第3章 一階邏輯

1、1第第2 2章章 命題邏輯命題邏輯( (復習復習) )2.3 2.3 范式范式2.4 2.4 命題邏輯推理理論命題邏輯推理理論第第3 3章章 一階邏輯一階邏輯( (新課新課) )3.1 3.1 一階邏輯基本概念一階邏輯基本概念3.2 3.2 一階邏輯等值演算一階邏輯等值演算p范式與數字邏輯中化簡邏輯函數的關聯(lián)范式與數字邏輯中化簡邏輯函數的關聯(lián)p命題邏輯推理如何用計算機實現命題邏輯推理如何用計算機實現2離散數學知識框架離散數學知識框架( (應用型應用型) )p邏輯：研究思維的邏輯：研究思維的規(guī)律性。規(guī)律性。p學習和工作時時處學習和工作時時處處離不開處離不開“邏輯邏輯”。p數理邏輯：研究推數理邏輯

2、：研究推理、計算等邏輯問題。理、計算等邏輯問題。p在離散數學中數理在離散數學中數理邏輯的內容一般包括邏輯的內容一般包括命題邏輯和一階邏輯。命題邏輯和一階邏輯。命題邏輯和一階邏輯命題邏輯和一階邏輯33離散數學與其他課程的關系離散數學與其他課程的關系高等高等代數代數數學數學分析分析概率概率統(tǒng)計統(tǒng)計算法設計算法設計與分析與分析算法與數算法與數據結構據結構編譯技術編譯技術網絡技術網絡技術軟件工程軟件工程人工智能人工智能p基礎數學的延伸基礎數學的延伸p算法與數據結構算法與數據結構 的理論基礎的理論基礎p概率統(tǒng)計、算法概率統(tǒng)計、算法 設計與分析的理設計與分析的理 論基礎論基礎p其他專業(yè)課程的其他專業(yè)課程的

3、 描述和建模工具描述和建模工具離散離散數學數學4pqr0001000111010100111110001101001101011111主析取范式主析取范式( (由真值為由真值為1 1對應的最小項析取組成對應的最小項析取組成) )：m001 m011 m100 m111=( p ( p (p (p ) ), , , ,( (74313 m5p與數字邏輯的關聯(lián)與數字邏輯的關聯(lián)-邏輯函數的邏輯函數的 “ “與或與或”式化簡式化簡CBADCACBCDBF)13,12,11,10, 8 , 5 , 3 , 2(4mBADC00110110001101100 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

4、1 1 1 CBADBABCCBADBACBF數字邏輯：用二進制為基礎的數字化技術解決邏輯問題數字邏輯：用二進制為基礎的數字化技術解決邏輯問題6下列命題推理如何用計算機進行驗證下列命題推理如何用計算機進行驗證前提前提: p q, qr, ps, s結論結論: r(p q) )證明證明 ： ps 前提引入前提引入 s 前提引入前提引入 p 拒取式拒取式 p q 前提引入前提引入 q 析取三段論析取三段論 qr 前提引入前提引入 r 假言推理假言推理 r(p q) ) 合取合取則：則：推理正確，推理正確， r(pq)是有效結論是有效結論7定理定理2.8 由前提由前提A1, A2, , Ak 推出推

5、出B 的推理正確當且僅的推理正確當且僅當當 A1 A2 AkB 為重言式為重言式.定義定義2.9 真值表真值表: 命題公式在所有可能的賦值下的取值的列命題公式在所有可能的賦值下的取值的列表含表含n個變項的公式有個變項的公式有2n個賦值。個賦值。定義定義2.10 重言式重言式(永真式永真式): 無成假賦值的命題公式無成假賦值的命題公式定義定義2.8 設設p1, p2, , pn是出現在公式是出現在公式A中全部的命題中全部的命題變項變項, 給給 p1, p2, , pn指定一組真值指定一組真值, 稱為對稱為對A的一個的一個賦值賦值或或解釋解釋.使公式為真的賦值稱作使公式為真的賦值稱作成真賦值成真賦

6、值, 使公式為假使公式為假的賦值稱作的賦值稱作成假賦值。成假賦值。p相關知識點相關知識點8p q r sEp q r sE0 0 0 011 0 0 010 0 0 111 0 0 110 0 1 011 0 1 010 0 1 111 0 1 110 1 0 011 1 0 010 1 0 111 1 0 110 1 1 011 1 1 010 1 1 111 1 1 11 B)( )()()(4321qprssprqqpEAAAA p若要證明若要證明E是永真式，只需編寫程序實現如下功能：是永真式，只需編寫程序實現如下功能：對于變元對于變元 p,q,r,s的所有賦值，驗證的所有賦值，驗證E的

7、取值是否均為的取值是否均為1即可。即可。9#include stdio.hmain() int p,q,r,s,A1,A2,A3,A4,B,E;/p,q,r,s是命題變元是命題變元,A1,.,A4是前提，是前提，B是結論是結論,E是是A1A2 A3 A4 B int yh(int p,int q)/計算蘊涵命題計算蘊涵命題pq的值的值return !p|q;/應用蘊涵等值式：應用蘊涵等值式：pqp qfor(p=0;p=1;p+) /p,q,r,s四重循環(huán)實現所有賦值情況四重循環(huán)實現所有賦值情況 for (q=0;q=1;q+) for(r=0;r=1;r+) for(s=0;s=1;s+)

8、int result=1; /result作為標志，取值為作為標志，取值為1推理有效，取值為推理有效，取值為0推理無效推理無效 A1=p|q;A2=yh(q,r); A3=yh(p,s);A4=!s;/A1,.A4是前提是前提 B=r&(p|q);/B是結論是結論 E=yh(A1&A2&A3&A4,B) if (result=1) printf(所給推理有效所給推理有效!); else printf(所給推理無效所給推理無效!);if (E=0) /成假賦值出現成假賦值出現 result=0;break; /推理無效，結束賦值結果的檢查即結束循環(huán)推理無效，結束賦值結果的檢查即結束循環(huán) B)(

9、)()()(4321qprssprqqpEAAAA 11一階邏輯的內容要點：謂詞和個體謂詞和個體量詞量詞一階邏輯公式一階邏輯公式置換規(guī)則置換規(guī)則一階邏輯等值式一階邏輯等值式推理理論推理理論一階邏輯前束范式一階邏輯前束范式123.1.1 命題邏輯的局限性命題邏輯的局限性3.1.2 個體詞、謂詞與量詞個體詞、謂詞與量詞n個體常項、個體變項、個體域、全總個體域個體常項、個體變項、個體域、全總個體域n謂詞常項、謂詞變項謂詞常項、謂詞變項n全稱量詞、存在量詞全稱量詞、存在量詞3.1.3 一階邏輯命題符號化一階邏輯命題符號化3.1.4 一階邏輯一階邏輯公式與分類公式與分類3.1 3.1 一階邏輯基本概念一

10、階邏輯基本概念(*)(* #)(*)133.1.1 3.1.1 命題邏輯的局限性命題邏輯的局限性考慮下述數學中公認的正確推理考慮下述數學中公認的正確推理:凡偶數都能被凡偶數都能被2整除整除, 6是偶數是偶數, 所以所以6能被能被2整除整除.令令 p: 凡偶數都能被凡偶數都能被2整除，整除， q: 6是偶數是偶數 r: 6能被能被2整除整除命題的符號化：命題的符號化：p q r 根據定理根據定理2.8 p q r 當且僅當當且僅當 (p q) r是永真式是永真式因為因為(p q) r不是永真式不是永真式所以不能得出所以不能得出p q r推理是有效的。推理是有效的。14。15 16例如例如 “若若

11、x是偶數是偶數, 則則x能被能被2整除整除.” p個體常項：個體常項：p個體變項：個體變項：p個體詞：個體詞：p個體域：個體域：3.1.2 3.1.2 個體詞與個體域個體詞與個體域1 1、個體詞、個體詞p個體詞個體詞: :所研究對象中可以獨立存在的具體或抽象的客體所研究對象中可以獨立存在的具體或抽象的客體p個體常項個體常項: : 表示具體事物的個體詞表示具體事物的個體詞, , 用用a a, , b b, , c c等表示等表示p個體變項個體變項: : 表示抽象事物的個體詞表示抽象事物的個體詞, , 用用x x, , y y, , z z等表示等表示p個體域個體域: : 個體變項的取值范圍個體變

12、項的取值范圍p : :宇宙間一切事物宇宙間一切事物X X、偶數和、偶數和2 2x可以是自然數集可以是自然數集N, N, , ,也可以是全總個體域也可以是全總個體域偶數和偶數和2 2全總個體域全總個體域172 2、謂詞、謂詞p謂詞謂詞: : 表示個體詞性質或相互之間關系的詞，謂詞表示個體詞性質或相互之間關系的詞，謂詞用用F,G,H,PF,G,H,P等表示等表示n謂詞常項謂詞常項: : 表示表示具體具體性質或相互之間關系的謂詞性質或相互之間關系的謂詞n謂詞變項謂詞變項: : 表示表示抽象抽象性質或相互之間關系的謂詞性質或相互之間關系的謂詞pn n元謂詞元謂詞P P( (x x1 1, , x x2

13、 2, , , x xn n) ): : 含含n n個命題變項的謂詞個命題變項的謂詞p0 0元謂詞元謂詞: :p一元謂詞一元謂詞: :p多元謂詞多元謂詞( (n n 2)2): :是定義在個體域上是定義在個體域上, , 值域為值域為0,10,1的的n n元函數元函數不含個體變項的謂詞不含個體變項的謂詞表示事物的性質表示事物的性質表示事物之間的關系表示事物之間的關系18p實例實例(1) 4是偶數是偶數 4是個體常項是個體常項, F: 是偶數是偶數 符號化為符號化為: F(4)(2) X是合數是合數 x是個體變項是個體變項, G: 是合數是合數 符號化為符號化為: G(x)(3) x y x,y是

14、個體變項是個體變項,H: 10, G(x): x0 -假命題假命題-真命題真命題34p實例實例例例 給定解釋給定解釋I I 如下如下: : (a) 個體域個體域 D=N (b) (c) (d) 謂詞謂詞說明下列公式在說明下列公式在 I 下的含義下的含義, 并討論其真值并討論其真值 2 axyyxgyxyxf ),(,),(yxyxF :),( 在在I下，公式解釋為：下，公式解釋為： x(2x=x)(2) x y(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x) x y(x+2=yy+2=x) (1) xF(g(x,a),x)-假命題假命題-假命題假命題35p閉式的性質閉式的性質定理定理3.1 閉式

15、在任何解釋下都變成命題閉式在任何解釋下都變成命題. ( (閉式閉式: : 不含自由出現的個體變項的公式不含自由出現的個體變項的公式) ) (1) xF(g(x,a),x) -閉式閉式(2) x y(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x) - -閉式閉式(3) x y zF(f(x,y),z) -閉式閉式(5) F(f(x,a), g(x,a) -不是閉式，不是命題不是閉式，不是命題(6) x (F(x,y)F(f(x,a), f(y,a) -不是閉式不是閉式,是命題是命題(4) xF(f(x,x),g(x,x) -閉式閉式xyyxgyxyxf ),(,),(yxyxF :),(36p一階

16、邏輯公式的分類一階邏輯公式的分類設設A是一個謂詞公式，若是一個謂詞公式，若A在在 下下均為真，則稱均為真，則稱A為永真式為永真式(有效式有效式)。若。若A在任何解在任何解釋下均為假，則稱釋下均為假，則稱A為永假式為永假式(矛盾式矛盾式)。若至少存。若至少存在一個解釋使在一個解釋使A為真，則稱為真，則稱A是可滿足式。是可滿足式。p在一階邏輯中在一階邏輯中, , 公式的可滿足性公式的可滿足性( (永真性永真性, ,永假性永假性) )是是 的的, ,即不存在算法能在有限步內判斷即不存在算法能在有限步內判斷任給的公式是否是可滿足式任給的公式是否是可滿足式( (永真式永真式, ,矛盾式矛盾式) )任何解

17、釋任何解釋不可判定不可判定37p代換實例代換實例定義定義3.9 設設A0是含命題變項是含命題變項p1, p2, ,pn的命題公式的命題公式, A1,A2,An是是n個謂詞公式個謂詞公式, 用用Ai處處代替處處代替A0中中的的pi(1 i n), 所得公式所得公式A稱為稱為A0的的代換實例代換實例.例例: 命題公式命題公式A0：A1 : A2 :A1 ： A2：A: 是是 的代換實例的代換實例pq xF(x) yG(y)代替代替p代替代替qpq xF(x)yG(y)定理定理3.2 永真式的代換實例都是永真式，永真式的代換實例都是永真式，矛盾式的代換實例都是矛盾式矛盾式的代換實例都是矛盾式. 38

18、p實例實例例例 判斷下列公式的類型判斷下列公式的類型:(1) x(F(x)G(x) -非永真式的可滿足式非永真式的可滿足式(2) ( xF(x) ( xF(x) -永真式永真式這是這是 p p 的代換實例的代換實例, p p是永真式是永真式, 取解釋取解釋I1, D1=R, :x是整數是整數, :x是有理數是有理數, 真命題真命題)(xF)(xG(3) ( xF(x)yG(y) yG(y) -矛盾式矛盾式這是這是 (pq) q的代換實例的代換實例, (pq) q是矛盾式是矛盾式取解釋取解釋I2, D2=R, :x是整數是整數, :x是自然數是自然數, 假命題假命題)(xF)(xG393.2 3

19、.2 一階邏輯等值演算一階邏輯等值演算3.2.1 一階邏輯等值式與置換規(guī)則一階邏輯等值式與置換規(guī)則n基本等值式基本等值式n置換規(guī)則、換名規(guī)則、代替規(guī)則置換規(guī)則、換名規(guī)則、代替規(guī)則3.2.2 一階邏輯前束范式一階邏輯前束范式403.2.1 3.2.1 一階邏輯等值式與置換規(guī)則一階邏輯等值式與置換規(guī)則定義定義3.10 若若AB是永真式是永真式, 則稱則稱A與與B是是等值等值的的, 記作記作AB, 并稱并稱AB為為等值式等值式基本等值式：基本等值式：p命題邏輯中基本等值式的代換實例命題邏輯中基本等值式的代換實例如如: xF(x)yG(y) 蘊涵等值式蘊涵等值式 ABA BxF(x)yG(y)p消去量

20、詞等值式消去量詞等值式 設設D=a1,a2,an xA(x)A(a1) A(a2) A(an) xA(x)A(a1) A(a2) A(an)41p基本等值式基本等值式( (續(xù)續(xù)) )量詞轄域收縮與擴張等值式量詞轄域收縮與擴張等值式 設設A(x)是含是含x自由出現的公式，自由出現的公式，B中不含中不含x的出現的出現關于全稱量詞的：關于全稱量詞的： x(A(x) B)xA(x) B x(A(x) B)xA(x) B x(BA(x)BxA(x) 在公式在公式 xA和和 xA中中, 稱稱x為指導變元為指導變元, A為相應量詞的轄域為相應量詞的轄域 x(A(x)B)xA(x)B42設個體域設個體域D=1

21、,2，則：，則： x(A(x)B) (A(1)B) (A(2)B)( A(1) B ) ( A(2) B)(A(1)B) (A(2)B)( A(1) A(2) B (A(1) A(2) B(A(1) A(2)B xA(x)Bp 如何理解如何理解 x(A(x)B)xA(x)B43p基本等值式基本等值式( (續(xù)續(xù)) )量詞轄域收縮與擴張等值式量詞轄域收縮與擴張等值式 設設A(x)是含是含x自由出現的公式，自由出現的公式，B中不含中不含x的出現的出現關于存在量詞的關于存在量詞的: x(A(x) B)xA(x) B x(A(x) B)xA(x) B x(BA(x)BxA(x) x(A(x)B)xA(x

22、)B44p基本等值式基本等值式( (續(xù)續(xù)) )量詞否定等值式量詞否定等值式設設A(x)是含是含x自由出現的公式自由出現的公式 xA(x) x A(x) xA(x) x A(x)量詞分配等值式量詞分配等值式 x(A(x) B(x)xA(x)xB(x) x(A(x) B(x)xA(x)xB(x)注意：注意： 對對 無分配律，無分配律， 對對 無分配律無分配律 45p 對對 無分配律，無分配律， 對對 無分配律無分配律 x(A(x) B(x)xA(x) xB(x)例：例：A(x)： B(x)： D：N x(A(x) B(x)xA(x) xB(x)例：例：A(x)： B(x)： D：N xA(x)xB

23、(x) x(A(x) B(x) x(A(x) B(x) xA(x) xB(x)x是奇數是奇數x是偶數是偶數左邊左邊=1 右邊右邊=0左邊左邊=0 右邊右邊=1x是素數是素數x是合數是合數46p等值演算的等值演算的3條規(guī)則條規(guī)則置換規(guī)則置換規(guī)則 設設 (A)是含公式是含公式A的公式的公式, (B)是用公式是用公式B取代取代 (A)中的所有中的所有A得到得到的公式的公式, 若若AB則則 (A) (B) 例：例： 設設 (A): xA(x) ( xA(x) 因為因為 xA(x) x A(x) 所以所以 ( xA(x) ( x A(x)47p等值演算的等值演算的3條規(guī)則條規(guī)則換名規(guī)則換名規(guī)則 將公式將

24、公式A中某量詞的指導變元及中某量詞的指導變元及其在轄域內的所有約束出現改成該量詞轄域其在轄域內的所有約束出現改成該量詞轄域內未曾出現的某個個體變項內未曾出現的某個個體變項, 其余部分不變其余部分不變, 記所得公式為記所得公式為A , 則則AA .例：例： uF(u,y,z) yG(x,y,z) uF(u,y,z) vG(x,v,z) 說明：說明： yG(x,y,z)中的約束變項中的約束變項y換名為換名為v48p等值演算的等值演算的3條規(guī)則條規(guī)則代替規(guī)則代替規(guī)則 將公式將公式A中某個自由出現的個體中某個自由出現的個體變項的所有自由出現改成變項的所有自由出現改成A中未曾出現的某中未曾出現的某個個體

25、變項個個體變項, 其余部分不變其余部分不變, 記所得公式為記所得公式為A , 則則AA。例：例： xF(x,u,z) yG(x,y,z) xF(x,u,z) yG(v,y,z) 說明：說明：G(x,y,z) 中的自由變項中的自由變項x用用v代替代替49p實例實例例例 消去公式中既約束出現、又自由出現的個體變項消去公式中既約束出現、又自由出現的個體變項(1) xF(x,y,z) yG(x,y,z) uF(u,y,z) yG(x,y,z) 換名規(guī)則換名規(guī)則 uF(u,y,z) vG(x,v,z) 換名規(guī)則換名規(guī)則或者或者 xF(x,u,z) yG(x,y,z) 代替規(guī)則代替規(guī)則 xF(x,u,z)

26、 yG(v,y,z) 代替規(guī)則代替規(guī)則(2) x(F(x,y) yG(x,y,z) x(F(x,y) tG(x,t,z) 換名規(guī)則換名規(guī)則或者或者 x(F(x,t) yG(x,y,z) 代替規(guī)則代替規(guī)則50p實例實例例例 設個體域設個體域D=a,b,c, 消去下面公式中的量詞消去下面公式中的量詞:(1) x(F(x)G(x) (F(a)G(a) (F(b)G(b) (F(c)G(c)(2) x(F(x)yG(y) xF(x)yG(y) 量詞轄域收縮量詞轄域收縮(F(a) F(b) F(c) (G(a) G(b) G(c) x(F(x,a) F(x,b) F(x,c)(3) x yF(x,y)

27、(F(a,a) F(a,b) F(a,c) (F(b,a) F(b,b) F(b,c) (F(c,a) F(c,b) F(c,c)51p實例實例解解 (F(f(2) G(2, f(2) (F(f(3) G(3, f(3)例例 給定解釋給定解釋I: (a) D=2,3, (b) (c) :x是奇數是奇數, : x=2 y=2, : x=y.在在I下求下列各式的真值下求下列各式的真值:(1) x(F(f(x) G(x, f(x) , 2)3(, 3)2(:fff),(yxG),(yxL)(xF(2) x yL(x,y) (1 1) (0 1) 1解解 yL(2,y) yL(3,y) (L(2,2)

28、 L(2,3) (L(3,2) L(3,3) (1 0) (0 1) 052p實例實例例例 證明下列等值式證明下列等值式: x(M(x) F(x) x(M(x) F(x)證證: x(M(x) F(x) x( M(x)F(x) 蘊涵等值式蘊涵等值式 x(M(x) F(x) x (M(x) F(x) 量詞否定等值式量詞否定等值式533.2.2 3.2.2 一階邏輯前束范式一階邏輯前束范式定義定義3.11 設設A為一個一階邏輯公式為一個一階邏輯公式, 若若A具有如下具有如下形式形式 Q1x1Q2x2Qkxk B，則稱則稱A為為前束范式前束范式, 其中其中Qi 為為 或或 , 1 i k, B為不含量

29、詞的公式為不含量詞的公式.例：例： x y(F(x)(G(y) H(x,y) x (F(x) G(x) x(F(x)y(G(y) H(x,y)x(F(x) G(x)-前束范式前束范式-非前束范式非前束范式54p公式的前束范式公式的前束范式定理定理3.3(前束范式存在定理前束范式存在定理) ) 一階邏輯中的任何公一階邏輯中的任何公式都存在與之等值的前束范式式都存在與之等值的前束范式例例 求公式的前束范式求公式的前束范式(1) xF(x)xG(x)解解1 xF(x) x G(x) 量詞否定等值式量詞否定等值式 x(F(x)G(x) 量詞分配等值式量詞分配等值式解解2 xF(x)yG(y) 換名規(guī)則

30、換名規(guī)則 xF(x) y G(y) 量詞否定等值式量詞否定等值式 x(F(x) y G(y) 量詞轄域擴張量詞轄域擴張 x y(F(x)G(y) 量詞轄域擴張量詞轄域擴張55 x(F(x)G(x) x y(F(x)G(y) )2()2() 1 () 1 ()2()2()1 ()2()2() 1 ()1 () 1 ()2()()1 ()()()()2()2() 1 () 1 ()2()2()1 () 1 ()()(GFGFGFGFGFGFGxFGxFxyGxFyxGFGFGFGFxGxFxD=1,2？5657(1)US規(guī)則規(guī)則(全稱量詞消去規(guī)則全稱量詞消去規(guī)則) 要求：要求： y不在不在A(x)

31、中以約束變元的形式出現。中以約束變元的形式出現。(2)ES規(guī)則規(guī)則(存在量詞消去規(guī)則存在量詞消去規(guī)則) 要求要求:（1）a是使是使A(x)為真的特定的個體常元為真的特定的個體常元.（2）個體常元）個體常元a不在不在A(x)和已經推導出的公式出和已經推導出的公式出現，除現，除x外，外，A(x)中無其他自由變元。中無其他自由變元。 xA(x)A(a)或或 xA(x)A(y) xA(x)A(a)58要求要求:（1）個體變元取遍整個個體域時，）個體變元取遍整個個體域時，A(y)均為真均為真（2）x不在不在A(y)中以約束變元的形式出現。中以約束變元的形式出現。要求要求:（1）x不在不在A(y)中以約束

32、變元的形式出現中以約束變元的形式出現（2）x不在不在A(a)中以約束變元的形式出現中以約束變元的形式出現5960 61pP P、E E、T T規(guī)則規(guī)則62(1)US (2)P (1)P規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則誤：誤：分析下面推導過程的錯分析下面推導過程的錯，例：設個體域是實數集例：設個體域是實數集) ), ,( () ), ,( (, ,: :) ), ,( (yyyPyxyPxyxyx 163(2)(4)T (5)(3)ES (4)P (3)(1)ES (2)P (1)Q(P規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則誤：誤：分析下面推導過程的錯分析下面推導過程的錯是負數，是負數，是正數，是正數，例：設

33、個體域是實數集例：設個體域是實數集) )( () )( () )( () )( () )( () )( (: :) ): :) )( (aQaPaQxxQaPxxPxxxx 64(1)UG x(2)P (1)P規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則誤：誤：分析下面推導過程的錯分析下面推導過程的錯，例：設個體域是實數集例：設個體域是實數集) ), ,( () ), ,( (, ,: :) ), ,( (xxxPyxxPyxyx 65假命題假命題，都有，都有對于任何實數對于任何實數規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則規(guī)則誤：誤：分析下面推導過程的錯分析下面推導過程的錯，例：設個體域是實數集例：設個體域是實數集 (3)E (4)

34、EG (3)(1)ES (2)P (1)P0202 xxxxxPxxxPxxxPxaxxPyxxPyyxyx: :) ), ,( () ), ,( () )( () ), ,( () ), ,( () ), ,( (: :) ), ,( (66R(x)x(Q(x)y)S(x,R(y)y(P(x)xy),S(x,y(Q(y)x(P(x)yx:y)S(x, Q 推理可表示為：相信是騙子，是教師是學生，體域，解：設個體域是全總個以教師都不是騙子。”學生都不相信騙子，所所有的老師，任何一個確性：“有些學生相信例：證明下列診斷的正xxRxxxxP:)(:)(:)(67 P y)S(x,R(y)y(P(x)x(6)(4)US x)S(a,(5)Q(x)(2)T y)S(a,y(Q(y)(4)(2)T (3)P(a)(1)ES y)S(a,y(Q(y)(2)P(a)P y)S(x,y(Q(y)x(P(x)(1)R(x)x(Q(x)y)S(x,R(y)y(P(x)xy),S(x,y(Q(y)x(P(x)規(guī)規(guī)則則規(guī)規(guī)則則：規(guī)規(guī)則則：規(guī)規(guī)則則：