橢圓的簡單幾何性質(zhì)第二課時

1、 平川中恒學(xué)校平川中恒學(xué)校 高二數(shù)學(xué)備課組高二數(shù)學(xué)備課組 2.2.22.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)第第二二課時課時定定 義義圖圖 形形方方 程程范范 圍圍對稱性對稱性焦焦 點(diǎn)點(diǎn)頂頂 點(diǎn)點(diǎn)離心率離心率 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)( a,0) (0, b)|x| a |y| b|x| b |y| a關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、軸、原點(diǎn)原點(diǎn)對對稱稱( b,0) (0, a)01ceea 一個框，四個點(diǎn)，注意光滑和圓扁，莫忘對稱要

2、體現(xiàn)一個框，四個點(diǎn)，注意光滑和圓扁，莫忘對稱要體現(xiàn) 已知橢圓方程為已知橢圓方程為6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的長軸長是：它的長軸長是： 。短軸長是：。短軸長是： 。焦距是：焦距是： . .離心率等于：離心率等于： 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是：焦點(diǎn)坐標(biāo)是： 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是：。頂點(diǎn)坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于：外切矩形的面積等于： 。 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 616122 yx其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程是是5 1 622bacba則練習(xí)練習(xí)1.1.例例2 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn) 、 ；（2 2）長軸長等于

3、）長軸長等于 , ,離心率等于離心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :（1 1）由題意，）由題意， , ,又又長軸在長軸在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為 3a 2b x22194xy（2 2）由已知，由已知， ， ， ， ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或或 220a 35cea10a 6c 22210664b 22110064xy22110064yx例例3 橢圓的一個頂點(diǎn)為 ,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程02，A分析：分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；11422yx橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；1

4、16422yx解：解：（1）當(dāng) 為長軸端點(diǎn)時， ， ， 2a1b02，A（2）當(dāng) 為短軸端點(diǎn)時， , ， 2b4a02，A綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 或 11422yx116422yx已知橢圓 的離心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 軸上時， ， ，得 82 ka92b12 kcx 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 軸上時， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 滿足條件的 或 4k45k思考：【變式與拓展】3從橢圓短軸的一個端點(diǎn)看長軸兩端點(diǎn)的視角為 120，則此橢圓的離心率 e 為()D回憶：直線與圓的位置關(guān)系回憶：直線與圓

5、的位置關(guān)系1.位置關(guān)系：相交、相切、相離位置關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數(shù)法代數(shù)法) 聯(lián)立直線與圓的方程聯(lián)立直線與圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與圓相交直線與圓相交有兩個公共點(diǎn)；有兩個公共點(diǎn)； (2)=0 直線與圓相切直線與圓相切有且只有一個公共點(diǎn)；有且只有一個公共點(diǎn)； (3)0直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個公共點(diǎn)；有兩個公共點(diǎn)； (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個公共點(diǎn)；有且只有一個公共點(diǎn)； (3)k-3366-k0因?yàn)橐驗(yàn)樗?，方程（）有兩個根，所以，方程（）有兩個根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦長

6、弦長是多少？是多少？則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長公式：弦長公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知識點(diǎn)知識點(diǎn)2：弦長公式：弦長公式可推廣到任意二次曲線例例3：已知斜率為：已知斜率為1的直線的直線L過橢圓過橢圓 的右焦點(diǎn)，的右焦點(diǎn)，交橢圓于交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦AB之長之長題型二：弦長公式題型二：弦長公式222

7、:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點(diǎn):3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85題型二：弦長公式題型二：弦長公式例例5、如圖，已知橢圓、如圖，已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0b

8、ab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點(diǎn)22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 例例6 ：已知橢圓：已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達(dá)定理韋達(dá)定理斜率斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造題型三：中點(diǎn)弦問題題型三：中點(diǎn)弦問題例例 6 已知橢圓已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，

9、1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差題型三：中點(diǎn)弦問題題型三：中點(diǎn)弦問題2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求的思想方法 例例6已知橢圓已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，

10、求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這這一一 條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，題型三：中點(diǎn)弦問題題型三：中點(diǎn)弦問題165193622yx08-2yx3、弦中點(diǎn)問題弦中點(diǎn)問題的兩種處理方法：的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達(dá)定理； （2）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。 1、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及