第13章.能量方法

1、材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法第二十六講第二十六講材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法131 概述概述 132 桿件應(yīng)變能的計算桿件應(yīng)變能的計算133 應(yīng)變能的普遍表達(dá)方式應(yīng)變能的普遍表達(dá)方式 134 互等定理互等定理137 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法131 131 概述概述能量原理：能量原理：彈性體內(nèi)部所貯存的應(yīng)變能，在數(shù)值上等于外力所作的功，彈性體內(nèi)部所貯存的應(yīng)變能，在數(shù)值上等于外力所作的功，即即VW能量方法：能量方法：利用功能關(guān)系分析計算可變形固體的位移、變利用功能關(guān)系分析計算可變形固體

2、的位移、變形和內(nèi)力的方法。形和內(nèi)力的方法。能量法的應(yīng)用范圍：能量法的應(yīng)用范圍：（1 1）線彈性體；非線性彈性體）線彈性體；非線性彈性體（2 2）靜定問題；超靜定問題）靜定問題；超靜定問題材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法2NF( )V d2LxxEA2N1FV2niiiiiLE A單位體積內(nèi)的應(yīng)變能單位體積內(nèi)的應(yīng)變能( (應(yīng)變比能應(yīng)變比能) )：1.1.軸向拉壓桿的應(yīng)變能：軸向拉壓桿的應(yīng)變能：132 132 桿件應(yīng)變能的計算桿件應(yīng)變能的計算WV lF 21EAlFEAlFN2222FlFllFFl2122E材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法2.2.扭轉(zhuǎn)軸的應(yīng)

3、變能：扭轉(zhuǎn)軸的應(yīng)變能：21pTV2G IniiiiiLlmmmppGIlTGIlmmWV222122xGIxTVlpd 2)( 2G2212應(yīng)變比能應(yīng)變比能材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法lxxIExMVd)(2)(23.3.彎曲桿的應(yīng)變能計算：彎曲桿的應(yīng)變能計算：EIlmmWV2212ddxMM材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法4、應(yīng)變能公式統(tǒng)一形式：、應(yīng)變能公式統(tǒng)一形式：WV 12F其中，其中，F(xiàn)-廣義力，廣義力，-與與F對應(yīng)的廣義位移對應(yīng)的廣義位移.,lFF材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法332211212121FFFWV克拉貝依

4、隆原理：克拉貝依隆原理：線彈性體的變形能等于每一外力與其線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法比例加載比例加載0 . 10 , , ,321PPPdddd332211PPPWP3P1P2321 , , ,321 P Pn nPPdP10332211d )(dPPPWWV材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法2( )2NLFx dxVEA2( )2LMx dxEI2( )2PLTx dxGI三種基本變形組合三種基本變形組合桿應(yīng)變能計算桿應(yīng)變能計算dxFN(x)FN(x)M(x)

5、M(x)T t(x)T t(x) 材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法Pl / 2l / 2EIlPxEIxMVl96d 2)( 2322 0 2EIlPPy962132maxEIPly483max2)(PxxMymax思考：分布荷載時，可否用此法求思考：分布荷載時，可否用此法求C點(diǎn)位移？點(diǎn)位移？材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法 例例13.2 13.2 圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A A點(diǎn)受鉛垂力點(diǎn)受鉛垂力P P的作用，求的作用，求A A點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移

6、。解：解：內(nèi)力方程內(nèi)力方程sin)(:PRM彎矩:T( )(1 cos )PR扭矩APR材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法A A點(diǎn)的垂直位移點(diǎn)的垂直位移應(yīng)變能：應(yīng)變能：222T ( )( )( )V d d d222LLLPxMxNxxxxEAGIEI02220222d2)(sind2)cos1(REIRPRGIRPPEIRPGIRPP44332321V2AWPfEIPRGIPRfPA22333材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法forces displacements strain energy21,PP21,22112121PP43,PP43,443321

7、21PPP1P221P3P443First groupSecond group13-4 互等定理互等定理材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法P1P221P3P443P1P2P3P44312If we first apply P1 and P2 , and then apply P3 and P444332211121212121PPPPUIf we first apply P3 and P4, and then apply P1 and P222114433221212121PPPPU21UU 44332211PPPP212211PP4433PP34strain energys

8、train energy材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法 第一組力在第二組力所引起的位移上所作的功，等于第一組力在第二組力所引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力所引起的位移上所作的功。第二組力在第一組力所引起的位移上所作的功。P1P221P3P443P1P2P3P443122134說明：互等定理中的力和位移都為廣義的。說明：互等定理中的力和位移都為廣義的。44332211PPPP材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法212121FF，則得若21FF 211212F1F2說明：互等定理中的位移為廣義的。說明：互等定理中的位移為廣義的。F21222F111

9、21第一力作用點(diǎn)沿第一力方向因第二力引起的位移，等于第一力作用點(diǎn)沿第一力方向因第二力引起的位移，等于第二力作用點(diǎn)沿第二力方向因第一力引起的位移。第二力作用點(diǎn)沿第二力方向因第一力引起的位移。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法求解求解解解EIlalEIa3),3(63221用功的互等定理用功的互等定理:021BRPlPaCAB1XBRP ,0 (at point B)03)3(632EIlRalEIPaB)3(232allPaRBPRBCABX=1CAB21材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法21BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC2221得：IEMlwC

10、821由此得：1CwB2F 例例6：求圖示懸臂梁中點(diǎn)：求圖示懸臂梁中點(diǎn)C處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法第二十七講第二十七講材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法應(yīng)變能表達(dá)式：應(yīng)變能表達(dá)式：能量原理：能量原理：VW互等定理互等定理: 212121FF21122( )2NLFx dxVEA2( )2LMx dxEI2( )2PLTx dxGI材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法137 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分 欲求梁上欲求梁上C點(diǎn)在載荷點(diǎn)在載荷P1，P2

11、，作用下的位移，作用下的位移，可在可在C點(diǎn)假想有單位力點(diǎn)假想有單位力P0=1作用，作用，xEIxMUld2)( 2P0=1作用的應(yīng)變能：作用的應(yīng)變能：xEIxMUld 2)( 2 P1 ,P2, 作用的應(yīng)變能：作用的應(yīng)變能：lBACP1P2BAC1P01材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法先作用單位力先作用單位力P0 ,后后作用作用P1， P2，,梁內(nèi)梁內(nèi)應(yīng)變能應(yīng)變能:xEIxMxMUUVld 2)()(1 2 xEIxMxMld )()( lBACP1P2BAC1P01P1P2xEIxMUld2)( 2xEIxMUld 2)( 2 BA1CP01莫爾定理莫爾定理材料力學(xué)材料力

12、學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法這些式子統(tǒng)稱為莫爾定理這些式子統(tǒng)稱為莫爾定理,式中積分稱為莫爾積分式中積分稱為莫爾積分.)(),(),(xFxTxMN是單位力系統(tǒng)的內(nèi)力是單位力系統(tǒng)的內(nèi)力.l梁梁l軸軸xGIxTxTlpd )()( l拉壓桿拉壓桿xEAxFxFlNNd )()( 桁架桁架niiiiNiNEAlFF1xEIxMxMld )()( xGIxTxTxEIxMxMxEAxFxFlpllNNd )()(d )()(d )()( 組合組合結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法求兩點(diǎn)的相對位移求兩點(diǎn)的相對位移: 在兩點(diǎn)的聯(lián)線方向加一對方向相反的單位力在兩點(diǎn)的聯(lián)線方

13、向加一對方向相反的單位力xEIxMxMlBAd )()( lBAlBA11求兩截面相對轉(zhuǎn)角求兩截面相對轉(zhuǎn)角?在兩截面上加方向相反的在兩截面上加方向相反的一對單位力偶。一對單位力偶。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法單位載荷法：用單位載荷法：用莫爾定理莫爾定理求結(jié)構(gòu)位移的方法。求結(jié)構(gòu)位移的方法。)(T ),( ),(xxMxFNl 步驟步驟:先建立單位力系統(tǒng)先建立單位力系統(tǒng)列單位力系統(tǒng)的內(nèi)力方程列單位力系統(tǒng)的內(nèi)力方程)(T),( ),(xxMxFN列載荷系統(tǒng)的內(nèi)力方程列載荷系統(tǒng)的內(nèi)力方程用用莫爾定理莫爾定理求結(jié)構(gòu)位移。求結(jié)構(gòu)位移。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量

14、方法注意事項：注意事項：3.莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu)莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu)。1.所加單位力必須是原結(jié)構(gòu)所加單位力必須是原結(jié)構(gòu), 與所求位移對應(yīng)的廣義力。與所求位移對應(yīng)的廣義力。2.單位力系統(tǒng)的內(nèi)力單位力系統(tǒng)的內(nèi)力與與載荷系統(tǒng)的內(nèi)力載荷系統(tǒng)的內(nèi)力坐標(biāo)系必須一致。坐標(biāo)系必須一致。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法Solution:2)(2qxPxxMEIPlEIqlxxqxPxEIxEIxMxMyllB38d)(2( 1d )()( 3402 xxM)(PABlqxBAx 例例7.求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁B處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。1材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方

15、法能量方法Solution: (1) AyB1111)( ,)(xxMPxxMaxMPaxM)( ,)(22ACPBalEI1EI21ACBx1x2x2x1202101112022210111d )(1d )(1d )()(d )()(xaPaEIxxPxEIxEIxMxMxEIxMxMylalaA22133EIlPaEIPa 例例8.求圖示剛架求圖示剛架A處的鉛垂位移處的鉛垂位移 和和B處截面轉(zhuǎn)角處截面轉(zhuǎn)角 。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法(2) Apply an unit couple at the point B:Segment AB:0)( ,)(111xMPxx

16、MSegment BC:1)( ,)(22xMPaxMACBACPBalEI1EI21ACBx1x2x2x12202d 1)(1EIPalxPaEIlB1x1x2材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法BARP1BARPP)cos1()( ),cos1()(RMPRMEIPREIPRREIMMAB3 0 23 0 3d)cos1(2d)()(2BAORPPddsdds 例例9.求圖示剛?cè)η髨D示剛?cè).B處鉛垂方向的相對位移。處鉛垂方向的相對位移。材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法BACD12345111BACD12345BACD123452PlPl111FDFCy

17、FCx 例例10.求圖示桁架求圖示桁架B 處的水平位移和處的水平位移和AD兩點(diǎn)的相對位移。兩點(diǎn)的相對位移。EAPlEAPlEAlNNiiiiBx828.3)12(251EAPlEAlNNiiiiAB251材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法編號iliNiNiiilNNiNiiilNNAB(1)AC(2)BD(3)CD(4)CB(5)00- 102l2121212100- Pl0Pl22P- 2PP0P2Pl2lllll 22Pl2Pl22Pl0Pl2Pl) 122(51iiiilNN列表求桁架載荷系統(tǒng)和兩種列表求桁架載荷系統(tǒng)和兩種單位力系統(tǒng)單位力系統(tǒng)各桿的軸力各桿的軸力;51i

18、iiilNN材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法例例11. 11. 求求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。2)(2qxaqxxM ;(0)2( )(2) ;(2 )2xxaM xxaxaxa解：解：BAaaCqBAaaC0P =1x20( )( )( )( )dd aaCaM x M xM x M xfxxEIEI4524qaEI材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法求求C截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角aaCxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC 1 ( )2xM xa 0 2)( :222qxqaxxMBC2( )2xM xaqBAaaCx2x1BAaaCM0=1材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三章第十三章 能量方法能量方法例例12 12 拐桿如圖，拐桿如圖，A A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：上下移動，已知：E E=210Gpa=210Gpa，G G=0.4E=0.4E，求求B B點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移。PxxMAB)( )ABMxx1T ()0.3CAxP1T( )0.3CAx解：解：510 20A300P=60NBx500Cx1ABC=1P0材料力學(xué)材料力學(xué) 第十三