材料力學(xué)課件_扭轉(zhuǎn)

1、本章要點本章要點（1）園軸扭轉(zhuǎn)橫截面上剪應(yīng)力計算公式推導(dǎo)與應(yīng)用（2）園軸扭轉(zhuǎn)變形的計算（3）扭轉(zhuǎn)變形構(gòu)件的強度與剛度條件重要概念重要概念 外力偶矩、扭矩、扭矩圖、圓柱形密圈螺旋彈簧、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)、開口薄壁桿件、閉口薄壁桿件、自由扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)目錄目錄4-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念4-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖4-3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強度條件4-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件4-5 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形4-6 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念4-7 薄壁桿件的自由

2、扭轉(zhuǎn)薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)4-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念 作用于桿件上的外力，為兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶時，桿件中任意兩個橫截面即會發(fā)生繞桿件軸線相對轉(zhuǎn)動，這種形式的變形就稱為扭轉(zhuǎn)變形。 FFM一、引例一、引例二、概念二、概念受力特征：受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面 垂直于軸線。變形特征：變形特征：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動。目錄目錄4-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖一、外力偶矩的計算一、外力偶矩的計算 在工程實踐中，外力偶矩往往不是直接給出的。而直接給出的往往都是軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速。例如：下圖中，外力偶矩沒有給出，給出的

3、僅僅是電動機的轉(zhuǎn)速和輸出的功率。如果我們要分析傳動軸中某點處的應(yīng)力情況，首先必須知道A端皮帶輪上的外力偶矩，下面我們來看看如何根據(jù)電動機的轉(zhuǎn)速和輸出功率來求解外力偶矩 Me的大小。 AB已知：電動機通過皮帶輪輸給AB軸的功率為N千瓦。AB軸 的轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)/分。則： 電動機每秒鐘所作的功為：mNNW1000（a）設(shè)電動機通過皮帶輪作用于AB軸上的外力偶矩為Me則：Me在每秒內(nèi)完成的功為：）（mNMnWe602(b) 由于Me所作的功也就是電動機通過皮帶輪給AB軸輸入的功故：WW nNMe9549如果功率N以瓦為單位，代入c式則可得：nNMe7024將(a)、(b)兩式代入上式，于是求得：（Nm）

4、(c)（Nm） 例例1、 傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。 解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩mN6379549mN5.4779549mN15929549nPMnPMMnPMDDBCBAABCADMAMBMCMD主動輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動方向相同， 從動輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動方向相反 。三、扭矩的計算和扭矩圖：三、扭矩的計算和扭矩圖：二、外力偶矩轉(zhuǎn)向的確定：二、外力偶矩轉(zhuǎn)向的確定： 1、扭矩扭矩：橫截面上的內(nèi)力： (T)TTT=T 2、扭矩的計算

5、、扭矩的計算 例例2、 傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，計算各段軸上所受的扭矩。 mN637mN5.477mN1592DCBAMMMM解：解：根據(jù)例1的計算結(jié)果可知各輪上的外力偶矩分別為：BCADMAMBMCMD112233 應(yīng)用截面法將橫截面1-1處假想的截開為二，如圖，并保留左半部分為研究對象MB11xT1mNMTTMMBBx5 .4770011xBCMBMC1122T2mNMMTTMMMCBCBx95525 .4770022DMD33T3xmNMTTMMDDx6370033B

6、CA 橫截面3-3處的扭矩T3也可以利用33截面左邊的受力平衡來解決。mNMMMTTMMMMACBACBx6370033MAMBMC112233（1）聯(lián)系扭轉(zhuǎn)變形來規(guī)定扭矩符號：桿因扭轉(zhuǎn)使某一段內(nèi)的縱向母線有變成右手螺旋的趨勢時，則該截面上的扭矩為正，反之為負。（2）右手螺旋法則：若按右手螺旋法則把Mn表示為矢量，當(dāng)矢量方向與截面的外法線方向一致時，為正，反之為負。 從上述33截面上扭矩的兩種計算方法所獲得的計算結(jié)果可以看到，兩個結(jié)果雖在數(shù)值上相等，但是在轉(zhuǎn)向上卻相反，由于二者均為同一截面處的內(nèi)力，故其在正負號上應(yīng)該一致，為了使二者的正負號一致。因此我們有必要進行正負號的規(guī)定。3、扭轉(zhuǎn)正、負號

7、的規(guī)定：、扭轉(zhuǎn)正、負號的規(guī)定：4、扭矩圖扭矩圖：用來表示受扭桿件橫截面上扭矩隨軸線位置變化 的坐標圖（與軸力圖作法完全相同）。 扭矩圖的作法同軸力圖的作法完全一樣。如圖所示：以x軸表示桿件各橫截面的位置，以垂直向上的縱軸表示Mn的大小。例例3、 傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，試繪出各段軸的扭矩圖。 解解：從例2中可知，BC、CA、AD各段橫截面上的扭矩分別為：mNT5 .4771mNT9552mNT 6373 如果不畫坐標軸，那么一定要標明正、負號。在水平線之上為正，在水平線之下

8、為負。mN 5 .477mN955mN 637x)(nnMT0目錄目錄4-3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強度條件 一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 對一個受扭的材料，我們要想知道它到底能承受多大的外載作用，首先必須知道其內(nèi)部的應(yīng)力分布規(guī)律，只有知道了其內(nèi)部的分布規(guī)律后才能夠較易地找出其內(nèi)部的最大應(yīng)力，從而確定這種材料適合于什么樣的工程，能夠經(jīng)受什么樣的載荷。 在這里應(yīng)力分析屬于靜不定問題，須綜合研究幾何、物理和靜力學(xué)三個方面。由變形幾何條件得到變形變化規(guī)律，再由物理條件得到應(yīng)力變化規(guī)律，最后由靜力學(xué)平衡條件得到應(yīng)力計算公式。1、變形幾何關(guān)系：、變形幾何關(guān)系：（1）圓軸

9、扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)： 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形實驗：同薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)相似，在圓軸表面上作縱向線和圓周線，如圖所示： 實驗結(jié)果：各圓周線繞軸線相對的旋轉(zhuǎn)了一個角度，但大小，形狀和相鄰兩圓周線之間的距離不變，在小變形的情況下，各縱向線仍近似的是一條直線，只是傾斜了一個微小的角度，變形前，圓軸表面的方格，變形后扭歪成菱形。 結(jié)論：結(jié)論：圓軸變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線，且相鄰兩截面間的距離不變。 圓軸扭轉(zhuǎn)的基本假設(shè)：平面假設(shè)平面假設(shè)（2）剪應(yīng)變的變化規(guī)律： 現(xiàn)從圓軸中取出長為dx的微段，即上圖中的mm-nn之間微段，再于上述微段中取單元體abcd。若截面nn對mm的相對轉(zhuǎn)角

10、為 d.根據(jù)平面假設(shè)，可知：橫截面 nn相對于mm象剛性平面一樣，繞d角，半徑oa也轉(zhuǎn)過了一個 d角到達oa。 軸線轉(zhuǎn)了一個 于是單元體abcd的ab邊相對于cd也發(fā)生了微小的相對錯動，引起單元體abcd的剪切變形。 如圖所示：ab邊對cd 邊相對錯動的距離是： dxdabeeeedRRdaa 直角abc的角度改變量： dxdRadaa（a） 圓截面a點處的剪應(yīng)變，在垂直于半徑oa的平面內(nèi)。 同樣道理：在距離圓心為處的剪應(yīng)變?yōu)椋?dxdp（b） 討論：討論：由圖中可看出：（a）(b)兩式中的 dxd為扭轉(zhuǎn)角 沿軸線x的變化率。對某一給定的截面來說，x=常量， =常量，故： dxd=常量。 由此

11、和(b)式可得出剪應(yīng)變的變化規(guī)律如下：2、物理關(guān)系：、物理關(guān)系：將剪切虎克定律代入上面的剪應(yīng)變公式（b）中。 GdxddxdG （4-3） 討論：由于對于某一特定的橫截面 dxd=常數(shù)。 故由（4-3）式可看出： 再根據(jù)剪應(yīng)力互等定理可知：在縱截面和橫截面上，沿半徑剪應(yīng)力的分布規(guī)律如圖所示： 對于某一特定的橫截面來說 與 成正比。又因為 發(fā)生在垂直于半徑的平面 內(nèi)，所以 也與半徑垂直。d3、靜力關(guān)系：、靜力關(guān)系： 雖然前面已經(jīng)求出了（4-3）式，但由于（4-3）式中的 dxd尚未求出，所以仍然無法用它計算剪應(yīng)力，為此，我們還必須來研究靜力平衡關(guān)系。 （1）公式推導(dǎo)： 如圖所示在橫截面內(nèi)取環(huán)形微

12、分面積dA ddA 2由于 d很微小，故可認為在環(huán)形面積內(nèi)， =常量。 將微面積上的剪應(yīng)力對o點取力偶矩，可得：d0d則：整個橫截面上的扭矩， AndT dxdG故：ApAndxdIGdAdxdGdAdxdGT22截面極慣性矩截面極慣性矩ApdAI2（4-4）令：（2） 討論：討論：公式4-4，4-5，4-6的適用范圍：nnWTmax 由公式可見，當(dāng)R時。pnRIRTmax代入，得：用RIWpn（4-6）dxdGdxdIGTpnPnIT（4-5）則：則：R0T時的情況。pmaxb. 當(dāng)圓形截面沿軸線的變化緩慢時，例如小錐度的圓錐形桿， 也可近似的應(yīng)用以上公式。c. 由于在推導(dǎo)上述公式時運用了虎

13、克定律，因此只適用于a. 由于上述公式是在平面假設(shè)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的。試驗結(jié)果表明，只有對橫截面不變的圓軸，平面假設(shè)才是正確的。因此上述公式只適用于等直圓桿。pI（3） 求解截面極慣性矩和抗扭截面模量Wn 實心圓軸（4-7）322244032DRddAIRAp（4-8）16233DRRITpn 空心圓軸的量綱是長度的四次方。由公式（4-7）可看出，pI由公式（4-8）可看出，Wn的量綱是長度的三次方。式中：式中：d和D分別為空心圓截面的外徑和內(nèi)徑。（4-9）Dd)1 (32)(32244442232DdDddAIDdAp)1 (16)(164344DdDDRITpn二、強度條件max不超過材料的許

14、用剪切應(yīng)力 。 故強度條件為： 同拉伸和壓縮的強度計算類似，圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度要求仍然是： max討論討論：的確定max處），即：發(fā)生在Tnmax 處（扭轉(zhuǎn)最大的截面 對于等截面直桿，max nnWTmaxmax（4-10）（4-11）不一定發(fā)生在Tnmax 對于階梯形軸，因為Wn不是常量，所在的截面。這就要求綜合考慮扭矩Tn和抗扭截面模量Wn兩者的變化情況來確定。max的值，從而可減小在作截面設(shè)計時，可以把桿件設(shè)計成空心桿件，以增大 Wn和的數(shù)值。maxpI 軸扭轉(zhuǎn)時，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點處于純剪切狀態(tài)純剪切狀態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。強度條件可進行：強度校核強度校

15、核; 選擇截面選擇截面; 計算許可荷載。計算許可荷載。理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應(yīng)力與許用正應(yīng)力之間存在下述關(guān)系：對于塑性材料對于塑性材料 (0.5一一0.577) 對于脆性材料，對于脆性材料， (0.81.0) l式中，式中， l 代表許用拉應(yīng)力。代表許用拉應(yīng)力。目錄目錄一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形（a） 由公式（4-4）可知：受扭桿件某一微段兩端面的相對轉(zhuǎn)角為：則：距離為L的兩個橫截面之間的相對轉(zhuǎn)角為：4-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件（b） dxGIMdPnxdGIMdLPnL0討論當(dāng)兩個截面之間Tn值不變，且軸為等直桿時， 常量Pn

16、GIM故：（b）式為： PnGILM（4-12）式中： PGI圓桿的抗扭剛度抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強弱表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強弱若在兩截面之間 常量nT，或軸為階梯軸（ 常量PI） 時，則應(yīng)分段計算各段的扭轉(zhuǎn)角，然后相加，此時（b）式為：niPiiniGILT1（c）二、剛度條件二、剛度條件 對于傳動軸，有時即使?jié)M足了強度條件，還不一定能保證它正常工作。例如：機器的傳動軸如有過大的扭轉(zhuǎn)角，將會使機器在運轉(zhuǎn)中產(chǎn)生較大的振動；精密機床上的軸若變形過大，則將影響機器的加工精度等。因此對傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形要加以限制。一般地說：標志桿件扭轉(zhuǎn)變形的物理量有兩個： 絕對扭轉(zhuǎn)角 相對扭轉(zhuǎn)角 dxd

17、其中： PnGILM桿件中任一截面的變形程度，故而它不能作為衡量扭轉(zhuǎn)變形的物理量。；隨著x的變化而變化，所以它不能夠完全表明PnGIMdxd；對于Tn值不變的等直桿來說， dxd表示了 桿件中單位長度上的扭轉(zhuǎn)角，在桿件中的任意長度上 常量dxd的變形程度。故而可以作為衡量扭轉(zhuǎn)變形的物理量。 ，因此它是完全表明了桿件內(nèi)部各截面處若：記 dxd；桿件因扭轉(zhuǎn)而破壞時的 值為 。 0則： 允許扭轉(zhuǎn)角 剛度條件 n0max max討論討論對于等直桿來說： 注意：此處由 PnGIM得到的單位為弧度/米。rad/m而 的單位為度/米 0/m 故上面的剛度條件應(yīng)改為： PnGITmaxmax（4-13） mG

18、ITPn0maxmax180（4-14）三、關(guān)于空心軸的討論：三、關(guān)于空心軸的討論：、若 G=常量，則： 實空實空nnPPTTII、若 =常量，則：實空GG節(jié)約材料。思思41：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的最大剪應(yīng)力是原來的 倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的 倍？倍？163maxdTWTnT lG IT lGdp432816思思42：圖示鑄鐵圓軸受扭時，在圖示鑄鐵圓軸受扭時，在 面上發(fā)生斷裂，面上發(fā)生斷裂，其破壞是由其破壞是由 應(yīng)力引起的。在圖上畫出破壞的截面。應(yīng)力引起的。在圖上畫出破壞的截面。45

19、 螺旋螺旋最大拉最大拉求求: 實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之；確定二軸的重量之比。比。例題例題44、已知：已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力不得超不得超過過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。二軸長度相同。解：解：計算作用在軸上的扭矩計算作用在軸上的扭矩7 595499549716 2N m100.xPMTn計算軸中最大的剪應(yīng)力計算軸中最大的剪應(yīng)力實心軸實心軸max13111640MPaxxPMMWdTT31616 716 20 045m=45mm40 10.d空心

20、軸空心軸d20.5，D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1xxPMMWDTT二軸的重量之比二軸的重量之比=A1 :A2 例例45、一直徑為一直徑為D1的實心軸，另一內(nèi)外徑之比的實心軸，另一內(nèi)外徑之比d2D20.8的空心軸，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最大剪應(yīng)力的空心軸，若兩軸橫截面上的扭矩相同，且最大剪應(yīng)力相等。求兩軸外直徑之比相等。求兩軸外直徑之比D2/D1。解：解：TDTD132341616108(.)DD214311081192.例例46、在強度相同的條件下，用在強度相同的條件下，用d/D=0.5的空心圓軸取代實

21、心的空心圓軸取代實心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少?如果如果d/D=0.8，情況又將怎樣？，情況又將怎樣？解：解：設(shè)實心軸的直徑為設(shè)實心軸的直徑為 d1 ，由，由（0.512）TdT.)Dd11022 .AADd空實2212410540783(.).例例47：一厚度為一厚度為30mm、內(nèi)直徑為、內(nèi)直徑為230mm 的空心圓管，承的空心圓管，承受扭矩受扭矩T=180 kNm 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用：。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用： (1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論； (2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：解：(1) 利用薄壁

22、管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得maxTr t2218010201300332. 565 . MPa(2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得max()TD3416118010029161230290334. 622 . MPa例例48、一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強度計算）。（按強度計算）。解：解：設(shè)空

23、心圓軸的內(nèi)、外徑分別為設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別為外徑分別為d1 、 D1 ，最大許可扭矩為最大許可扭矩為12)5 . 01 (42)5 . 01 (4122221DDDD得由)1 (16)1 (16434311DTDT由828. 222/3311DDTT得例例49、一空心軸一空心軸=d/D=0.8，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速n=250r/m, 功率功率=60kW，=40MPa，求軸的外直徑，求軸的外直徑D和內(nèi)直徑和內(nèi)直徑d。解解：mNn9549954960250229176.N m643431040)8 . 01 (1676.2291)1 (16DDm由mm

24、1 .79D得,.d 633 mm例例10：水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，AB段為圓軸，直徑為段為圓軸，直徑為 d，在端點，在端點C受鉛垂力受鉛垂力P作用，材料的剪切彈性模量為作用，材料的剪切彈性模量為G，不計，不計BC段變形。段變形。求求C點的鉛垂位移。點的鉛垂位移。解：解：CVABaaIGlaFp4232dGlFa例例411、已知一直徑已知一直徑d=50mm的鋼制圓軸在扭轉(zhuǎn)角為的鋼制圓軸在扭轉(zhuǎn)角為 6時，時，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于90MPa，G=80GPa。求該軸長度。求該軸長度。解：解：npWTIGlTmax得：)2() 1 (npWIGlmax61808010005

25、9010296. 233.m（1）（2）例例412、圓截面橡膠棒的直徑圓截面橡膠棒的直徑d=40mm,受扭后受扭后,原來表面上的原來表面上的圓周線和縱向線間夾角由圓周線和縱向線間夾角由 90變?yōu)樽優(yōu)?88。如桿長。如桿長 l=300mm，試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量試求兩端截面間的扭轉(zhuǎn)角；如果材料的剪變模量G=2.7MPa，試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩。試求桿橫截面上最大剪應(yīng)力和桿端的外力偶矩。解：解：由由2dl dl2得 2 30024030max G272180. 009425.MPanWmmax009425100041663.118.N m例例413、傳動軸傳遞

26、外力偶矩傳動軸傳遞外力偶矩5kNm,材料的材料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,試選擇軸的直徑。試選擇軸的直徑。解：解：631030165000d由mm7 .94d得5 . 0180321080500049d由mm4 .92d得目錄目錄4-5 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形一、對圓柱形密圈螺旋彈簧的基本假設(shè)：一、對圓柱形密圈螺旋彈簧的基本假設(shè)： 1、 05時，可省略 彈簧軸線在同一平面內(nèi)。的影響，近似地認為簧絲的橫截面與2、當(dāng)簧絲的橫截面直徑d遠小于彈簧圈的平均直徑D時，還可略 去簧絲曲率的影響，近似的用直桿公式計算。二、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力二、彈

27、簧絲橫截面上的應(yīng)力1、內(nèi)力計算：、內(nèi)力計算： 如圖所示，為一密圈彈簧，沿其軸線作用壓力F。現(xiàn)以簧絲的任意橫截面假想地將彈簧分成兩部分，并取上一部分為研究對象，如圖所示：dFDF2/DTQ1AA 為了保持取出部分的平衡，在簧絲橫截面上一定有一個與截面相切的內(nèi)力系，將這個內(nèi)力系向截面形心簡化，即可得到如圖所示的Q和T。(a)(b)(c)(d)由 2000FDTFQMY2、應(yīng)力計算：、應(yīng)力計算：與剪力Q對應(yīng)的剪應(yīng)力 1的計算：根據(jù)實用計算方法（即假設(shè) 1均勻分布于橫截面上），與扭矩T對應(yīng)的剪應(yīng)力 2的計算方法 根據(jù)假設(shè)可知：計算方法與軸線為直線的圓軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的計算方法相同。得：214dFAQ（4-

28、15）3max28dFDWTn橫截面上的某一點處的應(yīng)力： 在簧絲橫截面上，任意點處的總應(yīng)力是剪切和扭轉(zhuǎn)兩種剪應(yīng)力的矢量和，在圖(c)、(d)所示的A點處，達到最大值。12884332max21maxDddFDdFDdFD注：上式中，第一項代表剪切的影響，后一項代表扭轉(zhuǎn)的影響。注：上式中，第一項代表剪切的影響，后一項代表扭轉(zhuǎn)的影響。（4-16）（4-17）當(dāng) 10dD時， Dd2與1相比，顯然可以省略不計，從而可得：3max8dFD（4-18）修正公式 上面的應(yīng)力分析實際上是在：沒考慮簧絲是個曲桿，假設(shè) 均勻分布兩種情況下進行的，實質(zhì)上是個近似計算。 1現(xiàn)將以上兩個因素考慮進去，即可得修正公式如

29、下：33max88615. 04414dFDKdFDCCC（4-19） 其中： dDC 彈簧指數(shù) CCCK615. 04414曲度系數(shù) 強度條件：式中： max根據(jù)公式（4-20）求出的最大剪應(yīng)力 材料許用剪應(yīng)力 max（4-20） 三、彈簧的變形三、彈簧的變形1、彈簧在變形過程中，外力功的計算、彈簧在變形過程中，外力功的計算FF實驗表明在彈性范圍內(nèi)，壓力F與變形 成正比，即F與 所示，同在拉伸部分和剪切部分外力功的計算方法一樣，此時外力F所做的功W應(yīng)等于斜直線下陰影部分的面積： 的關(guān)系反映在坐標平面內(nèi)是一條包含原點在內(nèi)的斜直線。如圖(b)即： 2PW (a)2、彈簧在變形過程中，變形能的計算

30、、彈簧在變形過程中，變形能的計算如圖（c）所示，距圓心為 處的圓周上的剪應(yīng)力為： 44163221dPDdPDIMnn(b)從而，單位體積的變形能： 8222221282dGDFG則，整個彈簧的變形能為：VdVU 若令ds表示簧絲軸線的微分長度，dA表示簧絲橫截面的微分面積，n表示彈簧的圈數(shù)。 則： nDLdsddsdAdV，2(c)43208222242128GdnDFdsddGDFVdULV(d)3、彈簧變形、彈簧變形 的計算的計算 由功能原理可知： UW 43242GdnDPP將(a)、(d)兩式代入上式，得： 4343648GdnPRGdnPD（4-21） 若，記 nPRGdnPDGd

31、C3434648則，可得： CP式中：C彈簧抵抗變形的能力，稱為彈簧剛度討論：討論：由上面兩式可看出，減小d，增加n和D都可取得增加 的效果。 （4-22） 目錄目錄4-6 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念 、基本概念：、基本概念： 1、翹曲、翹曲：取一橫截面為矩形的桿，在其側(cè)面上畫上縱向線和橫向周界線，扭轉(zhuǎn)后發(fā)現(xiàn)橫向周界線已變?yōu)榭臻g曲線，這表明變形后桿的橫截面已不再保持為平面，而變?yōu)榍妫@種現(xiàn)象，就稱為翹曲。（見圖）圖注：注：從翹曲這種現(xiàn)象可以看出，平面假設(shè)對非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn) 已不再適用。2、自由扭轉(zhuǎn)、自由扭轉(zhuǎn)：等直桿在兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，且其翹曲不受任 何限制的情況，屬于自由

32、扭轉(zhuǎn)。 特特 點：點：桿件各橫截面上的翹曲程度相同，縱向纖維的長度 無變化，故橫截面上沒有正應(yīng)力而只有剪應(yīng)力。如 圖4-103、約束扭轉(zhuǎn)：、約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力條件的限制，造成桿件各橫截 面的翹曲程度不同，這種情況屬于約束扭轉(zhuǎn)。 特特 點：點：由于桿件各橫截面的翹曲程度不同，這勢必引起相 鄰兩截面之間縱向纖維的長度改變。于是橫截面上 除剪應(yīng)力外還有正應(yīng)力，見圖4-11 。圖4-10圖4-114、薄壁桿件與實體桿件在約束扭轉(zhuǎn)時的差別：薄壁桿件與實體桿件在約束扭轉(zhuǎn)時的差別：薄壁桿件（如工字鋼、槽鋼等，見圖412）在約束扭轉(zhuǎn)時正應(yīng)力相當(dāng)大，而實體桿件（如矩形、橢圓形桿件）因約束扭轉(zhuǎn)而引起的正

33、應(yīng)力極小，與自由扭轉(zhuǎn)并不太大差別?；谶@個原因，我們在實際工作中處理具體問題時，應(yīng)該劃清主次。 圖4-125、桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面邊緣各點的剪應(yīng)力情況與邊界相切。、桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面邊緣各點的剪應(yīng)力情況與邊界相切。圖4-13證：證：反證法 假設(shè)邊緣各點的剪應(yīng)力不與邊界相切。 如圖所示，將它分解為 t和 n。由剪應(yīng)力互等定理可知在桿件表面上的 n和 n相等，即： nn因為： 0n所以 0nn綜上所述，在邊緣只可能存在沿邊界切線方向的剪應(yīng)力 t二、矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時，截面上的應(yīng)力、變形分析（由于正應(yīng)二、矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時，截面上的應(yīng)力、變形分析（由于正應(yīng)力很小，故只研究剪應(yīng)力）力很小，故只研究剪應(yīng)力）1

34、、剪應(yīng)力的計算：、剪應(yīng)力的計算： 對于矩形截面桿中的截面上的應(yīng)力，如進行詳細的理論分析不僅非常困難，而且還要用到其他方面的一些知識，因此，在這里我們就不加推導(dǎo)的直接的引用彈性力學(xué)的結(jié)果。 矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時，它的橫截面上剪應(yīng)力的分布情況大致如圖所示，整個截面上的最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形的長邊的中點，短邊上最大剪應(yīng)力也發(fā)生在短邊的中點。圖4-14max1hb2maxhbT（4-23） max1（4-24） max長邊中點的最大剪應(yīng)力式中系數(shù) 和 都是與比值h/b有關(guān)的系數(shù)。可以從表4-2中查到。2、扭轉(zhuǎn)角的計算：、扭轉(zhuǎn)角的計算： 同上一樣，在這里我們也不加推導(dǎo)的直接應(yīng)用彈性力學(xué)的結(jié)果： nGITLhb

35、GTL3（4-25）式中： 3nhbGGI抗扭剛度和h/b有關(guān)，見表4-1 表 4-1矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的系數(shù)h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.00.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.3330.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.3331.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743三、狹長矩形截面桿中的應(yīng)力變形分析

36、三、狹長矩形截面桿中的應(yīng)力變形分析狹長矩形：h/b10 時，這時， 31用 代b代入式（425）得： 在狹長矩形截面上，扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的變化規(guī)律大致如下圖所示：2max31hT331hGTL 最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在長邊的中點，但沿長邊各點剪應(yīng)力的變化不大，接近相等，在靠近矩邊處迅速減小為零。 hmax1問答題問答題為什么在矩形的四個拐角上剪應(yīng)力為零？目錄目錄4-7 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)、基本概念：、基本概念：薄壁桿件：薄壁桿件：桿件的壁厚遠小于橫截面的其他兩個尺寸（高和寬） 薄壁桿件薄壁桿件 開口薄壁桿件：開口薄壁桿件：桿件的截面中線是一條不封閉的折 線或曲線。 閉口薄壁桿件：閉口薄壁

37、桿件：桿件的截面中線是一條封閉的折線或 曲線。 二、開口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)：二、開口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)： 1、基本假設(shè)：、基本假設(shè)：自由扭轉(zhuǎn)時橫截面在其本身平面內(nèi)形狀不變，即在變形過程中，橫截面在基本平面內(nèi)的投影只作剛性平面運動。2、扭轉(zhuǎn)角的計算：、扭轉(zhuǎn)角的計算：令：整個截面的扭轉(zhuǎn)角： 截面各組成部分的扭轉(zhuǎn)角： 12 i由基本假設(shè)可知： .21i（a）令： 整個截面上的扭矩： T 各組成部分的扭矩： T1、T2. Ti 顯而易見： (b) Tn=T1+T2+.+Ti+.= iT由： 331hGTL可知： ，31111131hGLT ，32222231hGLT 331iiiiihGLT(c) .

38、31.313133223111iiGhGhGhLGT，11311131LGhT22322231LGhT iiiiiLGhT331(d) 3131iiIIGhLG 令：令： 31131hIn(e) 得：得：nGITL(f)式中式中： nGI抗扭剛度 注：注：由于各種型鋼的各狹長矩形連接處有圓角，翼緣內(nèi)側(cè)有斜由于各種型鋼的各狹長矩形連接處有圓角，翼緣內(nèi)側(cè)有斜 率，因此有必要對率，因此有必要對InIn進行修正，修正公式為：進行修正，修正公式為： 31131hIn是修正系數(shù)是修正系數(shù) 由 iniiiiGITLhGLT331niiiIGhTT331 （g）3、橫截面上應(yīng)力的計算：、橫截面上應(yīng)力的計算：令組成截面的任一狹長