第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)二、二、 定積分的概念定積分的概念一、一、 定積分問(wèn)題實(shí)例分析定積分問(wèn)題實(shí)例分析三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 定積分是積分學(xué)的又一個(gè)重要概念，它在物理、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各學(xué)科中都有廣泛的運(yùn)用。下面我們經(jīng)過(guò)幾個(gè)典型事例引入定積分的概念 一、定積分問(wèn)題實(shí)例分析一、定積分問(wèn)題實(shí)例分析1 1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上非負(fù)上非負(fù)且延續(xù)，由曲線且延續(xù)，由曲線 及直及直線線 和和 所圍成所圍成的的平面圖形如圖平面圖形如圖6-16-1稱(chēng)為曲邊稱(chēng)為曲邊梯形，其中曲線弧稱(chēng)為曲邊，梯形，其中曲線弧稱(chēng)為曲邊，x x軸上對(duì)應(yīng)區(qū)間

2、軸上對(duì)應(yīng)區(qū)間 的線段稱(chēng)的線段稱(chēng)為為底邊。底邊。 ( )yf x, a b( )yf x,xa xb0y , a ba ab bx xy yo o圖6-1 假設(shè)把區(qū)間 劃分為許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用其中某一點(diǎn)處的高來(lái)近似替代同一個(gè)小區(qū)間上的窄曲邊梯形的變動(dòng)的高，那么，每個(gè)窄曲邊梯形的面積就可近似的看作這樣得到的窄矩形?；谶@一現(xiàn)實(shí)，我們經(jīng)過(guò)如下的步驟來(lái)計(jì)算曲邊梯形的面積： , a b近似近似作和作和逼近逼近分割分割 第一步：分割.在區(qū)間 內(nèi)恣意插入n-1個(gè)分點(diǎn)： ,把區(qū)間 分割成n個(gè)小區(qū)間 。相應(yīng)的把曲邊梯形分割成n個(gè)窄曲邊梯形。, a b012inaxxxxxb, a b1,iixx1,2

3、,in1()f( )if()nfxyO( )yf x0 x11ix1xixnxin圖6-1第二步：近似第二步：近似. .即即“以直代曲以直代曲，在小區(qū)間，在小區(qū)間 上任取一上任取一點(diǎn)點(diǎn) ，以，以 為高，以為高，以 為底的小矩形面積為底的小矩形面積 作為窄曲邊梯形作為窄曲邊梯形 面積的近似值，從而在面積的近似值，從而在 上上以直線以直線 替代曲線替代曲線 ，有，有1,iixxi( )ifix( )ifixiA1,iixx( )iyf( )yf x( ),1,2, .iiiAfx in 第三步：作和.把一切小矩形面積相加，得整個(gè)曲邊梯形面積A 的近似值，即 11( ).nniiiiiAAfx01l

4、im( ).niiiAfx第四步：逼近第四步：逼近. .顯然，隨著區(qū)間顯然，隨著區(qū)間 內(nèi)的分點(diǎn)不斷添加，第三步內(nèi)的分點(diǎn)不斷添加，第三步所的近似值的準(zhǔn)確度將不斷提高，并不斷逼近面積的準(zhǔn)確值。記所的近似值的準(zhǔn)確度將不斷提高，并不斷逼近面積的準(zhǔn)確值。記最大的小區(qū)間長(zhǎng)度為最大的小區(qū)間長(zhǎng)度為 ，即，即 并令并令 取取上述和式極限，就得到了曲邊梯形的面積上述和式極限，就得到了曲邊梯形的面積 , a b12max,nxxx0, 2 2變力沿直線做功變力沿直線做功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m m在一個(gè)與在一個(gè)與OxOx軸平行，大小為軸平行，大小為F F的力作用下，沿的力作用下，沿OxOx軸從點(diǎn)軸從點(diǎn) x=ax=a挪動(dòng)到點(diǎn)

5、挪動(dòng)到點(diǎn)x=b,x=b,求該力所作的功。求該力所作的功。 問(wèn)題的困難在于質(zhì)點(diǎn)在不同位置上，所遭到的力大小不同，類(lèi) 似于曲邊梯形面積的分析，采取以下步驟： 近似近似作和作和逼近逼近分割分割 第二步：近似.即“以不變代變，在小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，以該點(diǎn)處的力 替代小區(qū)間 上的變力 ，那么區(qū)間 上所作的功 有近似值1,iixxi( )if1,iixx( )f x1,iixxiW( ),1,2, .iiiWfx in第一步：分割.在區(qū)間 內(nèi)恣意插入n-1個(gè)分點(diǎn)： ,把區(qū)間 分割成n個(gè)小區(qū)間 。小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為, a b012inaxxxxxbLL, a b1,iixx1,2,in,1,2, .ix

6、 in第三步：作和. 在區(qū)間 上所作的功W的近似值是一切小區(qū)間上所做功的近似值之和，即 , ab1( ).niiiWfx 第四步：逼近.讓 區(qū)間內(nèi)的分點(diǎn)不斷添加，令最大的小區(qū)間長(zhǎng) 度 為那么上述和式極限，就是變力 使質(zhì)點(diǎn) m從點(diǎn)x=a移到點(diǎn)x=b所作的功。 , a b1max0,ii nx ( )Ff x 二、二、 定積分的概念定積分的概念 上面兩個(gè)問(wèn)題，一個(gè)是面積問(wèn)題，一個(gè)是做功問(wèn)題，具上面兩個(gè)問(wèn)題，一個(gè)是面積問(wèn)題，一個(gè)是做功問(wèn)題，具體內(nèi)容雖然不同，但是描畫(huà)這兩個(gè)量的數(shù)學(xué)模型是完全一體內(nèi)容雖然不同，但是描畫(huà)這兩個(gè)量的數(shù)學(xué)模型是完全一樣的，都是樣的，都是“和式和式的極限。可以用這一方法描畫(huà)的量

7、在的極限。可以用這一方法描畫(huà)的量在各各個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中是很廣泛的，拋開(kāi)這些問(wèn)題的詳細(xì)意義個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中是很廣泛的，拋開(kāi)這些問(wèn)題的詳細(xì)意義，抓住他們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的特性與本質(zhì)加以概括，我，抓住他們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的特性與本質(zhì)加以概括，我們可以籠統(tǒng)出下述定積分的定義。們可以籠統(tǒng)出下述定積分的定義。 定義定義 設(shè)設(shè) 為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 上的有界函數(shù)，在上的有界函數(shù)，在 中恣意插入中恣意插入n-1n-1個(gè)分點(diǎn)：個(gè)分點(diǎn)： ，將區(qū)間將區(qū)間 分為分為n n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 ，小區(qū)間的長(zhǎng)度分，小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為別記為 ，在小區(qū)間，在小區(qū)間 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) ，作和式作和式假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) 時(shí)，上述

8、和式極限存在，且與區(qū)間時(shí)，上述和式極限存在，且與區(qū)間 的分的分法無(wú)關(guān)，與法無(wú)關(guān)，與 的取法無(wú)關(guān)，那么稱(chēng)此極限為函數(shù)的取法無(wú)關(guān)，那么稱(chēng)此極限為函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上上的定積分，記為的定積分，記為 ，即，即 ( )f x, a b0121iinaxxxxxxb, a b1,iixx1,2,in1(1,2, ).iiixxxini1( ).niiifx1max0,ii nx , a bi( )f x, a b( )baf x dx( )baf x dx01lim( ).niiifx, a b1,iixx其中，其中，x x稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為積分變量， 稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積函數(shù)， 稱(chēng)為被積表達(dá)稱(chēng)為被積

9、表達(dá)式，式， 稱(chēng)為積分區(qū)間，稱(chēng)為積分區(qū)間，a a為積分下限，為積分下限，b b為積分上限。為積分上限。()fxf x dx( ), a b利用定積分的定義，前面所討論的兩個(gè)實(shí)踐問(wèn)題分別表述如下：利用定積分的定義，前面所討論的兩個(gè)實(shí)踐問(wèn)題分別表述如下： ( ) , fxa b函數(shù)在區(qū)間上的( )( )0)yfxfx曲 線，A曲邊梯形的面積等于( )baAfx dx,xxa xb軸與直線所圍成的.定積分 即 F= ( )x=ax=b, , .f xOxa b 質(zhì)點(diǎn)在變力作用下，沿軸從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)變力沿直線所作的功W等于函數(shù)f x 在區(qū)間上的定積分 即( )baWf x dx定積分是一種和式的極限，其

10、值是一個(gè)實(shí)數(shù)，其大小與被積函數(shù) 和積分區(qū)間 有關(guān)，而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，如 ， ， 等都表示同一個(gè)定積分，這是由于和式 中變量采用什么記號(hào)與其極限無(wú)關(guān)。 ( )f x, a b( )baf x dx( )baf t dt( )baf u du1( ).niiifx對(duì)于定積分的定義，還應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：(2) 定積分的幾何意義假設(shè)在 上 ，那么 的值表示以 為曲邊，與直線x=a,x=b,y=0所圍曲邊梯形的面積如圖6-2。 , a b( )0f x ( )baf x dx( )yf xabOxy( )baAf x dx( )yf x圖6-2abOxy圖6-3假設(shè)在 上 ，那么 為負(fù)值，如圖6-3

11、，其絕對(duì)值是以 為曲邊，與直線x=a,x=b,y=0所圍曲邊梯形的面積。 , a b( )0f x ( )baf x dx( )yf x( )yf x abfx dx假設(shè)在 上 有正有負(fù)，那么 的值表示由 ，x=a,x=b和y=0所圍圖形在x軸上方的面積減去x軸下方的面積所得之差圖6-4)。 , a b( )f x( )baf x dx( )yf xyabOx( )yf x圖6-4(3) 定義中規(guī)定ab這一限制，對(duì)定積分的運(yùn)用帶來(lái)不便，如變力 把質(zhì)點(diǎn)m從點(diǎn)a挪動(dòng)到點(diǎn)b是作正功，那么從點(diǎn)b挪動(dòng)到點(diǎn)a是作負(fù)功。由此，我們補(bǔ)充規(guī)定：當(dāng)ba時(shí)，當(dāng)b=a時(shí)， ( )Ff x( )abf x dx ( )

12、baf x dx( )baf x dx( )0aaf x dx(4) 假設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分存在，即和式極限存在，就說(shuō) 在區(qū)間 上是可積的。怎樣的函數(shù)才可積呢？要求和式極限存在，且與 的分法無(wú)關(guān)，與 的取法無(wú)關(guān)，這樣一個(gè)和式極限問(wèn)題比普通極限要復(fù)雜得多。這里僅指出：(i) 在區(qū)間 上有界是 在區(qū)間 上可積的必要條件；(ii) 在區(qū)間 上延續(xù)是 在區(qū)間 上可積的充分條件； 在區(qū)間 上只需有限個(gè)延續(xù)點(diǎn)的有界函數(shù)是 在區(qū)間 上可積的充分條件； ( )f x, a b( )f x, a b, a bi( )f x, a b( )f x, a b( )f x, a b( )f x, a b( )f

13、 x, a b( )f x, a b證證 由定積分的定義，由定積分的定義， 是常數(shù)，積分和式是常數(shù)，積分和式 所以所以 特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)A=1A=1時(shí)，時(shí)， 。 ( )f xA111( )(),nnniiiiiiifxA xAxA babaAdx 001lim()lim()().niiifxA baA babadxba例例1 1 試證明試證明 ，其中，其中A A為常數(shù)。為常數(shù)。()baAdxA b a例例2 2 利用定積分的定義計(jì)算定積分利用定積分的定義計(jì)算定積分解解 由于被積函數(shù)由于被積函數(shù) 在積分區(qū)間在積分區(qū)間 上延續(xù)，而連上延續(xù)，而連續(xù)函數(shù)一定可積，所以定積分的值與區(qū)間續(xù)函數(shù)一定可積

14、，所以定積分的值與區(qū)間 的分法及的分法及點(diǎn)點(diǎn) 的取法無(wú)關(guān)，因此，為了便于計(jì)算，無(wú)妨把區(qū)間的取法無(wú)關(guān)，因此，為了便于計(jì)算，無(wú)妨把區(qū)間 分分為為n n等份，這樣，每個(gè)小區(qū)間等份，這樣，每個(gè)小區(qū)間 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 ，分點(diǎn)為分點(diǎn)為 ，取，取 ，由此得到積分和式，由此得到積分和式2( )f xx0,10,1i0,11,iixx1ixniixniix22111( )nnniiiiiiiiifxxx x 2231111( )nniiiinnn 2223112nn31(1)(21)6n nnn120 x dx當(dāng) ，即 時(shí)(如今 )，上式兩端取極限即得20011111limlim(1)(2)63niiixnn12

15、0 x dx0n 1n例例3 3由定積分的幾何意義，求由定積分的幾何意義，求解解 由于在區(qū)間由于在區(qū)間 上，上， ( (見(jiàn)見(jiàn)圖圖6-5)6-5)，因此按定積分的幾何意義，該定，因此按定積分的幾何意義，該定積積分表示由分表示由“曲邊曲邊y=x-2y=x-2和直線和直線x=0,y=0 x=0,y=0所所圍圖圍圖形面積的負(fù)值，該圖形是底為形面積的負(fù)值，該圖形是底為2 2，高為，高為2 2的的直直角三角形形，其面積為角三角形形，其面積為 ，故，故20(2)2.xdx 0,2( )20f xx12 222 20(2)xdx圖6-5-22三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì) 按定積分的定義，即經(jīng)過(guò)積分和的極限

16、求定積分是非常困按定積分的定義，即經(jīng)過(guò)積分和的極限求定積分是非常困難的，必需尋求定積分的有效計(jì)算方法，下面引見(jiàn)的定積分的難的，必需尋求定積分的有效計(jì)算方法，下面引見(jiàn)的定積分的根本性質(zhì)有助于定積分的計(jì)算，也有助于對(duì)定積分的了解。假根本性質(zhì)有助于定積分的計(jì)算，也有助于對(duì)定積分的了解。假定函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，那么有定函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，那么有( )( )( )( ).bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx性質(zhì)性質(zhì)1 1( )bakf x dx( )bakf x dx(k為常數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 2性質(zhì)性質(zhì)3 3

17、對(duì)恣意實(shí)數(shù)c證證 由由 ， 得得 根據(jù)極限的性質(zhì)根據(jù)極限的性質(zhì)， 必有必有 故故 . . ( )0f x 10,iiixxx1( )0,niiifx01lim( )0.niiifx01( )lim( )0nbiiaif x dxfx只需令 ，利用性質(zhì)4及性質(zhì)2即可得證. ( )( )( )F xf xg x性質(zhì)性質(zhì)5 5 設(shè)ab且在區(qū)間 上 ，那么, a b( )( )f xg x( )( )bbaaf x dxg x dx性質(zhì)性質(zhì)4 4假設(shè)ab且在區(qū)間 上， 那么( )0baf x dx ( ) 0f x , a b證證 由由 ，利用性質(zhì)，利用性質(zhì)5 5得得 即即 . . ( )( )bba

18、af x dxf x dx( )( )( )f xf xf x( )( )( )bbbaaaf x dxf x dxf x dx 性質(zhì)性質(zhì)7(7(定積分中值定理定積分中值定理) )設(shè)設(shè) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上延續(xù)，那么在區(qū)上延續(xù)，那么在區(qū) 間間 上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn) ，使得，使得( )f x, a b, a b( )( ) (),.baf x dxfba ab( )( )bbaaf x dxf x dx性質(zhì)性質(zhì)6 6證證 由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的最大之和最小值定理，由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的最大之和最小值定理，存在數(shù)存在數(shù)M M和和m,m,使使 根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)5 5和例和例1 1，有有 即即 或

19、或 可見(jiàn)數(shù)可見(jiàn)數(shù) 介于介于m m和和M M之間，根據(jù)閉區(qū)間上之間，根據(jù)閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的介值定理，在閉區(qū)間延續(xù)函數(shù)的介值定理，在閉區(qū)間 上至少存在一上至少存在一點(diǎn)點(diǎn) ，使，使 ，即，即 ， ( ),mf xM axb( )bbbaaamdxf x dxMdx()( )(),bam baf x dxM ba1( ).bamf x dxMba1( )baf x dxb a, a b1( )( )()baff x dxabba F定積分的這些性質(zhì)，由定積分的幾何意義去了解，都是比較直觀的，如定積分中值定理在幾何上表示這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)：以延續(xù)曲線 為曲邊的曲邊梯形面積，等于以 為高、 為底的矩形的面積，如圖6-6。 稱(chēng)為延續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值。 ( )(, ( )0)yf x axb f x( )f()ba( )f( )f x, a byabOx( )yf x6-6( )f( )( ) ()().baf x dxfbaab或 例4 圖5-7中，陰影