理論力學-第3章1上

1、TSINGHUA UNIVERSITY 本章將討論力系平衡的充分與必要條件，在此基礎上導本章將討論力系平衡的充分與必要條件，在此基礎上導出一般情形下力系的平衡方程。并且將力系的平衡方程應用出一般情形下力系的平衡方程。并且將力系的平衡方程應用于各種特殊情形，特別是各力作用線位于同一平面被稱為于各種特殊情形，特別是各力作用線位于同一平面被稱為平平面力系面力系的情形。的情形。 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 剛體系統(tǒng)的平衡問題是所有機械和結(jié)構(gòu)靜力學設計的剛體系統(tǒng)的平衡問題是所有機械和結(jié)構(gòu)靜力學設計的基礎。分析和解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，必須綜合應用第基礎。分析和解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，必須綜合應用第

2、1 1、2 2章中的基本概念、原理與基本方法，包括：約束、等效、章中的基本概念、原理與基本方法，包括：約束、等效、簡化、平衡以及受力分析等等。簡化、平衡以及受力分析等等。 本章還將對本章還將對桁架桿件桁架桿件的受力分析以及考慮摩擦時的平的受力分析以及考慮摩擦時的平衡問題作簡單介紹。衡問題作簡單介紹。 平面力系平衡方程及其在剛體與簡單剛體系統(tǒng)中的應平面力系平衡方程及其在剛體與簡單剛體系統(tǒng)中的應用，是本章的重點。用，是本章的重點。 TSINGHUA UNIVERSITY 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 平面力系的平衡方程平面力系

3、的平衡方程 平衡方程的應用平衡方程的應用 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 平面靜定桁架的靜力分析平面靜定桁架的靜力分析 考慮摩擦時的平衡問題考慮摩擦時的平衡問題 TSINGHUA UNIVERSITY 平衡的概念平衡的概念 物體相對慣性參考系靜止或作等速直線運動，這物體相對慣性參考系靜止或作等速直線運動，這種狀態(tài)稱為種狀態(tài)稱為平衡平衡。平衡是運動的一種特殊情形。平衡是運動的一種特殊情形。 平衡是相對于確定的參考系而言的。例如，地球平衡是相對于確定的參考系而言的。例如，地球上平衡的物體是相對于地球上固定參考系的，相對于上平衡的物體是相對于地球上固定參考系的，相對于太陽系的參考系則是不平衡的。本

4、章所討論的平衡問太陽系的參考系則是不平衡的。本章所討論的平衡問題是以地球（將固聯(lián)其上的參考系視為慣性參考系）題是以地球（將固聯(lián)其上的參考系視為慣性參考系）作為參考系的。作為參考系的。 工程靜力學所討論的平衡問題，可以是單個剛工程靜力學所討論的平衡問題，可以是單個剛體，也可能是由若干個剛體組成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)體，也可能是由若干個剛體組成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)。稱為剛體系統(tǒng)。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。于作用在其上的力系。 TSINGHUA UNIVERSITY對于剛體對于剛體：由：由二個或二個以上剛二個或二個以上剛體組成的系統(tǒng)。體組成的系

5、統(tǒng)。重要概念：重要概念： 整體平衡，局部必然平衡整體平衡，局部必然平衡整體平衡與局部平衡整體平衡與局部平衡TSINGHUA UNIVERSITYCFR2FR1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 平衡的概念平衡的概念 對于剛體對于剛體：組成系統(tǒng)的單個組成系統(tǒng)的單個剛體或幾個剛體剛體或幾個剛體組成的子系統(tǒng)。組成的子系統(tǒng)。TSINGHUA UNIVERSITY對于變形體對于變形體：單個物體，或者由二個以及：單個物體，或者由二個以及二個以上物體組成的系統(tǒng)二個以上物體組成的系統(tǒng) 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 平衡的概念平衡的概念 TSINGHUA UNIVERSITYFP1FP2FP3M1q(x)xFP6F

6、P5FP4dxM2 對于變形體對于變形體：組成物體的任意一部分：組成物體的任意一部分FP1FP2FP3M1q(x)x 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 平衡的概念平衡的概念 TSINGHUA UNIVERSITY 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 平衡的概念平衡的概念 FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2dxq(x)FQ(x)M(x)對于變形體對于變形體：組成物體的任意一部分。：組成物體的任意一部分。TSINGHUA UNIVERSITY 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 平衡的概念平衡的概念 對于變形體對于變形體：組成物體的任意一部分。：組成物體的任意一部分。TSINGHUA UN

7、IVERSITY 力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡的必要條件。力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡的必要條件。 力系平衡的條件是，力系的主矢和力系對任一點的力系平衡的條件是，力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零。因此，如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡，主矩都等于零。因此，如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡，則作用在剛體或剛體系統(tǒng)的力系主矢和和力系對任一點則作用在剛體或剛體系統(tǒng)的力系主矢和和力系對任一點的主矩都等于零。的主矩都等于零。 平衡的必要條件平衡的必要條件 FR 主矢；主矢； MO 對任意點的主矩對任意點的主矩R10FFnii 10FnOOiiMM空間任意力系平衡條件空間任意力系平衡條件 對于一般力系，由平

8、衡的充要條件，可以得到主矢和主對于一般力系，由平衡的充要條件，可以得到主矢和主矩在矩在X、Y、Z方向的分量都等于零。方向的分量都等于零。 空間任意力系的有空間任意力系的有6 6個平衡方程，可求個平衡方程，可求6 6個未知力。個未知力。 0F0F0Fzyx 0FM0FM0FMzyx根據(jù)平衡的充要條件根據(jù)平衡的充要條件, ,主矢和主矩都為零。主矢和主矩都為零。0, 0 oRMF 對于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡條件對于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡條件的投影形式為的投影形式為 yzxOF1FnF2M2M1Mn 0F0F0Fzyx 0FM0FM0FMzyx 平衡力系中的所有力在直角

9、坐平衡力系中的所有力在直角坐標系各軸上投影的代數(shù)和都等于零；標系各軸上投影的代數(shù)和都等于零；平衡力系中的所有力對各軸之矩的平衡力系中的所有力對各軸之矩的代數(shù)和也分別等于零。代數(shù)和也分別等于零。 上述上述6 6個平衡方程是互相獨立的。這些平衡方程適用于任個平衡方程是互相獨立的。這些平衡方程適用于任意力系。對于不同的特殊情形，其中某些平衡方程是自然滿足意力系。對于不同的特殊情形，其中某些平衡方程是自然滿足的，因此，獨立的平衡方程數(shù)目會有所不同。的，因此，獨立的平衡方程數(shù)目會有所不同。 TSINGHUA UNIVERSITY 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 對于力系中所有力的對于力系中所有力的

10、作用線都相交于一點的作用線都相交于一點的空空間匯交力系間匯交力系，上述平衡方，上述平衡方程中三個力矩方程自然滿程中三個力矩方程自然滿足，因此，平衡方程為：足，因此，平衡方程為： 000 xyzFFFTSINGHUA UNIVERSITY 任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 對于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，對于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，平衡方程中的三個力的投影式自然滿足，其平衡平衡方程中的三個力的投影式自然滿足，其平衡方程為：方程為： 000FFFxyzMMM空間力偶系空間力偶系TSINGHUA UNIVERSITY 任意力系的平衡方程任

11、意力系的平衡方程 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 對于力系中所有力的作對于力系中所有力的作用線相互平行的用線相互平行的空間平行力空間平行力系系, ,若坐標系的軸與各力平行，若坐標系的軸與各力平行，則上述則上述6 6個平衡方程中個平衡方程中自然滿足。于是自然滿足。于是, ,平衡方程為：平衡方程為： 0FzM0zF 00FFxyMM0,0 xyFFTSINGHUA UNIVERSITY 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 返回返回 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的其他形式 平面力系平衡方程的

12、一般形式平面力系平衡方程的一般形式 所有力的作用線都位于同一平所有力的作用線都位于同一平面 的 力 系 稱 為面 的 力 系 稱 為 平 面 任 意 力 系平 面 任 意 力 系（arbitrary force system in a arbitrary force system in a planeplane）。這時，若坐標平面與力）。這時，若坐標平面與力系的作用面相一致，則任意力系的系的作用面相一致，則任意力系的6 6個平衡方程中，個平衡方程中，自然滿足，且自然滿足，且0zF 00FFxyMM0FzM0FOMyxzO Fx = 0, MO= 0 Fy = 0, 其中矩心其中矩心O O為力系

13、作用為力系作用面內(nèi)的任意點。面內(nèi)的任意點。 yxzO上述平面力系的上述平面力系的3 3個平衡方程中的個平衡方程中的 可以一個或兩個都用力矩式平衡方程代替，但所選的可以一個或兩個都用力矩式平衡方程代替，但所選的投影軸與取矩點之間應滿足一定的條件。投影軸與取矩點之間應滿足一定的條件。 Fx = 0 Fy = 0平面一般力系平衡方程的其他形式平面一般力系平衡方程的其他形式A、B 連線不垂直于連線不垂直于x 軸軸A、B、C 三點不在同一直線上三點不在同一直線上 0FM0FM0FBAx 0FM0FM0FMCBA二二矩矩式式三三矩矩式式求固定端求固定端A處的約束力。處的約束力。lqMqlFmkNq2,/

14、為均布載荷單位為解：畫受力圖解：畫受力圖00 AxxF,FqlFqlFqlFFFAyAyy 2, 02, 020220qlMMlqllFMFMAAA ,)( MA的負號表示的負號表示MA實際方向與圖示相反。實際方向與圖示相反。負號表示和假設方向相反。負號表示和假設方向相反。 平面剛架的所有外力的作用平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內(nèi)。線都位于剛架平面內(nèi)。A處為處為固定端約束。若圖中固定端約束。若圖中q、FP、M、l等均為已知，等均為已知，試求試求: A處處的約束力。的約束力。 平衡方程的應用平衡方程的應用 1. 選擇平衡對象選擇平衡對象 本例中只有折桿本例中只有折桿ABCD一個一個剛體

15、，因而是惟一的平衡對象。剛體，因而是惟一的平衡對象。 剛架剛架A處為固定端約束，又因處為固定端約束，又因為是平面受力，故有為是平面受力，故有3個同處于剛個同處于剛架平面內(nèi)的約束力架平面內(nèi)的約束力FAx、FAy和和MA。剛架的隔離體受力圖如圖示。剛架的隔離體受力圖如圖示。qlFAxFAyMA 其中作用在其中作用在CD部分的均布部分的均布載荷已簡化為一載荷已簡化為一集中力集中力ql作用作用在在CD的中點。的中點。 解：解：3. 3. 建立平衡方程求解未知建立平衡方程求解未知力力, , 應用平衡方程應用平衡方程 Fx = 0, MA= 0 Fy = 0,0qlFAxP0AyFFP302AlMMF l

16、ql由此解得由此解得: : qlFAxPAyFFqlFAxFAyMA223qllFMMPA TSINGHUA UNIVERSITY 平衡方程的應用平衡方程的應用 解：解：4. 4. 驗證所得結(jié)果的正確性驗證所得結(jié)果的正確性 為了驗證上述結(jié)果的正確為了驗證上述結(jié)果的正確性，可以將作用在平衡對象上性，可以將作用在平衡對象上的所有力（包括已經(jīng)求得的約的所有力（包括已經(jīng)求得的約束力），對任意點（包括剛架束力），對任意點（包括剛架上的點和剛架外的點）取矩。上的點和剛架外的點）取矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是正確的，否則表示所得結(jié)果是正確的，否則就是不正確的。就是不

17、正確的。 qlFAxPAyFFqlFAxFAyMA223qllFMMPA 0FMA 解：解：0a360sinFa2FM2aqaDB kNFqaFFDB29214160sin23 0Fx060cosFFDAx kNFAx10 0Fy 060sinFFFqaDBAy kNFFqaFBDAy3 .24660sin 在水平梁上作用載荷，已知在水平梁上作用載荷，已知F10KN，F(xiàn)D20KN，q20KN/m，a10m。試求支座。試求支座A和和B的約束力。的約束力。FaM 例題例題: 折桿折桿AB的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩數(shù)值為數(shù)值為M的力偶作用在曲桿的力偶作用

18、在曲桿AB上。試求支承處的約束力。上。試求支承處的約束力。 對于對于(a)、(b)兩種情形，在輥軸支座兩種情形，在輥軸支座A處，其處，其約束力都垂直支承面，所以方向是確定的。約束力都垂直支承面，所以方向是確定的。 但是，固定鉸鏈支座但是，固定鉸鏈支座B處卻有方向不確定的約束力。處卻有方向不確定的約束力。 因為，折桿上只作用有外加力偶，所以因為，折桿上只作用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須組成一個力偶與外加力偶平衡。二處的約束力，必須組成一個力偶與外加力偶平衡。FAFAFBFBFBFA 因為，折桿上只作用有外因為，折桿上只作用有外加力偶，所以加力偶，所以A、B二處的約二處的約束力，必須組

19、成一個力偶與束力，必須組成一個力偶與外加力偶平衡。外加力偶平衡。FAFB0l2FMA l2MFA 例題例題 折桿折桿AB的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩數(shù)值為數(shù)值為M的力偶作用在曲桿的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。上。試求支承處的約束力。 0lFMA lMFA 例題例題 折桿折桿AB的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩數(shù)值為數(shù)值為M的力偶作用在曲桿的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。上。試求支承處的約束力。 因為，折桿上只作因為，折桿上只作用有外加力偶，所以用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須

20、二處的約束力，必須組成一個力偶與外加力組成一個力偶與外加力偶平衡。偶平衡。FAFB 對于情形對于情形(c)，D處繩索的約處繩索的約束力束力FD不僅作用線方向確定，不僅作用線方向確定，而且指向也確定。而且指向也確定。FDFE A、B二處的約束力二處的約束力FA和和FB作用線方向可以確定，但指作用線方向可以確定，但指向不能確定。向不能確定。 將將A、B二處的約束力二處的約束力FA和和FB沿沿其作用線方向滑移，其作用線方向滑移， 相交于相交于E點。點。 約束力約束力FA和和FB指向雖然不能確定，但是其合力指向雖然不能確定，但是其合力FE必須與必須與D處的繩索拉力處的繩索拉力FD 組成一個力偶與外加力

21、偶組成一個力偶與外加力偶相平衡。相平衡。E 例題例題 折桿折桿AB的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩數(shù)值為數(shù)值為M的力偶作用在曲桿的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。上。試求支承處的約束力。 FBFAEFDFEEd 根據(jù)力偶平衡理論，可以求根據(jù)力偶平衡理論，可以求得得FE與與D處的繩索拉力處的繩索拉力FD：0MdFE lM2dMFFDE l22d 例題例題 折桿折桿AB的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩數(shù)值為數(shù)值為M的力偶作用在曲桿的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。上。試求支承處的約束力。 lDE,

22、lBD 45 EFDFEEFBFA45lMdMFFDE2 將將FE 沿水平與鉛垂沿水平與鉛垂方向分解，便得到方向分解，便得到A、B二處約束力二處約束力FA、FBlMFFFEBA 22 例題例題 折桿折桿AB的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩的三種支承方式如圖所示，設有一力偶矩數(shù)值為數(shù)值為M的力偶作用在曲桿的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。上。試求支承處的約束力。 FBFA例例 題題 作用在水力渦輪發(fā)電機主軸上的力：作用在水力渦輪發(fā)電機主軸上的力： 水力推動渦輪轉(zhuǎn)動的力偶矩水力推動渦輪轉(zhuǎn)動的力偶矩Mz=1200 N.m。 錐齒輪錐齒輪B處受到的力分解為三處受到的力分解為三個分力：圓周

23、力個分力：圓周力Ft，軸向力，軸向力Fa和徑和徑向力向力Fr。三者大小的比例為。三者大小的比例為Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17。 已知渦輪連同軸和錐齒輪的總已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為重量為W=12kN，其作用線沿軸其作用線沿軸Cz；錐齒輪的平均半徑錐齒輪的平均半徑OB=0 .6m。 試求：試求：止推軸承止推軸承C和軸承和軸承A處的約處的約束力。束力。 解：解：以以“軸錐齒輪渦輪軸錐齒輪渦輪”組成的系統(tǒng)為研究對象。組成的系統(tǒng)為研究對象。 先求錐齒輪先求錐齒輪B處三個分力大處三個分力大小。根據(jù)所有力對小。根據(jù)所有力對z軸的力矩平軸的力矩平衡方程，有衡方程，有 0)(

24、FzM由此解得作用在錐齒輪上的圓由此解得作用在錐齒輪上的圓周力周力 N2000tFFCxFAyFAxFCzFCy 滑動軸承滑動軸承A處有處有2個約束力個約束力； 止推軸承止推軸承C處有處有3個約束力個約束力；0tzMFOB Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17。 總重量為總重量為W=12kN，OB=0 .6m。 力偶矩力偶矩Mz=1200 N.m,FCxFAyFAxFCzFCy Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17, W=12kN，OB = 0 .6m。N2000tF由此解得圓周力由此解得圓周力Ft 再由三個力的數(shù)值比，得到再由三個力的數(shù)值比，得到 N6

25、40aFN340rF最后應用空間力系的平衡方程，可以寫出最后應用空間力系的平衡方程，可以寫出 0zF 0)(FyMt340AxFF 0)(FxM06 . 043arFFFAy 0yF0rFFFCyAy0 aCzFWFkN67. 2AxFN325AyFkN6 .12CzFN7 .14CyFFCxFAyFAxFCzFCyN7 .14CyFkN67. 2AxFkN6 .12CzF 需要注意的是：在空間力系平衡問題的六個平衡方需要注意的是：在空間力系平衡問題的六個平衡方程中，應使每個方程的未知數(shù)盡可能的少，以避免解聯(lián)程中，應使每個方程的未知數(shù)盡可能的少，以避免解聯(lián)立方程。列寫六個方程的先后順序也應靈活

26、選取。立方程。列寫六個方程的先后順序也應靈活選取。 0 xF0tFFFCxAx667NCxF N2000tFN340rFN325AyF已知：已知：F=12kN,并與鉛垂方向成并與鉛垂方向成75度角，度角，P=4.2kN，求：，求：A、B的約束力及力偶矩的約束力及力偶矩M。解：畫受力圖，空解：畫受力圖，空 間力系平衡。間力系平衡。mNFMMFFMx 11601 . 075sin01 . 075sin, 0)(,NFPFFFMBzBzy363009 . 07 . 04 . 075cos, 0)(, mNFMMFFMx 11601 . 075sin01 . 075sin, 0)(,NFPFFFMBz

27、Bzy363009 . 07 . 04 . 075cos, 0)(, NFFFFMByByz662007 . 04 . 075sin, 0)(, NFFFFFAyByAyy4970, 075sin, 0NFPFFFFAzBzAzz2540, 075cos, 0 故只有故只有5個獨立平衡方程。個獨立平衡方程。0 xF求：求：D、B處的約束力。處的約束力。kNWFFkNPcmrcmR10,202,20,10,2521 鼓鼓輪輪重重皮皮帶帶輪輪與與鼓鼓輪輪繩繩的的夾夾角角皮皮帶帶輪輪徑徑鼓鼓輪輪半半徑徑 解：畫受力圖，列平衡方程解：畫受力圖，列平衡方程0, 0)(21 rFrFRFFMzPFFF ,

28、221kNFkNPrRF100,5012 kNFFFFFMDxDxy1 .1720sin1505 . 15 . 005 . 15 . 0sin5 . 0sin, 0)(,21 kNFFFFFFMDyDyx3 .605 . 1) 5 . 020cos15020(05 . 115 . 0cos5 . 0cos, 0)(21 kNFFFFFFBxDxBxx4 .68)20sin1501 .17(0sinsin, 021kNFkNF1005012kNFDx1 .17 kNFDy3 .60 kNFFFFFFFByByDyy3 .181, 0cos)(, 021 kNFWFFDzDzz10, 0, 0求：

29、三桿對邊求：三桿對邊長為長為a的三角板的三角板的約束力。的約束力。解：畫受力圖解：畫受力圖aMFMFaFMccA 332, 023, 0)(3332, 0223, 0)(PaMFaPMFaFMAAB 3332, 0223, 0)(PaMFaPMFaFMBBC A、B、C三點不共線，三力矩平衡方程是獨立的。三點不共線，三力矩平衡方程是獨立的。列平衡方程列平衡方程TSINGHUA UNIVERSITY 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 剛體系統(tǒng)平衡問題的解法剛體系統(tǒng)平衡問題的解法 TSINGHUA UNIVERSITY

30、 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 未知力的個數(shù)正好等于獨立平衡方程的數(shù)目，由未知力的個數(shù)正好等于獨立平衡方程的數(shù)目，由平衡方程可以解出全部未知數(shù)。這類問題，稱為平衡方程可以解出全部未知數(shù)。這類問題，稱為靜定靜定問題問題，相應的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)，相應的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。 工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強度和剛度等工程要求，工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強度和剛度等工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個或幾個約束，從而使未常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個或幾個約束，從而使未知約束力的個數(shù)大于獨立平衡方程的數(shù)目。這時，僅知約束力的個數(shù)大于獨立平衡方程的數(shù)目。這時，僅僅由靜力學

31、平衡方程無法求得全部未知約束力。這類僅由靜力學平衡方程無法求得全部未知約束力。這類問題稱為問題稱為靜不定問題或超靜定問題靜不定問題或超靜定問題，相應的結(jié)構(gòu)稱為，相應的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)或超靜不定結(jié)構(gòu)。 TSINGHUA UNIVERSITY 靜不定問題中，未知量的個數(shù)靜不定問題中，未知量的個數(shù)Nr與獨立的平與獨立的平衡方程數(shù)目衡方程數(shù)目Ne之差，稱為之差，稱為靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)（degree of statically indeterminate problem）。與靜不定次）。與靜不定次數(shù)對應的約束對于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，因而數(shù)對應的約束對于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，

32、因而稱為稱為多余約束多余約束。 靜不定次數(shù)或多余約束個數(shù)用靜不定次數(shù)或多余約束個數(shù)用i表示，由下式表示，由下式確定：確定： i =NrNe 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 Nr : 未知量的個數(shù)未知量的個數(shù)Ne : 平衡方程數(shù)目平衡方程數(shù)目TSINGHUA UNIVERSITY 剛體系統(tǒng)平衡問題的解法剛體系統(tǒng)平衡問題的解法 由兩個或兩個以上的剛體所組成的系統(tǒng)，稱為由兩個或兩個以上的剛體所組成的系統(tǒng)，稱為剛剛體系統(tǒng)體系統(tǒng)（rigid multibody system）。）。 剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考察系統(tǒng)的整剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考

33、察系統(tǒng)的整體或某個局部（單個剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確體或某個局部（單個剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未知力。定全部未知力。 為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加以擴展，即：念加以擴展，即：系統(tǒng)若整體是平衡的，則組成系系統(tǒng)若整體是平衡的，則組成系統(tǒng)的每一個局部以及每一個剛體也必然是平衡的。統(tǒng)的每一個局部以及每一個剛體也必然是平衡的。 根據(jù)這一重要概念，根據(jù)這一重要概念，只要正確理解只要正確理解整體平衡與整體平衡與局部平衡局部平衡的概念，全面地考慮整體平衡和局部平衡，的概念，全面地考慮整體平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。就可以解出全部未

34、知力。剛體系剛體系：由兩個或兩個以上的剛體由兩個或兩個以上的剛體用約束聯(lián)結(jié)起來系統(tǒng)。用約束聯(lián)結(jié)起來系統(tǒng)。稱為稱為剛體系統(tǒng)剛體系統(tǒng)（rigid multibody system）。）。剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考察系統(tǒng)整體平衡，無法求得全部未知力。僅僅考察系統(tǒng)整體平衡，無法求得全部未知力。當然，僅僅當然，僅僅考慮整體平衡是可以求出一部分約束力的。考慮整體平衡是可以求出一部分約束力的。 剛體系統(tǒng)平衡，則組成這一系統(tǒng)的每個剛體也必然是平剛體系統(tǒng)平衡，則組成這一系統(tǒng)的每個剛體也必然是平衡的。因此，只要正確理解整體平衡與局部平衡的概念，全衡的。因此，只要正確理解整體平衡與局

35、部平衡的概念，全面地考慮整體平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。面地考慮整體平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。 重要概念重要概念整體平衡，局部必然平衡整體平衡，局部必然平衡 剛體系統(tǒng)平衡問題的解法剛體系統(tǒng)平衡問題的解法 求解剛體系平衡問題的基本途徑求解剛體系平衡問題的基本途徑：1 1、分別考慮每一剛體的受力情況，建立平衡方程，然后、分別考慮每一剛體的受力情況，建立平衡方程，然后 聯(lián)立求解。這一方法叫做聯(lián)立求解。這一方法叫做“單體加單體單體加單體”的方法。的方法。2 2、考慮整個系統(tǒng)和其中某些單個剛體的平衡條件，求出、考慮整個系統(tǒng)和其中某些單個剛體的平衡條件，求出 未知量。這種方法叫做未知

36、量。這種方法叫做“整體與單體結(jié)合整體與單體結(jié)合”的方法。的方法。 具體選擇哪一種方法，要根據(jù)題意，靈活應用。盡量避免具體選擇哪一種方法，要根據(jù)題意，靈活應用。盡量避免解聯(lián)立方程。解聯(lián)立方程。 剛體系統(tǒng)平衡問題的解法剛體系統(tǒng)平衡問題的解法 TSINGHUA UNIVERSITY例例 題題 1 1 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) ，若，若 FP 和和 l 已知，已知， 確定四種情形下的約束力確定四種情形下的約束力lACBllFPllACBl第一種情形第一種情形第二種情形第二種情形M=FP l 平衡方程的應用平衡方程的應用 TSINGHUA UNIVERSITYlllFPACBD第三種情形第三種情形第四種情形第四

37、種情形lllACBDM=FP l 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) ，若，若 FP 和和 l 已知，確定四種情形下的約已知，確定四種情形下的約束力束力第一種情形第一種情形0MA 0l2FdFpBC pBCF22F 0MB 0lFlFpAy pAyFF 0Fx045cos BCAxFFpAxF2F ld22 dDBlACllFPFAyFAxFBCTSINGHUA UNIVERSITYABDFAxFByFBxFAyCBM=FP lFBy FBx FCxFCyllACBl第二種情形第二種情形DM=FP l 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) ，若，若 FP 和和 l 已知，確定圖示情形下的已知，確定圖示情形下的約束力約束力分析分析

38、BC 和和 ABD 桿受力桿受力FAxFByFBxFAy考察考察ABD ABD 桿桿 的平衡的平衡 MB ( F ) = 0 : MA ( F ) = 0 :FBy= 0FAy= 0Fx = 0 : FBx+ FAx=0 FBx= - -FAxCBM=FP lFByFBxFCxFCy考察考察BC桿桿 的平衡的平衡Fx = 0 : FBx - FCx= 0 FCx= FBx= FBxFy = 0 : FBy- - FCy=0 FCy= FBy=FBy=0 MB ( F ) = 0 : FCx l + M = 0FCx= FBx= - -FP更簡單的方法更簡單的方法（分析分析BC和和ABD桿受力桿

39、受力） 這個問題是否有更簡單的方法？比如說，這個問題是否有更簡單的方法？比如說，B B、C C兩處的兩處的約束力是水平方向的，這樣就能直接把它求出來，這種想約束力是水平方向的，這樣就能直接把它求出來，這種想法是否正確？法是否正確？ 關(guān)于平衡對象的選擇關(guān)于平衡對象的選擇 關(guān)于平衡對象選擇的問題，剛才我們選擇了兩個平衡對關(guān)于平衡對象選擇的問題，剛才我們選擇了兩個平衡對象，能不能就以整體為平衡對象呢？請思考這個問題。象，能不能就以整體為平衡對象呢？請思考這個問題。 能不能以整體能不能以整體 為研究對象為研究對象第三種情形第三種情形 A A處有一個約束力，處有一個約束力，C C處有兩個約束力，考慮處有

40、兩個約束力，考慮整體平衡，整體平衡， 0l2FlF0MPCxA 0l2FlF0MPAC 00PCyyFFFPCxF2F PCyFF PAF2F ACBDllFPlFCyFAFCx第三種情形第三種情形: :圖示結(jié)圖示結(jié)構(gòu)構(gòu) ，若，若 FP 和和 l 已知，已知，確定的約束力確定的約束力第四種情形第四種情形 MC(F) = 0 : FA= FPFAl - - M=0 Fx = 0 FA= - - FC = FPlM=FP lllACBDFAFC例題例題: 第一種情形第一種情形，如圖結(jié)構(gòu)，求如圖結(jié)構(gòu)，求A A、D D處的約束力，為簡處的約束力，為簡單起見，畫出如圖受力簡圖。如果考慮整體平衡，能求出幾

41、單起見，畫出如圖受力簡圖。如果考慮整體平衡，能求出幾個約束力？要求出所有約束力，還必須考慮什么？個約束力？要求出所有約束力，還必須考慮什么？已已 知：知：FP、l、r 求求 ：A、D 二處約束力二處約束力 以整體作為平衡對象，用平面問題的三個平衡方程能以整體作為平衡對象，用平面問題的三個平衡方程能求出求出A A端的三個約束力，但無法求出端的三個約束力，但無法求出D D處的約束力；因此還處的約束力；因此還要考察其它剛體，要考察其它剛體，DEDE是二力桿是二力桿，兩端約束力都未知，因此，兩端約束力都未知，因此考慮考慮BECBEC桿，桿，B B處有兩個約束力，處有兩個約束力，E E處有一個約束力，能

42、通過處有一個約束力，能通過三個平衡方程求出，從而求得三個平衡方程求出，從而求得D D處的約束力。處的約束力。第二第二種情形 如圖結(jié)構(gòu)，繩子的固定與第一種情形不同，因此外如圖結(jié)構(gòu)，繩子的固定與第一種情形不同，因此外加的約束力也不同，但是考慮整體平衡，還是能把加的約束力也不同，但是考慮整體平衡，還是能把A A端的端的三個約束力求出來。三個約束力求出來。 和第一種情形一樣，再單獨考慮和第一種情形一樣，再單獨考慮BECBEC桿，不同桿，不同之處在于之處在于C C端多了一個水平力，其它并沒有什么端多了一個水平力，其它并沒有什么差別。差別。第三種情形第三種情形 如圖，在如圖，在BECBEC桿上增加了均勻分

43、布的載荷，只要把均勻桿上增加了均勻分布的載荷，只要把均勻分布載荷簡化為一個集中力，即如圖所示，以下的所有分分布載荷簡化為一個集中力，即如圖所示，以下的所有分析都是和第二種情形相似的。析都是和第二種情形相似的。q載荷集度載荷集度分析過程分析過程 TSINGHUA UNIVERSITY 結(jié)構(gòu)由桿結(jié)構(gòu)由桿AB與與BC在在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處處為固定端，為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均段承受均布載荷作用，載荷集度為布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力處作用有外加力偶，其力偶矩為偶，其力偶矩為M。若。若q、l、M等均為已知，試等均為已知，試求求A、

44、C二處的約束力。二處的約束力。 例例 題題TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：1. 1. 受力分析，選擇平衡對象受力分析，選擇平衡對象 考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有3個約束力，設為個約束力，設為FAx、FAy和和MA；在輥軸支座處有；在輥軸支座處有1個豎直方向的約束力個豎直方向的約束力FRC 。FAxFAyMAFRC 這些約束力稱為系統(tǒng)的這些約束力稱為系統(tǒng)的外約束力外約束力（external constraint force）。僅僅根據(jù)整體的）。僅僅根據(jù)整體的3個平衡方程個平衡方程，無，無法確定所要求的法確定所要求的4個未知力個未知力。因而，除了整體外，還需

45、。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對象。為此，必須將系統(tǒng)拆開。要其他的平衡對象。為此，必須將系統(tǒng)拆開。 B 將結(jié)構(gòu)從將結(jié)構(gòu)從B處拆開，則鉸鏈處拆開，則鉸鏈B處的約束力可以用相互垂處的約束力可以用相互垂直的兩個分量表示，但作用在兩個剛體直的兩個分量表示，但作用在兩個剛體AB和和BC上同一處上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的內(nèi)約束力（內(nèi)約束力（internal constraint force）。內(nèi)約束力在考察結(jié)）。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)整體平衡時并不出現(xiàn)。受力圖中構(gòu)整體平衡時并不出現(xiàn)。受力圖中ql為均布載荷簡化的結(jié)為均布載

46、荷簡化的結(jié)果。果。MAFRCFAxFAyFBxFByFBxFByFAxFAyMAFRCTSINGHUA UNIVERSITY解：解： 根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖 ( (為了簡便起見，當取整為了簡便起見，當取整體為研究對象時，可以在原圖上畫受力圖體為研究對象時，可以在原圖上畫受力圖) )，由平衡，由平衡方程方程 0 xF0AxFFAxFAyMAFRCTSINGHUA UNIVERSITY3. 3. 局部平衡局部平衡 桿桿AB的的A、B二處作用有二處作用有5個約束力，其中已求得個約束力，其中已求得FAx=0，尚有，尚有4個未知，故桿個未知，故桿AB不宜最先選作平衡對象。不宜最先選作平

47、衡對象。 桿桿BC的的B、C二處共有二處共有3個未知約束力，可由個未知約束力，可由3個獨立平衡方程確定。因此，先以桿為平衡對象。個獨立平衡方程確定。因此，先以桿為平衡對象。MAFAxFAyFBxFByFRCFBxFByBTSINGHUA UNIVERSITY先考察先考察BC桿的平衡，由桿的平衡，由 0FBMR202ClFlMqlR24CMqlFl 求得求得BC上的約束力后，再應用上的約束力后，再應用B處兩部分約束力處兩部分約束力互為作用與反作用關(guān)系，考察桿互為作用與反作用關(guān)系，考察桿AB的平衡，即可求得的平衡，即可求得A處的約束力。處的約束力。FRCB 也可以在確定了也可以在確定了C處的約束力之后再考察整體平衡