第6講 高斯光束的傳輸變換

1、5.1 均勻介質(zhì)中的高斯光束均勻介質(zhì)中的高斯光束222020202200( )1( )1zzzzR zzzz 200020222002( , , )( , , )exp( )( )2 ( )1exp( )( )( )2 ( )expexp( )( )( )2 ( )ikzE x y zx y z ekrEi kzzizq zikEi kzzrzzR zrkrEi kzzzzR z高斯光束在軸線附近可以看成一種高斯光束在軸線附近可以看成一種非均勻高非均勻高斯球面波斯球面波，在傳播過程中，在傳播過程中曲率中心不斷改變曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯分布高斯分布，強(qiáng)度集

2、中，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相位面保持在軸線及其附近，且等相位面保持球面球面。022222211zrrrr22222222(1)02222(1)0dxdxxxdxdxdydxxyrdydy022( , , )ikzxyEx y z e22mnxxHyyH( , , )x y z0,022222( , , )22( )( )( )()exp(1) ( )( )2 ( )ml mnxyEx y zEHHzzzxyk xyikzmnzzR z012233( )1( )2( )42( )812HxH xxHxxHxxxTEM0TEM1TEM2厄米Hm(x)222xyFeHm(x)FIH2m(x)F

3、222110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk202020222000cossinsincoskkkzzkkkABCDkkkzzkkk00( )AqBq zCqD 高斯光束的特征參數(shù)高斯光束的特征參數(shù) 1、由、由(1)、(2)式可知，只式可知，只要確定了束腰的位置和半要確定了束腰的位置和半徑徑0 0，就可以確定任何位，就可以確定任何位置的光束半徑和等相位面置的光束半徑和等相位面半徑等參數(shù)；半徑等參數(shù)

4、；2222200220022200211200200( )11(1)( )11(2)( )tantan(3)(4)zzznznzR zzzzzzzznznz 高斯光束的特征參數(shù)高斯光束的特征參數(shù) 2 2、當(dāng)確定了某一確定位、當(dāng)確定了某一確定位置置z z處的處的(z)(z)和和R(z)R(z)后，后，也可以通過也可以通過(1)(1)、(2)(2)式求式求出束腰位置及大??；出束腰位置及大小；12220122( )( ) 1( )( )( ) 1( )zzR zR zzR zz3、用、用q參數(shù)表示參數(shù)表示 由由q參數(shù)的定義：參數(shù)的定義： 可知可知q參數(shù)將參數(shù)將R(z)和和(z)聯(lián)系在聯(lián)系在一起了，可

5、以求得：一起了，可以求得： 令令q0=q(0)，則：，則： 通過這些公式，我們可以用高斯光束的通過這些公式，我們可以用高斯光束的q參數(shù)來描述高斯光束。參數(shù)來描述高斯光束。 以上三組參數(shù)都可以用來確定高斯光束的具體結(jié)構(gòu)，需要根據(jù)實(shí)際問題以上三組參數(shù)都可以用來確定高斯光束的具體結(jié)構(gòu)，需要根據(jù)實(shí)際問題來靈活選擇使用哪種參數(shù)。來靈活選擇使用哪種參數(shù)。211( )( )( )iq zR zz211Re( )( )11Im( )( )R zq zzq z 200002011(0),(0)(0)(0)iRqiizqR q參數(shù)的單位？2222200220022200211200200( )11(1)( )11

6、(2)( )tantan(3)(4)zzznznzR zzzzzzzznznz211( )( )( )iq zR zz6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律 普通球面波在自由空間的傳播普通球面波在自由空間的傳播121211( )( )( )()( )R zzR zR zzzR zL121( )( )( )AR zBR zCR zD101L6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律 當(dāng)球面波通過焦距為當(dāng)球面波通過焦距為F的薄透鏡時(shí)，其波的薄透鏡時(shí)，其

7、波前曲率半徑滿足：前曲率半徑滿足：21111( )( )R zR zF121( )/1RR zRF121( )( )( )AR zBR zCR zD101/1F該式描述球面波曲率半徑該式描述球面波曲率半徑R在通過光學(xué)系統(tǒng)時(shí)的變換規(guī)律，稱在通過光學(xué)系統(tǒng)時(shí)的變換規(guī)律，稱為為ABCD定律。定律。 高斯光束在近軸部分可以看作一系列非均勻、曲率中心不斷改變高斯光束在近軸部分可以看作一系列非均勻、曲率中心不斷改變的球面波，也具有類似于普通球面波的曲率半徑的球面波，也具有類似于普通球面波的曲率半徑R的參數(shù)，即的參數(shù)，即q參參數(shù)：數(shù)： 整理可得：整理可得：211( )( )( )iq zR zz2202220

8、20( )1( )1R zzzzz其中其中 2220022222000011zzzR ZzzzzzzZzz6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)高斯光束在自由空間的傳輸高斯光束在自由空間的傳輸 通過整理通過整理q的表達(dá)式可以得到：的表達(dá)式可以得到： 可以得到通過長度為可以得到通過長度為L的均勻介質(zhì)后的的均勻介質(zhì)后的q參數(shù)如下，其中參數(shù)如下，其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分別為分別為z1和和z2面處的面處的q參數(shù)參數(shù)21211( )( )()( )q zq zzzq zL 0222220000222202222222001( )1izziR ZZzzzzq zizzqzzz

9、zzzzR ZZ6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)高斯光束在自由空間的傳輸高斯光束在自由空間的傳輸101L121( )( )( )Aq zBq zCq zD由薄透鏡性質(zhì)可知，在緊靠薄透鏡的由薄透鏡性質(zhì)可知，在緊靠薄透鏡的M1和和M2兩個(gè)面上的光斑大小和強(qiáng)度分布是兩個(gè)面上的光斑大小和強(qiáng)度分布是一樣的，即：一樣的，即：經(jīng)過薄透鏡變換后在像方繼續(xù)傳輸?shù)墓饨?jīng)過薄透鏡變換后在像方繼續(xù)傳輸?shù)墓馐詾楦咚构馐?。束仍為高斯光束?薄透鏡：薄透鏡：強(qiáng)度分布強(qiáng)度分布不變不變 球面球面波前波前曲率半徑曲率半徑的變換：的變換：R R2 2為等相位面曲率半徑，由球面波球率半為等相位面曲率半徑，由球面波球

10、率半徑的變換公式可得：徑的變換公式可得：12( )( )(1)ll2212222111( )iiq zRR21111111( )iRFq zF6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)高斯光束透過薄透鏡高斯光束透過薄透鏡2212222111( )iiq zRR21111111( )iRFq zF6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)高斯光束透過薄透鏡高斯光束透過薄透鏡121( )( )( )Aq zBq zCq zD22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk202020222000cossinsincoskkkzzkkkABCD

11、kkkzzkkk00( )AqBq zCqD6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)高斯光束透過類透鏡介質(zhì)高斯光束透過類透鏡介質(zhì)121211( )( )( )()( )R zzR zR zzzR zL21211( )( )()( )q zq zzzq zL1211( )( )=(z +( )AR zBR zRLCR zD）121( )( )( )Aq zBq zCq zD101LM101/1F121( )( )( )AR zBR zCR zD121( )/1RR zRF21111( )( )R zR zF21111111( )iRFq zF2212222111( )iiq zRR12

12、1( )( )( )Aq zBq zCq zD 通過將上面推出的公式同球面波的傳播特性公式相比較，可以通過將上面推出的公式同球面波的傳播特性公式相比較，可以看到無論是在對(duì)自由空間的傳播或?qū)νㄟ^光學(xué)系統(tǒng)的變換，看到無論是在對(duì)自由空間的傳播或?qū)νㄟ^光學(xué)系統(tǒng)的變換，高高斯光束的斯光束的q參數(shù)參數(shù)都起著和都起著和普通球面波的曲率半徑普通球面波的曲率半徑R相同的作用，相同的作用，因此有時(shí)將因此有時(shí)將q參數(shù)稱作參數(shù)稱作高斯光束的復(fù)曲率半徑高斯光束的復(fù)曲率半徑； 高斯光束通過光學(xué)元件時(shí)高斯光束通過光學(xué)元件時(shí)q參數(shù)的變換規(guī)律可以類似的用光線參數(shù)的變換規(guī)律可以類似的用光線矩陣表示出來：矩陣表示出來： 由前面的討

13、論我們知道可以用由前面的討論我們知道可以用q參數(shù)描述一個(gè)高斯光束的具體參數(shù)描述一個(gè)高斯光束的具體特征，而且可以通過特征，而且可以通過q參數(shù)和參數(shù)和ABCD法則很方便的描述一個(gè)高法則很方便的描述一個(gè)高斯光束在通過光學(xué)元件時(shí)的傳輸規(guī)律，因此我們將斯光束在通過光學(xué)元件時(shí)的傳輸規(guī)律，因此我們將。121( )( )( )Aq zBq zCq zD經(jīng)過兩個(gè)光學(xué)元件的高斯光束經(jīng)過兩個(gè)光學(xué)元件的高斯光束 設(shè)兩個(gè)光學(xué)元件的光線矩陣為設(shè)兩個(gè)光學(xué)元件的光線矩陣為 入射高斯光束參數(shù)為入射高斯光束參數(shù)為q1，經(jīng)，經(jīng)過第一個(gè)光學(xué)元件后有：過第一個(gè)光學(xué)元件后有： 經(jīng)過第二個(gè)光學(xué)元件后：經(jīng)過第二個(gè)光學(xué)元件后： 其中：其中：

14、其規(guī)律同光線傳輸規(guī)律相同，可以推廣到任意個(gè)光學(xué)元件的傳輸情況。其規(guī)律同光線傳輸規(guī)律相同，可以推廣到任意個(gè)光學(xué)元件的傳輸情況。11221122,ABABCDCD 1112111q ABqq CD222132221TTTTq ABq ABqq CDq CD22112211TTTTABABABCDCDCD6.2 高斯光束的傳輸與高斯光束的傳輸與q參數(shù)參數(shù)高斯光束透過兩個(gè)光學(xué)元件高斯光束透過兩個(gè)光學(xué)元件6.3 高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播 光線通過雙周期透鏡波導(dǎo)單元的光線矩陣為（光線通過雙周期透鏡波導(dǎo)單元的光線矩陣為（ABCD），那么經(jīng)），那么經(jīng)過過S個(gè)周期后，聯(lián)系個(gè)周期后，聯(lián)

15、系S1面和第面和第1面的光線矩陣是：面的光線矩陣是： 其中：其中：STTTTDCBADCBAsin()sin(1) sinsin()sin;cossin()2sinsin()sin(1) sinTTTTAssABsBADCsCDssD221212121211111dAFdBdFdCFFFdddDFFF 用數(shù)學(xué)歸納用數(shù)學(xué)歸納法可以證明法可以證明6.3 高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高斯光束通過透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定性條件由光束參數(shù)變換法則：要使得上式中qs+1為有限值，即光束約束在透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播，就要求為實(shí)數(shù)，即 ，由此可得到光束穩(wěn)定性條件：如果為虛數(shù)，不妨設(shè)=ia，則 會(huì)隨著S的增加而增加，qs+1沒有確定值，不穩(wěn)定。11111sin()sin(1) si