勾股定理經(jīng)典例題詳解

1、勾股定理經(jīng)典例題詳解知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為：a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方關(guān)系的定理。（2）勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角。（3）理解勾股定理的一些變式：c2=(a+b)2-2abc2=a2+b2,a2=c2b2,b2=c2a2,知識(shí)點(diǎn)二：用面積證明勾股定理方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形圖（1）中2所以s+33）1和（3）2所小的兩個(gè)方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。圖（2）中2,所以一

2、口十6。方法三：將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成如圖形狀相同的正方形。在（3）1中，甲的面積=（大正方形面積）-（4個(gè)直角三角形面積）在（3）2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）一（4個(gè)直角三角形面積）所以，甲的面積二乙和丙的面積和，即：d=1+3方法四：如圖(4)所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。Dba(4亞3=2附+山所以!1知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理的作用1 .已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)求第三邊的關(guān)系；2 .已知直角三角形的一條邊，求另兩邊3 .用于證明平方關(guān)系的問題；4 .利用勾股定理，作出長(zhǎng)為4的線段。2.在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù)滿足不定方程X2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)(又稱

3、為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù))，顯然，以X,y,z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題是會(huì)有幫助的：3、4、55、12、13;8、15、17;7、24、25;10、24、26;9、40、41.如果(a,b,c)是勾股數(shù)，當(dāng)t0時(shí)，以at,bt,ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形。經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在RtAABC中，/C=90(1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c；(3)已知c=25,b=15,求a思路點(diǎn)撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。a=3解析：(1)在4ABC中,/C=90,a

4、=6,c=10,b=(2)在ABC中，/C=90,a=40,b=9,c=4+了=41(3)在ABC中，/C=90,c=25,b=15,a=V0=舉一反三【變式】多少？【答案】總結(jié)升華：有一些題目的圖形較復(fù)雜，但中心思想還是化為直角三角形來解決。如：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法,把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差或和。4:如圖/B=ZACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長(zhǎng)是./ACD=90AD=13,CD=12.AC2=AD2CD2=132122=25.AC=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2=52-32

5、=16：AB=4.AB的長(zhǎng)是4。類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在h43c中,乙5二6?？诹?70J5=30求：BC的長(zhǎng).當(dāng)題目中思路點(diǎn)撥油條件空二6廠，想到構(gòu)造含3。口角的直角三角形，為此作上3C于D,則有BD=-AB=A/班。二302,再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng).解析作金口,于D,則因60.上班）=9。凸-60口=3?？冢癆的兩個(gè)銳角互余）日日二工月右二15.2（在生中，如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.根據(jù)勾股定理，在蛇人4日門中，AD=步=93=15后O根據(jù)勾股定理，在取口中，3=1-乂3=65.犯=知口亡=85+15-0O總

6、結(jié)升華：利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用。沒有垂直條件時(shí)，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理舉一反三【變式1】如圖，已知：=90,AM=CM?MPLAB于p。求證:BFAPfCoBkcMA思路點(diǎn)撥：圖中已有兩個(gè)直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形。因此,我們考慮構(gòu)造一個(gè)以BP為一邊的直角三角形。所以連結(jié)BM.這樣，實(shí)際上就得到了4個(gè)直角三角形。那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系解析:連2gBM,根據(jù)勾股定理，在檢拓屹P中，.而在及&4Mp中，則根據(jù)勾股定理有MP2=AM,-AP2.又金朋二CM(已知)，.在比XBCW中，根據(jù)勾股定理有bm2-c

7、m2=sc【變式2】已知：如圖，/B=/D=90,/A=60,AB=4,CD=2.求:四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E。./A=/60,BB=90,E=30。：AE=2AB=8,CE=2CD=4,bBE2=AE2AB2=8242=48,BE=月.VDE2=CE2-CD2=4222=12,dDE=?存22S四邊形abcd=Saabe-Sacde=2ABBE-之CDDE=6類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次

8、夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60方向走了5口口正m到達(dá)b點(diǎn)然后再沿北偏西30方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn).(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離.(2)確定目的地C在營(yíng)地A的什么方向.思路點(diǎn)撥：把實(shí)際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，利用勾股定理求解。解析：（1）過B點(diǎn)作BE/ADDAB=/ABE=6030+ZCBA+ZABE=180：/CBA=90即ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m,AB=50口6m由勾股定理可得：L所以；（2）在RtAABC中，VBC=500m,AC=1000m：/CAB=30vZDAB=60DAC=30即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30的方向總結(jié)升華：本題是一道實(shí)際

9、問題，從已知條件出發(fā)判斷出ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。本題涉及平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2。5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH.如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0。8米處，且CDLAB,與地面交于H.解:OC=1米（大門寬度一半），OD=0.8米（卡車寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得:CD=W-m=0.6米,CH=0。6+2。3=2。9（米）2。5（米）因此高度上有0o4米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股

10、定理求最短問題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造,某地有四個(gè)村莊A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論.解析:設(shè)正方形白邊長(zhǎng)為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3圖（3）中，在RtABC中AC=4aS2BC2=2同理工一圖（3）中的路線長(zhǎng)為2尼用2.828圖（4）中，延長(zhǎng)EF交BC

11、于H,則FHBC,Bhl=CH=1由/FBH=2及勾股定理得：立,FU二吏EA=ED=FB=FC=36垂：EF=1-2FH=1-3;此圖中總線路的長(zhǎng)為4EA+EF=+二：-32。8282。732;圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.總結(jié)升華：在實(shí)際生產(chǎn)工作中，往往工程設(shè)計(jì)的方案比較多，需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，比較從中選出最優(yōu)設(shè)計(jì).本題利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性質(zhì).舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.解:如圖，在RtABC中，；6。

12、=底面周長(zhǎng)的一半=10cm,根據(jù)勾股定理得（提問：勾股定理）.ac=AB2=5+T/=22910.77（cm）（勾股定理）.答:最短路程約為10.77cm.類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為人的線段5、作長(zhǎng)為五、小、，后的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊為正和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是的,類似地可作必。作法：如圖所示（1）作直角邊為1（單位長(zhǎng)）的等腰直角ACB,使AB為斜邊；（2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角“用切.斜邊為4/;順次這樣做下去，最后做到直角三角形帆片，這樣斜邊上B、典、人$、獨(dú)的長(zhǎng)度就是、白、以a/5總結(jié)升華：（1）以上作法根據(jù)

13、勾股定理均可證明是正確的；（2）取單位長(zhǎng)時(shí)可自定。一般習(xí)慣用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如1cm、1m等，我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長(zhǎng)為單位即可。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示反的點(diǎn)。解析：可以把J歷看作是直角三角形的斜邊，（回y=I。，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1”-0AB作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3作ACOA且截取AC=1,以O(shè)C為半徑,以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為而。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對(duì)頂角相等（正確）3 .原命題：線

14、段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）4 .原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1。逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2 .逆命題：相等白角是對(duì)頂角（不正確）3 。逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4 .逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2

15、+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:a2-6a+9+b28b+16+c2-10c+25=0,（a3）2+（b-4）2+（c5）2=0Ov（a3）20,（b4）20,（c5）20O;a=3,b=4,c=5。32+42=52,:a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理彳導(dǎo)ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到.,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,舉一反三【變式1】四邊形ABCD中,/B=90求四邊形ABCD的面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)AC-AC.

16、CD2/B=90,AB=3,BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）：AC=5vAC2+CD2=169,AD2=169：AC2+CD2=AD2：/ACD=90（勾股定理逆定理）W_弋jrnr凸卬mWCD-3dABC?十lACD-2【變式2】已知：ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且mn）,判斷ABC是否為直角三角形.分析：本題是利用,勾股定理的的逆定理，、只要證明：1a2+b2=c2即可r一1+（2附用=4-2川/+/+4鹿3Afl證明：二病+2加3司3+司,/所以ABC是直角三角形【變式3】如圖正方形ABCD,E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=4AB

17、。請(qǐng)問FE與DE是否垂直？請(qǐng)說明?！敬鸢复?DEEF.證明：設(shè)BF=a,則BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.連接DF（如圖）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.:DF2=EF2+DE2,：FEDE。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法閡1、若直角三角形兩直角邊的比是3:4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積.思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形

18、兩直角邊分別是3x,4x,根據(jù)題意得：（3x）2+（4x）2=202化簡(jiǎn)得x2=16;直角三角形的面積=2X3xx4x=6x2=96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解.舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊ABC,彳ADXBCTD則：BD=二BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合） AB=AC=BC=2（等邊三角形各邊都相等） .BD=1在直角三角形ABD中,AB2=AD2+bd2,即：AD2=AB2-BD2=4-1=3 .AD=Skabc=bBC,AD=注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為乖a,則

19、其面積為aa?！咀兪?】直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是x,v,根據(jù)題意得：&十尸十5二12產(chǎn)心力=5口（2）由（1）得：x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)(3) (2),得：xy=121;直角三角形的面積是2xy=2x12=6(cm2)【變式3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1,n+2,n+3,求n.思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長(zhǎng)的邊)長(zhǎng)n+3,然后利用勾股定理列方程求解。2=(n+3)2(n+1)2+(n+2)化簡(jiǎn)得：n2=4：n=2,但當(dāng)n解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3,由勾股定理可得：=2

20、時(shí)，n+1=-10,n=2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊,【變式4】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,直角邊。()10D、8,39,40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2-a2=(ca)(c+a)來判斷。例如:對(duì)于選擇D,v82w(40+39)X(4039),;以8,39,40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)?！咀兪?】四邊形ABCD中，/B=90,AB=3,BC=4,C

21、D=12,ABCD的面積。AD=13,求四邊形解：連結(jié)ACvZB=90,AB=3,BC=4.AC2=AB2+BC2=25(勾股定理).AC=5.AC2+CD2=169,AD2=169,.AC2+CD2=AD2./ACD=90(勾股定理逆定理)11S四邊形abcd=Saabc+Saacd=2ABBC+之ACCD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/QPN=30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h

22、,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解析作ABMN,垂足為Bo在RtAABP中，/ABP=90,AAPB=30,AP=160,.AB=2AP=80。(在直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一二.點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,;這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方

23、向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響,那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002802=3600,aBC=60。N同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD=100(m),BD=60(m),：CD=120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為：18km/h=5m/st=120m+5m/s=24s。答：拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒?？偨Y(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷步路(假設(shè)2

24、步為1m),廳十4：=5解析：他們?cè)瓉碜叩穆窞?+4徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了卻踩傷了花草。設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為xm,則x故少走的路長(zhǎng)為75=2(m)又因?yàn)?步為1m,所以他們僅僅少走了4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1)直接寫出單位正三角形的高與面積.(2)圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？0(3)求出圖中線段AC的長(zhǎng)(可作輔助線)行1I出招【答案】（1）單位正三角形的高為T,面積是2T彳。（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其24x=63面積-（3）過A作AKLBC于點(diǎn)K（如圖所示），則在RtACK中，3歷考類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC