專升本中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1專升本中值定理與導(dǎo)數(shù)專升本中值定理與導(dǎo)數(shù)(do sh)的應(yīng)用的應(yīng)用第一頁，共79頁。1.1羅爾羅爾(Rolle)定理定理(dngl)21.2拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理(dngl) 1.3柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理微分中值定理微分中值定理函數(shù)的性態(tài)函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)第1頁/共79頁第二頁，共79頁。1.1羅爾(Rolle)定理(dngl) . 0)(f使得使得abxyo)(xfy C12 圖圖1在定理的條件下在定理的條件下, 區(qū)間區(qū)間 內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在),(ba)(,(f一點(diǎn)一點(diǎn) ，使得曲線在點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn) 具有水平切線具有水平切

2、線 。 幾何幾何(j h)(j h)意義：意義：)(xf定理定理1 (Rolle)若函數(shù)若函數(shù)滿足條件：滿足條件：,ba(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)；上連續(xù)；),(ba(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；)()(bfaf(3),( ba則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)第2頁/共79頁第三頁，共79頁。有且僅有兩個(gè)有且僅有兩個(gè)(lin )實(shí)根，并指出根存在的區(qū)間實(shí)根，并指出根存在的區(qū)間.)3)(2)(1()(xxxxf0)( xf例例1設(shè)設(shè)，證，證明明證證 方程方程 有解有解0)(xf3, 2, 1321xxx2 , 1 3 , 2在區(qū)在區(qū)間間和和上用定理上用定理1，可知，可知 ),3 , 2(

3、),2 , 1 (21, 0)(, 0)(21ff使得使得 有且僅有兩個(gè)根，且分別位于有且僅有兩個(gè)根，且分別位于)2 , 1 ()3 , 2(和和內(nèi)。內(nèi)。又又)(xf 0)( xf為二次函數(shù)，最多有兩個(gè)實(shí)根，故為二次函數(shù)，最多有兩個(gè)實(shí)根，故第3頁/共79頁第四頁，共79頁。1.2拉格朗日中值定理(dngl)abafbff)()()(或?qū)懗苫驅(qū)懗?).)()()(abfafbf上述公式上述公式(gngsh)(gngsh)稱為拉格朗日稱為拉格朗日中值公式中值公式(gngsh)(gngsh)。,ba（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間上連續(xù)；上連續(xù)；),(ba（ 2）在開區(qū)間）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)；),(ba

4、則在則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，使得定理定理2 (Lagrange)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf滿足條件：滿足條件：也成立也成立. ab 且對于且對于第4頁/共79頁第五頁，共79頁。.),(,(ABfAB線平行于弦在該點(diǎn)處的切點(diǎn)上至少有一在曲線弧ab1 2 xCxy0ABNM幾何意義幾何意義:)(xfy如果連續(xù)曲線如果連續(xù)曲線上除端點(diǎn)外處處上除端點(diǎn)外處處x具有不垂直具有不垂直于于軸的切線軸的切線, 則則圖圖2推論推論 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf即即).,(,)(),(, 0)(baxCxfbaxxf其中其中(qzhng)C為常為常數(shù)數(shù).),(ba0)( xf在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且)

5、(xf為常數(shù)為常數(shù).則在則在),(ba內(nèi)內(nèi)第5頁/共79頁第六頁，共79頁。例例2 2 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) 12xxy2 , 0在區(qū)間在區(qū)間上滿足拉上滿足拉12xxy證證2 , 0為二次函數(shù)，故在為二次函數(shù)，故在上連續(xù)上連續(xù),滿足滿足(mnz)(mnz)定理定理2 2的條件，的條件，從而從而 )2 , 0(. 122) 0() 2(ff使得使得(sh de)由由1)0(, 7)2(ff. 1得得格朗日中值定理的條件格朗日中值定理的條件, 并求出定理中的并求出定理中的值值.在在)2 , 0(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),第6頁/共79頁第七頁，共79頁。例例 3 證 明證 明(zhngmng).2cotarcta

6、nxarcx證令證令,cotarctan)(xarcxxf. 01111)(22xxxf,即即.2C所以所以.2cotarctanxarcxCxf)(2441cot1arctanarc又又第7頁/共79頁第八頁，共79頁。證證),1ln()(ttf設(shè))0(),0)()0()(xxffxf ,2, 0)(的條件上滿足定理在xtf,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xx,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即x 0又又, 11111 xx1110 x例例4 4 證明證明:當(dāng)當(dāng).)1ln(1xxxx時(shí)時(shí), ,第8頁/共79頁第九頁，共79頁。定義定義(dngy).00

7、)()(lim)()()()(型未定式或常把這種極限稱為在通可能存在、也可能不存極限大，那末都趨于零或都趨于無窮與時(shí)，兩個(gè)函數(shù)或如果當(dāng)xgxfxgxfxaxxax第9頁/共79頁第十頁，共79頁。)()(limxgxf函數(shù)函數(shù)(hnsh)之之商的極限商的極限 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)之之商的極限商的極限 轉(zhuǎn)化(zhunhu)00( 或 型) )()(limxgxf洛必達(dá)法則 本節(jié)研究本節(jié)研究: 第10頁/共79頁第十一頁，共79頁。0)(lim)(lim) 1 (00 xgxfxxxx0)( xg.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx2.1 型未定式 00 定理定理1 設(shè)設(shè)

8、)()(xgxf與滿足條件滿足條件:(2)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x),(0 xUo內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且的某個(gè)去心鄰域的某個(gè)去心鄰域(3)()(lim0 xgxfxx存在或?yàn)榇嬖诨驗(yàn)?()(lim0 xgxfxx則則存在存在(或?yàn)榛驗(yàn)?,且且第11頁/共79頁第十二頁，共79頁。bxaxxsinsinlim0例例1求求).0( b解解.coscoslimsinsinlim00babxbaxabxaxxx例例2 求求.sinlim30 xxxx616sinlim3cos1limsinlim02030 xxxxxxxxxx解解第12頁/共79頁第十三頁，共79頁。xxxxx33123lim例例3 求求. 013

9、33lim23lim221331xxxxxxxx解解注意: 不是(b shi)未定式不能用洛必達(dá)法則 !第13頁/共79頁第十四頁，共79頁。2. 2 型未定式 定理定理2 2 設(shè)設(shè) 滿足條件滿足條件: )()(xgxf與0)( xg(3) 存在或?yàn)榇嬖诨驗(yàn)?)()(lim0 xgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx)(lim,)(lim) 1 (00 xgxfxxxx0 x),(0 xUo(2)在點(diǎn)在點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且的某個(gè)去心鄰域的某個(gè)去心鄰域)()(lim0 xgxfxx則則存在存在(或?yàn)榛驗(yàn)?,且且第14頁/共79頁第十五頁，共79頁。例例4 求求).

10、( ,lnlim Nnxxnx解解01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx例例5 求求.lim310 xexx310limxexx. 06lim3limlim23tttttteetetxt1,得得解令解令第15頁/共79頁第十六頁，共79頁。提示提示(tsh(tsh):):對對型，再利用型，再利用(lyng)(lyng)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則求值。求值。 00,1 ,0 ,0, ,先將其轉(zhuǎn)化為先將其轉(zhuǎn)化為或00解決方法解決方法:轉(zhuǎn)化00取倒數(shù)型0)(1)()(1)()()(xfxgxgxfxgxf即即第16頁/共79頁第十七頁，共79頁。例例7 求求.lnlim0 xxnx)0(

11、nxnxxxxx1lnlimlnlim00解解0lim0nxnx若遇有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)若遇有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù), 取倒數(shù)取倒數(shù)(do sh)時(shí)一般應(yīng)時(shí)一般應(yīng)將對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)保留將對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)保留(boli)在在分子分子.提示提示(tsh)1001limlnlimnxnxnxxxx第17頁/共79頁第十八頁，共79頁。例例8 求求)().sin11(lim0 xxx)sin11(lim0 xxxxxxxxxxxxxcossin1coslimsinsinlim00解解. 0sincos2sinlim0 xxxxx一般是通過通分一般是通過通分(tng fn)(tng fn)或有理

12、化的或有理化的方法將其化為方法將其化為或00型型 .解決解決(jiju)方法方法:第18頁/共79頁第十九頁，共79頁。,1 ,000先取對數(shù)先取對數(shù)(du sh),(du sh),將將其轉(zhuǎn)化為其轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為 0或00型型. 解決解決(jiju)方法方法:第19頁/共79頁第二十頁，共79頁。例例9 求求.limsin0 xxx)0(0解解 設(shè)設(shè)xxysinxxylnsinlnxxyxxcsclnlimlnlim000sincossinlimcossinlimcotcsc1lim0200 xxxxxxxxxxxxx)(xxxsin0lim. 1lim0lnlimln00eeeyyxx

13、于是于是(ysh),取對數(shù)取對數(shù)(du sh)得得第20頁/共79頁第二十一頁，共79頁。10第21頁/共79頁第二十二頁，共79頁。.sintanlim20 xxxxx例例11 求求提示提示: :先作一個(gè)等價(jià)先作一個(gè)等價(jià)(dngji)(dngji)無窮小代替，再用洛無窮小代替，再用洛必達(dá)法則必達(dá)法則. . 解解3020tanlimsintanlimxxxxxxxxx.316tansec2lim31seclim20220 xxxxxxx第22頁/共79頁第二十三頁，共79頁。例如(lr),xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1用洛必達(dá)法則(fz)1

14、) 在滿足定理?xiàng)l件的某些在滿足定理?xiàng)l件的某些(mu xi)情況下洛必達(dá)法則不情況下洛必達(dá)法則不能解決能解決 計(jì)算問題計(jì)算問題 . 說明: 第23頁/共79頁第二十四頁，共79頁。,)()()(lim時(shí)不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例例12xxxxsinlim1cos1limxx極限(jxin)不存在)sin1 (limxxx12) 若 第24頁/共79頁第二十五頁，共79頁。xyoxyoabABabBA3.1 函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性 第25頁/共79頁第二十六頁，共79頁。例例1 1判定判定(pndng)(pndng)函數(shù)函數(shù)xxysin),(解解 函數(shù)函數(shù)(h

15、nsh)的定的定義域?yàn)榱x域?yàn)?),(x0cos1xy0 y又又)( ,2Znnx均為弧立點(diǎn)均為弧立點(diǎn), ),(在在 內(nèi)內(nèi),函數(shù)函數(shù)單調(diào)增加單調(diào)增加 .的單調(diào)的單調(diào)(dndio)(dndio)性。性。第26頁/共79頁第二十七頁，共79頁。導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn)駐點(diǎn)(zh din)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)界點(diǎn)問題: 如上圖，函數(shù)(hnsh)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè) 部分區(qū)間上單調(diào)定義 若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間(q jin)內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū) 間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(q jin).方法: 用方程 f (x) = 0 的根及 f (x) 不

16、存在的點(diǎn)來劃分 函數(shù) f (x) 的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號。 第27頁/共79頁第二十八頁，共79頁。12xoy12例 確定函數(shù) f (x) = 2x3 9x2 + 12x 3 的單調(diào)(dndio)區(qū)間. 解：f (x) = 6x2 18x + 12 = 6(x 1) (x 2) 令 f (x) = 0， 得 x = 1，x = 2， x f (x) f (x) 1 2 (,1) (1, 2) (2,+) + + 0 0 2 1 故 f (x) 的單調(diào)(dndio)增區(qū)間為 (,1)， (2,+)； 單調(diào)(dndio)減區(qū)間為 (1, 2) . 列表(li bio)討論第28頁/共

17、79頁第二十九頁，共79頁。yxo(1) 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外，也可是(ksh)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例如例如(lr)(lr)，(2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號，如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號， 則不改變則不改變(gibin)函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性。例如例如，yox說明： 第29頁/共79頁第三十頁，共79頁。 . 82 的單調(diào)性討論xxy) , 0()0 ,( :定義域282xy)4(222xx得令 , 0 y, 2 , 221xxxyy)2 , (20) , 2(02) , 0(2) , 2(00例1解第30頁/共79頁第三十一頁，共79頁。xxy82 ,函數(shù)綜上所述 ) (2, ,

18、)2 ,( ；內(nèi)單調(diào)增加在 . )2 , 0( , )0 , 2( 內(nèi)單調(diào)減少在 列表可使問題明朗化第31頁/共79頁第三十二頁，共79頁。 函數(shù)的單調(diào)函數(shù)的單調(diào)(dndio)性在證明中的應(yīng)性在證明中的應(yīng)用用1.利用函數(shù)利用函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性證明不等的單調(diào)性證明不等式式，x時(shí)0.1211xx例例 3 證 明證 明(zhngmng)：當(dāng)當(dāng)證證 取取, 0, 0)111 (2112121)(xxxxf, 0, 0)0()(xfxf,1211)(xxxf)(xf, 0在區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)增加，從而上單調(diào)增加，從而即即當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),有有，x0.1211xx第32頁/共79頁第三十三頁，共79頁。小結(jié)小

19、結(jié) 利用函數(shù)增減利用函數(shù)增減(zn jin)(zn jin)性證明函數(shù)性證明函數(shù)不等式（在某不等式（在某指定區(qū)間指定區(qū)間(q jin)(q jin)內(nèi)）的步內(nèi)）的步驟為驟為: :(1)移項(xiàng)移項(xiàng)(y xin)，使不等式一邊為，使不等式一邊為0,另一邊設(shè)為函另一邊設(shè)為函數(shù)數(shù) ； )(xf作比較即得所證。作比較即得所證。(2)求求 f x ( )(xf在所指定區(qū)間的增減性；在所指定區(qū)間的增減性；,并驗(yàn)證并驗(yàn)證(3)求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后)(xf由單調(diào)性由單調(diào)性第33頁/共79頁第三十四頁，共79頁。2.利用函數(shù)的單調(diào)利用函數(shù)的單調(diào)(dndio)性證明方程根性證明方程根的

20、唯一性的唯一性 015 xx例例1 1 試證方程試證方程(fngchng)(fngchng)有且僅有一個(gè)有且僅有一個(gè)(y (y )根。根。 ),(, , 015)(5xxxf)(xf15 xx證令證令,有有x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，即軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，即 與與)(xf)(xfy ),(在在上單調(diào)增加，因此曲線上單調(diào)增加，因此曲線015 xx有一個(gè)實(shí)根有一個(gè)實(shí)根. .又又 最多最多, 01) 1 (, 01) 0 (ff即即c為上方為上方程的根。故程的根。故方程有且只有一個(gè)根方程有且只有一個(gè)根. )(xf在在 1 , 01 , 0c由零點(diǎn)定理可知，由零點(diǎn)定理可知， , 0)(cf,使使上連續(xù)上連續(xù),第

21、34頁/共79頁第三十五頁，共79頁。36有且只有一個(gè)實(shí)根。有且只有一個(gè)實(shí)根。證明方程證明方程0arctan4 xx ，設(shè)設(shè)xxxfarctan4)( .1)1( ,4)0( ff .)(至至少少有有一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xf.)( 至多有一個(gè)零點(diǎn)至多有一個(gè)零點(diǎn)xf.)( 單單調(diào)調(diào)增增加加xf0111)(2 xxf又又由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在(cnzi)定理知，定理知，有且只有一個(gè)實(shí)根。有且只有一個(gè)實(shí)根。0)( xf利用利用(lyng)函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根。函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根。例例2 2證證第35頁/共79頁第三十六頁，共79頁。定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)

22、間 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, )(xf),(ba),(0bax 如果存在點(diǎn)如果存在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域 0 x),(),(0baxU, ,使得對于使得對于 )(),(00 xxxUx)()(0 xfxf,有有 ,則稱則稱 為為)(0 xf)(xf的的極小值極小值. . 稱為稱為 的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn); 0 x)(xf)(),(00 xxxUx ,則稱則稱)(0 xf若若對對)()(0 xfxf有)(xf的的極大值極大值. . 稱為稱為 的的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn). . 0 x)(xf為為極大值和極小值統(tǒng)稱極大值和極小值統(tǒng)稱(tngchng)為極值為極值;極大值點(diǎn)和極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(t

23、ngchng)為極值點(diǎn)。為極值點(diǎn)。第36頁/共79頁第三十七頁，共79頁。3.2 函數(shù)(hnsh)的極值 第37頁/共79頁第三十八頁，共79頁。第38頁/共79頁第三十九頁，共79頁。oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第39頁/共79頁第四十頁，共79頁。第40頁/共79頁第四十一頁，共79頁。xyoxyo0 x0 x(是極值(j zh)點(diǎn)情形) xyoxyo0 x0 x(不是不是(b shi)極值點(diǎn)情極值點(diǎn)情形形) + + + + 第41頁/共79頁第四十二頁，共79頁。及及)(xf 不存在的點(diǎn)。不存在的點(diǎn)。第42頁/共79頁第四十三頁，共79頁。解解

24、函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)的定的定義域?yàn)榱x域?yàn)?) 1)(2(61266)(2xxxxxf).,(令令 ,得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) 0)( xf1, 220 xx.例例5 5 求函數(shù)求函數(shù)11232)(23xxxxf的極值。的極值。)(xf )(xf+00+有極大 值有極小 值x)2,(2) 1 , 2(), 1 ( 1列表列表(li (li bio)bio)討論討論: : )(xf2x21)2(f在在處取得極大值處取得極大值1x6) 1 (f在在處取得極小值處取得極小值第43頁/共79頁第四十四頁，共79頁。解解 在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).當(dāng)當(dāng) )(xf),(0 x時(shí)時(shí),例例6 求函數(shù)求函數(shù)3223)(

25、xxxf的極值。的極值。,) 1)(1)(1(23313132xxxx0 x)(xf 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),不存在不存在.0)( xf1x令令 ,有有 .3343) 1(222)(xxxxxf第44頁/共79頁第四十五頁，共79頁。列表列表(li bio)討論如下討論如下:)(xf 不存在0極小值2極大值 0極小值2x) 1,(1)0 , 1(), 1 ( (0,1)01)(xf +0在在 處取得極大值處取得極大值 .0 x可知可知 在在 處取得極小值處取得極小值 )(xf1x2) 1(f,第45頁/共79頁第四十六頁，共79頁。第46頁/共79頁第四十七頁，共79頁。定理定理4(4(第二充分條件第二充

26、分條件) )0 x)(xf設(shè)設(shè) 在在 處具有二階處具有二階0)(0 xf導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且, ,那末那末0)(0 xf(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),)(0 xf 可能是極值可能是極值,也可能不也可能不是是極值極值.0 x0)(0 xf)(xf(2)當(dāng) 時(shí), 函數(shù) 在 處取得極小值. )(xf0)(0 xf0 x(1)(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù) 在在 處取得極大值處取得極大值; ;第47頁/共79頁第四十八頁，共79頁。)1( 6)(),1( 333)(32222xxxfxxxxxf 解解, 1, 10)(21xxxf令令012) 1( f, 012) 1 (, f1x是函數(shù)的極大值點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn)

27、, 為極大值為極大值; 4) 1(f 是函數(shù)的極小值點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn), 為極小值為極小值. 1x4) 1 (fxxxf3)(3例例7求函數(shù)求函數(shù)的極值。的極值。第48頁/共79頁第四十九頁，共79頁。. ) 1()( 322的極值求 xxf, ) ,( )(xxf的定義域：3312) 1)(1( 342) 1(32)(xxxxxxf, 0 , 0)( xxf得駐點(diǎn)令, )( , 1 , 1 不存在時(shí)又xfxx . 1 , 0 , 1 xxx極值可疑點(diǎn)為故列表討論單調(diào)(dndio)性, 判別極值:例5解第49頁/共79頁第五十頁，共79頁。xyy) 1 ,(1)0 , 1(0) 1 , 0(1

28、) , 1 (極小(j xio)極小(j xio)極大(j d)0)2( f0)5 . 0( f0)5 . 0( f0)2( f的極小點(diǎn)為： )(xf; 1 , 1xx極小值為：. 0) 1 ( , 0) 1(ff的極大點(diǎn)為： )(xf; 0 x極大值為：. 1)0(f自己總結(jié)求極值的步驟0第50頁/共79頁第五十一頁，共79頁。. 12)( 3的極值求xxxf, ) ,( )(xxf的定義域：123)(2xxf)2)(2(3xx0)( xf令, 2 , 2 xx駐點(diǎn), 6)( xxf 又, 012)2( f, 16)2( , 2 fx極大值為極大點(diǎn)故, 012)2( f, 16)2( , 2

29、fx極小值為極小點(diǎn)例6解第51頁/共79頁第五十二頁，共79頁。在工程技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中, 常常(chngchng)需要考慮在一定條件(tiojin)下, 怎樣才能使用料最少、費(fèi)用最省, 而效率(xio l)和效益最高等問題. 這些問題反映到數(shù)學(xué)上就是最優(yōu)化問題. 優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用價(jià)值很大第52頁/共79頁第五十三頁，共79頁。, )( ) 1 ( ,baxf若 , )( 為最大值則bf. )(為最小值af, )( )2( ,baxf若 , )( 為最大值則af. )(為最小值bf, ) , ()( )3(baCxf若 ) ,( 內(nèi)只有唯一點(diǎn)一個(gè)在ba極大(j d)(小)值點(diǎn) , 則該點(diǎn)就是函數(shù)的最

30、大(小)值點(diǎn) .第53頁/共79頁第五十四頁，共79頁。 , I 0 x可疑點(diǎn)上只有唯一的一個(gè)極值在區(qū)間 I )( 上在區(qū)間函數(shù)而由實(shí)際問題可以斷定xf )( )(0的最必為函數(shù)值，則點(diǎn)小存在最大xfx . )(值點(diǎn)小大 ) I ()( ，且在處理實(shí)際問題時(shí)：若Cxf第54頁/共79頁第五十五頁，共79頁。 . 2 , 2 52)( 24上的最大和最小值在求xxxfxxxf44)(3) 1)(1(4xxx , 0)( xf令:得極值可疑點(diǎn))( , 1 , 0 , 1駐點(diǎn)xxx計(jì)算(j sun)函數(shù)值:; 4) 1 ( , 5)0( , 4) 1(fff , 13)2( , 13)2(ff( 端

31、點(diǎn)(dun din)值 )例8解第55頁/共79頁第五十六頁，共79頁。 : 2 , 2 )( 上的最大值和最小值為在故xf13 13 ,13 , 4 , 5 , 4maxmaxy4 13 ,13 , 4 , 5 , 4minminy . 2 , 2 : xx最大值點(diǎn)為. 1 , 1 : xx最小值點(diǎn)為 沒有什么新的東西第56頁/共79頁第五十七頁，共79頁。求最值的一般求最值的一般(ybn)(ybn)步驟步驟: :2.求區(qū)間端點(diǎn)求區(qū)間端點(diǎn)(dun din)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值數(shù)值;設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)上連續(xù).)(xf,ba1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn):kxxx,

32、21;上的最大值上的最大值,最小者為最小值最小者為最小值. .即即 )(),(),(,),(),(max)(max21,bfafxfxfxfxfkbax)(),(),(,),(),(min)(min21,bfafxfxfxfxfkbax3.比較它們的大小比較它們的大小,其中最大者為其中最大者為,ba)(xf在在第57頁/共79頁第五十八頁，共79頁。例例8求函數(shù)求函數(shù)7186223xxxy4 , 1在在 上的上的最大值、最小值最大值、最小值.解解4 , 11),3)(1(618126)(2xxxxxf得得解方程解方程, 0)( xf, 3, 121xx不予考慮不予考慮.又又 1,47)4(,6

33、1)3(,29) 1 (fff上的最大值和最小值上的最大值和最小值.故故29) 1 (f61)3(f)(xf4 , 1和和分別為分別為 在在第58頁/共79頁第五十九頁，共79頁。第59頁/共79頁第六十頁，共79頁。dhb解解 由由222bdh,得得及及261bhw),(6132bbdw.0db ).3(6122bdw0w.31db 令令,得得例例9 把一根直徑為把一根直徑為d 的圓木鋸成截面的圓木鋸成截面(jimin)為矩形的梁為矩形的梁,問矩形截面的高問矩形截面的高h(yuǎn) 和寬和寬d 應(yīng)如何應(yīng)如何(rh)選擇才能使梁的選擇才能使梁的).612bhw抗彎截面模量最大？抗彎截面模量最大？(抗彎截

34、面模量為抗彎截面模量為第60頁/共79頁第六十一頁，共79頁。由于由于(yuy)(yuy)梁的最大抗彎截面模量一定存梁的最大抗彎截面模量一定存在，又在，又在在 內(nèi)只有一個(gè)根內(nèi)只有一個(gè)根 0w), 0(d.31db ,3231222222dddbdhdh32得得. 1:2:3:bhddb31當(dāng)?shù)闹底畲?。由的值最大。由w時(shí)時(shí), ,從而從而(cng r)(cng r)有有 .2733dw 第61頁/共79頁第六十二頁，共79頁。( k 為某一常數(shù)(chngsh) )AC AB ,要在 AB 線上選定(xun dn)一點(diǎn) D 向工廠修一條 已知鐵路與公路(gngl)每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨

35、D 點(diǎn)應(yīng)如何選取? 20AB120C解解: 設(shè),(km)xAD x則,2022xCD, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 總運(yùn)費(fèi)物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,問Dkm ,公路, 例10 鐵路上 AB 段的距離為120 km , 工廠C 距 A 處20第62頁/共79頁第六十三頁，共79頁。令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 為唯一的15x極小(j xio)點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)(yn fi)最省 .從而(cng r)為最小點(diǎn) ,第63頁/共79頁第六十四頁，共79頁。65一、函數(shù)一、函數(shù)(hnsh)單調(diào)性的判單調(diào)性的判定法定法第64頁/共79頁第

36、六十五頁，共79頁。66xyo)(xfy xyo)(xfy 0)( xf0)( xf定定理理(dngl).),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)babaxfy 上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（,)(0)(),(1 baxfyxfba .,)(0)(),()2( 上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在baxfyxfba 第65頁/共79頁第六十六頁，共79頁。67問題問題:如何研究曲線的彎曲如何研究曲線的彎曲(wnq)方方向向?xyoNABM第66頁/共79頁第六十七頁，共79頁。68設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,ba上連

37、續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)內(nèi)二階可導(dǎo)二階可導(dǎo). . xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y1 1、定理、定理(dngl)(dngl)( (1 1) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 則則曲曲線線)(xfy 在在,ba上上是是凹凹的的； ( (2 2) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 則則曲曲線線)(xfy 在在,ba上上是是凸凸的的； 凹凸(o t)區(qū)間的分界點(diǎn)叫拐點(diǎn)第67頁/共79頁第六十八頁，共79頁。69例例8 8.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0

38、y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(是曲線的拐點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)x yO3xy 第68頁/共79頁第六十九頁，共79頁。連續(xù)曲線上凸弧與凹弧度(hd)分界點(diǎn) , 稱為曲線的拐點(diǎn).OxyOxy)(xfy )(xgy 2. 曲線拐點(diǎn)(ui din)的定義及判別法第69頁/共79頁第七十頁，共79頁。 求拐點(diǎn)一般步驟: )( 拐點(diǎn)的一般步驟求曲線xfy ; )( )( ) 1 (或確定討論區(qū)間的定義域求xf; ) )( ( , )( , )( )2(xfxfxf 如需要可求出計(jì)算; )( 0)( 不存在的點(diǎn)的點(diǎn)和使xfxf . )4(否確為拐點(diǎn)根據(jù)定理判別可疑點(diǎn)是 : )3(求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)第70頁/共79頁第七十一頁，共79頁。 . , 22并求拐點(diǎn)的凹凸性討論曲線xey) ,( :定義域?yàn)? 22xxey,) 1(222xexy : 0 得拐點(diǎn)可疑點(diǎn)令 y)( 1 , 1橫坐標(biāo)xxxy y) 1 , (1) 1 , 1(1) , 1 (00拐點(diǎn)(ui din)拐點(diǎn)(ui din)例4