直線方程和兩條直線的位置關系知識梳理

1、直線的方程和兩條直線的位置關系1 、在平面直角坐標系中，結合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2、理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；3、能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；4、掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式） 式與一次函數(shù)的關系；5、能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；6、掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。【知識網絡】考點一：直線的傾斜角與斜率1 直線的傾斜角一條直線l 向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角（如圖）要點詮釋：（ 1）當直線l 與 x軸平行或

2、重合時，規(guī)定它的傾斜角為00 .（ 2）直線 l 的傾斜角的取值范圍是：001800（或0）2直線的斜率直線 l 的傾斜角的正切值叫做此直線的斜率，記作k tan 。要點詮釋：當直線 l 與 x 軸垂直時，直線l 的斜率不存在.3直線的傾斜角與斜率間的關系（ 1 ）直線的傾斜角和斜率都是直線方向的數(shù)量表示. 它們反映了直線關于x 軸正向的傾斜程度（ 2）每條直線都存在唯一的傾斜角，但并非每條直線都存在斜率.（ 3）當k 0時， 0 ；當 k 0時，（0,900） ；當k 0時，（900,1800） 。4過兩點直線的斜率已知兩點A（x1,y1）、 B（x2,y2）的直線l當 x1 x2 ，即l

3、與 x 垂直時，直線l 的斜率不存在；當x1x2 ，即l 與 x 不垂直時，直線l 的斜率為：ky2y1（x1x20） 。x2 x1考點二：直線的方程1、點斜式：y y0k（x x0 ） （斜率存在）2、斜截式：y kx b （斜率存在）3、兩點式：y y1 x x1 （直線不平行于坐標軸）y2 y1x2 x14、截距式：x y 1 （橫縱截距存在且不為零）ab5、一般式：Ax By C 0 （ A、 B不同時為零）要點詮釋：前四種方程的應用是有限制條件的，用直線方程的一般形式解題可避免因考慮不周而導致失誤。考點三：兩直線的位置關系1 特殊情況下的兩直線平行與垂直（1） 當兩條直線的斜率都不存

4、在時，兩直線的傾斜角都為900，互相平行；（2） 當一條直線的斜率不存在（傾斜角為900） ，另一條直線的傾斜角為00時，兩直線互相垂直。2斜率都存在時兩直線的平行：（1 ）已知直線l1 : y k1x b1 和l2 : yk2xb2 ，則l1 / l2k1= k2且 b1b2（2）已知直線l1： A1x B1yC10和 l2：A2xB2y C20 （A1B1C10,A2B2C20） ，則A2B2C2要點詮釋：對于一般式方程表示的直線的位置的判定，可以先將方程轉化為斜截式形式，再作判定。3斜率都存在時兩直線的垂直：（ 1 ）已知直線l 1 : yk1xb1 和l2 : yk2xb2，則l1l2

5、k1k21 ；2)已知直線l1：A1xB1y C10和 l2：A2x B2y C20，則l1 l2A1A2B1B204兩條直線是否相交的判斷 兩條直線是否有交點，就要看這兩條直線方程所組成的方程組：是否有唯一解。A1xB1yC10A2xB2y C205點到直線距離公式：點 P(x0 , y0) 到直線l : Ax By C 0的距離為：Ax0 By0 CA2 B26兩平行線間的距離公式已知兩條平行直線l1和 l 2的一般式方程為l1： Ax By C1 0， l2： Ax By C2 0， 則 l1 與 l 2的距離為 dC1C2A2 B 2要點詮釋：一般在其中一條直線l 1上隨意地取一點M，

6、再求出點M到另一條直線l 2的距離即可?？键c四：對稱問題1 點關于點成中心對稱點關于點成中心對稱的對稱中心恰是這兩點為端點的線段的中點，因此中心對稱的問題是線段中點坐標公式的應用問題。設 P(x0, y0)，對稱中心為A(a,b) ，則 P關于A的對稱點為P (2a x0,2b y0) 。2點關于直線成軸對稱由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”。利用“垂直” “平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般情形如下：y y0 k 1 xx設點P(x0,y0)關于直線y kx b的對稱點為P (x , y )， 則有0， 求出 x 、 y 。y y0k x0 x b22

7、特殊地，點P (x0 , y0)關于直線x a的對稱點為P (2a x0, y0) ；點P(x0,y0) 關于直線y b的對稱點為 P (x0,2b y0)。3曲線關于點、曲線關于直線的中心或軸對稱一般是轉化為點的中心對稱或軸對稱(這里既可選特殊點，也可選任意點實施轉化)4兩點關于點對稱、兩點關于直線對稱的常見結論：( 1)點(x, y)關于x 軸的對稱點為(x, y)；( 2)點(x, y)關于y 軸的對稱點為( x,y)；( 3)點(x, y)關于原點的對稱點為( x, y)；(4)點(x, y)關于直線xy0的對稱點為(y, x)；(5)點(x, y)關于直線xy0的對稱點為( y, x

8、)。類型一：直線的傾斜角與斜率例 1 直線 xcos 3y 2 0的傾斜角的范圍是A6,22,565C0,6D56, 6所以直線的斜率為設直線的傾斜角為xcos 3y 2 0中的角并不是這條直線的傾斜角Bxcos 3y 2 0，則 tancos3 cos 333又因為，即tan ，333331y kx 2k 1 與直線 l : y x 2的交點在第一象限，求k 的取值范圍。l 過定點C（2 ， 1） ,2直線 l 與 x 軸， y 軸分別交于點A（ 4， 0） ， B（ 0， 2） ,kAC kkBC 時，動直線與直線l 交點在第一象限011211kAC, kBCAC 4 ( 2)6BC 0

9、( 2)211 k 為所求 .62類型二：兩直線的位置關系例 2 四邊形 ABCD 的頂點為A（2， 2 2 2） ， B（ 2， 2） ， C（0， 2 2 2） ， D（4， 2） ， 試判斷四邊形ABCD的形狀【思路點撥】證明一個四邊形為矩形，我們往往先證明這個四邊形為平行四邊形，然后再證明平行四邊形的一個角為直角.AB 邊所在直線的斜率kCDCD 邊所在直線的斜率BC 邊所在直線的斜率kBC2，DA邊所在直線的斜率kDA2kAB kCD， kBC kDA， AB CD ， BC DA，即四邊形ABCD 為平行四邊形又 kAB kBC22 ( 2)1， AB BC，即四邊形ABCD為矩形

10、【總結升華】證明不重和的的兩直線平行，只需要他們的斜率相等，證明垂直，只需要他們斜率的乘積為 -1.【舉一反三】【變式 1 】直線 l 1: ax+(1-a)y=3 與直線 l 2: (a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直，求a 的值。a=1 時， l 1: x=3,l 2: y3a 時，l 1: y23a 1 且 a 時，2l 1:6, l 2:5a2, l1 l2 54, 顯然兩直線不垂直xa1 a1l 2:k11a, k2，由a 12 2a 3k1 k2=-1 得aa11a 2yx2a 3 2a 31 a 1 ，解得 a=-32a 3當a=1 或a=-3 時，l1 l 2。方法二：a

11、(a -1)+(1-a)(2a+3)=0,當a=1 或a=-3 時，l1l 2。解得 a=1 或 a=-3類型三：直線的方程例 3 過點 P(2， 1)作直線 l 與 x 軸、 y 軸正半軸交于A、 B兩點， 求AOB面積的最小值及此時直線方程 .【思路點撥】因直線l 已經過定點P(2， 1)，只缺斜率，可先設出直線l 的點斜式方程，且易知l的k0 且 1-2k0k故 k0， b0，P(2， 1) 在直線 l 上，故 211 ，由均值不等式:1= 2122 得 ab 8, 當且僅當a ba b ab11，即a=4，b2解法三：如圖，過垂足分別為M、 N，設S=S 矩形 OMP+N S PAM+

12、Sb=2 時取等號，且S= 1 ab=4，此時l 方程為 x y242P（2， 1）作 x軸與 y 軸的垂線PM、 PN，= PAM= BPN，則AOB面積BPN11=21 cot 2tan 2 2 cot 2tan1, 即 :x+2y-4=0.11=4，當且僅當cot 2tan ,即tan 時，S AOB22有最小值4，故此時直線l 的方程為y-1=- 1 （x-2） ，即 :x+2y-4=0.2【總結升華】解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，解法三考慮到圖形的直觀性，利用了形數(shù)結合的思想，體現(xiàn)了解題的“靈活性”. 已知直線過一點時，常設其點斜式方程，但需注意斜率不存在的直線不能用點斜式

13、表示，從而使用點斜式或斜截式方程時，要考慮斜率不存在的情況，以免丟解. 而直線在坐標軸上的截距，可正、可負，也可以為零，不能與距離混為一談，注意如何由直線方程求其在坐標軸上的截距 .【舉一反三】【變式 1 】求通過點（1 ， -2） ，且與兩坐標軸圍成的圖形是等腰直角三角形的直線；x y 1 ，由已知條件得 ab12ab|a| |b|a 1 a3解之得 :或，b1b3故所求直線方程為:x+y+1=0 或 x-y-3=0.2】直線 l 過點 P（ 1,4） ，且在兩軸上的截距之和為零，求l 的方程。1）若直線l 過原點，設直線l ： y kx ,因為直線l 過點P（ 1,4） ，代入上式得41

14、k ，解得 k 4所以直線l 的方程為；y4x .（ 2）若直線l 在兩軸上截距不為零，設l 的方程為：x y 1 ，aa將 P（ 1,4） 代入上式得：14 1 ，解得 a5 ，aa x y 1 ，即 x y 5 0 , 55由（1 ） 、 （ 2）知：直線l 的方程為y 4x 或 x y 5 0.類型三：對稱問題例 4求直線a:2x y 4 0 關于直線l :3x 4y 1 0 對稱的直線b 的方程。【思路點撥】1. 曲線的對稱通常轉化為點的中心對稱或軸對稱（這里既可選特殊點，也可選任意點實施轉化） 。2. 由平面幾何知識可知，若a 與 b 關于 l 對稱，則應具有下列幾何性質：（ 1）若

15、點 A 在直線 a 上，則 A 點關于 l 的對稱點B 一定在直線b 上，即 l 為線段 AB 的垂直平分線( AB l ， AB的中點在l 上) ；( 2)設P(x, y) 是所求直線b 上一點，則P關于 l 的對稱點P (x ,y ) 的坐標適合直線a的方程；( 3)若a 與 b 相交，則l 過 a 與 b 交點，只需求出交點和一個對稱點，利用兩點式就可以求出答案；若a/ l ，則 b/ l / a ，三條直線的斜率相等，只需再求出一個對稱點，利用點斜式可以求出答案?！窘馕觥?方法一 ：在直線a:2x y 4 0上取一點A (2,0) ，設A點于l 的對稱點B(x0, y0) ，x2y03

16、 x04 y01 02248則 22，解得B(4 , 8) ，y0 0 45 5x0 2 32x y 4 0由，解得交點D (3, 2) 。3x 4y 1 0由兩點式可求得直線b 的方程：2x 11 y 16 0 。方法二 ：設 P(x, y) 是所求直線b 上任一點；設P 關于 l 的對稱點P (x ,y ) ，x x y y7x 24y 634 y y 1 0 x則有：22，解得25y y 424x 7y 8yx x 325 P (x ,y)在直線 a:2x y 4 0上， 2 7x 24y 624x 7y 8 4 0，整理得 2x 11y 16 0，2525故所求直線b的方程：2x 11

17、y 16 0?！究偨Y升華】1. 對稱問題是高考的熱點之一，一般包括點關于點對稱，直線關于點對稱，點關于直線對稱，直線關于直線對稱，要掌握通解通法和記憶一些常用結論。2. 求一條直線關于已知直線的對稱直線，基本方法之一在直線上任取兩點求其對稱點，方法之二是利用相關點伴隨曲線方法解決，其中方法 2 還可以推廣，如改變直線a為二次曲線C，仍可用此方法解決?！九e一反三】【變式】由點P( 2， 3)發(fā)出的光線射到直線x y 1 上，反射后過點Q( 1， 1) ，則反射光線所在直線的一般方程為【答案】：4x 5y 1 0解析：設點P 關于直線x y 1 的對稱點P (x0, y0) ，則P (x0,y0)

18、 滿足條件x0 2 y0 31221,y0 3 1,x0 231解得 P ( 4, 3) ， 由直線方程的兩點式可求得反射光線所在直線方程為y 1(x 1)，41即 4x 5y 1 0類型五：綜合應用例5.(2014 秋 渝中區(qū)校級期中)已知點A( 1，1)， B(2，2)，C(4，0)，D(，) ，點 P 在線段CD 垂直平分線上，求：1）線段 CD 垂直平分線方程；2） |PA|2+|PB|2取得最小值時P 點的坐標【解析】 （ 1）由C（ 4， 0） ， D（，） ，得線段 CD 的中點 M，線段 CD 的垂直平分線的斜率為，線段 CD 垂直平分線方程為：，即x 2y=0；（ 2）設P（ 2t， t） ，則）|PA|2+|PB|2=（2t 1）