《自動(dòng)控制理論(第3版)》第03章

1、12s11(t)LF(s)1(t)1R0t00tRf(t)1.記為稱單位階躍函數(shù)，令階躍函數(shù)（位置函數(shù)）典型輸入信號典型輸入信號。條件：條件：1 能反映實(shí)際輸入能反映實(shí)際輸入；2 在形式上盡可能簡單，便于分析在形式上盡可能簡單，便于分析；3 使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。t f(t)01第一節(jié)第一節(jié) 典型的測試信號典型的測試信號3 000)(ttRttf21stL t f(t)00t4 00021)(2ttRttf0,212tt32121)(stLsRt f(t)05 R)(tf0t具有左圖形狀的信號被稱為矩型脈動(dòng)信號具有左圖形狀的信號被稱為矩型脈動(dòng)信號,其數(shù)學(xué)表達(dá)

2、式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:ttRttf0000)(由圖可見由圖可見, 脈動(dòng)信號脈動(dòng)信號的面積為的面積為R. 當(dāng)脈動(dòng)當(dāng)脈動(dòng)信號的寬度信號的寬度0時(shí)時(shí), 其高度為其高度為, 但但面積乃為面積乃為R. 把寬度把寬度0時(shí)的矩型脈動(dòng)信號定義為脈時(shí)的矩型脈動(dòng)信號定義為脈沖信號沖信號, 而其面積而其面積R稱為脈沖信號的脈沖強(qiáng)度稱為脈沖信號的脈沖強(qiáng)度.6當(dāng)當(dāng)R=1時(shí)時(shí), 叫做單位叫做單位脈沖信號脈沖信號, 用用 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為)(t000)(ttt而其面積為而其面積為:1)(dtt單位單位脈沖信號脈沖信號)(t用下圖表示用下圖表示:)(tt10強(qiáng)度不為強(qiáng)度不為1而為而為R的的脈沖信號用脈沖信號用)(t

3、R表示表示.1)()(tLsF表示表示,7 2211tttt求導(dǎo)積分求導(dǎo)積分求導(dǎo)積分 tAtfsin22sin)(sAtALsF8 9 %100)()()(%cctcMpppMpM%pM10)(limteetss 11凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。)()()(trtcdttdcT 11)()()( TssRsCs R C r(t) c(t) 1Ts+R(s)C(s) 1Ts+1R(s)C(s)12tc(t) T 2T 3T 4T 當(dāng)輸入信號當(dāng)輸入信號r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。稱作其單位

4、階躍響應(yīng)。01 t ec(t)TtTsssTssRssC111111 )()()( 響應(yīng)曲線在響應(yīng)曲線在0， ） 的時(shí)間區(qū)間中始終不會的時(shí)間區(qū)間中始終不會超過其穩(wěn)態(tài)值，把這樣超過其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)非周期響應(yīng)。無振蕩無振蕩0.6320.950.9820.8651.013,20. 2,69. 0TtTtrd %)2(4%)5(3TtTtss可以用時(shí)間常數(shù)可以用時(shí)間常數(shù)T去度量去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。 T 2T 3T 4T tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系統(tǒng)的反映了系統(tǒng)的慣性。慣性。T越小慣性越小，越小慣性越小，響應(yīng)快！響

5、應(yīng)快！T越大，慣性越越大，慣性越大，響應(yīng)慢。大，響應(yīng)慢。01 t ec(t)Tt14 r(t) = t TsTsTssTssC1111122 )()0( )(/ tTeTttcTttc(t)0r(t)= tc(t) = t T + Tet/T是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。的斜坡函數(shù)。TT穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤項(xiàng)+常值）暫態(tài)分量Ttc )(15 表明過渡過程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位表明過渡過程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做置上仍有誤差，一般叫做。 在階躍響應(yīng)

6、中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，最終趨于最終趨于0 0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也最大；最大； 在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最終趨于常值最終趨于常值T T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等于于0 0。0 tc(t)1.0tc(t)0r(t)= tTT16R(s)=111)( TssC 它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這它恰是系統(tǒng)的閉

7、環(huán)傳函，這時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)函數(shù)，以函數(shù)，以h(t)標(biāo)志。標(biāo)志。TteTtCth 1)()(脈沖)()(tCdtdtC斜坡階躍 )()(tCdtdtC階躍脈沖 )()(trdtdtr斜坡階躍 )()(trdtdtr階躍脈沖 對應(yīng)對應(yīng)T 2T 3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T17 2. 1.。18K0G (s)KHrC(s) ,今系統(tǒng)采用負(fù)反饋的辦法將過渡今系統(tǒng)采用負(fù)反饋的辦法將過渡時(shí)間時(shí)間ts減小為原來的減小為原來的0.1 倍，并保證總放大系數(shù)不倍，并保證總放大系數(shù)不變變 ，求，求K0,KH12 . 010)(SsG19解：解：1

8、1012.010110)101(2.010)(00HHHkSkKKSks20109111019 . 01 . 011 . 010112 . 01 . 01012 . 01 . 000KKKKKKKTTHHHHH21二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 標(biāo)準(zhǔn)化二階標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為： 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為222222)2(1)2()(nnnnnnnsssssss 二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù) ( (阻尼比阻尼比) )和和 n n( (無阻尼振蕩頻無阻尼振蕩頻率率) ) 。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是

9、用這兩個(gè)參數(shù)表示的。s(s+2 n)R(s)C(s) n2 +開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為)2()(2nnsssG22微分方程式為：微分方程式為： )()()()(22trtcdttdcRCdttcdLC 222222121)()()(nnnssTssTsRsCs 零零初初條條件件LCT LCR2 Tn/1 例如例如: RLC電路電路RCr(t)c(t)L23 j 0二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即 s 2 + 2 n s + n2 = 0其兩個(gè)特征根為：其兩個(gè)特征根為：122, 1 nns 上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比

10、的不同取值，的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說在特征根有不同類型的值，或者說在s s平面上有平面上有不同的分布規(guī)律。分述如下：不同的分布規(guī)律。分述如下：s1s2(1) 1 時(shí)，特征根為一對不等值時(shí)，特征根為一對不等值的負(fù)實(shí)根，位于的負(fù)實(shí)根，位于s 平面的負(fù)實(shí)平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過阻尼過阻尼的。的。24(3) 0 1 時(shí)，特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于時(shí)，特征根為一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面平面 的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼欠阻尼的。的。(2) =1時(shí)，特征根為一對等值的負(fù)實(shí)根，位于時(shí)，

11、特征根為一對等值的負(fù)實(shí)根，位于s 平面的負(fù)實(shí)軸上，平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼臨界阻尼的。的。 j 0s1= s2 = n ns1s2 j d n j 0122, 1 nns25 j 0 (4) (4) =0 =0 時(shí)，特征根為一對幅值相等的虛根，位于時(shí)，特征根為一對幅值相等的虛根，位于s s平面的虛軸上，平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無阻尼的使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無阻尼的等幅振蕩等幅振蕩過程。過程。 j n j 0 (5) 1 = 10 1 = 0272222)(nnnsss 由式由式，其輸出的拉氏變換為其輸出的拉氏變換為ssssRssCnnn12)()

12、()(222 )()(212ssssssCn 式中式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。 對上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)對上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在s s 平面上平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。下面分。下面分別加以討論。別加以討論。281 1、欠阻尼情況、欠阻尼情況 01221arcsinarccos1arctandnnnjjs22 , 11 j

13、ns1s2 j d n 0 )0( )sin(111 )1sin(111)(222ttetetcdtntnn（1 1）、單位階躍響應(yīng)）、單位階躍響應(yīng)查表可得查表可得：ssssCnnn12)(22229 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：為為1，表明系統(tǒng)在表明系統(tǒng)在1(t)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦項(xiàng)，其振蕩頻率為項(xiàng)，其振蕩頻率為，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，兩者均由參數(shù)兩者均由參數(shù) 和和 n決定。決定。c(t) t 01 )sin()( tetcdtn2111

14、衰減振蕩衰減振蕩 (2)(2)響應(yīng)曲線響應(yīng)曲線30Mp 常用常用tr , tp , Mp , ts 四個(gè)性能指標(biāo)來衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。四個(gè)性能指標(biāo)來衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。c(t) t 010.50.05或或0.02tr tp tstd31dnrt 21arccos上升時(shí)間上升時(shí)間tr ：從零上升至：從零上升至第一次第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr 越小，響應(yīng)越快。越小，響應(yīng)越快。峰值峰值時(shí)間時(shí)間tp：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。時(shí)間。 1)sin(111)(2 rnttd

15、trtetc 0)sin( rttdt 0)( pttdttdc1)(k ktrd 32ktt tepdpdpdtnn 0012sinsindnpt21 0)cos(1)sin(122 pdtdpdtntetepnpn：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。表示。%100)()()( cctcMpp%100)sin(112 pdttepn33%100%21eMtpp代入 Mp只是只是 的函數(shù)，其大小與自然頻率的函數(shù)，其大小與自然頻率n無關(guān)無關(guān)。 Mp 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts ：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過5%所需要的

16、時(shí)間。所需要的時(shí)間。 工程上，當(dāng)工程上，當(dāng)0.1 0變化率為正，變化率為正，c(t) 單調(diào)上升；單調(diào)上升； t ，變化率趨于，變化率趨于0。整個(gè)過程不出現(xiàn)振蕩，無超調(diào)，整個(gè)過程不出現(xiàn)振蕩，無超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差0。)0( )(11)( ttetcntn sssCnn122 )()( tc(t)01nnnsss 112)(41（4 4）過阻尼情況）過阻尼情況 1引入等效時(shí)間常數(shù)122, 1 nns 響應(yīng)特性包含響應(yīng)特性包含，且它們的代數(shù)和不會超過且它們的代數(shù)和不會超過1，因而響應(yīng)是，因而響應(yīng)是非振蕩非振蕩的。的。調(diào)節(jié)速度慢調(diào)節(jié)速度慢。（不同于一階系統(tǒng)不同于一階系統(tǒng)）1/1/1)(21/12/2

17、1 TTeTTetcTtTt)1(121 nT)1(122 nTsTsTssCn111212 )/)(/()( )/)(/()/)(/(2211121111111TsTTTsTTs 0 tc(t)1.0ts42（5）不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng) 0，不討論，不討論總結(jié)：總結(jié)： 1）1時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢；慢； 3）0時(shí)，無過渡過程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩；時(shí)，無過渡過程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩； 4）01時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，合理合理選擇可使既快又平穩(wěn)，工程上把選擇可

18、使既快又平穩(wěn)，工程上把0.707的二階系統(tǒng)稱為的二階系統(tǒng)稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)二階最優(yōu)系統(tǒng)；43G(s)，H(s) 一般是復(fù)變量一般是復(fù)變量s 的多項(xiàng)式之比，故上式可記為的多項(xiàng)式之比，故上式可記為 控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示?？刂葡到y(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+H(s)44 式中式中0 k 0 ( i, j =1,2, , n)即，即，。 如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。

19、下面足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面講解勞斯穩(wěn)定判據(jù)。講解勞斯穩(wěn)定判據(jù)。 必要條件只起否定作用必要條件只起否定作用, 也即只要不滿足必要條件也即只要不滿足必要條件, 系系統(tǒng)必不穩(wěn)定統(tǒng)必不穩(wěn)定, 必要條件不起保證作用必要條件不起保證作用, 也即滿足必要條件也即滿足必要條件,系統(tǒng)不一定穩(wěn)定系統(tǒng)不一定穩(wěn)定.53一、一、 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 并且勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)，并且勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。平面上根的個(gè)數(shù)。第六節(jié)第六節(jié) 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)54表中：表中：1 1）最左一列元素按）

20、最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識作的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識作 用，不參與計(jì)算。用，不參與計(jì)算。 2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3 3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。aa2 a4 aa3 a5 bb2 b3 ansnsn1 sn2 s1 s0 130211aaaaab 150412aaaaab 0122110 nnnnnasasasasasD)(55 二二. .勞斯判據(jù)的應(yīng)用勞斯判據(jù)的應(yīng)用 例例3-3 設(shè)有下列特征方程設(shè)有下列特征方程 D(s

21、) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，試用勞試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。 解解：勞斯表勞斯表第一列元素第一列元素 符號改變了符號改變了2次，次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s 右半平右半平面有面有2個(gè)根。個(gè)根。s4s3s2s1s01 3 52 4 615556例例3-4 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 D(s) = s3 3s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為解：系統(tǒng)的勞斯表為：勞斯表中某勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余行的第一列元素為零，而其余各

22、項(xiàng)不為零，或不全為零。對各項(xiàng)不為零，或不全為零。對此情況，可作如下處理：此情況，可作如下處理：s3s2s1s01 3 0 2用一個(gè)很小的正數(shù)用一個(gè)很小的正數(shù) 來代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞來代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞斯表繼續(xù)下去。斯表繼續(xù)下去?？捎靡蜃涌捎靡蜃樱╯+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，可為任意正數(shù)，再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。57 321b0+時(shí)，時(shí)，b1 0，勞斯表，勞斯表中第一列元素符號改變了兩中第一列元素符號改變了兩次次系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。 用（用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程

23、為：）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0s3s2s1s01 3 0() 22s4s3s2s1s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 658例例3-5 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解解:該系統(tǒng)的勞斯表如下該系統(tǒng)的勞斯表如下勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對

24、稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。對此情況，可作如下處理：數(shù)根）。對此情況，可作如下處理：s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 0 059 由于勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次，由于勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)正系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對稱的根：根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對稱的根： s1=1 和和 s2= 1 。 對本例題，可用長除法求出另二個(gè)根，分別為對本例題，可用長除法求出另二個(gè)根，分別為 s3=1 和和 s4= 2 。 用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對輔助用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程

25、，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 4 2F(s) = 2s2+ 2 F (s)= 4s60 例例3-6 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。的取值范圍。 解：系統(tǒng)特征方程式解：系統(tǒng)特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列元素均大于零。一列元素均大于零。0 K 6s3s2s1s0 1 2 3 K(6 K)/3 Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s) K+

26、61 例例3-7 檢驗(yàn)多項(xiàng)式檢驗(yàn)多項(xiàng)式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在是否有根在s 右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線 s = 1的右邊？的右邊？解：解：1) 勞斯表中第一列元素均勞斯表中第一列元素均為正為正系統(tǒng)在系統(tǒng)在s 右半平面沒有右半平面沒有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2) 令令 s1 = s + 1 坐標(biāo)平移，坐標(biāo)平移， 得新特征方程為得新特征方程為 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0s3s2s1s0 2 13 10 412.2 4-1sS162 勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號勞斯表中第一列元素不

27、全為正，且第一列元素符號改變了一次，故系統(tǒng)在改變了一次，故系統(tǒng)在s1 右半平面有一個(gè)根。因此，系右半平面有一個(gè)根。因此，系統(tǒng)在垂直線統(tǒng)在垂直線 s = 1的右邊有一個(gè)根。的右邊有一個(gè)根。s13s12s11s10 2 1 4 1 0.5 163第七節(jié)第七節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 1. 1. 誤差的定義誤差的定義 誤差的定義有兩種：誤差的定義有兩種： 從系統(tǒng)輸入端定義，從系統(tǒng)輸入端定義，即即 E(s)=R(s) B(s) 從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為E(s) =R (s) C(s) R (s)：輸出的期望值：輸出的期望值G(s)R(s)C(s)+H(s)E(s

28、)B(s)64)()(1)(sEsHsE 2. 2.兩種定義的關(guān)系兩種定義的關(guān)系對于單位反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的。對于單位反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的。 3.3.穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess：誤差的終值誤差的終值)(limteetss)(lim)(limsssEteetss 4. 4.終值定理法終值定理法)(ssE65)(lim)(limsssEteetss設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：TssG1)( TssTssGssRsEe/1/111)(11)()()( (1) 當(dāng)當(dāng) r(t) = t2/2 R(s) =1/s331/1)(sTsssE sTsssEessss

29、1/11lim)(lim00試求當(dāng)輸入信號分別為試求當(dāng)輸入信號分別為r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 時(shí)時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：解：66(2)當(dāng)當(dāng) r(t) = 1(t) R(s) =1/ssTsssRsGsE1/1)()(11)( 0)(lim0 ssEesss(3)當(dāng)當(dāng) r(t) = t R(s) =1/s221/1)(sTsssE TsTsssEsessss 1/1lim)(lim0067221)( ssssET222222122111 scssTTsTTTtTTtTTeTTteTt sin1co

30、s11)(22222222 )sin(cos1)(22tTtTTtess 0)( sse)sin(122 tTTTtg 11 (4)當(dāng)當(dāng)r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2) 68不失一般性，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：不失一般性，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為： = 0 稱為稱為 0 型系統(tǒng)；型系統(tǒng)； = 1 稱為稱為型系統(tǒng)；型系統(tǒng)； = 2 稱為稱為型系統(tǒng)。等等型系統(tǒng)。等等在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：)()(11)()()(sRsGsRssEke )()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGv

31、vniimjjvk 69)()(lim1)()(11lim00sHsGAsAsHsGsessss 令令)()(lim0sHsGKsp pssKAe 1 0 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Kp = K ess = A/ (1+ K)型及型及型以上系統(tǒng)：型以上系統(tǒng)： Kp = ess = 0)()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGvvniimjjvk )( 1)(tAtr70)()(lim)()(1lim020sHssGAsAsHsGsessss令令100lim)()(lim vssvsKsHssGKvssKAe 0 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：Kv = 0 ess = ，0型系統(tǒng)

32、無法跟蹤斜坡輸入型系統(tǒng)無法跟蹤斜坡輸入 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：Kv = K ess = A/ K， 有差跟蹤有差跟蹤型及型及型以上系統(tǒng)：型以上系統(tǒng)： Kv = ess = 0， 無差跟蹤無差跟蹤)()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGvvniimjjvk Attr)(71)()(lim)()(1lim2030sHsGsAsAsHsGsessss令令2020lim)()(lim vssasKsHsGsKassKAe 0 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Ka = 0 ess = 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Ka = 0 ess = 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Ka = K ess = A/ K 型

33、及型及型以上系統(tǒng)：型以上系統(tǒng)：Ka = ess = 0)()1()1()()()()()(011sGsKsTssKsNsMsHsGsGvvniimjjvk 2/)(2Attr72r(t)=A t系統(tǒng)系統(tǒng)型別型別ess=A/Kv 002A/K 173例例3-9 已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入 r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：圖（解：圖（a），型系統(tǒng)型系統(tǒng) Kp = ， Kv =10/4 ，Ka = 0 avpssKKKe66141圖（圖（b），型系統(tǒng)型系統(tǒng)Kp = ， Kv = ，Ka = 10/45 . 24/1066142sse 10s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）+10(s+1) s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）+74 所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號作用外，還經(jīng)常處于各種擾所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)作用之下。因此，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系動(dòng)作用之下。因此，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。統(tǒng)的抗干擾能力。 G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)D(s)+75解：（解：（1