晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

1、晶體學(xué)基礎(chǔ)晶體學(xué)基礎(chǔ) 晶面間距晶面間距 倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣 三種典型的晶體結(jié)構(gòu)三種典型的晶體結(jié)構(gòu)晶面間距晶面間距(d)(d)：兩個相鄰的平行晶面間的垂直距離：兩個相鄰的平行晶面間的垂直距離。222adhkl對立方晶系而言：對立方晶系而言：一般是晶面指數(shù)數(shù)值越一般是晶面指數(shù)數(shù)值越小，其面間距較大，并小，其面間距較大，并且其陣點(diǎn)密度較大，而且其陣點(diǎn)密度較大，而晶面指數(shù)數(shù)值較大的則晶面指數(shù)數(shù)值較大的則相反。相反。晶面間距晶面間距晶面間距晶面間距( (d)d)公式：公式：立方晶系：四方晶系：正交晶系：222221alkhdhkl2222221clakhdhkl22222221clbkahdhkl晶面間距

2、晶面間距晶面夾角的計(jì)算公式晶面夾角的計(jì)算公式1 2121 2222222111222coshhk kl lhklhkl1 2121 2222222221112222222coshhk kl lachklhklacac立方晶系立方晶系正方晶系正方晶系d100(100)cbad200(200)(110)(110)(111)(102)晶面間距晶面間距(100) intersects with a at 1 b at (100) c at (200) intersects with a at 1/2 b at (200) c at (110) intersects with a at 1 b at 1

3、 (110) c at a001ad222(100)2a002ad222(200)2a011ad222(110)立方晶系中點(diǎn)陣常數(shù)與晶面的關(guān)系立方晶系中點(diǎn)陣常數(shù)與晶面的關(guān)系倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣1 1）倒易點(diǎn)陣概念）倒易點(diǎn)陣概念倒易點(diǎn)陣是一個古老的數(shù)學(xué)概念，最初德國晶體學(xué)家倒易點(diǎn)陣是一個古老的數(shù)學(xué)概念，最初德國晶體學(xué)家布拉未所采用，布拉未所采用，19211921年愛瓦爾德發(fā)展了這種年愛瓦爾德發(fā)展了這種晶體學(xué)表晶體學(xué)表達(dá)方法。達(dá)方法。正點(diǎn)陣：與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)，描述晶體中物質(zhì)的分布規(guī)正點(diǎn)陣：與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)，描述晶體中物質(zhì)的分布規(guī)律，是物質(zhì)空間或正空間。律，是物質(zhì)空間或正空間。倒易點(diǎn)陣：與晶體中的衍射現(xiàn)象相

4、關(guān)，描述的是衍射倒易點(diǎn)陣：與晶體中的衍射現(xiàn)象相關(guān)，描述的是衍射強(qiáng)度的分布，是倒空間。強(qiáng)度的分布，是倒空間。倒易點(diǎn)陣是由正點(diǎn)陣派生出的幾何圖像，是晶體點(diǎn)倒易點(diǎn)陣是由正點(diǎn)陣派生出的幾何圖像，是晶體點(diǎn)陣的另一種表達(dá)形式。可以將晶體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)與其電陣的另一種表達(dá)形式。可以將晶體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)與其電子或子或X X射線衍射斑點(diǎn)很好聯(lián)系起來。射線衍射斑點(diǎn)很好聯(lián)系起來。我們觀測到的衍射花樣實(shí)際上是滿足衍射條件的倒我們觀測到的衍射花樣實(shí)際上是滿足衍射條件的倒易點(diǎn)陣的投影。易點(diǎn)陣的投影。倒易點(diǎn)陣已成為解釋物質(zhì)衍射現(xiàn)象、揭示晶體結(jié)構(gòu)、倒易點(diǎn)陣已成為解釋物質(zhì)衍射現(xiàn)象、揭示晶體結(jié)構(gòu)、以及理論研究中不可缺少的手段和工具以及理論研

5、究中不可缺少的手段和工具倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣La3Cu2VO9晶體的電子衍射圖晶體的電子衍射圖倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣的定義假設(shè)給定一個基矢為假設(shè)給定一個基矢為a,b,ca,b,c的正點(diǎn)陣，則必然有一個倒易點(diǎn)的正點(diǎn)陣，則必然有一個倒易點(diǎn)陣與它相對應(yīng)，記倒易晶胞的基矢為陣與它相對應(yīng)，記倒易晶胞的基矢為a a* *,b,b* *,c,c* *，兩者之間，兩者之間的關(guān)系為：的關(guān)系為：*, *, *,()()()b ccaababca. b ca. b ca. b c分布將上式點(diǎn)乘分布將上式點(diǎn)乘a a，b b，c c得到：得到：aa*= bb*= cc*=1 ab*= ac*= ba*= bc*= ca*=

6、 cb*= 0daba ab bc cc c*c c* * a a, , c c* * b; b; c c* * =(=(a a, , b b構(gòu)成的平行四邊形的面積）構(gòu)成的平行四邊形的面積）/ /（晶胞體積）（晶胞體積） 1 /1 /d dabab001*(001)倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣正點(diǎn)陣正點(diǎn)陣 晶胞基矢：晶胞基矢： a, b, ca, b, c 點(diǎn)陣矢量：點(diǎn)陣矢量： 倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣 晶胞基矢：晶胞基矢： a a* *, b, b* *, c, c* * 倒易倒易點(diǎn)陣矢量：點(diǎn)陣矢量：它的端點(diǎn)是它的端點(diǎn)是hklhkl倒易陣點(diǎn)，如果倒易陣點(diǎn)，如果h,k,

7、lh,k,l取遍所有整數(shù)值，取遍所有整數(shù)值，既構(gòu)成無窮盡的倒易點(diǎn)陣，正如正空間點(diǎn)既構(gòu)成無窮盡的倒易點(diǎn)陣，正如正空間點(diǎn)陣矢量的端點(diǎn)處的陣點(diǎn)構(gòu)成正點(diǎn)陣一樣。陣矢量的端點(diǎn)處的陣點(diǎn)構(gòu)成正點(diǎn)陣一樣。uvwrabc*hklrabc1* Gaabbcc.Ga.aa ba cbabbbccacbcc1 1）單位是互為倒易的，正空間長度單位為）單位是互為倒易的，正空間長度單位為nm, nm, 倒易空間的倒易空間的 長度單位為長度單位為1/nm.1/nm.2 2）正點(diǎn)陣的晶胞形狀是互為倒易的，長軸變短軸，銳角變）正點(diǎn)陣的晶胞形狀是互為倒易的，長軸變短軸，銳角變 鈍角。鈍角。倒易點(diǎn)陣的作法倒易點(diǎn)陣的作法 首先求基矢

8、，然后利用基矢繪圖。首先求基矢，然后利用基矢繪圖。由由a,b,c,求求a*,b*,c*,*,*,*進(jìn)而求倒易點(diǎn)陣進(jìn)而求倒易點(diǎn)陣.sin1|*bcVaa同樣可求同樣可求 得得b*,c*。*cos|*babasinsincoscoscossinsin)()(sinsin|cos2*abcabccaccbVcaVbcVacVcbbaba同樣可求同樣可求 得得 *, *。正空間七大晶系在倒易空間它的晶系仍然不變。正空間七大晶系在倒易空間它的晶系仍然不變。正空間所有的矢量運(yùn)算正空間所有的矢量運(yùn)算-埸論，在倒易空間均能用。埸論，在倒易空間均能用。對于一種正點(diǎn)陣，其倒易點(diǎn)陣是唯對于一種正點(diǎn)陣，其倒易點(diǎn)陣是唯

9、一的，與基矢的選取無關(guān)一的，與基矢的選取無關(guān). . 正、倒點(diǎn)陣在晶體幾何中的關(guān)系正、倒點(diǎn)陣在晶體幾何中的關(guān)系 正、倒點(diǎn)陣在晶體幾何中的關(guān)系正、倒點(diǎn)陣在晶體幾何中的關(guān)系1 1）正點(diǎn)陣中的一個方向）正點(diǎn)陣中的一個方向uvwuvw 垂直與倒易點(diǎn)陣中的一個同垂直與倒易點(diǎn)陣中的一個同名晶面（名晶面（uvwuvw）* *, ,即即uvwuvw （uvwuvw）* *。 倒易點(diǎn)陣中的一個方向倒易點(diǎn)陣中的一個方向hklhkl * *垂直于正點(diǎn)陣中的同名晶垂直于正點(diǎn)陣中的同名晶面面(hkl). hkl(hkl). hkl* * (hkl (hkl) ) （證明）（證明）2 2）正點(diǎn)陣中，晶面（）正點(diǎn)陣中，晶面（

10、hklhkl）的面間距）的面間距d dhklhkl是其同名倒易矢量是其同名倒易矢量長度長度g ghklhkl的倒數(shù)，即的倒數(shù)，即d dhklhkl=1/g=1/ghklhkl; ; （證明）（證明） 倒易點(diǎn)陣中，晶面（倒易點(diǎn)陣中，晶面（uvwuvw）* *的面間距的面間距d duvwuvw* *是正點(diǎn)陣中同是正點(diǎn)陣中同名矢量長度名矢量長度r ruvwuvw的倒數(shù)，即的倒數(shù)，即d duvwuvw* *1/r1/ruvwuvw。課堂習(xí)題課堂習(xí)題 1. 試求出立方晶系試求出立方晶系111晶帶的倒易點(diǎn)陣平面。晶帶的倒易點(diǎn)陣平面。 解： 利用晶帶定律：HU+KV+LW=0 ，用試探法，根椐晶帶定律找出不

11、共線的的兩個倒易點(diǎn)。 代入晶帶定律檢證 ，利用公式計(jì)算兩倒易點(diǎn)對應(yīng)倒易矢量的長度和夾角。011110|2|*110222*011raaLKHr2122100111cos222222212121212121LKHLKHLLKKHH根椐點(diǎn)陣特征周期性，繪出晶帶其它的倒易點(diǎn)。根椐點(diǎn)陣特征周期性，繪出晶帶其它的倒易點(diǎn)。 課堂習(xí)題課堂習(xí)題已知兩個晶面（已知兩個晶面（h h1 1k k1 1l l1 1）, , （h h2 2k k2 2l l2 2）, ,即可利用晶帶軸定律，即可利用晶帶軸定律，求出晶帶軸。求出晶帶軸。 h1 k1 l1 h1 k1 l1u:v:w= h2 k2 l2 h2 k2 l2例

12、例（1 0 21 0 2）面與（）面與（3 4 23 4 2）面的晶帶軸計(jì)算。）面的晶帶軸計(jì)算。晶帶與倒易面晶帶與倒易面正空間正空間倒空間倒空間uvwr)(111lkh)(222lkh)(333lkh)(111lkh)(222lkh)(333lkh*)(uvw晶帶正空間晶帶正空間與倒空間對與倒空間對應(yīng)關(guān)系圖應(yīng)關(guān)系圖晶帶與倒易面晶帶與倒易面純金屬常見的晶體結(jié)構(gòu)純金屬常見的晶體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)結(jié)構(gòu)特點(diǎn): :以金屬鍵結(jié)合，失去外層電子的金屬離子與以金屬鍵結(jié)合，失去外層電子的金屬離子與自由電子的吸引力。無方向性，對稱性較高的密堆自由電子的吸引力。無方向性，對稱性較高的密堆結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。常見結(jié)構(gòu)常見結(jié)構(gòu)：體心

13、立方體心立方 bcc bcc Body-centered cubic面心立方面心立方 fccfcc Face-centered cubic密堆六方密堆六方 hcphcp Hexagonal close-packed體心立方體心立方1.晶胞原子數(shù)：晶胞原子數(shù)：每個晶胞包含的原子數(shù)每個晶胞包含的原子數(shù)目。目。BCC晶胞中晶胞中, 角上原子同時屬于角上原子同時屬于8個相鄰個相鄰的晶胞的晶胞,因而每個晶胞占因而每個晶胞占1/8；中心原子完；中心原子完全屬于這個晶胞。所以一個體心立方晶全屬于這個晶胞。所以一個體心立方晶胞所含的原子數(shù)為胞所含的原子數(shù)為 2個。個。 2.原子半徑：原子半徑：晶胞中相距最近的

14、兩個原晶胞中相距最近的兩個原子之間距離的一半子之間距離的一半, 或晶胞中原子密度最或晶胞中原子密度最大的方向上相鄰兩原子之間距離的一半大的方向上相鄰兩原子之間距離的一半稱為原子半徑稱為原子半徑(r)。BCC的的r與與a之間的關(guān)之間的關(guān)系為：系為： r 3/4a 原子位置原子位置 體心立方晶格的晶胞中體心立方晶格的晶胞中, ,八個原子處于立方體的角上八個原子處于立方體的角上, ,一個原一個原子處于立方體的中心子處于立方體的中心, , 角上八個原子角上八個原子與中心原子緊靠。與中心原子緊靠。 具有體心立方晶格的金屬有鉬具有體心立方晶格的金屬有鉬(Mo)(Mo)、鎢、鎢(W)(W)、釩、釩(V)(V

15、)、-鐵鐵(-Fe, (-Fe, 912)912)等。等。 體心立方晶胞特征：體心立方晶胞特征：晶格常數(shù)：晶格常數(shù)：a=b=c, =90a=b=c, =90 體心立方體心立方體心立方體心立方3.致密度：致密度：晶胞中所包含的原子晶胞中所包含的原子所占有的體積與該晶胞體積之比所占有的體積與該晶胞體積之比稱為致密度稱為致密度。致密度越大。致密度越大, 原子原子排列緊密程度越大。體心立方晶排列緊密程度越大。體心立方晶胞的致密度為：胞的致密度為：68 4.配位數(shù)：配位數(shù)：晶體結(jié)構(gòu)中任一原子晶體結(jié)構(gòu)中任一原子與最近鄰且等距離的原子數(shù)目與最近鄰且等距離的原子數(shù)目。BCCBCC：8 8個個體心立方體心立方原

16、子位置原子位置 立方體的八個頂角和體心立方體的八個頂角和體心 體心立方中原子排列體心立方中原子排列面心立方面心立方原子位置：立方體的八個頂角原子位置：立方體的八個頂角和每個側(cè)面中心和每個側(cè)面中心具有這種晶格的金屬有鋁具有這種晶格的金屬有鋁(Al)、銅、銅(Cu)、鎳、鎳(Ni)、金、金(Au)、銀、銀(Ag)、- 鐵鐵(-Fe, 912 1394 )等等面心立方中原子排列面心立方中原子排列(d)甲烷晶體甲烷晶體 四種具有面心立方點(diǎn)陣的晶體四種具有面心立方點(diǎn)陣的晶體 密堆六方密堆六方原子位置原子位置 1212個頂角、上下底心和體內(nèi)個頂角、上下底心和體內(nèi)3 3個個 在密堆六方晶格中密排面為在密堆六

17、方晶格中密排面為0001，密排方向?yàn)?，密排方向?yàn)榻饘伲烘V金屬：鎂(Mg)、鎘、鎘(Cd)、鋅、鋅(Zn)、鈹、鈹(Be)等等 三種晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)總結(jié)三種晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)總結(jié)其他材料的晶體結(jié)構(gòu)其他材料的晶體結(jié)構(gòu)將兩個原子為一組，滿足面心立方關(guān)系。將兩個原子為一組，滿足面心立方關(guān)系。側(cè)面原子不在中心側(cè)面原子不在中心面心正方面心正方三斜三斜晶體結(jié)構(gòu)對性能的影響晶體結(jié)構(gòu)對性能的影響1.1. 晶體結(jié)構(gòu)對性能的影響晶體結(jié)構(gòu)對性能的影響Contrast in mechanical behavior of (a) aluminum (relatively ductile) and (b) magnesium (re

18、latively brittle) resulting from the atomic-scale structureComparison of crystal structures for (a) aluminum (FCC) and (b) magnesium (HCP).成分成分晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)硬度硬度導(dǎo)電性導(dǎo)電性加工性能加工性能金剛石金剛石C立方晶系立方晶系高高不導(dǎo)電不導(dǎo)電差差石墨石墨C六方晶系六方晶系低低導(dǎo)電導(dǎo)電好好晶體結(jié)構(gòu)對性能的影響晶體結(jié)構(gòu)對性能的影響ABCCBBBBCC CCCBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACCBAA （111）面原子排列平面示

19、意圖110A層原子緊密排列，第二層可排B與C位置，但不可在第二層上同時排B與C位置BBB面心結(jié)構(gòu)原子堆垛示意圖面心結(jié)構(gòu)原子堆垛示意圖密排六方結(jié)構(gòu)原子堆垛示意圖密排六方結(jié)構(gòu)原子堆垛示意圖體心結(jié)構(gòu)原子堆垛示意圖體心結(jié)構(gòu)原子堆垛示意圖B B BBBBAAAAAAAAAAAAAAAAA體心立方堆垛：密排面為（110） ABABAB不是最密排結(jié)構(gòu)BBBBAAAAAA111（110）面原子平面排列示意圖B B B B B B 晶體結(jié)構(gòu)中的間隙晶體結(jié)構(gòu)中的間隙晶體結(jié)構(gòu)中的間隙晶體結(jié)構(gòu)中的間隙1面心立方.八面體間隙：位置是立方體的正中心和每一個棱邊中心，其數(shù)目=1+121/4=4棱邊長設(shè)原子半徑為rA，間隙中能容納的最大圓球子半徑rB，則rB / rA = 0.414aaa222222晶體結(jié)構(gòu)中的間隙晶體結(jié)