新編實用物理8

1、波的能量波的能量能流密度能流密度8.5振動的合成振動的合成8.2機械波的產生和傳播機械波的產生和傳播8.3 平面簡諧波及波動方程平面簡諧波及波動方程8.4簡諧振動的描述方法簡諧振動的描述方法8.1波的疊加波的疊加8.6物體振動時，若決定其位置的坐標按余弦物體振動時，若決定其位置的坐標按余弦(或正弦或正弦)函數(shù)規(guī)律地隨時間變化，則這樣函數(shù)規(guī)律地隨時間變化，則這樣的振動稱為簡諧振動的振動稱為簡諧振動.以彈簧振子為例以彈簧振子為例. 把一輕質彈簧的一端固定，另一端系一質把一輕質彈簧的一端固定，另一端系一質量為量為m的物體，將它們放在光滑的水平面的物體，將它們放在光滑的水平面上上. 將物體稍微移動后，

2、物體就在彈力的作將物體稍微移動后，物體就在彈力的作用下來回自由振動，這整個系統(tǒng)就叫做彈用下來回自由振動，這整個系統(tǒng)就叫做彈簧振子或諧振子簧振子或諧振子. 設物體位置處于零處時，設物體位置處于零處時，物體在水平方向上不受力的作用，這個位物體在水平方向上不受力的作用，這個位置就叫做平衡位置置就叫做平衡位置. 設彈簧勁度系數(shù)為設彈簧勁度系數(shù)為k，由胡克定律可知，物，由胡克定律可知，物體所受到的彈性力體所受到的彈性力F與物體相對于平衡位與物體相對于平衡位置的位移置的位移x成正比，彈性力的方向與位移的成正比，彈性力的方向與位移的方向相反，始終指向平衡位置，故常稱此方向相反，始終指向平衡位置，故常稱此力為

3、回復力力為回復力. 于是于是F可表示為可表示為 (8-1)根據(jù)牛頓第二定律，做簡諧振動質點的微根據(jù)牛頓第二定律，做簡諧振動質點的微分方程可寫成分方程可寫成 (8-2)上式即簡諧振動的微分方程，其解為上式即簡諧振動的微分方程，其解為或或做簡諧振動的質點，它的速度和加速度都做簡諧振動的質點，它的速度和加速度都很容易得到，只要將式很容易得到，只要將式(7-3)對時間分別求對時間分別求導一次和求導兩次即可導一次和求導兩次即可 (8-5) (8-6)x-t、v-t和和a-t的圖像的圖像如圖所示如圖所示. 可以看出，可以看出，物體做簡諧振動時，物體做簡諧振動時，它的位移、速度和加它的位移、速度和加速度都是

4、周期性變化的速度都是周期性變化的. 振幅、周期振幅、周期(或頻率或頻率)和相位是描述簡諧振和相位是描述簡諧振動的三個重要的物理量，將它們稱為描述動的三個重要的物理量，將它們稱為描述簡諧振動的特征量簡諧振動的特征量. 1. 振幅振幅 振幅是指振動物體離開平衡位置的最大幅振幅是指振動物體離開平衡位置的最大幅度，在度，在SI中，單位為中，單位為m(米米). 在簡諧振動表在簡諧振動表達式，即式達式，即式(8-3)中，因為余弦函數(shù)的絕對中，因為余弦函數(shù)的絕對值不大于值不大于1，所以物體的振動范圍在，所以物體的振動范圍在+A和和-A之間之間. 2. 周期和頻率周期和頻率振動的特征之一是運動具有周期性，我們

5、振動的特征之一是運動具有周期性，我們把完成一次完整振動所經歷的時間稱為周把完成一次完整振動所經歷的時間稱為周期，常用期，常用T表示表示. 因此每隔一個周期，振動因此每隔一個周期，振動狀態(tài)就完全重復一次，即狀態(tài)就完全重復一次，即 (8-7)T的最小值應為的最小值應為T=2，所以，所以 (8-8)對于彈簧振子對于彈簧振子 (8-9)單位時間內物體所做完全振動的次數(shù)叫做單位時間內物體所做完全振動的次數(shù)叫做頻率，用頻率，用f表示表示. 頻率與周期的關系為頻率與周期的關系為 (8-10)由此還可知由此還可知 =2f即即等于物體在單位時間內所做完全振動等于物體在單位時間內所做完全振動次數(shù)的次數(shù)的2倍，倍，

6、叫做角頻率，單位是叫做角頻率，單位是rad/s至于彈簧振子的頻率，不難得知為至于彈簧振子的頻率，不難得知為 (8-11)利用利用T和和f，簡諧運動學方程可改寫為，簡諧運動學方程可改寫為 (8-12)對于角頻率對于角頻率和振幅和振幅A都已給定的簡都已給定的簡諧振動，它的運動狀態(tài)可用相位來表示諧振動，它的運動狀態(tài)可用相位來表示.當當振幅振幅A和角頻率和角頻率一定時，振動物體在任一一定時，振動物體在任一時刻相對于平衡位置的位移和速率都取決時刻相對于平衡位置的位移和速率都取決于物理量于物理量(t+)，相位清楚地反映了物體，相位清楚地反映了物體運動過程中的周期性運動過程中的周期性. 綜上，相位是描寫振綜

7、上，相位是描寫振動物體運動方程的一個重要物理量動物體運動方程的一個重要物理量. 常量常量是是t=0時刻的相位，稱為初相位，時刻的相位，稱為初相位，簡稱初相簡稱初相. 它是描寫振動物體初始時刻運動它是描寫振動物體初始時刻運動狀態(tài)的物理量狀態(tài)的物理量. 簡諧振動振幅簡諧振動振幅A的大小和相位的大小和相位的值都是由的值都是由初始狀態(tài)決定的初始狀態(tài)決定的. 當當t=0時有初始條件時有初始條件x=x0，v=v0，代入式，代入式(8-3)和式和式(8-5)可得可得(8-13)由此兩式可得由此兩式可得A，的解為的解為(8-14)(8-15)在在02之間對于式之間對于式(8-15)有兩個值，但初有兩個值，但初

8、相必須使式相必須使式(8-13)也成立，這樣就可以唯一也成立，這樣就可以唯一地確定初相位地確定初相位的值的值. 當一個系統(tǒng)振動時，它的振動能量包括動當一個系統(tǒng)振動時，它的振動能量包括動能和勢能能和勢能. 以彈簧振子為例，設物體的質量以彈簧振子為例，設物體的質量為為m，在某一時刻的速度為，在某一時刻的速度為v，則物體的動，則物體的動能是能是 . 再設這一時刻物體的位移即再設這一時刻物體的位移即彈簧的伸長為彈簧的伸長為x,彈簧的勁度系數(shù)是彈簧的勁度系數(shù)是k,則彈簧則彈簧彈性勢能為彈性勢能為 . 因此彈簧振子的振動能因此彈簧振子的振動能量是量是 在振動過程中，在振動過程中，v和和x都隨時間而變，所以

9、都隨時間而變，所以動能和勢能也隨時間而變化動能和勢能也隨時間而變化. 把把v和和x的方程式代入上式，得的方程式代入上式，得因因 ,或或 ,代入上式，得代入上式，得 這個結果表明，在振動過程中，動能和勢這個結果表明，在振動過程中，動能和勢能不斷地互相轉換，但總能量保持不變能不斷地互相轉換，但總能量保持不變. 這這個結論與機械能守恒定律相符個結論與機械能守恒定律相符. 從式從式(8-16)中還可以看出一個重要關系：對中還可以看出一個重要關系：對于一定的振動系統(tǒng)，于一定的振動系統(tǒng)，m和和k都是一定的，因都是一定的，因此振動的總能量與振幅的平方成正比此振動的總能量與振幅的平方成正比. 這個這個結論對于

10、一般的振動也是正確的結論對于一般的振動也是正確的. 設物體同時參與兩設物體同時參與兩個同方向、同頻率的簡個同方向、同頻率的簡諧振動，每個振動的位諧振動，每個振動的位移與時間關系可表示為移與時間關系可表示為 (8-17)利用振幅矢量法，其合運動仍是同頻率的利用振幅矢量法，其合運動仍是同頻率的簡諧振動簡諧振動 (8-18) (8-19)合振動的振幅取決于兩振動的相位差：合振動的振幅取決于兩振動的相位差：設設 (8-20)為簡單起見，設為簡單起見，設 若若 則有則有 (8-22)此簡諧振動的頻率與原來兩振動的頻率幾此簡諧振動的頻率與原來兩振動的頻率幾乎相等，即乎相等，即 而振幅隨時間變化為而振幅隨時

11、間變化為 由于振幅所涉及的是絕對值，因此其變化由于振幅所涉及的是絕對值，因此其變化周期由下式決定周期由下式決定 故振幅變化頻率故振幅變化頻率 (8-23)即兩頻率之差即兩頻率之差. 這一現(xiàn)象稱為拍，這一現(xiàn)象稱為拍，f稱為拍稱為拍頻頻. 當兩振動的振幅不等，即當兩振動的振幅不等，即A1 A2 時，時，也有拍現(xiàn)象，此時，合振幅仍有時大時小也有拍現(xiàn)象，此時，合振幅仍有時大時小的變化，但不會達到零的變化，但不會達到零. 振動系統(tǒng)可以同時參與方向互相垂直振動系統(tǒng)可以同時參與方向互相垂直的兩個振動，例如單擺就可以同時參與這的兩個振動，例如單擺就可以同時參與這樣的兩個振動樣的兩個振動. 設一個振動沿設一個振

12、動沿 x 方向，一個方向，一個沿沿 y方向，即方向，即 (8-24)二維振動的合成如圖所示二維振動的合成如圖所示. 如果如果 x 方向振動的頻率方向振動的頻率fx 和和 y 方向振方向振動的頻率動的頻率fy 不相等，則它們的合成振動為不相等，則它們的合成振動為 (8-25)當當x 與與y 呈呈整數(shù)比時，合振動整數(shù)比時，合振動的軌跡仍是一些閉的軌跡仍是一些閉合曲線，如下圖，合曲線，如下圖，稱為利薩如圖形稱為利薩如圖形. 當當x 與與y的比例一定時，相位差不的比例一定時，相位差不同，對應的曲線形狀和走向也不同同，對應的曲線形狀和走向也不同. 上圖給上圖給出了三種頻率比、五種初位相差的圖形出了三種頻

13、率比、五種初位相差的圖形. 當當x 與與y 不呈整數(shù)比時，合振動的不呈整數(shù)比時，合振動的軌跡不再是閉合曲線軌跡不再是閉合曲線. 利用利薩如圖形的這利用利薩如圖形的這些性質，可精確判定兩種頻率是否呈整數(shù)些性質，可精確判定兩種頻率是否呈整數(shù)比，并可據(jù)此由已知頻率確定未知頻率比，并可據(jù)此由已知頻率確定未知頻率. 1. 機械波產生的條件機械波產生的條件 當彈性介質中一個質點在其平衡位置當彈性介質中一個質點在其平衡位置附近振動時，由于介質中彈性力的作用，附近振動時，由于介質中彈性力的作用，引起鄰近質點的振動，而鄰近質點的振動引起鄰近質點的振動，而鄰近質點的振動又引起次鄰近質點的振動，這樣依次地將又引起次

14、鄰近質點的振動，這樣依次地將振動傳播開來振動傳播開來. 振動在介質中的傳播過程就振動在介質中的傳播過程就叫做波動叫做波動. 因此，機械波因此，機械波(或稱彈性波或稱彈性波)產生產生的條件是：要有彈性介質，當然，還需有的條件是：要有彈性介質，當然，還需有一個振源才行一個振源才行. 2. 波的種類波的種類橫波橫波質點的振動方向和質點的振動方向和波的傳播方向垂直的波稱為波的傳播方向垂直的波稱為橫波，如繩索上傳播的波橫波，如繩索上傳播的波. 具有切變彈性的介質能傳播具有切變彈性的介質能傳播橫波，金屬等固體能夠傳播橫波，金屬等固體能夠傳播橫波，而空氣和水則不能橫波，而空氣和水則不能. 繩上的波是在張力作

15、用下傳繩上的波是在張力作用下傳播橫波，張力提供橫向恢復播橫波，張力提供橫向恢復力力(見右圖見右圖). 縱波縱波質點振動方向質點振動方向和波傳播方向平行的波和波傳播方向平行的波稱為縱波，如空氣中的稱為縱波，如空氣中的聲波聲波. 具有體變彈性的具有體變彈性的介質能傳播縱波介質能傳播縱波. 一般一般介質都能傳播縱波，如介質都能傳播縱波，如空氣、水、金屬固體等空氣、水、金屬固體等(見右圖見右圖). 3.波速、波長和波的頻率波速、波長和波的頻率波速波速u在波傳播的介質中，各質點在振在波傳播的介質中，各質點在振動，振動狀態(tài)向前傳播的速度稱為波速動，振動狀態(tài)向前傳播的速度稱為波速. 它它是由介質性質決定的而

16、與振源無關是由介質性質決定的而與振源無關. 波長波長在振動的一個周期中，振動狀態(tài)在振動的一個周期中，振動狀態(tài)所傳播的距離稱為波長所傳播的距離稱為波長. 也可以說，波長也可以說，波長是相鄰的振動周相相同點之間的距離是相鄰的振動周相相同點之間的距離. 波的頻率波的頻率介質中每一質點依次重復著介質中每一質點依次重復著波源的振動，所以介質中各質點振動的頻波源的振動，所以介質中各質點振動的頻率與波源振動頻率相同，稱為波的頻率率與波源振動頻率相同，稱為波的頻率. 波速、波長和頻率間關系波速、波長和頻率間關系 (8-26)因為周期因為周期與角頻率與角頻率的關系為的關系為所以所以 (8-27)這里要特別注意區(qū)

17、別波速和質點振動的速這里要特別注意區(qū)別波速和質點振動的速度度. 如果波源做簡諧振動，則介質中各質點也如果波源做簡諧振動，則介質中各質點也將相繼做同頻率的簡諧振動，這樣形成的將相繼做同頻率的簡諧振動，這樣形成的波叫做簡諧波波叫做簡諧波. 如果波面為平面如果波面為平面,則這樣的則這樣的波稱為平面簡諧波波稱為平面簡諧波.如圖所示，設一簡諧波如圖所示，設一簡諧波沿沿x正方向傳播，已知在正方向傳播，已知在t時刻坐標原點時刻坐標原點O處振動位移的表達式為處振動位移的表達式為 (8-28)于是于是 P點的位移為點的位移為 (8-29)上式為簡諧波的運動學方程上式為簡諧波的運動學方程. 由于波是向右由于波是向

18、右傳播的，又稱為右行波傳播的，又稱為右行波. 由由 則簡諧波的運動學方程可寫成則簡諧波的運動學方程可寫成 (8-30)令令 于是式于是式(8-30)又可以寫成又可以寫成 (8-31)式式(8-29)、式、式(8-30)和式和式(8-31)都是簡諧波的都是簡諧波的方程方程. 簡諧波簡諧波運動學方程的物理意義：運動學方程的物理意義： 波的運動學方程是一個二元函數(shù)，位移既波的運動學方程是一個二元函數(shù)，位移既是時間是時間 t 的函數(shù)，又是位置的函數(shù)，又是位置 x 的函數(shù)的函數(shù). (1) 當當 x 一定，一定，y 僅為僅為 t 的函數(shù)，例如的函數(shù)，例如 x=x1 時，即盯住某一位置看，時，即盯住某一位置

19、看， (8-32)它表示它表示x=x1這一質點隨時間做簡諧振動這一質點隨時間做簡諧振動. 時時刻刻t和和t + T的振動狀態(tài)相同，說明波動過程的振動狀態(tài)相同，說明波動過程在時間上具有周期性，振動的在時間上具有周期性，振動的周期和周期和振幅振幅與波源相同，相位落后與波源相同，相位落后 (8-33)(2) t一定，且一定，且 y僅為僅為x的函數(shù)，當?shù)暮瘮?shù)，當t=t1時時 (8-34)表示表示任一時刻各質點離開平衡位置的位移任一時刻各質點離開平衡位置的位移分布分布. 由此可以看出，波動過程在空間上具由此可以看出，波動過程在空間上具有周期性，波長就是波動的空間周期有周期性，波長就是波動的空間周期. (

20、3) x，t都變都變，方程，方程表示在不同時刻各質點表示在不同時刻各質點的位移，即不同時刻的波形，體現(xiàn)了波的的位移，即不同時刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播，表明波形傳播和分布的時空周期性傳播，表明波形傳播和分布的時空周期性. 因此從形式上看，波動是波形的傳播；從因此從形式上看，波動是波形的傳播；從實質上看，波動是振動的傳播實質上看，波動是振動的傳播. (4)波速為波在媒質中傳播的速度，它是振波速為波在媒質中傳播的速度，它是振動相位在媒質中傳播的速度動相位在媒質中傳播的速度.波速對于各向波速對于各向同性媒質而言是一個常數(shù)，而各質元的振同性媒質而言是一個常數(shù)，而各質元的振動速度和加速度則是時間的函數(shù)，為

21、動速度和加速度則是時間的函數(shù)，為 (8-35) (8-36) (5)在空間中傳播的平面簡諧波的運動學方在空間中傳播的平面簡諧波的運動學方程程為為 (8-37)其中，其中，k稱為波矢，它是一個矢量，而它的稱為波矢，它是一個矢量，而它的絕對值就是波數(shù)絕對值就是波數(shù). 波動波動的過程是能量的傳播過程的過程是能量的傳播過程. 由于由于波的傳播，介質中的質點做振動，因此質波的傳播，介質中的質點做振動，因此質點具有動能；與此同時，任何一個小體積點具有動能；與此同時，任何一個小體積元內，都發(fā)生壓縮或伸張形變元內，都發(fā)生壓縮或伸張形變(縱波縱波)或切或切形變形變(橫波橫波)，因此該體積元具有形變勢能，因此該體

22、積元具有形變勢能. 動能和勢能的總和就是該體積元的總機械動能和勢能的總和就是該體積元的總機械能能. 設介質密度為設介質密度為，質元的體積為，質元的體積為V，其中，其中心的平衡位置坐標為心的平衡位置坐標為x，則平面簡諧波的波，則平面簡諧波的波函數(shù)為函數(shù)為可以證明，波線上任意體積元可以證明，波線上任意體積元V的動能的動能T和勢能和勢能V為為 (8-38) (8-39)體積元的總機械能為體積元的總機械能為 (8-40)由此見，由此見，體積元的動能和勢能是相等的體積元的動能和勢能是相等的，在在波傳到處振動質點的機械能是不守恒的波傳到處振動質點的機械能是不守恒的.由此可見波傳播過程中是伴有能量流動的由此

23、可見波傳播過程中是伴有能量流動的. 單位體積的機械能稱為波動的能量密度單位體積的機械能稱為波動的能量密度. 平平面簡諧波的能量密度為面簡諧波的能量密度為(8-41)能量密度是隨時間而改變的能量密度是隨時間而改變的. 能量密度在一能量密度在一周期內的平均值稱為平均能量密度周期內的平均值稱為平均能量密度(8-42)為了描述波動過程中能量的傳播，引入能為了描述波動過程中能量的傳播，引入能流密度的概念流密度的概念. 能流密度是在與波傳播方向能流密度是在與波傳播方向垂直的單位面積上，每單位時間所通過的垂直的單位面積上，每單位時間所通過的平均能量平均能量. 用用I來表示，能流密度為來表示，能流密度為 (8

24、-43)實驗實驗表明，當空間同時存在兩列或兩列以表明，當空間同時存在兩列或兩列以上的波時，每列波在傳播中將不受其他波上的波時，每列波在傳播中將不受其他波的干擾而保持其原有的干擾而保持其原有特性不變特性不變，而空間任，而空間任一點的振動位移則等于各列波單獨在該點一點的振動位移則等于各列波單獨在該點引起的振動位移的矢量和引起的振動位移的矢量和. 這一表述稱為波這一表述稱為波的的疊加原理疊加原理或惠更斯或惠更斯菲涅爾原理菲涅爾原理. 就就像振動疊加原理的基礎是振動動力像振動疊加原理的基礎是振動動力學方程和線性微分方程一樣，波疊加原理學方程和線性微分方程一樣，波疊加原理的基礎是波動方程的基礎是波動方程

25、. 介質介質中同時傳播著的兩列波相遇時，中同時傳播著的兩列波相遇時，在它們重疊區(qū)域的某些點振動始終加強，在它們重疊區(qū)域的某些點振動始終加強，某些點振動始終減弱，形成穩(wěn)定的疊加圖某些點振動始終減弱，形成穩(wěn)定的疊加圖樣，這種現(xiàn)象稱為樣，這種現(xiàn)象稱為波的干涉波的干涉. 能能產生干涉現(xiàn)象的必要條件稱為波的產生干涉現(xiàn)象的必要條件稱為波的相干條件相干條件. 滿足波的相干條件而產生干涉現(xiàn)滿足波的相干條件而產生干涉現(xiàn)象的兩列波稱為相干波象的兩列波稱為相干波. 產生相干波的波源產生相干波的波源稱為相干波源稱為相干波源. 如圖所示，假定振動的方向都垂直于紙面，如圖所示，假定振動的方向都垂直于紙面，由由S1、S2

26、發(fā)出的兩列波在空間發(fā)出的兩列波在空間 P點引起的點引起的振動各振動各為為根據(jù)根據(jù)波的疊加原理波的疊加原理， P點的合振動為點的合振動為 這是兩個同方向這是兩個同方向、同、同頻率振動的合成頻率振動的合成. 當兩振動的當兩振動的相位差相位差時，時， P點的振幅為點的振幅為 A1+ A2，振動加強，這，振動加強，這樣的點稱為干涉相長點樣的點稱為干涉相長點. 當相位差當相位差 時，時， P點的振幅為點的振幅為 |A1 - A2|，振動減弱，振動減弱，這樣的點稱為干涉相消點這樣的點稱為干涉相消點. 相位差等于其他值的點的振幅介于相位差等于其他值的點的振幅介于 A1+ A2 與與 |A1 - A2| 之間之間. 要要在空間維持穩(wěn)定的干在空間維持穩(wěn)定的干涉現(xiàn)象，各點的振幅應保持恒定涉現(xiàn)象，各點的振幅應保持恒定. 由此知，波的相干條件為：由此知，波的相干條件為： (1) 兩列波具有相同的頻率；兩列波具有相同的頻率； (2) 兩列波的相位相同，或相位差恒定；兩列波的相位相同，或相位差恒定； (3) 兩列波的振動方向相同兩列波的振動方向相同. 維持維持兩個波源滿足相干條件，特別是相位兩個波源滿足相干條件，特別是相位差條件很不易，常