內(nèi)工大 機器人學(xué)第四章(動力學(xué))

1、機器人動力學(xué)2& 第四章第四章 機器人靜力學(xué)和動力學(xué)機器人靜力學(xué)和動力學(xué) 靜力學(xué)和動力學(xué)分析，是機器人操作機設(shè)計和動態(tài)性能分靜力學(xué)和動力學(xué)分析，是機器人操作機設(shè)計和動態(tài)性能分析的基礎(chǔ)。特別是動力學(xué)分析，它還是機器人控制器設(shè)計、析的基礎(chǔ)。特別是動力學(xué)分析，它還是機器人控制器設(shè)計、動態(tài)仿真的基礎(chǔ)。動態(tài)仿真的基礎(chǔ)。 機器人靜力學(xué)研究機器人靜止或緩慢運動式，作用在機器機器人靜力學(xué)研究機器人靜止或緩慢運動式，作用在機器人上的力和力矩問題。特別是當手端與環(huán)境接觸時，各關(guān)節(jié)人上的力和力矩問題。特別是當手端與環(huán)境接觸時，各關(guān)節(jié)力（矩）與接觸力的關(guān)系。力（矩）與接觸力的關(guān)系。 機器人動力學(xué)研究機器人運動

2、與關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩）間的動機器人動力學(xué)研究機器人運動與關(guān)節(jié)驅(qū)動力（矩）間的動態(tài)關(guān)系。描述這種動態(tài)關(guān)系的微分方程稱為動力學(xué)模型。由態(tài)關(guān)系。描述這種動態(tài)關(guān)系的微分方程稱為動力學(xué)模型。由于機器人結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，其動力學(xué)模型也常常很復(fù)雜，因此于機器人結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，其動力學(xué)模型也常常很復(fù)雜，因此很難實現(xiàn)基于機器人動力學(xué)模型的實時控制。然而高質(zhì)量的很難實現(xiàn)基于機器人動力學(xué)模型的實時控制。然而高質(zhì)量的控制應(yīng)當基于被控對象的動態(tài)特性，因此，如何合理簡化機控制應(yīng)當基于被控對象的動態(tài)特性，因此，如何合理簡化機器人動力學(xué)模型，使其適合于實時控制的要求，一直是機器器人動力學(xué)模型，使其適合于實時控制的要求，一直是機器人動力

3、學(xué)研究者追求的目標。人動力學(xué)研究者追求的目標。34.1 4.1 機器人靜力學(xué)機器人靜力學(xué) 一、桿件之間的靜力傳遞一、桿件之間的靜力傳遞 在操作機中，任取兩連桿在操作機中，任取兩連桿 ， 。設(shè)在桿。設(shè)在桿 上的上的 點點作用有力矩作用有力矩 和力和力 ；在桿；在桿 上作用有自重力上作用有自重力 過質(zhì)過質(zhì)心心 ）；）； 和和 分別為由分別為由 到到 和和 的向徑的向徑。 iL1iL1iL1iO1iM 1iFiLiGiCir Cir iO1iOiC1iF1iM 4 按靜力學(xué)方法，把這些力、力矩簡化到按靜力學(xué)方法，把這些力、力矩簡化到 的固聯(lián)坐標系的固聯(lián)坐標系 ，可得：，可得：iLiiiiox y z

4、111iiiiiiiCiiFFGMMrFrG 1011011011110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiCiiFRFR GMRMrRFrR G 或或式中式中 ( 為桿為桿 的質(zhì)量的質(zhì)量)。0iiGm g imiL 求出求出 和和 在在 軸上的分量，就得到了關(guān)節(jié)力和扭矩，軸上的分量，就得到了關(guān)節(jié)力和扭矩，它們就是在忽略摩擦之后，驅(qū)動器為使操作機保持靜力平它們就是在忽略摩擦之后，驅(qū)動器為使操作機保持靜力平衡所應(yīng)提供的關(guān)節(jié)力或關(guān)節(jié)力矩，記作衡所應(yīng)提供的關(guān)節(jié)力或關(guān)節(jié)力矩，記作 ，其大小為，其大小為iFiM iziiiTiiiiiTiiizMzF.51111110iiiiiiiiiiiiii

5、iFRFMrRRM 當忽略桿件自重時當忽略桿件自重時 ，上式可簡記為，上式可簡記為 ：iG 若以若以 表示不計重力的關(guān)節(jié)力或力矩值，對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)表示不計重力的關(guān)節(jié)力或力矩值，對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)則有則有 ：0i,0()jni CiijijikrGjC 式中式中 是自是自 到桿到桿 的質(zhì)心的質(zhì)心 的向徑。的向徑。 ,ji CriOjL6一、研究目的：一、研究目的：1、合理地確定各驅(qū)動單元（以下稱關(guān)節(jié)）的電機功率。合理地確定各驅(qū)動單元（以下稱關(guān)節(jié)）的電機功率。2、解決對伺服驅(qū)動系統(tǒng)的控制問題（力控制）解決對伺服驅(qū)動系統(tǒng)的控制問題（力控制） 在機器人處于不同位置圖形（位形）時，各關(guān)節(jié)的有在機器人處于不同位置

6、圖形（位形）時，各關(guān)節(jié)的有效慣量及耦合量都會發(fā)生變化（效慣量及耦合量都會發(fā)生變化（時變的時變的），因此，加于各），因此，加于各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力也應(yīng)是時變的，可由動力學(xué)方程給以確定。關(guān)節(jié)的驅(qū)動力也應(yīng)是時變的，可由動力學(xué)方程給以確定。4-2 機器人動力學(xué)概述機器人動力學(xué)概述二、機器人動力學(xué)研究的問題可分為兩類：二、機器人動力學(xué)研究的問題可分為兩類： 1、給定機器人的驅(qū)動力（矩），用動力學(xué)方程求解機器、給定機器人的驅(qū)動力（矩），用動力學(xué)方程求解機器 人（關(guān)節(jié)）的運動參數(shù)或動力學(xué)效應(yīng)（即已知人（關(guān)節(jié)）的運動參數(shù)或動力學(xué)效應(yīng)（即已知 , 求求 和和 ，稱為動力學(xué)正問題。）。稱為動力學(xué)正問題。）。 2、給定機

7、器人的運動要求，求應(yīng)加于機器人上的驅(qū)動力、給定機器人的運動要求，求應(yīng)加于機器人上的驅(qū)動力（矩）（即已知（矩）（即已知 和和 ，求，求 , 稱為動力學(xué)逆問題稱為動力學(xué)逆問題 ）。）。, , 7三、動力學(xué)研究方法：三、動力學(xué)研究方法：1拉格朗日方程法：通過動、勢能變化與廣義力的關(guān)系，建拉格朗日方程法：通過動、勢能變化與廣義力的關(guān)系，建立機器人的動力學(xué)方程。代表人物立機器人的動力學(xué)方程。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等等。計算量。計算量O(n4)，經(jīng)優(yōu)化經(jīng)優(yōu)化O(n3)，遞推遞推O(n)。2牛頓牛頓歐拉方程法：用構(gòu)件質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動歐拉方程法

8、：用構(gòu)件質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動表示機器人構(gòu)件的運動，利用動靜法建立基于牛頓表示機器人構(gòu)件的運動，利用動靜法建立基于牛頓歐拉方程歐拉方程的動力學(xué)方程。代表人物的動力學(xué)方程。代表人物Orin, Luh(陸?zhàn)B生陸?zhàn)B生)等。等。計算量計算量O(n)。3高斯原理法高斯原理法: 利用力學(xué)中的高斯最小約束原理利用力學(xué)中的高斯最小約束原理,把機器人動把機器人動力學(xué)問題化成極值問題求解力學(xué)問題化成極值問題求解.代表人物波波夫代表人物波波夫(蘇蘇). 用以解決第用以解決第二類問題。計算量二類問題。計算量O(n3)。4凱恩方程法：引入偏速度概念，應(yīng)用矢量分析建立動力學(xué)凱恩方程法：引入偏速度概念，應(yīng)用矢量分析建立

9、動力學(xué)方程。該方法在求構(gòu)件的速度、加速度及關(guān)節(jié)驅(qū)動力時，只進方程。該方法在求構(gòu)件的速度、加速度及關(guān)節(jié)驅(qū)動力時，只進行一次由基礎(chǔ)到末桿的推導(dǎo)，即可求出關(guān)節(jié)驅(qū)動力，其間不必行一次由基礎(chǔ)到末桿的推導(dǎo)，即可求出關(guān)節(jié)驅(qū)動力，其間不必求關(guān)節(jié)的約束力，具有完整的結(jié)構(gòu)，也適用于閉鏈機器人。計求關(guān)節(jié)的約束力，具有完整的結(jié)構(gòu)，也適用于閉鏈機器人。計算量算量O(n!)。8v 系統(tǒng)的動能和勢能可在任何坐標系（極坐標系、圓柱坐系統(tǒng)的動能和勢能可在任何坐標系（極坐標系、圓柱坐 標系等）中表示標系等）中表示 ，不是一定在直角坐標系中，不是一定在直角坐標系中。 動力學(xué)方程為：動力學(xué)方程為： 廣義力廣義力 廣義速度廣義速度 廣

10、義坐標廣義坐標 （力或力矩）（力或力矩）（ 或或 ） （ 或或 ） vd4.3 拉格朗日方程拉格朗日方程應(yīng)用質(zhì)點系的應(yīng)用質(zhì)點系的拉格朗日拉格朗日方程來處理桿系的問題。方程來處理桿系的問題。 定義：定義：LLagrange函數(shù)；函數(shù)；T系統(tǒng)動能之和；系統(tǒng)動能之和；U系統(tǒng)勢能之和。系統(tǒng)勢能之和。4.3.1 剛體系統(tǒng)拉格朗日方程剛體系統(tǒng)拉格朗日方程UTqqLii), （iiiqLqLdtdQ9 設(shè)機器人的手臂i質(zhì)心在基礎(chǔ)坐標系中的平移速度向量為 角速度為 ，則桿i的動能為：civiiiTiciTciiiIvvmT2121手臂總能量為：niiTT1桿i在基礎(chǔ)坐標系中的速度與第i桿及其之前各桿關(guān)節(jié)速度的

11、關(guān)系為：iiAiiLiiAiiAiAiLiiLiLiciqJqJqqJJJJJJv)()12121（10111213動力學(xué)方程為4 機器人的牛頓機器人的牛頓歐拉方程歐拉方程 機器人的拉格朗日動力學(xué)模型為非線性二階常微分方程，機器人的拉格朗日動力學(xué)模型為非線性二階常微分方程，利用這些方程，由已知的每一軌跡設(shè)定點的關(guān)節(jié)位置、速度利用這些方程，由已知的每一軌跡設(shè)定點的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，可以計算各關(guān)節(jié)的標稱力矩，但拉格朗日方程利和加速度，可以計算各關(guān)節(jié)的標稱力矩，但拉格朗日方程利用用44齊次變換矩陣，使得計算效率太低。齊次變換矩陣，使得計算效率太低。 為了實現(xiàn)實時控制，

12、曾用過略去哥氏力和向心力的簡化模為了實現(xiàn)實時控制，曾用過略去哥氏力和向心力的簡化模型，但當操作機快速運動時，哥氏力和向心力在計算關(guān)節(jié)力型，但當操作機快速運動時，哥氏力和向心力在計算關(guān)節(jié)力矩中是相當重要的。因而這種簡化只能用于機器人的低速運矩中是相當重要的。因而這種簡化只能用于機器人的低速運動，在典型的制造業(yè)環(huán)境中，這是不合乎要求的。此外，這動，在典型的制造業(yè)環(huán)境中，這是不合乎要求的。此外，這種簡化所引起的關(guān)節(jié)力矩誤差，不能用反饋控制校正。種簡化所引起的關(guān)節(jié)力矩誤差，不能用反饋控制校正。 牛頓牛頓歐位法采用迭代形式方程，計算速度快，可用于實歐位法采用迭代形式方程，計算速度快，可用于實時控制，因而

13、成為一種常用的建模方法。時控制，因而成為一種常用的建模方法。19 剛體的運動可分解為隨質(zhì)心的移動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。借助于剛體的運動可分解為隨質(zhì)心的移動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。借助于桿件運動學(xué)知識，我們把達朗貝爾原理用于每個桿件，描述機桿件運動學(xué)知識，我們把達朗貝爾原理用于每個桿件，描述機器人各桿件的運動。達朗貝爾原理可應(yīng)用于任意瞬時，它實質(zhì)器人各桿件的運動。達朗貝爾原理可應(yīng)用于任意瞬時，它實質(zhì)上是牛頓第二運動定律的一種變型，可表示為：上是牛頓第二運動定律的一種變型，可表示為： 4.4.4 牛頓牛頓歐拉法基本運動方程歐拉法基本運動方程 iiiFm v牛頓定理牛頓定理 :歐拉方程歐拉方程 :()iiiiii

14、NII式中：式中： 桿桿i 質(zhì)量；質(zhì)量； 桿桿i上所有外力合力；上所有外力合力； 桿桿i上所有外力對質(zhì)心的合力矩；上所有外力對質(zhì)心的合力矩； 桿桿i 繞其質(zhì)心慣性矩陣。繞其質(zhì)心慣性矩陣。imiFiNiI()iiidm vFdt()iiidINdt201,1iiii iiFffm g1,1,11,1.() ()iiii ii cii iiciiiNNNrfrf 根據(jù)力（矩）平衡原理，在質(zhì)心處有：根據(jù)力（矩）平衡原理，在質(zhì)心處有：則有則有1,10iii iiiiffm gmv1,1,11,1.() ()()0iii ii cii iiciiiiiiiiNNrfrfII （24)方程方程（24 )即

15、為牛頓即為牛頓歐拉法的基本方程。歐拉法的基本方程。 ,1i if,1i iN1,iif1,iiNim giz1iz,ii Crioiyix1iy1ix1io21 上面推導(dǎo)的牛頓上面推導(dǎo)的牛頓歐拉法（也簡稱歐拉法（也簡稱N-E法）方程式含關(guān)節(jié)法）方程式含關(guān)節(jié)聯(lián)接的約束力（矩），沒有顯示地表示輸入聯(lián)接的約束力（矩），沒有顯示地表示輸入輸出關(guān)系，不適輸出關(guān)系，不適合進行動力學(xué)分析和控制器設(shè)計。如果變換成由一組完備且獨合進行動力學(xué)分析和控制器設(shè)計。如果變換成由一組完備且獨立的位置變量（質(zhì)心位置變量通常不是相互獨立的）和輸入力立的位置變量（質(zhì)心位置變量通常不是相互獨立的）和輸入力來描述，這些變量都顯式地

16、出現(xiàn)在動力學(xué)方程中，即得到來描述，這些變量都顯式地出現(xiàn)在動力學(xué)方程中，即得到顯式顯式的輸入的輸入輸出形式表示的動力學(xué)方程，稱為封閉形式的動力輸出形式表示的動力學(xué)方程，稱為封閉形式的動力學(xué)方程學(xué)方程（拉格朗日方程即是封閉的）。（拉格朗日方程即是封閉的）。 4.4.5 遞推形式的牛頓遞推形式的牛頓歐拉方程歐拉方程 關(guān)節(jié)變量關(guān)節(jié)變量 是一組完備且獨立的變量，關(guān)節(jié)力（矩）是一組完備且獨立的變量，關(guān)節(jié)力（矩） 是是一組從約束力（矩）中分解出來的獨立的輸入，所以用一組從約束力（矩）中分解出來的獨立的輸入，所以用 和和來描述方程，可以得到封閉形式的動力學(xué)方程。來描述方程，可以得到封閉形式的動力學(xué)方程。qq2

17、2 尋求轉(zhuǎn)動坐標系和固定慣性坐標系之間必要的數(shù)學(xué)關(guān)系尋求轉(zhuǎn)動坐標系和固定慣性坐標系之間必要的數(shù)學(xué)關(guān)系, 再再推廣到運動坐標系推廣到運動坐標系(轉(zhuǎn)動和平移轉(zhuǎn)動和平移)和慣性坐標系之間的關(guān)系。和慣性坐標系之間的關(guān)系。 4.4.1 轉(zhuǎn)動坐標系中固定向量的速度轉(zhuǎn)動坐標系中固定向量的速度232425運動學(xué)的遞推關(guān)系運動學(xué)的遞推關(guān)系262728 根據(jù)根據(jù)N-E法的基本方程，利用質(zhì)心運動變量與關(guān)節(jié)變量及關(guān)法的基本方程，利用質(zhì)心運動變量與關(guān)節(jié)變量及關(guān)節(jié)運動變量之間的關(guān)系以及約束力與關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系，消節(jié)運動變量之間的關(guān)系以及約束力與關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系，消去中間變量，可以得到封閉形式的動力學(xué)方程。但顯然不如用

18、去中間變量，可以得到封閉形式的動力學(xué)方程。但顯然不如用拉格朗日法簡單，特別是當機器人自由度較多時，更是如此。拉格朗日法簡單，特別是當機器人自由度較多時，更是如此。 因此，對于因此，對于N-E法，常用的不是它的封閉形式方程，而是它法，常用的不是它的封閉形式方程，而是它的遞推形式方程。方程（的遞推形式方程。方程（2424）可直接寫成如下遞推形式：）可直接寫成如下遞推形式： 1,1iii iiiiffmvm g1,1,11,1.()0iii ii cii iiciiiiiiiiNNrfrfII（25)而關(guān)節(jié)力（矩）可寫成如下形式：而關(guān)節(jié)力（矩）可寫成如下形式： 11,11,TiiiiiiTiiiii

19、zNbqzfbq對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對于移動關(guān)節(jié)（26)式中，式中， 為沿關(guān)節(jié)軸線為沿關(guān)節(jié)軸線 的單位矢量，的單位矢量， 為關(guān)節(jié)的粘滯阻尼系數(shù)。為關(guān)節(jié)的粘滯阻尼系數(shù)。 1izib1iz29 遞推形式的遞推形式的N-E法方程法方程與封閉形式方程比較，計算量從與封閉形式方程比較，計算量從減少到減少到 。 從而大大加快了計算速度。自由度越多，遞推形式的優(yōu)勢越明從而大大加快了計算速度。自由度越多，遞推形式的優(yōu)勢越明顯。對于典型顯。對于典型 n=6 的情形，遞推形式的計算效率幾乎提高的情形，遞推形式的計算效率幾乎提高1010倍。倍。因此，常用于實時計算。因此，常用于實時計算。 遞推形式遞推形式方程方程的特點是其

20、計算從機器人操作機的一個桿到另的特點是其計算從機器人操作機的一個桿到另一桿逐個順序進行的，它充分利用了操作機的串聯(lián)鏈特性，一桿逐個順序進行的，它充分利用了操作機的串聯(lián)鏈特性，常常用于求解動力學(xué)逆問題（即已知用于求解動力學(xué)逆問題（即已知 ，求，求 ）。）。 求解的大致過程為：根據(jù)運動和力的不同傳遞方向，進行運求解的大致過程為：根據(jù)運動和力的不同傳遞方向，進行運動量的向前迭代和力學(xué)量的向后迭代。動量的向前迭代和力學(xué)量的向后迭代。 具體步驟如下：具體步驟如下：4()O n( )O n ,30n1n210n,1n nf,1n nN動力學(xué)動力學(xué)計算計算運動學(xué)計算運動學(xué)計算22221,1111113331

21、22,cccccncnnnvvw wq q qvvw wvvw wq q qqqq 1 1確定計算確定計算N-E方程所需的所有運動量，包括每個桿件的方程所需的所有運動量，包括每個桿件的 （ ）由桿）由桿1 1 桿桿n：1,1,11,1.1,2,10,1()nnn nn cin nncininnnnnnnnnNNrfrfIINNN1,11,2,10,1nnn nnn cnnnnnffm gm vfffi2. . 將上述運動量代入將上述運動量代入N-E方程，確定關(guān)節(jié)力（矩）。計算順方程，確定關(guān)節(jié)力（矩）。計算順 序與運動量計算相反，由序與運動量計算相反，由桿桿n 桿桿1： iciiciwvwv ,

22、31 前述遞推運動方程的明顯缺點是所有慣性矩陣和物理幾何前述遞推運動方程的明顯缺點是所有慣性矩陣和物理幾何參數(shù)（如參數(shù)（如 ）等，都是以基礎(chǔ)坐系為參照的，因此，）等，都是以基礎(chǔ)坐系為參照的，因此，當機器人運動時，它們也隨著變化。當機器人運動時，它們也隨著變化。Luh等人等人改進了上述改進了上述N-E方程，將所有桿件的速度、加速度、慣性矩陣、質(zhì)心位置、方程，將所有桿件的速度、加速度、慣性矩陣、質(zhì)心位置、力和力矩等，都表示在各桿的自身坐標系中，從而使計算更力和力矩等，都表示在各桿的自身坐標系中，從而使計算更加簡單。加簡單。 這種改進的最重要的成果是，計算關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的時間不這種改進的最重要的成果是，計算關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的時間不僅與機器人關(guān)節(jié)數(shù)成線性比例，而且與機器人構(gòu)型無關(guān)。這僅與機器人關(guān)節(jié)數(shù)成線性比例，而且與機器人構(gòu)型無關(guān)。這就有可能在關(guān)節(jié)變量空間實現(xiàn)機器人的實時控制算法。就有可能在關(guān)節(jié)變量空間實現(xiàn)機器人的實時控制算法。4.4.5 在桿件自身坐標系中的遞推方程在桿件自身坐標系中的遞推方程iiiciizrr,1, 設(shè)設(shè) 是是3 33 3旋轉(zhuǎn)矩陣，它把矢量由坐標系旋轉(zhuǎn)矩陣，它把矢量由坐標系