiiNiiiNi ), 2 , 1()()()()(nidtFhtxTiNiNi第140頁/共178頁 寫作矩陣形式 (6.5.9) 其中 為正則坐標(biāo)下的脈沖響應(yīng)矩陣。由于各方程相互獨(dú)立，因此 為對(duì)角陣， (6.5.10)dtF

53、htxTNN)()()()(h)(h)()()()(21nhhhdiagh第141頁/共178頁 將式(6.5.9)變換至原坐標(biāo)x(t)，積分變量 改作 ，得到 (6.5.11) 利用上式導(dǎo)出響應(yīng)的相關(guān)矩陣 (6.5.12)dtFhtxTNN)()()( TNTNFFTNNTxxddhRhtxtxER)()()(122211第142頁/共178頁 對(duì)上式兩端進(jìn)行傅里葉變換，經(jīng)過推導(dǎo)，得到響應(yīng)的功率譜密度矩陣 (6.5.13) 其中 是關(guān)于正則坐標(biāo)的復(fù)頻響應(yīng)矩陣， 為其共軛陣 (6.5.14) 利用式(6.5.13)可從已知的激勵(lì)的功率譜矩 求出響應(yīng)的功率譜矩陣 。)(*H)(H )()()(T

54、NNFFTNNxxHSHS)()()()(21nHHHdiagH)(xxS)(FFS第143頁/共178頁 對(duì) 作傅里葉逆變換，可得到響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)矩陣 (6.5.15) 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼較小且各固有頻率差別較大時(shí)，可將式(6.5.13)中 的交叉乘積項(xiàng)予以忽略使計(jì)算簡化。多自由度系統(tǒng)通常是低階模態(tài)起主要作用，因此計(jì)算時(shí)只取幾個(gè)低階模態(tài)，仍可有較好的精度。)(xxSdeSRixxxx)(21)()(jiHHji與第144頁/共178頁 例 6.5.1 在圖6.9所示地震只寸結(jié)構(gòu)影響的例子中， 設(shè) 取強(qiáng)震階段地面加速度的功率譜 如式（6.2.12），并近似作為平穩(wěn)過程處理。 求系統(tǒng)位移響應(yīng)的功率

55、譜密度矩陣和均方值。ccckkkmmm1212122,2,2 gxS 第145頁/共178頁 解 ：將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(6.2.11)寫作 (a) 其中 (b)(tFKxxCxM gxmFxxxcCkKmM 21 , ,31113111 ,200121第146頁/共178頁 求出系統(tǒng)的本征值 (c) 以及正則模態(tài)矩陣 (d)mkmk2 ,22221mmmmN31613162第147頁/共178頁 將方程（a）解耦為 (e) 其中 (f)(tFxxCxTNNNNN 20021 ,20021mcCmkN第148頁/共178頁 寫出正則坐標(biāo)的復(fù)頻響應(yīng)矩陣 (g) (h)( 00 )()(21HHH)

56、2 , 1(21)(22jiHjjjj第149頁/共178頁 激勵(lì)的相關(guān)矩陣為 (i) 對(duì)上式兩邊作傅里葉變換，得到 ( j) )(4221)()()(2gxTFFRmtFtFER )(4221)(2gxFFSmS 第150頁/共178頁 代入式（6.5.13）計(jì)算系統(tǒng)的位移響應(yīng)的功率譜密度矩陣，得到 (k)()()()()(91)(22122111gxxxxxxxxxxxSSSSSS 第151頁/共178頁 其中 (l) 2212212122122121221221212212212125 . 347248441622122111HHHHHHSHHHHHHSHHHHHHSHHHHHHSxxx

57、xxxxx第152頁/共178頁 利用式（6.5.15）計(jì)算質(zhì)量的位移響應(yīng)的均方值，得到 (m) 可應(yīng)用留數(shù)定理或數(shù)值積分計(jì)算，數(shù)值積分的上下限則根據(jù)精度要求以上下截?cái)囝l率代替。1mdSSRgxxxxx)()(9121)0(1111 第153頁/共178頁 2連續(xù)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng) 以梁的彎曲振動(dòng)為例說明連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)分析法。 設(shè)均質(zhì)等截面梁受到線性外阻尼作用，在動(dòng)力學(xué)方程中增加與成比例的阻尼項(xiàng)，設(shè)c為粘阻系數(shù)， （6.5.16）ty ),(),(),(),(2244txfttxycttxyxtxyEIl第154頁/共178頁 設(shè)其中分布力f(x,t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程。計(jì)算無阻尼情形的固有頻率和正則

58、化的模態(tài)函數(shù)，后者滿足正交性條件。假設(shè)模態(tài)函數(shù)關(guān)于阻尼也存在類似的正交性 （6.5.17）i)2 , 1()(ixiijiijildxxxc2)()(0第155頁/共178頁 應(yīng)用模態(tài)分析法，將解y(x,t)寫作模態(tài)函數(shù)的線性組合， （6.5.18） 代大方程(6.5.16)，導(dǎo)出廣義坐標(biāo)的一組獨(dú)立的動(dòng)力學(xué)方程， （6.5.19）)()(),(1tqxtxyiii), 2 , 1)(itqi), 2 , 1( )()()(2)(2 itQtqtqtqiiiiiii第156頁/共178頁 其中廣義力為 （6.5.20） 利用杜哈梅積分寫出方程（6.5.19）的解，并計(jì)算平穩(wěn)響應(yīng)過程與之間的互相關(guān)函數(shù)，得到 （6.5.21）)(tQi)(tqj