小學(xué)奧數(shù)工程問題綜合教學(xué)總結(jié)

1、在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都 要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是一一工作量=工作效率*時間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.舉一個簡單例子.:一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.問兩人合作幾天 可以完成？一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作 1.所謂工作效率，就是單位時間內(nèi)完 成的工作量，我們用的時間單位是“天”，1天就是一個單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到工作效率X工作時間=工作總量二6 （天）答：兩人合作需要 6天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許

2、多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的。為了計算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計算） ，如第三講例3和例8所用方法，把工作量多 設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30。設(shè)全部工作量為 30份，那么甲每天完成 2份，乙每天完成 3份，兩人合作所需天數(shù)是 ：30+ （2+ 3 ） = 6 （天）如果用數(shù)計算，更方便.3: 2.或者說“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是 10 :15=2 : 3工程問題方法總結(jié):基本數(shù)量關(guān)系：工效X時間二工作總量 二：基本特點(diǎn)：設(shè)工作總量為“1”，工效=1/時間三：基本方法：算術(shù)方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：類型與

3、方法：一：分做合想：1.合想，2.假設(shè)法，3.巧抓變化（比例）,4.假設(shè)法。二：等量代換：方程組的解法一代入法，加減法。三：按勞分配思路：每人每天工效一每人工作量一按比例分配四：休息請假：方法：1.分想：劃分工作量。2.假設(shè)法：假設(shè)不休息。五：休息與周期：1 .已知條件的順序：先工效，再周期，先周期，再天數(shù)。1.1. 數(shù)：近似天數(shù)，準(zhǔn)確天數(shù)。3.列表確定工作天數(shù)。六七八九十交替與周期：估算周期，注意順序！注水與周期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。工效變化。比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運(yùn)用，4.假設(shè)法思想（周期）。牛吃草問題：1.新生草量，2.原有草量，3

4、.解決問題。工程問題.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也需時間是因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于 整數(shù)化”或從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些.兩個人的問題標(biāo)題上說的 兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊(duì)等等的兩個集體 伊M一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先做了 3天，余下的工 作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：把這件工作看作1,甲每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的1/3。乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-1/3） +1/6=4 （天）答：乙需要做4天可完成全部工作.

5、解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份. 乙完成余下工作所需時間是（18- 2 + 3= 4 （天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6 ： 9= 2 ： 3.甲做了 3天，相當(dāng)于乙做了 2天.乙完成余下工作所需時間是 6-2=4 （天）. 伊2 一件工作，甲、乙兩人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲離開了，由乙繼 續(xù)做了 40天才完成如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？解：共做了 6天后，原來，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做。天，乙做40= （24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率如果乙獨(dú)

6、做，所需時間是50天如果甲獨(dú)做，所需時間是75天答：甲或乙獨(dú)做所需時間分別是75天和50天.酬3某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作， 需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做 42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？ 解：先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15 （天），乙要多做48-28=20 （天），由此得出甲的甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了 63-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28= 56 （天）.答：乙還需要做 56天. 伊H 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完

7、成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲 隊(duì)休息了 2天，乙隊(duì)休息了 8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？ 解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天）.答：從開始到完工共用了 11天.解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì) 單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作（30- 3 & 1 1） + （3+1） = 1 （天）.解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天后，還余下（甲隊(duì)）10-8= 2 （天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做2q=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還

8、余下（乙隊(duì)）6-2=4 （天）工作量.4=3+1 ,其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作 1天.解四：方法：分休合想（題中說甲乙兩隊(duì)沒有在一起休息，我們就假設(shè)他們在一起休息.）甲隊(duì)每天工作量為1/10,乙為1/30,因?yàn)榧仔菹⒘?2天，而乙休息了 8天，因?yàn)?>2,所以我們假設(shè)甲休息兩天時，乙也在休息。那么甲開始工作時，乙還要休息：8-2=6（天）那么這6天內(nèi)甲獨(dú)自完成了這項(xiàng)工程的1/10 >6=6/10,剩下的工作量為1-6/10=4/10,而這剩下的4/10為甲乙兩人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作：（4/10）（鋁10+1/30）=3天。所以從

9、開始到完工共需：8+3=11（天） 伊5一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做 20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了 3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開始到完成共用了 16天.問乙隊(duì)休息了多少天？ 解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是（1及0） X16+ （1與0） X16=4/3由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是4/3-1=1/3乙隊(duì)休息期間未做的工作量是1/3-1/20 3=11/60乙隊(duì)休息的天數(shù)是11/60葉1/30）=11/2答：乙隊(duì)休息了 5天半.解二：設(shè)全部工作量為 60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊(duì)休息期間未做的工作量是（3+2） X16- 60=

10、20 （份）.因此乙休息天數(shù)是（20- 3 彩）+ 2= 5.5 （天）.解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天.如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是 16-6-4.5=5.5 （天）. 伊6有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要 10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單 獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作， 那么這兩 項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每

11、天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4落）份.由張、李合作需要（60-4X8） + （4+3） =4 （天）.8+4=12 （天）.答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天. 伊7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完成3X 0.8 + 2 0.9= 4.2 （份）.因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（30-3X8） + （4.2-3）

12、 =5 （天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成雞兔同籠”型問題. 伊8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時快如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時？解：乙6小時單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時完成的工作量是兩人合作6小時，甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時每小時完成的工作量 甲單獨(dú)做這件工作需要的時間是 答：甲單獨(dú)完成這件工作需要 33小時.這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了整數(shù)化”的處理.但是，整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉.多人的工程問題我們說的多人，至少有 3個人，當(dāng)然多人問題要比 2人問題復(fù)雜一些，但是

13、解題的基本 思路還是差不多. 伊9 一件工作，甲、乙兩人合作 36天完成，乙、丙兩人合作 45天完成，甲、丙兩人 合作要60天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是 1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合彳每天完成 5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合彳每天完成 3份請試一試，計算是否會方便些？ 伊M0一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天這件工作由甲先做了 若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做

14、的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3X2=6 （天）.說明甲做了 2天，乙做了 2刈二6 （天），丙做2X6=12（天），三人一共做了2+6+12=20 （天）.答：完成這項(xiàng)工作用了 20天.本題整數(shù)化會帶來計算上的方便.12, 18, 24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.總共用了 伊M1 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天， 或者由甲、乙兩人合作1天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙

15、的工作效率的4妥=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工 作效率的3倍.他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要答：甲獨(dú)做需要26天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3 ： 2 ： 1,就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.伊M2某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組 4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項(xiàng)工作？解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是 1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完

16、成這項(xiàng)工作.解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能 完成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).aM3制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要 6天就能完 成.乙車間與丙車間一起做，需要 8天才能完成.現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比 乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了 4

17、200個零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為 30份.甲每天完成3份，甲、乙 一起每天完成5份，由此得出乙每天完成 2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8X2=16 （份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是 16 ： 14=8 ： 7.已知甲、乙工作效率之比是3 ： 2= 12 ： 8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 ： 8 ： 7.當(dāng)三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是2400 + （12- 8） X 7= 4200 （個）.伊M4搬運(yùn)一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B,甲在A倉庫、乙在

18、B倉庫同時開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又 轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？解：設(shè)搬運(yùn)一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2,所需時間是答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時，幫助乙搬運(yùn)5小時.解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個倉庫的時間.本題計算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個倉庫全部工作量為60.甲每小時搬運(yùn) 6,乙每小時搬運(yùn)5,丙每小時搬運(yùn)4.三人共同搬完，需要60 >2 + （6+ 5+ 4） = 8 （小時）.甲需丙幫助搬運(yùn)（60- 6 X8） + 4= 3 （小時）.乙需丙幫助搬運(yùn)（60- 5 X8） F= 5 （小時）.三、水管

19、問題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題， 不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同. 例15甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后 打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？解：甲每分鐘注入水量是：（1-1/9 X 3） +10=1/15乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45因此水池容積是：0.6 +（1/15-2/45） =27 （立

20、方米）答：水池容積是27立方米.例16有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在打開其中若干根水管，經(jīng)過預(yù)定的時間的1/3,再把打開的水管增加一倍，就能按預(yù)定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？分析：增開水管后，有原來2倍的水管，注水時間是預(yù)定時間的1-1/3=2/3, 2/3是1/3的2倍，因此增開水管后的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。設(shè)水池容量是1,前后兩段時間的注水量之比為：1:4,那么預(yù)定時間的1/3 （即前一段時間）的注水量是 1/ （1+4） =1/5o10根水管同時打開，能按預(yù)定時間注滿水，每根水管

21、的注水量是1/10,預(yù)定時間的1/3,每根水官的注水量是 1/10 X1/3=1/30要注滿水池的1/5,需要水管1/5避/30=6 （根）解：前后兩段時間的注水量之比為：1 : （1-1/3 ） +1/3 X2=1 : 4前段時間注水量是： 1 + （1+4 ） =1/5每根水管在預(yù)定 1/3的時間注水量為：1 +10 X1/3=1/30開始時打開水管根數(shù)：1/5 +1/30=6 （根）答：開始時打開6根水管。例17蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要 5小時.要排光一池水，單開乙管需要4小，丁管需要6小時，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按

22、甲、乙、丙、丁、甲、乙的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？分析：,否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出以后（20小時），池中的水已有此題與廣為流傳的 青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？ 看起來它每小時只往上爬 3- 2= 1 （尺），但爬了 27小時后，它再爬1小時，往上爬了 3尺 已到達(dá)井口 .因此，答案是28小時，而不是30小時.例18 一個蓄水池，每分鐘流入 4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池 水放空，如果打開 8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開

23、13個水龍頭，問要多 少時間才能把水放空？解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水4 >60= 240 （立方米）.時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240 +（ 5X 150- 8 9怎）=8 （立方米），8個水龍頭1個半小時放出的水量是8 >8 90,其中90分鐘內(nèi)流入水量是 4 X90,因此原來水池中存有水8 X8 >90-4 >90= 5400（立方米）.打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8X13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的5400,需要5400 工 8 X13- 4） =54 （分鐘）.答：才T開

24、13個龍頭，放空水池要 54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是 先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開 C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A, B兩管，4小時可將 水排空.問打開B, C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的水量為 1.A管每小時排出A管4小時排出因此，B, C兩管齊開，每小時排水量是B, C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是答：B, C兩管齊開要 4小時48分才將滿池水排完.本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）

25、和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣 .這里把兩種水量分別設(shè)成“1'但這兩種量要避免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本普遍算術(shù)一書，書中提出了一個 牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例 18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.例20有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？ 解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量

26、葉頭數(shù)H期數(shù).根據(jù)這一計算公式，可以設(shè)定 頭 牛每星期吃草量”作為草的計量單位.原有草+4星期新長的草=12X4.原有草+9星期新長的草=7X9.由此可得出，每星期新長的草是(7X9-12 沖)+ (9-4) =3.那么原有草是7 M-3 刈=36 (或者 12 >4-3 沖).對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是這些草能讓90X7.2 18=36 (頭)牛吃18個星期.答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不一樣.例20把 新長的”具體地求出來，把 原有的”與 新 長的”兩種量統(tǒng)一起來計算.事實(shí)上，如果例19再有一個條件，例如： 打開B管，10小時 可以將滿池水排空.也就可以求出 新長的”與原有的”之間數(shù)量關(guān)系.但僅僅是例19所求， 是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個例子.例21畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一多.如果開3