第二章 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)

1、 一、單自由度系統(tǒng)模型二、研究單自由度數(shù)系統(tǒng)振動(dòng)目的二、研究單自由度數(shù)系統(tǒng)振動(dòng)目的1. 研究最低階自由振動(dòng)頻率附近的振動(dòng)特性研究最低階自由振動(dòng)頻率附近的振動(dòng)特性2.是振動(dòng)學(xué)理論基礎(chǔ)是振動(dòng)學(xué)理論基礎(chǔ) 圖圖21單自由度系統(tǒng)模型單自由度系統(tǒng)模型 ox)(tFckmstFOxmgxm1.疊加原理疊加原理 輸入輸入 輸出輸出 激勵(lì)激勵(lì)F(t) 響應(yīng)響應(yīng)x(t) 若若 )(1tF)(1tx)(2tF)(2tx 若輸入若輸入: :)()(2211tFtF )()(2211txtx則輸出則輸出:即：幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)共同作用產(chǎn)生的總響應(yīng)是各即：幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)共同作用產(chǎn)生的總響應(yīng)是各響應(yīng)函數(shù)的總和。響應(yīng)函數(shù)的總和。疊加

2、原理疊加原理 2. 線性方程描述線性方程描述一般機(jī)械系統(tǒng)并不是線性的一般機(jī)械系統(tǒng)并不是線性的,例如單擺例如單擺 m90mg(90)0mmgcos0gl為線性方程為線性方程 10( )xxxF t0Sing 為非線性方程為非線性方程sin微振動(dòng)時(shí)微振動(dòng)時(shí): 質(zhì)點(diǎn)僅在質(zhì)點(diǎn)僅在彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力作用下運(yùn)動(dòng)作用下運(yùn)動(dòng) xm kxm 二、運(yùn)動(dòng)方程解二、運(yùn)動(dòng)方程解: 一、運(yùn)動(dòng)方程一、運(yùn)動(dòng)方程:設(shè)nkm0mxkx(1)20nxx(2)設(shè)設(shè)txBe(3)(3)代入代入(2)得得:220n特征方程特征方程121212nnjtjtttxB eB eB eB e1212()()nnBBcostBBsint1nj

3、2nj 0lxOxmj0000,ttxxxx 設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為:sin()nxAt或或(5)三、對(duì)初始條件響應(yīng)三、對(duì)初始條件響應(yīng)2212ADD式中式中:112DtgD 則則2200020,tnnxxAxgx12nnxD costD sint(4)代入代入(4)或或(5)得得:00cossinnnnxxxttsin()nAt(6)121212nnjtjtttxB eB eB eB e1212()()nnBBcostBBsintjsin()nxAtoxATxtop 1.簡(jiǎn)諧性簡(jiǎn)諧性 2.周期與初始條件無關(guān)周期與初始條件無關(guān) 3.振幅與初位相取決于初始條件振幅與初位相取決于初始條件 4. 振

4、動(dòng)中心移到靜平衡置振動(dòng)中心移到靜平衡置 5.振幅振幅固有頻率固有頻率初相位初相位22nmTksin()nssmgxAtksin()nxAtmxkxmgmxmgkx()smxmgkxmxkx 0mxkxkl0Oxsm(2)坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡置坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡置 kl0Oxsm(1) 坐標(biāo)原點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng)mx kxmg()sk xmgmx 1.T+U=E（常數(shù)）（常數(shù)） （1）式中：動(dòng)能式中：動(dòng)能212Tmx將所求將所求T，U代入方程（代入方程（1）可得）可得2.求固頻求固頻maxmaxTU由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)221kU勢(shì)能勢(shì)能212Ukx20nxxnskkggmmg2.靜變形

5、法靜變形法 1.運(yùn)動(dòng)微分方程法運(yùn)動(dòng)微分方程法3.能量法能量法sin()nxAt222211cos ()22nnTmxmAt22max12nTmAmaxmaxTUnkm22211sin ()22nUkxkAt2max12UkAkxm解：系統(tǒng)振動(dòng)方程為：解：系統(tǒng)振動(dòng)方程為：sin()nxAt22maxmax1122UkxkA2201122TmxJ2222211 1322 24xTmxmrmxr222maxmax3344nTmxmA2012JmrxrmaxnxA由由maxmaxTU得：得：23nkmcos()nnxAtmrkx.302mxkx()0dTUdt2231()042dmxkxdt302mx

6、xkxx3()02xmxkx0 x 無意義無意義運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程2231,42Tmx UkxFkx彈簧剛度彈簧剛度:彈簧單位變形所需力彈簧單位變形所需力:mx0EIF33FEI33FEIk33nkEImm例：如圖例：如圖 在在 方向上廣義剛度方向上廣義剛度mx撓度撓度12()0mxkkx12nkkm2.靜變形法靜變形法12smgkk12nskkgm3.能量法能量法 (以靜平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)以靜平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn))22max12nTmA12nkkm1.運(yùn)動(dòng)微分方程法運(yùn)動(dòng)微分方程法 (以靜平衡位置為原點(diǎn)以靜平衡位置為原點(diǎn))12()kkxm x mst1k2kPxm12ekkk kexmF1km2k

7、Fx1x2x11Fxk22FxkeFxk12xxx12111ekkk則：則：1212ek kkkk1212()enkk kmkkm求圖示系統(tǒng)固頻求圖示系統(tǒng)固頻1k1kEIm22kst1k2kPxm1km2kFx1x2x懸臂梁剛度懸臂梁剛度:33EIk enkm12ekkk1 212ek kkkk 如圖所示，在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為如圖所示，在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為m的物體，的物體，其靜變形為其靜變形為2 mm。如將物塊在梁未變形位置處無初速釋。如將物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。放，求系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。stFOmgx(1)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為:()nxAsi

8、nt22100020,nnxxAxtgx(2)nskgm 此無重彈性梁相當(dāng)于彈簧，其靜變形相當(dāng)于彈簧的靜此無重彈性梁相當(dāng)于彈簧，其靜變形相當(dāng)于彈簧的靜變形，故：變形，故：70 rad/snstg初始條件：初始條件：002mm,0 xx 2200(/)2mmnAxx系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律：系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律：2cos70 (mm)xt 00arct()2nxgx stFOmgx 質(zhì)量質(zhì)量m = 0.5kg的物塊沿光滑斜面的物塊沿光滑斜面( = 30)無初速下滑。無初速下滑。當(dāng)物塊下落高度當(dāng)物塊下落高度h = 0.1m時(shí)撞于無質(zhì)量的彈簧時(shí)撞于無質(zhì)量的彈簧(k = 0.8kN/m)上不再分離。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

9、上不再分離。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。(1)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為:()nxAsint(2)nskgm22100020,nnxxAxtgxAh A初始條件為：初始條件為：0003.06mm,21.4m/sxxgh 0sin()mxmgkx20nxx40rad/sn2220000/35.1mm,arctan(/)0.087radnnAxxxx 35.1sin(400.087) mmxt物塊運(yùn)動(dòng)方程為：物塊運(yùn)動(dòng)方程為： 以物塊的靜平衡位置以物塊的靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系。受為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系。受力圖如圖示。物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：力圖如圖示。物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：xxoOmgNFhA

10、AAA0k xmx sinmg0sinkmg0 kxxm 圖示系統(tǒng)圖示系統(tǒng), 彈簧長(zhǎng)為彈簧長(zhǎng)為 ,單位長(zhǎng)質(zhì)量為單位長(zhǎng)質(zhì)量為 求固頻。求固頻。kxmFd解解:勢(shì)能最大為勢(shì)能最大為2max12UkA求動(dòng)能求動(dòng)能:質(zhì)量質(zhì)量m動(dòng)能動(dòng)能:2112Tmx彈簧動(dòng)能彈簧動(dòng)能:222011()22 3Txxd 22max1()23nTmAmaxmaxTU3neqkkmm系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)動(dòng)能:2121()23TTTmxv(a)kv(b)xok(c)解解:正常工作時(shí)，重物等速下正常工作時(shí)，重物等速下降，鋼索張力降，鋼索張力T1=W；鋼索；鋼索為彈性體，系統(tǒng)可表示為為彈性體，系統(tǒng)可表示為圖（圖（b）的形式；）的形式；gW

11、kn/v(0)x 0,x(0)sin()(tAtxn 突然停止，把這一時(shí)刻作突然停止，把這一時(shí)刻作為時(shí)間的起點(diǎn)為時(shí)間的起點(diǎn)t=0，并以這一，并以這一時(shí)刻重物靜平衡的位置作為時(shí)刻重物靜平衡的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為坐標(biāo)原點(diǎn)，則系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為圖（圖（c）的形式；）的形式； 求圖示系統(tǒng)固頻求圖示系統(tǒng)固頻,懸臂梁均質(zhì)懸臂梁均質(zhì),單位長(zhǎng)度質(zhì)量為單位長(zhǎng)度質(zhì)量為 ,其它參數(shù)如圖。其它參數(shù)如圖。撓度曲線方程為：撓度曲線方程為：333236pyEI2332330123263pxTdpEIEI 12TTT2112Tmx231 32EIUxmaxmaxTUnsin()nxAtmEIdxp一、單自由度系統(tǒng)模型一

12、、單自由度系統(tǒng)模型二、線性系統(tǒng)二、線性系統(tǒng)1.疊加原理疊加原理2.由線性方程描述由線性方程描述10( )xxxF t1.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程:0mxkx 2.運(yùn)動(dòng)方程解運(yùn)動(dòng)方程解:sin()nxAtnkm2200020,tnnxxAxgx四、坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡置四、坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡置五、固有頻率的計(jì)算方法五、固有頻率的計(jì)算方法20nxx(1)運(yùn)動(dòng)微分方程法運(yùn)動(dòng)微分方程法:(3) 能量法能量法maxmaxTU()0dTUdt2.應(yīng)用能量法求方程應(yīng)用能量法求方程:六、廣義剛度六、廣義剛度1,并聯(lián)彈簧等效剛度并聯(lián)彈簧等效剛度:12ekkk等效剛度等效剛度:1 212ek kkkk(2) 靜變形法靜變形

13、法nskgm 系統(tǒng)統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為系統(tǒng)統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為:()nxASint22100020,nnxxAxtgx 3.庫(kù)侖阻尼庫(kù)侖阻尼1.粘性阻尼粘性阻尼(線性阻尼線性阻尼) 粘性阻尼力粘性阻尼力大小與大小與速度速度成正比，方向與速度相反。成正比，方向與速度相反。Fcx 2.結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼(1) (1) 有阻尼自由振動(dòng)特點(diǎn)有阻尼自由振動(dòng)特點(diǎn)(2) (2) 阻尼參數(shù)識(shí)別阻尼參數(shù)識(shí)別應(yīng)用達(dá)郎伯原理求運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)用達(dá)郎伯原理求運(yùn)動(dòng)方程kxcxkcxommx m0mxcxkx(1)txBe設(shè)設(shè):代入代入(1)得得:02kcmmkmcmc22, 1)2(20)2(2mkmctteBeBtx2121)(則方程的

14、通解變?yōu)閯t方程的通解變?yōu)閠mcetBBtx)2/(21)()(212,20n0d00d0n0 xxxAxtgxx :1.小阻尼小阻尼 ( 1)2.臨界阻尼臨界阻尼 ( = 1)tnetBBtx)()(21xton)1(22, 1ttnneBeBtx)1(2)1(122)(xtockmx例：建立如圖所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，試確例：建立如圖所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，試確定定臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)與與有阻尼固有頻率有阻尼固有頻率。mxm cFkF解：發(fā)生解：發(fā)生角位移振動(dòng)時(shí)有：角位移振動(dòng)時(shí)有：l xmFFaMck )( 2)(mlcakaa整理成：整理成：0)()(22lamklamc mklan令：令：t

15、e得：得：222222,1)()2()(2lamkmlcalamc臨界阻尼滿足臨界阻尼滿足22220)()2(lamkmlacmkalc20mklcacc20)2(112mklcamkland按題設(shè)條件有：按題設(shè)條件有：11()()2iintnNTin tNTi NAAeeAAe11122ln2nnNTNTNTNT0.11ln22NN本方法可用于測(cè)量小阻尼系統(tǒng)本方法可用于測(cè)量小阻尼系統(tǒng)( 1)的阻尼比的阻尼比。 一個(gè)具有粘滯阻尼的質(zhì)點(diǎn)一個(gè)具有粘滯阻尼的質(zhì)點(diǎn)-彈簧系統(tǒng)，在自由振動(dòng)了彈簧系統(tǒng)，在自由振動(dòng)了N周后其振幅減為原來的周后其振幅減為原來的50%。求其阻尼比。求其阻尼比 。1ln 2nNT

16、故有故有:1.原理原理: 非粘性阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程是非線性的，數(shù)學(xué)上難處非粘性阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程是非線性的，數(shù)學(xué)上難處理，定義粘性阻尼系統(tǒng)理，定義粘性阻尼系統(tǒng)Ce，使二者在每一循環(huán)中損失能量，使二者在每一循環(huán)中損失能量相等。相等。cos()dFcxc At阻尼力阻尼力:對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng):sin()xAt一個(gè)周期所耗散能量一個(gè)周期所耗散能量:2422100AEcxdxcx dtc A 結(jié)構(gòu)阻尼由于材料受力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦結(jié)構(gòu)阻尼由于材料受力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦由實(shí)驗(yàn)得由實(shí)驗(yàn)得222EkAhA式中式中: 結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)；結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)；k等效彈簧常數(shù)；等效彈簧常數(shù)；hk0emxc xkx1

17、2EE22ehAcAehkc式中式中: 為等效粘性阻尼系數(shù)為等效粘性阻尼系數(shù)ec結(jié)構(gòu)阻尼的對(duì)數(shù)減率結(jié)構(gòu)阻尼的對(duì)數(shù)減率:222221ednncdnkccmk4.庫(kù)侖阻尼等效粘性阻尼系數(shù)庫(kù)侖阻尼等效粘性阻尼系數(shù)mkW=mgdFwf4dEF A4deFcA等效粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程等效粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程:12( )( )( )x tx tx t( )sinF tFt設(shè)設(shè):質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在恢復(fù)力恢復(fù)力、阻力阻力及及激勵(lì)力激勵(lì)力作用下運(yùn)動(dòng)作用下運(yùn)動(dòng)一、簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)sinmx cx kxFt(1)方程方程(1)的通解的通解:齊次通解齊次通解非齊次特解非齊

18、次特解2( )x t采用復(fù)數(shù)解法采用復(fù)數(shù)解法取虛部取虛部mkcxox( )F tm( )F tkx1( )sin()ntdx tAet(2)cx mx j tmxcxkxFe(3)瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)設(shè)設(shè):2j txXe(4)復(fù)振幅復(fù)振幅(4)代入代入(3)得得:2j tj tj tj tmXejc XekXeFe2( )jFXXeHFkmjc(5)2222()FXXkmc(6)12argcXtgkm(7)21( )Hkmjc(8)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程(3) 的解的解:j tmxcxkxFe2( )( )j tx tHFe將將(5)代入代入(4)得得:()2( )( )j tjtx tHFeXe（9）

19、由（由（9）取虛部：）取虛部：2()xXsint（10） 是響應(yīng)與激勵(lì)之比是響應(yīng)與激勵(lì)之比,稱為復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)稱為復(fù)頻響應(yīng)函數(shù), 或叫或叫頻率響應(yīng)、傳遞函數(shù)、位移導(dǎo)納、動(dòng)柔度。頻率響應(yīng)、傳遞函數(shù)、位移導(dǎo)納、動(dòng)柔度。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)方程（方程（1）通解為：）通解為：12()()ntdxxxAesintXsint（ 11 ）稱為位移阻抗、動(dòng)剛度。稱為位移阻抗、動(dòng)剛度。21( )( )j tFeHx t2xt2sin()xXt1sin()ntdxA etx1x1+x2x1+x2穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)也叫穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或稱強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)也叫穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或稱強(qiáng)迫振動(dòng),因重點(diǎn)研究穩(wěn)態(tài)因重點(diǎn)研究穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),所以所以(10)式改為

20、式改為:(1)振幅振幅:02222222()(1)(2)XFXXkmcrr(2)相位相位:1221rtgr()xXsint強(qiáng)迫振動(dòng)滯后于激振力強(qiáng)迫振動(dòng)滯后于激振力,與初始條件無關(guān)與初始條件無關(guān)式中式中:0FXknr振幅與初始條件無關(guān)振幅與初始條件無關(guān)(3)強(qiáng)迫振動(dòng)與激勵(lì)力頻率相同強(qiáng)迫振動(dòng)與激勵(lì)力頻率相同(4)動(dòng)力放大因子、振幅放大因子、增益因子動(dòng)力放大因子、振幅放大因子、增益因子22201(1)(2)XMXrr 在在低頻區(qū)低頻區(qū)和和高頻區(qū)高頻區(qū)內(nèi)可忽內(nèi)可忽略阻尼的影響！略阻尼的影響！1M r 1,低頻區(qū)低頻區(qū),準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)M=1,K影響大影響大r 1,高頻區(qū)高頻區(qū),慣性區(qū)慣性區(qū)0M m影響

21、大影響大阻尼的影響大阻尼的影響大0.751.25r共振區(qū)共振區(qū)：rMrM(6)系統(tǒng)品質(zhì)因素系統(tǒng)品質(zhì)因素:112rQM由由 可求得最大振幅時(shí)頻率比為可求得最大振幅時(shí)頻率比為:0dMdr2max12max2121M1221rtgr00180o1r 有突變有突變時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí):00,0,1,2rrr r22201(1)(2)XMXrrrM 22222222211( )(12)121212jHkmjckrjrrrjkrrkrrHe (8)H() H() 1221rtgr 式中式中:2221( )12Hkrr 222112Mk Hrr幅值信息幅值信息相位信息相位信息r=0.7r=0.80.50.25A

22、BOImRe幅相特性曲線作幅相特性曲線作kH()的的極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖 幅相特性曲線給出了響幅相特性曲線給出了響應(yīng)全部信息應(yīng)全部信息: 222112oAk Hrr相角相角:1221rtgr21( )12kHrjr21( )Hkmjc(8)22222222212112111rABOAtgrrrOBOAABrOBrOB頻率信息頻率信息(9)共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象系統(tǒng)有阻尼系統(tǒng)有阻尼:max211221 2MmaxM 系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)無阻尼:無阻尼系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)共振時(shí)的特解共振時(shí)的特解01cos2nnxXtt Otx共振共振r=0.7r=0.80.50.25ABOImRemax2221122 2(1)(2)r

23、r證明：證明：如圖如圖a、b兩點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)兩點(diǎn)稱為半功率點(diǎn),則有：則有：2ban2,12a br 224barr2224ban2abn22224baabbannnban 2ban上式展開且略去上式展開且略去 項(xiàng)得：項(xiàng)得：2max12ab 222112k Hrr2max2rarnrbrnr2sinMxcxkxmet2202222222(1)412merX rMXrrrr2sin0Mxmetcxkx()xXsint 例如圖中曲柄以常角速度例如圖中曲柄以常角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),機(jī)機(jī)器總質(zhì)量為器總質(zhì)量為M,其它參數(shù)如圖。用達(dá)郎其它參數(shù)如圖。用達(dá)郎伯原理建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。伯原理建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。x

24、mckeM1221rtgr2222012XMXrXmerr動(dòng)力放大因子動(dòng)力放大因子:Mx kxcx mtM2me 系統(tǒng)整體作強(qiáng)迫振動(dòng)，由于激勵(lì)力大小不是常數(shù)，而系統(tǒng)整體作強(qiáng)迫振動(dòng)，由于激勵(lì)力大小不是常數(shù)，而與與 成正比，故其成正比，故其幅頻特性曲線幅頻特性曲線不同不同21221rtgr22 222(1)4rrrrr(1)，共振，共振，122，0,0 ,1,r 最大振幅發(fā)生在：最大振幅發(fā)生在：max2112rmax2121mx cx kxcy ky(1)設(shè)設(shè):j tyYe代入代入(1)得得:()j tmxcxkxkjcYe(2)設(shè)方程設(shè)方程(2)解為解為( )j tx tXe代入代入(2)得得:

25、1、應(yīng)用達(dá)郎伯原理求運(yùn)動(dòng)方程、應(yīng)用達(dá)郎伯原理求運(yùn)動(dòng)方程2jkjcXYXekmjc22222214(1)4rXYrr312222t14rgrr22222214(1)4rXYrrsinsin()xXtXtm()k xy()c xymx msinyYtx02222221 4(1)4rXYrr312222t14rgrrrr（）當(dāng)（）當(dāng)0 和與無關(guān)和與無關(guān)2,r 1,（）當(dāng)且阻尼小，?。ǎ┊?dāng)且阻尼小，小2,r ,XY（）（）0 :0,0;,2rr 0:1,r響應(yīng)與激勵(lì)同相位響應(yīng)與激勵(lì)同相位1,r 響應(yīng)與激勵(lì)相位相反響應(yīng)與激勵(lì)相位相反 測(cè)振儀中物塊質(zhì)量為測(cè)振儀中物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度為，彈簧剛度為k。被測(cè)

26、物體的振。被測(cè)物體的振動(dòng)規(guī)律為動(dòng)規(guī)律為y = Ysin t，如何設(shè)計(jì)測(cè)振儀，如何設(shè)計(jì)測(cè)振儀()()0mx c x yk x y(1) 儀器記錄是質(zhì)量塊儀器記錄是質(zhì)量塊m與機(jī)座之與機(jī)座之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。設(shè)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。設(shè):zxy(2)(2)代入代入(1)得得:(3)y測(cè)振儀簡(jiǎn)圖測(cè)振儀簡(jiǎn)圖mx0lstOyz被測(cè)物體被測(cè)物體 取物塊靜平衡位為取物塊靜平衡位為 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn),則系統(tǒng)方程為：則系統(tǒng)方程為：xtmYymkzzczmsin2 sin()zZt設(shè)方程設(shè)方程(3)的解的解:(4)式中式中:22222mYZkmc1221tg2222Z12rYrr或或(5)由由(5)得得:22211211ZYrr

27、YZ,nr 2222212nZYrr22222112nZZYyrr,1nr2Z2222nnYrYrYyycmy 2222Z12rYrr2220,nnyYrZy :,0nr 將振源與需要防振的物體之間用將振源與需要防振的物體之間用隔離。隔離。將振源與支持振源的基礎(chǔ)隔離開來。將振源與支持振源的基礎(chǔ)隔離開來。將需要防振的物體與振源隔離。將需要防振的物體與振源隔離。 將振源與支持振源的基礎(chǔ)隔離開來，減少通過地基傳將振源與支持振源的基礎(chǔ)隔離開來，減少通過地基傳到周圍物體上的振動(dòng)強(qiáng)度。到周圍物體上的振動(dòng)強(qiáng)度。Mkc( )sinF tFtM( )sinF tFt機(jī)器振動(dòng)時(shí)傳到地基上的交變力為：機(jī)器振動(dòng)時(shí)傳到

28、地基上的交變力為：22222222214()()1412TFrFkXc XkXrrr22222214(1)4TrFFrr()kFkxkXsint()cFcxc Xcost機(jī)器強(qiáng)迫振動(dòng)的方程為：機(jī)器強(qiáng)迫振動(dòng)的方程為：()xXsint Fk和和Fc頻率相同頻率相同,相位差相位差 傳給地基的傳給地基的力幅為力幅為:,202222(1)4XXrr式中：式中：0FXkmkckFcF(t)Fx系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：sinmxcxkxFt 將需要防振的物體與振源隔離，避免物體受到基礎(chǔ)運(yùn)將需要防振的物體與振源隔離，避免物體受到基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的振動(dòng)。動(dòng)引起的振動(dòng)。 被動(dòng)隔振的模型與被動(dòng)隔振的模型與“由基

29、礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引由基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)起的強(qiáng)迫振動(dòng)”的模型相同的模型相同22222214(1)4rXYrr22222214(1)4rXYrr(1) 100%sinyYtmkcx22222214(1)4rrrrr 1.只有當(dāng)只有當(dāng) 時(shí)才有時(shí)才有隔振效果隔振效果。在隔振區(qū)內(nèi)。在隔振區(qū)內(nèi),加大加大阻尼反而使振幅增大，降低隔振效果。阻尼反而使振幅增大，降低隔振效果。2r 2 222214r1r2 r12r2. 為非隔振區(qū)。為非隔振區(qū)。 路面波形為路面波形為 y1 = Ysin(2 x /l) ，Y = 25mm，l = 5m。m = 3000kg，k = 294kN/m。忽略阻尼，求汽車以速度。忽略阻尼，求

30、汽車以速度v=12.5m/s前進(jìn)時(shí)，車體的振幅及汽車的臨界速度。前進(jìn)時(shí)，車體的振幅及汽車的臨界速度。lk12sinyYxlx汽車振動(dòng)簡(jiǎn)圖汽車振動(dòng)簡(jiǎn)圖m 以汽車起始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以汽車起始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，路面波形方程：路面波形方程：122 vtsinYsinsin2v5 rad/sxyYYt汽車的固有頻為：汽車的固有頻為：/9.9rad/snk m頻率為：頻率為：n/1.59r 車體振幅為：車體振幅為：2/ |1| 16.4mmBYYr臨界速為：臨界速為：7.88m/s2ncrvk12sinyYxx汽車振動(dòng)簡(jiǎn)圖汽車振動(dòng)簡(jiǎn)圖22222214(1)4rBYrr一、周期激勵(lì)一、周期激勵(lì)( )()F

31、tF tnT( )mxcxkxF t(1)01(cossin)2nnnamxcxkxan tbn t系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:0221()2(1) (2)nnnnnaaxcon n tkkrr2 221sin()(1)(2)nnnnnbn tkrr(2)式中式中:nnnrnr1221nnnrtgr(3)tMkcxT F t02a的響應(yīng)的響應(yīng)2T基頻，基頻，02akn倍頻倍頻 1.脈沖概念脈沖概念:指在很短時(shí)間內(nèi)有非常大的力作用時(shí)的有指在很短時(shí)間內(nèi)有非常大的力作用時(shí)的有限沖量限沖量aFt( )F tt(1)沖量沖量( )ataFF t dtF t(4)(2)單位脈沖定義單位脈沖定義0li

32、m1attaIFdtFdt(5)顯然顯然,當(dāng)當(dāng)0t 時(shí)時(shí),為使為使Fdt有有限值有有限值F (3)單位脈沖單位脈沖函數(shù)表示法函數(shù)表示法()0ta()ta0()1ta dt()ta0( )()()ftta dtfa(6)( )()F tFta(7)則則 時(shí)作用的脈沖力時(shí)作用的脈沖力F(t)產(chǎn)生的沖量表示為產(chǎn)生的沖量表示為:ta2. 非周期激振力作用下系統(tǒng)響應(yīng)非周期激振力作用下系統(tǒng)響應(yīng)如圖系統(tǒng)當(dāng)如圖系統(tǒng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí)000,0 xx受一脈沖力作用受一脈沖力作用,由動(dòng)定量得由動(dòng)定量得:沖量沖量=動(dòng)動(dòng)量變化量量變化量0( )()()tF t dtmVtmxttF(t)ckxF(t)t00( )(0 )F

33、t dtFmx有有(0)Fxm 很小，很小， 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與 由由 ， 的的初始條件引起的自由振動(dòng)是相同的，故有：初始條件引起的自由振動(dòng)是相同的，故有： t(0)0 x(0)Fxmt 式式 為質(zhì)量為質(zhì)量m在受到?jīng)_量后的瞬在受到?jīng)_量后的瞬時(shí)速度，由于時(shí)速度，由于 很小，引入符號(hào)：很小，引入符號(hào)： 利用方程（利用方程（7）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)可得：時(shí)可得：()xt 0t( )()F tFtata( )x t sinntddFetmt00t0(8) 引入單位脈沖響應(yīng)函數(shù)引入單位脈沖響應(yīng)函數(shù) ,則系統(tǒng)對(duì)則系統(tǒng)對(duì)t=0時(shí)作用的脈時(shí)作用的脈沖力的響應(yīng)可表示為：沖力的響應(yīng)可表示為：( )h tsin()ntdxAet有阻尼系自由振動(dòng)方程有阻尼系自由振動(dòng)方程:21dn,220n0d00d0n0 xxxAxtgxx ( )x th tFd1sinmntdet0t0t0(10)( )( )x tFh t(9)令令: 若系統(tǒng)受如圖所示任意時(shí)間函數(shù)作用若系統(tǒng)受如圖所示任意時(shí)間函數(shù)作用:由（由（9)式知，對(duì)式知，對(duì)在在