同濟第六《高等數(shù)學》教案版第章不定積分

1、定 積 分教學目的：1、 理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。2、 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法(第一，第二)與分部積分法。3、 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。教學重點：1、不定積分的概念；2、不定積分的性質(zhì)及基本公式；3、換元積分法與分部積分法。教學難點：1、換元積分法；2、分部積分法；3、三角函數(shù)有理式的積分。§4 1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上 可導函數(shù)F(x)的導函數(shù)為f(x)即對任一 x I都有F (x) f(x)或 dF(x) f(x)dx那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在

2、區(qū)間I上的原函數(shù)例如 因為(sin x) cos x 所以sin x是cos x的原函數(shù)又如當x (1)時因為 (、x) 1 所以&是；的原函數(shù) 2Vx2 Vx提問：cos x和 還有其它原函數(shù)嗎?2 Vx原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù) 那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù) F(x)使對任一 x I都有F (x) f(x)簡單地說就是連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)兩點說明第一 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x)那么f(x)就有無限多個原函數(shù)F(x) C都是f(x)的原函數(shù)其中C是任意常數(shù)第二f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù) 則(x)

3、F(x) C (C為某個常數(shù))定義2在區(qū)間I上 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )在區(qū)間I上的不定積分記作f(x)dx其中記號稱為積分號f(x)稱為被積函數(shù)f(x)dx稱為被積表達式x稱為積分變量根據(jù)定義 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù) 那么F(x) C就是f(x)的不定積分即f(x)dx F(x) C因而不定積分 f(x)dx可以表示f(x)的任意一個原函數(shù)例1因為sin x是cos x的原函數(shù)所以cosxdx sinx C因為xx是的原函數(shù) 所以2、xdx x C2.x例2.求函數(shù)f (x) .dx ln( x) C (x<0) x合并

4、上面兩式得到1 , ,一一 一 dx ln|x| C (x 0)x例3設(shè)曲線通過點(1 2)且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍求此曲線的方程解設(shè)所求的曲線方程為y f(x)按題設(shè)曲線上任一點(x y)處的切線斜率為y f (x) 2x,即f(x)是2x的一個原函數(shù)因為 2xdx x2 C故必有某個常數(shù) C使f(x) x 2 C即曲線方程為y x 2 C因所求曲線通過點(1 2)故的不定積分 x解：當 x>0 時(ln x) x1 .dx In x C (x>0) x1 . . 1當 x<0 時ln( x) ( 1)-x x2 1 C C 1于是所求曲線方程為y x2

5、 i積分曲線函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線從不定積分的定義即可知下述關(guān)系ddx f(x)dx f(x)或 d f(x)dx f (x)dx又由于F(x)是F (x)的原函數(shù) 所以F (x)dx F(x) C或記作dFx) F(x) C以記號 表本)由此可見 微分運算(以記號d表示)與求不定積分的運算(簡稱積分運算 是互逆的當記號與d連在一起時或者抵消或者抵消后差一個常數(shù)二、基本積分表(1) kdx kx C(k 是常數(shù))(2) x dx ±x 1 C一 1 .(3) dx In |x| C x(4) exdx ex C(5) axdxaxIna(6) cosxdx

6、sin x C(7) sin xdx cosx C(8) 13dxsec2 xdx tanx Ccos2x12(9) 2dxcsc2xdxcotx Csin2x(10)(11)7dx arctan x C1 x2 dx arcsin x C-1 x2(12) secxtan xdx secx C(13) cscxcotdx cscx C(14)sh xdx ch x(15)ch xdx sh x+dxx 3dx12x2x2 i xdx5x2dx1572m 1-x2172x 77x xdxx3x43dx3113x 33 c3x C、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積分的和f

7、(x) g(x)dxf (x)dx g(x)dx這是因為，f(x)dxg (x)dx f(x)dx g(x)dx f(x)g(x).性質(zhì)2求不定積分時被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來7.1011kf (x)dx、.x(x2k f(x)dx(k是常數(shù)55)dx(x215x2)dxk 0)5xdx15x2 dx5x2dx 51 x2dx72 2x27(x 1)312 dxx32 2x2 3x3 3x2xdx 3dx2x3 1dxxjxx2dx(x 31x2 2(ex 3cosx)dxexdx3 cosxdx ex2xexdx(2e)xdx &e- Cln(2e)Udx x(1

8、 x2)"dx1dx xarctan x3x3ln|x|3sinx2xex C1 ln2ln|x| C4121(x24dx x(x2 1)(x2 1) 11 x2dx13tan2 xdx1 、，2 .5-)dx x dx1 x2,1.dx d dx1 x2arctan x C(sec2 x 1)dxsec2 xdx dxtan x x14 2 xsin2 xdx21 cosxdx1 ,2 (1 cosx)dxsin x)151sin2-cos,2dx心21,一dx 4cotx sin x§4 2換元積分法一、第一類換元法設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u) u (x)且(x)可微那么

9、根據(jù)復合函數(shù)微分法 有 d F (x) d F(u) F (u)du F (x) d (x) F (x) (x)dx 所以 F (x) (x)dx F (x) d (x) F (u)du d F(u) d F (x)因此 F (x) (x)dx F (x)d (x)F (u)du dF(u) dF (x) F (x) Cf (x) (x)dx f (x)d (x) f(u)duu (x)F(u) C u (x) F (x) C定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)u (x)可導則有換元公式f (x) (x)dx f (x)d (x) f(u)du F(u) C F (x) C被積表達式中的dx可當作變量x

10、的微分來對待從而微分等式(x)dx du可以應(yīng)用到被積表達式中在求積分g(x)dx時如果函數(shù)g(x)可以化為g(x) f (x) (x)的形式那么g(x)dx f (x) (x)dx f(u)duu (x)cos2xd(2x)例 1. 2cos2xdx cos2x (2x) dxcosudu sinu C sin 2x C例 2. -dx 1 -(3 2x)dx 1 -d(3 2x) 3 2x2 3 2x2 3 2x111_1-dx -ln|u| C -ln|3 2x| C 2 u 22222例 3. 2xex dx ex (x2) dxex d(x2)eudu2eu C ex C例 4. x

11、 ,1 x2dx 1 x2(x2) dx 1 d x2dx22' '21 <1 x2d(1 x2)1 u2du-u2 C22333(1 x2)2 C例 5. tanxdx sinx dxd cosxcosx cosx du ln|u| C uln|cos x| C即 tan xdx ln|cosx| C類似地可得cotxdx ln|sinx| C熟練之后變量代換就不必再寫出了6._1 a2-2-dx -2-x a 11dx(62 a7.1 xd 1 (勺2 aa1a2 x2dx,x .ch dxa例8.當a 0時,dx x2,a2x29.x1dx x2 a210.dx1a

12、rctan-1, x /arctan Cch -d a a1dxa.x arcsin a12a2a,x asha.1 (a)2da.x 八arcsin Ca-)dx x ad(x a)12aln|x a| ln|xiln2a x adx-dx x ad(x a)a| C ；1ln|"| C2a x ax(1 2ln x)dln x1 2ln xd(1 2lnx)1 2ln x1ln|1 2lnx| C11.2 e3,xd、x3 xd3、x含三角函數(shù)的積分2 a3 x3e C例 12.sin3xdxsin2x sin xdx(1 cos2x)dcosxd cosx cos2xd cos

13、xcosx13-cos3x C3例 13. sin2xcos5 xdxsin2xcos4xdsin x.22 、2.sin x(1 sin x) dsinx14.1 . 3 sin x32 . 5 sin x5 sin7 x C 71cos2xdx1 1( dx 2cos2xdx)21,1dx cos2xd2xx sin2x C2424(sin2 x 2sin4x sin6x)dsinxcos2 xdx15.cos4 xdx(cos2 x)2dx -2(1 cos2x)2dx12 c(1 2 cos2x cos2 2x)dx41 ,3 _1)dx一(一2cos2x 1cos4x4 '2

14、21(x sin2x 一sin4x) 4 2816.8xcos3xcos2xdx11 .sin 2x sin4x32(cosx cos5x)dx1 .sin x217.cscxdx-dx sin x1dx2sin cos-22di, x 2 x tan cos2 2d tan-2,xtan2ln |tan2x|C In |csc x cot x | Ccscxdx ln |csc x cot x |萬)cot(x 萬)| C18. secxdx csc(x )dx ln |csc(xIn |sec x tan x | Csecxdx ln |sec x tan x | C二、第二類換元法定理2

15、 設(shè)x 是單調(diào)的、可導的函數(shù)有換元公式并且(t) 0又設(shè)f (t)(t)具有原函數(shù)F(t)則f(x)dx f (t) (t)dt F F 1(x) C其中t(x)是x (t)的反函數(shù)這是因為F 1(x) F(喘f (t)2 uxdtf (t) f(x)例 19.求 Ja2 x2dx(a>0)解：設(shè) x a sin t那么,a2 x2_2_2_. 2.% a a sin tacostdx a cos t d t 于是.a2 x2dxacost acostdta2cos2 tdt a2(1t 21sin2t)因為 t arcsin x, sin2t a2sintcost 2- a. a2 x

16、2a所以a2(2t 4sin2t)緊 a2 x2 C解：設(shè) x a sin t t那么, a2 x2dx acost acostdtc cc 11a2 cos2tdt a2(-t 4sin2t)xC arcsin2 a%a2 x2 C、a2 x2提不：.a2 x2“a2 a2sin2t acost dx acos tdt提不：t arcsinx, sin2t 2sintcost 2 aa例 20.求,dx (a>0)v x2 a2解法設(shè)x a tan t - t 那么Jx2 a2 Ja2 a2tan2t aV1 tan2t a sec t dx a sec 2td t 于是dxaseC2

17、tdt、x2 a2asect因為sect 收a2tant -所以aasectdt ln |sec t tan t | Cdx,x2 a2- x .x2 a2一ln |sec t tan t | C ln(- ) C a aln(x . x2 a2) G其中C i C In a解法一設(shè)x a tan t 一 t 一 那么 22dxasectdt sectdt ln|sect tant| C asectln(X x2 a2) Ca aln(x、x2 a2) C1其中C i C ln a提示： .x2 a2、.a2 a2tan2t asect dx a sec2tdt提不：sect tan t -

18、aa解法二：設(shè)x a sh t那么dxC ln(xx2 a2) Ciachtdt dt t C arsh- Cach ta其中C i C In a提示：< x2 a2a2sh2t a2 a ch t dx a ch t d t例 23.求 , dx (a>0) x2 a2解：當x>a時設(shè)x a sec t (0 t )那么x2 a2. a2sec2t a2 a.sec2t 1 a tan t于是dt sectdt In |sec ttan t | C因為 tant asect i所以dx.x2 a2In |sec ttan t |ln|- a' x2 a2 | Cal

19、n(xx2 a2) Ci其中C i C In a當x<a時令x則u>a其中dx2 2 x adu、.u2 a2ln(u、u2 a2)ln( x vx2 a2)C ln( xx2 a2) C1In x 學 a2a2C ln( x . x2 a2)CiC i C 2ln a綜合起來有dx2 2 x aln|x . x2 a21 Cdx asect tant,x2 a2 atantdxdu, u2 a2In(u .u2 a2) CIn( x . x2 a2) C In xx2 a2 C a2解：當x>a時設(shè)x a sec t (0 t )那么_dx_asecttantdt sect

20、dt22 atant± x aIn( x x.x2 a2) C1其中 C i C 2In a提示：、x2 a2、, a2sec2t a2 a sec2t 1 atant提示：tant " a綜合起來有dx,x2 a2補充公式sect - aln|x ,x2 a2| C(16) tanxdx ln|cosx| CcotxdxIn |sin x|C(18) secxdxIn |secxtanx|C(19) cscxdxln|cscxcotx|C一 1.1. x -(20)工2dx -arctan C a2 x2a a(21) dx ；ln|2 C x2 a22a x a一 1x

21、 _(22) 22 dx arcsin - C.a2 x2a(23) dx2ln(x%x2a2)Cx a(24) dx2ln|x、x2a2|C% x a§4 3分部積分法設(shè)函數(shù)u u(x)及v v(x)具有連續(xù)導數(shù)那么 兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為(uv) u v uv移項得uv (uv) u v對這個等式兩邊求不定積分得uvdx uv u vdx 或 udv uv vdu這個公式稱為分部積分公式分部積分過程：uvdx udv uv vdu uv uvdx例 1 xcosxdx xdsinx xsin x sin xdx x sin x cos x C例 2 xexdx xdex xex

22、exdx xex ex Cx2exdx x2dex x2ex exdx2x2ex 2 xexdx x2ex 2 xdex x2ex 2xex 2 exdxx2ex 2xex 2ex C ex(x2 2x 2 ) C121 2 ,xlnxdxIn xdx2x2ln x222x21nx 2¥C,1 2.xdxx2lnx2例 8 求 sec3 xdxarccosxdx xarccosxxd arccosxxarccosx1.xdx,1 x2xarccosx112 (1 x2) 2d(1 x2)xarccosx . 1 x2 Cx2Lx2 dx1 2,x arctanx2111 (1 T)d

23、x求 exsinxdx1 2.x2arctanx211x arctan x C22所以因為 exsin xdxsinxdexexsin xexdsin xexsinxexsin xexcosxdxxe cosxexsin x excosxexsin x excosxexsin xdx 2ex(sin xexsinx cosxdexexd cosxexd cosxexsinxdxcosx) C,1. 21 2 1xarctanxdx arctanxdx2 1x2arctanx 一222解因為sec3xdxsecx sec2 xdx secxdtanxsecxtanx secxtan2xdxsec

24、xtanx secx(sec2x 1)dxsecxtanx sec3 xdx secxdxsecxtanx In |secx tanx| sec3xdx所以sec3 xdx1 ,2(secxtanx In |secx tanx|) C例9求1ndx其中n為正整數(shù)解 I12dx 2 arctan Cx2 a2a a當n 1時，用分部積分法有2dx x 2( n 1)xdx22 n 122 n 1 2(n 1)2 2n dxn n nnn(x a ) (x a )(x a )2 x2 1 2(n 1) 2 12 1 -2a 2 ndx22 n 122 n 122 n(x a )(x a ) (x

25、a )即 In 12 M n 12(n 1)(In1a")(x a )于是 In 一一 2 x2 n 1 (2n 3)In 1 n 2a2(n 1) (x2 a2)n 1n 1以此作為遞推公式并由I1 arctanC即可得In例 10 求 evxdx解令x t 2 則 dx 2tdt于e xdx 2 tetdt 2et(t 1) C 2e x( . x 1) Ce%xe xd( x)2 2 . xe 5d .x2，.xde,x 2 xe x 2 e xd ' x 2、.xe x 2e x C 2e 1（、.x 1） C第一換元法與分部積分法的比較：共同點是第一步都是湊微分f

26、(x) (x)dx f (x)d (x)令(x) u f(u)duu(x)v(x)dx u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)哪些積分可以用分部積分法？xcosxdxxexdxx2exdxxlnxdx arccosxdx xarctanxdxexsinxdxsedxdx2xe*dx e'dx2eudux2exdx x2dex x2exexdx2§44幾種特殊類型函數(shù)的積分、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù)即具有如下形式的函數(shù)：P(x)a0xna1xn1an 1xanQ(x)boxmbixm1bm ixbm其中m和n都是非負

27、整數(shù)aoaia2an及bobib2bm都是實數(shù)并且ao0bo0當n時稱這有理函數(shù)是真分式而當n m時稱這有理函數(shù)是假分式假分式總可以化成一個多項式與一個真分式之和的形式例如x3 x 1 x(x2 1) 112 d2 d x 2 dx 1 x 1 x 1真分式的不定積分求真分式的不定積分時如果分母可因式分解則先因式分解然后化成部分分式再積分x 3 x2 5xdxxhdxx 3(x 2)(x 3)dx)dxdx5 .六dx 6ln|x 3| 5ln|x 2| C x 2提示A B (A B)x ( 2A 3B)(x 2)(x 3) x 3 x 2A B 1 3A 2B 3A 6B 5(x 2)(x

28、 3)分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分求 *3dxx 2 x2 2x-dx 31 2x 232x 3x22 x211)dx2x 3提示x2x 22x 31 2(2x提示2x 2 .二dxx2 2x 331dxx2 2x 31 d(x2 2x 3)2x221n(x22) 3x2 2xx(x 1)1x(x 1)21dx x2x2x3)2 dxdx x(xx x22x 3(x 1)2dx,dx ln|x| 1)2d(x 1)(x 1)2 (、2)2arctan x_1 C21x2 2x 31-ln|x 1| - C x 11 x(x1)2x(x 1)2x(x 1) (x 1)21 x xx(x 1

29、)(x 1)2 x x 1 (x 1)2二、三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)其特點是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運算由于各種三角函數(shù)都可以用sin x及cos x的有理式表示故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x的有理式用于三角函數(shù)有理式積分的變換：把sin x、cos x表成tan-2的函數(shù)然后作變換u tan- 22 x1 tan2 -uduu2 12cosx cos2 sin2 -2 u2 2 se二2變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分1 sinx . -dxsin x(1匕吟sin xcosx)貝U sinx2u1 u2co

30、sx1 u2 x1 u22arctan udx 一 1Jduu2sin x(1 cosx)dx(1當)1 u2昌(1富)1 u21 u22(u-)du u1 ,u22(T2uln|u|) C2ln|tan /鵬）令u tan 2則1 sin x .dxsinx(1 cosx)1 u21(u2- 2u ln|u|)i2 -)duu為噬 tanfn|tanx|例如說明：并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分出2Jdx1 sinx 1 sinxd(1 sin x) ln(1 sin x) C三、簡單無理函數(shù)的積分無理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號消去例5求出dx x解設(shè)x

31、 1 u 即xu2 1則-x 1 .dxxf 2udu u2 12 (1arctanu) C2( . x 1dx13x2解設(shè)Vx 2 u即xdx13x23 (u 11 r-|V(x 2)2解設(shè)x(1 t6dx(1v'x)Vxdx3 x), x于是dx I6t5(1 t2)t36(6 x1(t2 1)t1 1 xdx x v xt22 得一dtt2 12 (12t ln|arctan . x 1) Cu3 2則-)du u3u2du33 x 2 In |16t5dtdt 6從而t2 dt d dt1 t2arctan6 x) C金dt (t2 1)22 1 x2. xIn練習dx2 co

32、sx解作變換x I，tan 一 則有2dx上Ldu1 uln|1 u|) C3x 2| C6(t arctant) C2t2dtcosx1 t2t2dx2 cos x2dt1 t22 E1 t212 dt3 t2131 (t32arctan3t C,3sin5 xdx cos xsin5 x-dxcos x2, , 1arctan(.33x tan )23x x2sin 4 x-：-d cos x4cos xcosxcosx1 dx 3x 23x 1x2 3x-dx 23x 1(x 2)( x17 dxx 2(1 cos2 x)24cos x1、，4)d cosx cos x13 cos3一d

33、x1)（六1 dx x 1d cosx)dx x 17ln|x 2| 4ln|x1|§4.5積分表的使用積分的計算要比導數(shù)的計算來得靈活、復雜 為了實用的方便往往把常用的積分公式匯集成表這種表叫做積分表所需的結(jié)果積分表一、含有ax b的積分求積分時可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單變形后在表內(nèi)查得dx ax1 ln|ax b|a2.(axb)(ax b) 1 C( 1)3.xax bdx1 ,.(ax b a2'bln|ax b|) C4.-2dx ax bb)2 2b(ax b) b2ln|ax b| C5.dxx(ax b)blnaxxdxx2(ax b)1bxa .

34、F In b2ax bx7.7.8.x(ax b)2x2(ax b)21b-dx -12 ln|ax b| bCa2ax bdx 4r ax b 2bln |ax b| Ca3ax b9.dxx(ax b)211 .n ln b(ax b) b2ax bx例1求 x一 (3x 4)2dx解這是含有3x 4的積分在積分表中查得公式bCax b 2dx 7-5- (ax 2b) . ax b C.ax b 3a2')-dx -1- ln|ax b|(ax b)2a2現(xiàn)在a 3、b 4于是x-dx - In|3x 4| (3x 4)293x 4二、含有Jax b的積分1. J ax bdx

35、v;(ax b)3 C 3a ,2.x - ax bdx ，(3ax 2b), (ax b)3 C 15a23.x2, ax bdx105a3(15a2x2 12abx 8b2) (ax b)3 C4.5.x2 dx ax b15a3(3a2x24abx 8b2) ax b C6.dx1b1nax b ，bC (b 0)7.8.9.x ax bdxx2、ax bax bdxxax bx2、含x2dxarctanax-b C (b 0)ax b a dxbx 2b x ax b2、ax b b ,dx x、ax bax b a dxxa2的積分2 x ax b潸2 aarctanx2.dx(x2

36、 a2)n 2(n 1)a2(x2 a2)n 12n 32(n 1)a2dx(x2 a2)n 13.dxx2 a22aln四、含有ax2b(a 0)的積分dxax2 b1. aarctan x.ab baxC (b、b0)C (b 0)2.x-dx ax2 b2nlax2 b| C3.4dx ax2 bdxax2 b4.5.dxx(ax2 b)dx-Inx22b | ax6.x2 (ax2 b)dx1bxC b|T dx ax2 b7.五、x3(ax2 b)|ax2 b|x212bx2dx(ax2含有b)22b(ax2 b) 2b1ax2 bdx六、含有2.3.4.5.6.7.ax2 bx c

37、 (a0)的積分a2 (a0)的積分dxx2 a2,x arsh一 aCiln(x、x2 a2) Cdx.(x2 ia2)3 a2 x2 a2x,(x2 a2)3x2 dx、x2 a2x2.(x2 a2)3dxx x2 a2x 222、x2 a2dxdxx2 x2 a2a2 Ca2-ln(xx2 a2) Cxx2 a21ln上 aln(x 、x2 a2) Ca2 a C |x|x2 a2 02 C a2x9.9.反a2dx 2xx2a2 a2-ln(x 7x2a2) Cdxx - 4x2 9解因為,xx.4x2 91 dx2 xjx2 崩3.所以這是含有 Jx2。2的積分這里a 3在積分表中查

38、得公式dx 1 , x2 a2 aInCx, x2 a2 a |x|于是 dx 121n x2 (3)2 3 c 1m 4x2 &_adx 2x<x2 a2 a-ln |x <x2 a21 C 3 cx.4x2 9 2 3|x|32|x|七、含有 Jx2 a2 (a 0)的積分2.dxx2 a2工arch兇G|x|-1In |xx2 a21 Cdx.(x2 a2)3xa2 x2a2 C3.C4. . x dx 1 C.(x2 a2)3x2 a25. y-xdx A'x2 a2 In |x Vx2a2| Cx2 a222116.x2,(x2 a2)3dxx1n|xx2 a2x2 a21八、含有 a2x2 (a 0)的積分rdx 1a 小7. j c c arccos Cx x2 a2 a |x|8. .dx 9 p2 Cdxa2 x2arcsinx Cadx.(a2 x2)3x