D9_8極值與最值20160318

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題 三、條件極值三、條件極值 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內(nèi)有xyzOx

2、yzOxzyO(極小值).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點 (0,0) 無極值.yxz 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示提示: 由題設(shè) 例例1. 已知函數(shù)(D) 根據(jù)條件無法判斷點(0, 0)是否為f (x,y) 的極值點.則( )0 , 0(),(在點yxf的某個鄰域內(nèi)連續(xù), 且.),()0 , 0()(的極值點不是點yxfA, 1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0 , 0()(的極大值點是點yxfB.),()0 , 0()(的極小值點是點yxfC0lim,1)(),(00222yxyxyxyxf其中222222)()(),(yxyxyxyxf確定的正負由的鄰近，在

3、yxyxf),()00(A(2003 考研)00lim ( , )0 xyf x y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示提示: 取兩條路徑:例例1. 已知函數(shù)(D) 根據(jù)條件無法判斷點(0, 0)是否為f (x,y) 的極值點.則( )0 , 0(),(在點yxf的某個鄰域內(nèi)連續(xù), 且.),()0 , 0()(的極值點不是點yxfA, 1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0 , 0()(的極大值點是點yxfB.),()0 , 0()(的極小值點是點yxfC,yx244(0 0)( , )4()f x xxxo x在 ，的鄰近A(2003 考研),yx 244(0 0)( ,)

4、4()f xxxxo x 在 ，的鄰近0,0,故點(0, 0)不是f (x,y) 的極值點.應(yīng)選(A)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

5、束 極值點的幾何意義極值點的幾何意義： 若曲面z=f(x,y)在點 處有切平面，則切平面使函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)同時為0的點，稱為駐點.),(000zyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx成為平行于xoy坐標面的平面00 zz說明：具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點，但駐點不一定是極值點。 極值點也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點。 極值點只可能在駐點或使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點中產(chǎn)生.例如,有駐點( 0, 0 )yxz 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時, 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當證明見 第九節(jié)(P1

6、22) . 時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求極值的步驟求極值的步驟第一步 解方程組0),( 0),( 0000yxfyxfyx得一切駐點;第二步 對所求的駐點),(00yx求出二階偏導(dǎo)數(shù)),(),(00 00 yxfyxfxyxx、),(00 yxfyy和. ),( 00，是極大值還是極小值是否是定判由充分條件定理的符號，定出第三步y(tǒng)xf極值 ACB2目

7、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.2. 求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),

8、(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習練習. .求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點:第二步第二步 判別判別.在點(0,0) 處不是極值;解方程組ABC),(yxfx2(62 )(4)0 xyy),(yxfy2(6)(42 )0 xxy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)2( , )28 ,xxfx yyy( , )4(3)(2),xyfx yxy2( ,

9、 )212yyfx yxx0,A 24,B 0,C 22240,ACB (0,0)f22( , )(6)(4)f x yxxyy(0,0);(0,4);(6,0);(6,4);(3,2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(6,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.2( , )28 ,xxfx yyy( , )4(3)(2),xyfx yxy2( , )212yyfx yxx0,A 24,B 0,C 22240,ACB (6,0)f8,0,18ABC (3,2)36f21440,ACB,0A在點(0,4) 處不是極值;0,24,0ABC (0,4)f22240,ACB ABC在點(6,4

10、) 處不是極值;0,A 24,B 0,C 22240,ACB (6,4)f綜上所述，函數(shù)的極大值為36，無極小值.駐點:(0,0);(0,4);(6,0);(6,4);(3,2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當 yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxzOxyz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

11、二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小值)(Pf為最小值( (大大) )( (大大) )依據(jù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 4.解解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yy

12、xA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大

13、值在定義域D 內(nèi)達到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0

14、),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.分析：分析：如方法 1 所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點必滿足記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx設(shè), )(xy)(,(xxfz例如例如,值問題, 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 構(gòu)

15、造拉格朗日函數(shù)：( ,)( ,)( ,)L x yfx yx y其中 為參數(shù)，稱之為拉格朗日乘子(2) 聯(lián)解方程組，求出問題問題的所有可能的極值點。求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值。( , , )xLx y( , )( , )0 xxfx yx y( , , )yLx y( , )( , )0yyfx yx y( , , )Lx y( ,)0 x y(3) 進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束

16、條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 要設(shè)計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20Vzyxyxz

17、yzxFxyz試問目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當高為,340Vxyz思考思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .最省,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,長方體容積最大.z 使在條件3

18、+22360,0,0 xyxzyzxyz，Vxyz (32()36)Lxyzxyxzyzxyz六、應(yīng)用題（滿分10分）: 要造一個長方體無蓋容器，底部造價為每平方米3元，側(cè)面造價為每平方米1元，如果用36元造一個容積最大的容器，如何設(shè)計它的尺寸。(32 )0,(32 )0,(22 )0,32236,xyzLyzyzLxzxzLyxyxxyxzyz下得唯一駐點 (2，2，3).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由問題本身可知最大值一定存在，知該點為最大值點，即當容器的長寬高分別為2、2、3米時，容器體積最大. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利

19、用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F目錄 上頁 下頁 返回

20、結(jié)束 P121 2，3，5，7，9，11習題課 作業(yè)作業(yè) 預(yù)習預(yù)習 第十章重積分第十章重積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示: 設(shè) C 點坐標為 (x , y),思考與練習思考與練習 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yxCBAyxEDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應(yīng)面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222y

21、xyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS點擊圖中任意點動畫開始或暫停目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注 備用題備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x, y, z, ,2zyxzyx它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉氏函數(shù))2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332

22、R0cosy0cosz02zyx注則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中面積最大者. BCA1A若ABC 位于半圓內(nèi)(如圖) , 則其BC 邊上的高小于A1BC 同邊上的高, 故前者的面積小于后者， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標函數(shù)和約束條件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目標函數(shù)目標函數(shù) :cos2cos22222dcdcbaba約束條件約束條件 :dcba,abcd答案答案:,即四邊形內(nèi)接于圓時面積最大 .2. 求平面上以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè)某電視機廠生產(chǎn)一臺電視機的成本為c, 每

23、臺電電視機的銷售價格為p, 銷售量為x, 假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài), 即生產(chǎn)量等于銷售量. 根據(jù)市場預(yù)測, x 與p 滿 足關(guān)系:(0,0)eapxMMa其中M是最大市場需求量, a是價格系數(shù).又據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析, 預(yù)測每臺電視機的生產(chǎn)成本滿足:) 1, 0(ln0 xkxkcc其中c0是生產(chǎn)一臺電視機的成本, k是規(guī)模系數(shù). 問應(yīng)如何確定每臺電視機的售價 p , 才能使該廠獲得最大利潤？解解: 生產(chǎn)x臺獲得利潤xcpu)(問題化為在條件, 下求xcpu)(的最大值點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0, 0(aMMexpa) 1, 0(ln0 xkxkccxcpu)(作拉格朗日函數(shù)xcp

24、cpxL)(),()eapxM)ln(0 xkcc令0)(xkcpLx0eappLxaM0 xLc將代入得,1a由得1x將以上結(jié)果及, 代入, 得解得kakMkcppa1ln10*因問題本身最優(yōu)價格必定存在, 故此 p* 即為所求.01)(ln0kapaMkcp目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 拋物面 被平面 截成一橢圓,22zxy1xyz 求原點到這橢圓的最長與最短距離。分析：設(shè) 為橢圓上任一點, 則 到原點的距( , , )P xyzP222dxyz . 又 點既在拋物面上, 又在已知平面上,P故本題可轉(zhuǎn)化為求目標函數(shù) 在約束條件222dxyz 22zxy及 下的最大值和最小值。可用

25、拉格朗日乘數(shù)法求解。 1xyz 解：設(shè) 橢圓上任一點，則它到原點的距離為 ( , , )P xyz222.dxyz下面求 在約束條件2222dxyz22zxy及1xyz 離為下的最值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令 22222( , , )()(1)L xyzxyzzxyxyz 解方程組 222202202010 xyzLxxLyyLzzxyxyz 得兩個駐點 11313(, , 23)22M 21313(, , 23)22M 由已知條件可知本題的最大值與最小值一定存在；而駐點只有兩個,故最大值、最小值一定在這兩個駐點處取得。 由于 21()95 3dM 22()95 3dM 故最長距離為

26、95 3 , 最短距離為 95 3 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8：求求xyzu 在條件在條件解：解：azyx1111 下的極值，下的極值，其中，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。（1）作拉格朗日函數(shù)）作拉格朗日函數(shù))(),(azyxxyzzyxL1111 （2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組, 02 xyzLx 02 yzxLy , 02 zyxLz 01111 azyxL 由對稱性知，由對稱性知，x = y = z ，代入最后一個方程解得代入最后一個方程解得這是唯一可能的極值點這是唯一可能的極值點, azyx3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8：求xyzu 在條件解：

27、azyx1111 下的極值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。這是唯一可能的極值點,azyx3 （3）判斷：設(shè)條件azyx1111 所確定的隱函數(shù)為),(yxz 代入目標函數(shù)中得),(yxyxu 它有唯一駐點 ( 3 a , 3 a ),經(jīng)計算可得,|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 , 02722aBAC, 06aA且所以， ( 3a , 3a ) 是函數(shù) u = x y ( x , y ) 的極小值點從而原條件極值問題有極小值點 ( 3a , 3a , 3a)對應(yīng)的極小值為.327au 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

28、例例9 9解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任一點為拋物面為拋物面設(shè)設(shè).2222之之間間的的最最短短距距離離與與平平面面求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面 zyxyxz),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)( 2)0,(3)3,(4)xyzFxyzxFxyzyFxyzzxy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一駐點即得唯一駐點處取得最小值處取得最小值駐點，故必在駐點，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1314. 綜合題（每小題10分，共20分）331xxyy(0,0)xy 1. 求曲線原點的最長距離與最短距離.解方程組22( , ),f x yxy22332(3)02(3)010 xyFxxyFyyxFxxyy 得駐點設(shè)曲線上的點到坐標原點的距離的平方為(1,1),故最長距離是2，解解: 上的點到坐標2233(1)Fxyx