數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線雙曲線

1、22.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程2掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知識鏈接1取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，拉開閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線，思考曲線滿足什么條件？答案如圖，曲線上的點滿足條件：|MF1|MF2|常數(shù)；如果改變一下位置，使|MF2|MF1|常數(shù)，可得到另一條曲線2雙曲線的定義中，為什么常數(shù)要小于|F1F2|?提示(1)如果定義中常數(shù)改為等于|F1F2|，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點)(2)如果定義中常數(shù)為0，此時動點軌跡為線段F1F2的垂

2、直平分線(3)如果定義中常數(shù)改為大于|F1F2|，此時動點軌跡不存在預(yù)習(xí)導(dǎo)引1雙曲線的有關(guān)概念(1)雙曲線的定義平面上到兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值為定值(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫做雙曲線平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于|F1F2|時的點的軌跡為以F1、F2為端點的兩條射線平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值大于|F1F2|時的點的軌跡不存在(2)雙曲線的焦點和焦距:雙曲線定義中的兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a>0，b>0)，焦點F1(c

3、,0)，F(xiàn)2(c,0)(2)焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a>0，b>0)，焦點F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)(3)雙曲線中a、b、c的關(guān)系是c2a2b2.(4)已知兩點求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)焦點位置不確定時可設(shè)為Ax2By21(A·B<0)(5)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上，若y2項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上要點一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過點P(3，)，Q(，5)；(2)c，經(jīng)過點(5,2)，焦點在x軸上解(1)法一若焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，由于點P(3，

4、)和Q(，5)在雙曲線上，所以解得 (舍去)若焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，將P、Q兩點坐標(biāo)代入可得解之得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二設(shè)雙曲線方程為1(mn<0)P、Q兩點在雙曲線上，解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一依題意可設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)依題設(shè)有解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二焦點在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中0<<6)雙曲線經(jīng)過點(5,2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21.規(guī)律方法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后

5、用待定系數(shù)法求出a，b的值若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復(fù)雜，注意到雙曲線過兩定點，可設(shè)其方程為mx2ny21(mn<0)，通過解方程組即可確定m、n，避免了討論，實為一種好方法跟蹤演練1(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線過點(3，4)和(，5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線方程解(1)由已知可設(shè)所求雙曲線方程為1 (a>0，b>0)，則解得雙曲線的方程為1.(2)法一設(shè)雙曲線方程為1.由題意易求得c2.又雙曲線過點(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所

6、求雙曲線的方程為1.法二設(shè)雙曲線方程為1 (4<k<16)，將點(3，2)代入得k4，所求雙曲線方程為1.要點二雙曲線定義的應(yīng)用例2 如圖，若F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個焦點(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|32，試求F1PF2的面積解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故a3，b4，c5.(1)由雙曲線的定義得|MF1|MF2|2a6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，假設(shè)點M到另一個焦點的距離等于x，則|16x|6，解得x10或x22.故點M到另一個焦點的距離為10或22.(

7、2)將|PF2|PF1|2a6，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|362×32100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，F(xiàn)1PF290°，SF1PF2|PF1|·|PF2|×3216.規(guī)律方法(1)求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點間距離公式可求結(jié)果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)|PF1|PF2|2a求解，注意對所求結(jié)果進行必要的驗證(負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于ca)(2)在解決雙曲線中與焦點

8、三角形有關(guān)的問題時，首先要注意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用跟蹤演練2已知雙曲線1的左、右焦點分別是F1、F2，若雙曲線上一點P使得F1PF260°，求F1PF2的面積解由1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理得|PF1|PF2|±6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60°，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|64，SF1PF2|PF1|·

9、;|PF2|·sinF1PF2×64×16.要點三根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)的值或范圍例3求適合下列條件的參數(shù)的值或范圍：(1)已知1，當(dāng)k為何值時，方程表示雙曲線；表示焦點在x軸上的雙曲線；表示焦點在y軸上的雙曲線；(2)已知雙曲線方程為2x2y2k，焦距為6，求k的值解(1)若方程表示雙曲線，則須滿足或解得k<3或1<k<3；若方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則1<k<3；若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k<3.(2)若焦點在x軸上，則方程可化為1，k32，即k6.若焦點在y軸上，則方程可化為1，k()32，即k6.綜上，k

10、的值為6或6.規(guī)律方法(1)判定方程所表示的曲線類型，在對參數(shù)k進行討論時，首先要找好討論的分界點，除了區(qū)別曲線類型外，同一類曲線還要區(qū)別焦點在x軸上和y軸上的情況(2)確定方程所表示的曲線的類型時，首先應(yīng)明確方程Ax2By2C表示雙曲線的條件，即AB<0，且C0.化成1.若焦點在x軸上，則>0，<0；若焦點在y軸上，則>0，<0.(3)常見的題型：一是判斷含有參數(shù)的方程的曲線類型；二是已知方程的曲線類型，求方程中參數(shù)的取值范圍跟蹤演練3已知方程kx2y24，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型解當(dāng)k0時，y±2，表示兩條與x軸平

11、行的直線當(dāng)k1時，方程為x2y24，表示圓心在原點，半徑為2的圓當(dāng)k<0時，方程為1，表示焦點在y軸上的雙曲線當(dāng)0<k<1時，方程為1，表示焦點在x軸上的橢圓當(dāng)k>1時，方程為1，表示焦點在y軸上的橢圓.1橢圓1和雙曲線1有相同的焦點，則實數(shù)n的值是()A±5 B±3 C5 D9答案B解析由題意知34n2n216，2n218，n29.n±3.2若k>1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在y軸上的橢圓C焦點在y軸上的雙曲線D焦點在x軸上的雙曲線答案C解析將已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)項的

12、系數(shù)符號進行判斷原方程可化為1.k>1，k21>0,1k>0.已知方程表示的曲線為焦點在y軸上的雙曲線3過點(1,1)且的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y21 B.x21Cx21 D.y21或x21答案D解析由于，b22a2.當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為1，代入(1,1)點，得a2.此時雙曲線方程為y21.同理求得焦點在y軸上時，雙曲線方程為x21.4平面內(nèi)有兩個定點F1(5,0)和F2(5,0)，動點P滿足|PF1|PF2|6，則動點P的軌跡方程是()A.1(x4) B.1(x3)C.1(x4) D.1(x3)答案D解析根據(jù)雙曲線的定義可得1雙曲線定義中|PF1|PF2|2

13、a (2a<|F1F2|)不要漏了絕對值符號，當(dāng)2a|F1F2|時表示兩條射線2在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a>b不一定成立要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.3用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要先判斷焦點所在的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，由條件列出a，b，c的方程組如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2ny21 (mn<0)的形式求解4根據(jù)雙曲線方程確定其中參數(shù)的值或范圍首先根據(jù)條件確定焦點位置，再把方程化為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)確定條件列出關(guān)系式，求出參數(shù)的值或范圍5在雙曲線的問題中，常會遇到求雙曲線上一點和兩個焦點所

14、構(gòu)成的三角形(我們不妨稱其為“焦點三角形”)的面積的問題若P是雙曲線1(a>0，b>0)上一點，F(xiàn)1、F2是其兩個焦點，設(shè)F1PF2，則F1PF2的面積為.一、基礎(chǔ)達標(biāo)1雙曲線1的焦距為()A3 B4 C3 D4答案D解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a210，b22.于是有c2a2b212，則2c4.故選D.2若方程1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是()A1<m<3 Bm>1Cm>3 Dm<1答案B解析依題意應(yīng)有m1>0，即m>1.3已知A(0，5)、B(0,5)，|PA|PB|2a，當(dāng)a3或5時，P點的軌跡為()A雙曲線或一條直線 B雙曲線或

15、兩條直線C雙曲線一支或一條直線 D雙曲線一支或一條射線答案D解析當(dāng)a3時，2a6，此時|AB|10，點P的軌跡為雙曲線的一支(靠近點B)當(dāng)a5時，2a10，此時|AB|10，點P的軌跡為射線，且是以B為端點的一條射線4(2013·福建，理)雙曲線8kx2ky28的一個焦點坐標(biāo)為(0,3)，則k的值是()A1 B1 C. D答案B解析原方程可化為1，由焦點坐標(biāo)是(0,3)可知c3，且焦點在y軸上，k<0.c29，k1，故選B.5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程1表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為_答案(1,3)解析將方程化為1，若表示焦點在x軸上的雙曲線，則有k1>0

16、且3k>0，即1<k<3.6若雙曲線x24y24的左、右焦點分別是F1、F2，過F2的直線交右支于A、B兩點，若|AB|5，則AF1B的周長為_答案18解析由雙曲線定義可知|AF1|2a|AF2|4|AF2|；|BF1|2a|BF2|4|BF2|，|AF1|BF1|8|AF2|BF2|8|AB|13.AF1B的周長為|AF1|BF1|AB|18.7ABC一邊的兩個頂點B(a,0)，C(a,0)(a>0)，另兩邊的斜率之積等于m(m0)求頂點A的軌跡方程，并且根據(jù)m的取值情況討論軌跡的圖形解設(shè)頂點A的坐標(biāo)為(x，y)，則kAB，kAC.由題意，得·m，即1(y0

17、)當(dāng)m>0時，軌跡是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線(兩頂點除外)；當(dāng)m<0且m1時，軌跡是中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓(除去與x軸的兩個交點)，其中當(dāng) 1<m<0時，橢圓焦點在x軸上；當(dāng)m<1時，橢圓的焦點在y軸上；當(dāng)m1時，軌跡是圓心在原點，半徑為a的圓(除去與x軸的兩個交點)二、能力提升8已知動圓M過定點B(4,0)，且和定圓(x4)2y216相切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.1 (x>0) B.1 (x<0)C.1 D.1答案C解析設(shè)動圓M的半徑為r，依題意有|MB|r，另設(shè)A(4,0)，則有|MA|r±4，即|MA|MB|

18、±4.亦即動圓圓心M到兩定點A、B的距離之差的絕對值等于常數(shù)4，又4<|AB|，因此動點M的軌跡為雙曲線，且c4,2a4，a2，a24，b2c2a212，故軌跡方程是1.9若雙曲線以橢圓1的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過橢圓的兩個焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案1解析橢圓1的焦點在x軸上，且a4，b3，c，所以焦點為(±，0)，頂點為(±4,0)于是雙曲線經(jīng)過點(±，0)，焦點為(±4,0)，則a，c4，所以b29，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10已知P是雙曲線1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，若|PF1|17，則|PF2|的值為_答案33解

19、析由雙曲線方程1知，a8，b6，則c10.P是雙曲線上一點，|PF1|PF2|2a16，又|PF1|17，|PF2|1或|PF2|33.又|PF2|ca2，|PF2|33.11雙曲線 1的一個焦點到中心的距離為3，試求m的取值范圍解當(dāng)焦點在x軸上，有m>5，則c2mm59，m7；當(dāng)焦點在y軸上，有m<0，則c2m5m9，m2；綜上所述，m7或m2.12求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a4，經(jīng)過點A；(2)焦點在y軸上，且過點(3，4)，.解(1)若所求的雙曲線方程為1(a>0，b>0)，將a4代入，得1.又點A在雙曲線上，1，由此得b2<0，不合題意舍去；

20、若所求的雙曲線方程為1(a>0，b>0)，同上解得b29.雙曲線方程為1.(2)設(shè)所求雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則因為點(3，4)，在雙曲線上，所以點的坐標(biāo)滿足方程，由此得解得a216，b29.故所求雙曲線方程為1.三、探究與創(chuàng)新13已知雙曲線過點(3，2)且與橢圓4x29y236有相同的焦點(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點M在雙曲線上，F(xiàn)1、F2為左、右焦點，且|MF1|MF2|6，試判斷MF1F2的形狀解(1)橢圓方程可化為1，焦點在x軸上，且c，故設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則有解得a23，b22，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)不

21、妨設(shè)M點在右支上，則有|MF1|MF2|2，又|MF1|MF2|6，故解得|MF1|4，|MF2|2，又|F1F2|2，因此在MF1F2中，|MF1|邊最長，而cosMF2F1<0，所以MF2F1為鈍角，故MF1F2為鈍角三角形2.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)2了解雙曲線的漸近性及漸近線的概念3掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系知識鏈接類比橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖象，你能得到雙曲線1 (a>0，b>0)的哪些幾何性質(zhì)？答案(1)范圍：xa或xa；(2)對稱性：雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點都是對稱的；(3)頂點：雙曲線有兩個頂點A1(a,0)，A2(a,0

22、)預(yù)習(xí)導(dǎo)引雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)焦點F1(c,0)、F2(c,0)F1(0，c)、F2(0，c)焦距|F1F2|2c范圍|x|a，yR|y|a，xR對稱性關(guān)于x軸，y軸、原點對稱頂點A1(a,0)、A2(a,0)A1(0，a)、A2(0，a)軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e(e1)漸近線y±xy±x要點一已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y216x2144的半實軸長和半虛軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程1.由此可知，半實軸長a4，半虛軸長b3；c5，焦點坐標(biāo)是(0，5)，(0,5

23、)；離心率e；漸近線方程為y±x.規(guī)律方法討論雙曲線的幾何性質(zhì)，先要將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)雙曲線兩種形式的特點得到幾何性質(zhì)跟蹤演練1求雙曲線x23y2120的實軸長、虛軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、漸近線方程、離心率解將方程x23y2120化為標(biāo)準(zhǔn)方程1，a24，b212，a2，b2，c4.雙曲線的實軸長2a4，虛軸長2b4.焦點坐標(biāo)為F1(0，4)，F(xiàn)2(0,4)，頂點為A1(0，2)，A2(0,2)，漸近線方程為y±x，離心率e2.要點二根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個焦點為(0,13)，且離心率為；(2)漸近線方

24、程為y±x，且經(jīng)過點A(2，3)解(1)依題意可知，雙曲線的焦點在y軸上，且c13，又，a5，b12，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一雙曲線的漸近線方程為y±x，若焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，無解若焦點在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.由聯(lián)立，解得a28，b232.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二由雙曲線的漸近線方程為y±x，可設(shè)雙曲線方程為y2(0)，A(2，3)在雙曲線上，(3)2，即8.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律

25、方法由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法當(dāng)雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線方程為mx2ny21 (mn>0)，從而直接求得若已知雙曲線的漸近線方程為y±x，還可以將方程設(shè)為 (0)，避免討論焦點的位置跟蹤演練2求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且滿足下列條件的雙曲線方程：(1)雙曲線過點(3,9)，離心率e；(2)過點P(2，1)，漸近線方程是y±3x.解(1)e2，得，設(shè)a29k(k0)，則c210k，b2c2a2k.于是，設(shè)所求雙曲線方程為1或1把(3,9)代入，得k161與k>0矛盾，無

26、解；把(3,9)代入，得k9，故所求雙曲線方程為1.(2)法一首先確定所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)類型，可在圖中判斷一下點P(2，1)在漸近線y3x的上方還是下方如圖所示，x2與y3x交點為Q(2，6)，P(2，1)在Q(2，6)的上方，所以焦點在x軸上設(shè)雙曲線方程為1 (a>0，b>0)依題意，得，解得.所求雙曲線方程為1.法二漸近線y±3x0，可設(shè)所求雙曲線為x2(0)將點P(2，1)的坐標(biāo)代入，得，雙曲線為1.要點三直線與雙曲線的位置關(guān)系例3直線l在雙曲線1上截得的弦長為4，其斜率為2，求l的方程解設(shè)直線l的方程為y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)設(shè)直線l與雙

27、曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24×(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m±.由(*)式得24m2240，把m±代入上式，得>0，m的值為±.所求l的方程為y2x±.規(guī)律方法直線與雙曲線相交的題目，一般先聯(lián)立方程組，消去一個變量，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程要注意根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式的應(yīng)用若與向量有關(guān)，則將向量用坐標(biāo)表示，并尋

28、找其坐標(biāo)間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解跟蹤演練3已知雙曲線3x2y23，直線l過右焦點F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A、B兩點，試問A、B兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長解a1，b，c2，直線l過點F2且傾斜角為45°，直線l的方程為yx2，代入雙曲線方程，得2x24x70.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1·x2<0，A、B兩點分別位于雙曲線的左、右兩支上x1x22，x1·x2，|AB|x1x2|··6.要點四雙曲線的綜合應(yīng)用例4已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，點P(2,0)到其漸近線的距離為

29、，過P作斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點，交y軸于M點，且|PM|是|PA|與|PB|的等比中項求：(1)雙曲線的漸近線方程；(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)設(shè)漸近線方程為ykx，由題設(shè)可得，9k21，k±，雙曲線的漸近線方程為y±x，即x±3y0.(2)由(1)的結(jié)果可設(shè)雙曲線方程為x29y2(>0)，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AB方程為y(x2)，由消y得3x24x440.>0，1612(44)>0，方程有兩實根，設(shè)為x1，x2，有x1x2，x1x2(1)，依題|PM|2|PA|·|PB|，得|(x12)(x22)

30、|4，|x1x22(x1x2)4|4，|(1)4|4，解得1或7，雙曲線為x21或1.規(guī)律方法聯(lián)立直線與雙曲線的方程消去一個變量轉(zhuǎn)化成二次方程求解，注意已知條件和方程相結(jié)合利用根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系去構(gòu)造相等關(guān)系或不等關(guān)系等跟蹤演練4設(shè)雙曲線C：y21(a>0)與直線l：xy1相交于兩個不同點A，B.(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，若，求a的值解(1)將yx1代入雙曲線y21(a>0)中得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0<a<且a1.又雙曲線的離心率e ，所以e>且e.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

31、P(0,1)，因為，所以(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的兩根，且1a20，所以x2，x.消去x2得.由a>0，解得a.1雙曲線1的焦點到漸近線的距離為()A2 B2 C. D1答案A解析雙曲線1的一個焦點為F(4,0)，其中一條漸近線方程為yx，點F到xy0的距離為2.2雙曲線mx2y21的虛軸長是實軸長的2倍，則m的值為()A B4 C4 D.答案A解析由雙曲線方程mx2y21，知m<0，則雙曲線方程可化為y21，則a21，a1，又虛軸長是實軸長的2倍，b2，b24，m，故選A.3若在雙曲線1 (a>0，b

32、>0)的右支上到原點O和右焦點F的距離相等的點有兩個，則雙曲線的離心率的取值范圍是()Ae> B1<e<Ce>2 D1<e<2答案C解析由于到原點O和右焦點F距離相等的點在線段OF的垂直平分線上，其方程為x.依題意，在雙曲線1 (a>0，b>0)的右支上到原點和右焦點距離相等的點有兩個，所以直線x與右支有兩個交點，故應(yīng)滿足>a，即>2，得e>2.4(2012·湖南)已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析雙曲線C的漸近線方程為0及點P(2,

33、1)在漸近線上，0，即a24b2，又a2b2c225，解得b25，a220，故選A.1雙曲線1(a0，b0)既關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，又關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，其頂點為(±a,0)，實軸長2a，虛軸長2b.2雙曲線的離心率e的取值范圍是(1，)，其中c2a2b2，且，離心率e越大，雙曲線的開口越大3雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，也可記為0；與雙曲線1(a>0，b>0)具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為(0).一、基礎(chǔ)達標(biāo)1雙曲線2x2y28的實軸長是()A2 B2 C4 D4答案C解析2x2y28可變形為1，則a24，a2,2a4.2雙曲線3x

34、2y23的漸近線方程是()Ay±3x By±xCy±x Dy±x答案C解析雙曲線方程可化為標(biāo)準(zhǔn)形式：1，a1，b，雙曲線的漸近線方程為y±x.3(2014·濟寧期末)若m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x21的離心率是()A. B. C.或 D.或答案D解析m216.m±4.當(dāng)m4時，e.當(dāng)m4時，e.4(2013·廣東，理)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則雙曲線C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析依題意c3，e，所以a2，從而a24，b2c2a25，故選B.5已知圓C過

35、雙曲線1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_解析由雙曲線的幾何性質(zhì)，易知圓C過雙曲線同一支上的頂點和焦點，所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為±4.故圓心坐標(biāo)為(4，±)或(4，±)易求得它到雙曲線中心的距離為.6雙曲線1的離心率e(1,2)，則k的取值范圍是_答案(12,0)解析雙曲線方程可變?yōu)?，則a24，b2k，c24k，e，又e(1,2)，則1<<2，解得12<k<0.7根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(3，2)；(2)求以橢圓1的短軸的兩個端點為焦點，且過點A(4，5)的

36、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)設(shè)所求雙曲線方程為 (0)，將點(3,2)代入得，所以雙曲線方程為，即1.(2)由題意知雙曲線的兩焦點F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，將點A(4，5)代入雙曲線方程得1，又a2b29解得a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.二、能力提升8雙曲線1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30°的直線，交雙曲線右支于M點，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.答案B解析如圖，在RtMF1F2中，MF1F230°.又|F1F2|2c，|MF1|c，

37、|MF2|2c·tan 30°c.2a|MF1|MF2|c.e.9(2013·新課標(biāo)，理)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，故有，所以，解得.故C的漸近線方程為y±x，故選C.10已知雙曲線C：1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數(shù)m的取值范圍是_解析等軸雙曲線的離心率為，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊，雙曲線C：1的離心率e>，即>2.m>4.11

38、已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(4，)(1)求此雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1MF2；(3)在(2)的條件下求F1MF2的面積(1)解因為e，所以可 設(shè)雙曲線方程為x2y2.因為過點(4，)，所以1610，即6.所以雙曲線方程為x2y26.(2)證明易知F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，所以kMF1，kMF2，kMF1·kMF2.因為點(3，m)在雙曲線上，所以9m26，即m23，故kMF1·kMF21，所以MF1MF2.(3)解F1MF2的底邊|F1F2|4，F(xiàn)1F2上的高h|m|，所以SF1MF26.12已

39、知雙曲線的一條漸近線為xy0，且與橢圓x24y264有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解橢圓方程為1，可知橢圓的焦距為8.當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為1 (a>0，b>0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為1 (a>0，b>0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.三、探究與創(chuàng)新13給定雙曲線x21，過點B(1,1)是否能作直線m，使它與所給的雙曲線交于兩點Q1及Q2，且點B是線段Q1Q2的中點？這樣的m如果存在，求出它的方程，如果不存在，說明理由解法一 設(shè)存在直線m過B與雙曲線交于Q1、Q2，且B是Q

40、1Q2的中點，當(dāng)直線m的斜率不存在時，顯然只與雙曲線有一個交點；當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y1k(x1)，由知(2k2)x2(2k22k)x(k22k3)0，方程的兩根為x1、x2，得x1x22，解得k2.當(dāng)k2時，(2k22k)24(2k2)(k22k3)8<0，因此不存在滿足題意的直線法二假設(shè)這樣的直線l存在，設(shè)Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，則有1，1.x1x22，y1y22，且兩式相減，得(2x2x)(yy)0，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直線Q1Q2Ox，則線段Q1Q2的中點不可能是點Q(1,1)，所

41、以直線Q1Q2有斜率，于是k2.直線Q1Q2的方程為y12(x1)，即y2x1.由得2x2(2x1)22，即2x24x30，1624<0.這就是說，直線l與雙曲線沒有公共點，因此這樣的直線不存在23拋物線23.1拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握拋物線的定義及焦點、準(zhǔn)線的概念2會求簡單的拋物線的方程知識鏈接如圖，我們在黑板上畫一條直線EF，然后取一個三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動三角板，粉筆會畫出一條曲線畫出的曲線是什么形狀？ 點D在移動過程中，滿足什么條件？答案

42、拋物線|DA|DC|預(yù)習(xí)導(dǎo)引1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p>0)(，0)xy22px(p>0)(，0)xx22py(p>0)(0，)yx22py(p>0)(0，)y要點一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點為(2,0)；(2)準(zhǔn)線為y1；(3)過點A(2,3)；(4)焦點到準(zhǔn)線的距離為.解(1)由于焦點在x軸的負(fù)半軸上，且2，p4，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x.(2)焦點

43、在y軸正半軸上，且1，p2，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(3)由題意，拋物線方程可設(shè)為y2mx(m0)或x2ny(n0)，將點A(2,3)的坐標(biāo)代入，得32m·2或22n·3，m或n.所求拋物線方程為y2x或x2y.(4)由焦點到準(zhǔn)線的距離為，可知p.所求拋物線方程為y25x或y25x或x25y或x25y.規(guī)律方法求拋物線方程，通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線的焦點位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論焦點在x軸上的拋物線方程可設(shè)為y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可設(shè)為x2ay(a0)跟蹤演練1分別求滿足下列條件的拋物線

44、的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 過點(3，4)；(2) 焦點在直線x3y150上解(1)法一點(3，4)在第四象限，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px (p>0)或x22p1y (p1>0)把點(3，4)的坐標(biāo)分別代入y22px和x22p1y，得(4)22p·3,322p1·(4)，即2p，2p1.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.法二點(3，4)在第四象限，拋物線的方程可設(shè)為y2ax (a0)或x2by (b0)把點(3，4)分別代入，可得a，b.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.拋物線的焦點為(0，5)或(15,0)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

45、方程為x220y或y260x.要點二由拋物線定義求方程例2已知拋物線的焦點在x軸的正半軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和m的值解法一設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點F，由題設(shè)可得解之得或故所求的拋物線方程為y28x，m的值為±2.法二設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，焦點F，準(zhǔn)線方程x，根據(jù)拋物線定義，則35，p4.因此拋物線方程為y28x.又點M(3，m)在拋物線上，于是m224，m±2.規(guī)律方法涉及拋物線上一點與焦點的距離問題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可簡化計算跟蹤演練2已知點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距

46、離大，且M的橫坐標(biāo)非負(fù)(1)求點M的軌跡方程(2)點A(m,3)在軌跡上，求A到F點的距離解(1)由已知得：點M到F的距離等于它到x的距離，即點M的軌跡是拋物線，且焦點為F.軌跡方程為y22x.(2)點A(m,3)在y22x上，則m，則A到F的距離等于到x的距離即d5.要點三拋物線定義的應(yīng)用例3 如圖，已知拋物線y22x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此時P點坐標(biāo)解如圖，作PQl于Q，由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準(zhǔn)線l的距離d，由圖可知，求|PA|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的最小值的問題將x3代入拋物線方程y2

47、2x，得y±.>2，A在拋物線內(nèi)部設(shè)拋物線上點P到準(zhǔn)線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d.由圖可知，當(dāng)PAl時，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時P點縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2.點P坐標(biāo)為(2,2)規(guī)律方法拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點與直線上點的連線垂線段最短等跟蹤演練3已知點P是拋物線y22x上的一個動點，則點P到點A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A. B2 C. D.答

48、案A解析如圖，由拋物線定義知|PA|PQ|PA|PF|，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|PF|的最小值，則當(dāng)A、P、F三點共線時，|PA|PF|取得最小值又A(0,2)，F(xiàn)(，0)，(|PA|PF|)min|AF| .1已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x7，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax228y By228xCy228x Dx228y答案B解析拋物線開口向右，方程為y22px (p>0)的形式，又7，所以2p28，方程為y228x.2已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在雙曲線1上，則拋物線方程為()Ay28x By24x Cy22x Dy2±8x答案D解析由題意知拋物線的焦點

49、為雙曲線1的頂點，即為(2,0)或(2,0)，所以拋物線的方程為y28x或y28x.3已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A2 B3 C. D.答案A解析如圖所示，動點P到l2：x1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的距離，由圖可知，距離和的最小值，即F到直線l1的距離d2.4拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是()A. B. C. D0答案B解析拋物線方程化為x2y，準(zhǔn)線為y，由于點M到焦點距離為1，所以M到準(zhǔn)線距離也為1，所以M點的縱坐標(biāo)等于1.1拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與準(zhǔn)線距離的等價性

50、，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化在解題中有重要作用2已知方程求拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從中先求得p的值3標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個參數(shù)p，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需求出p的值即可，常用待定系數(shù)法(1)用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時，一定先確定焦點位置與開口方向，如果開口方向不確定時，可設(shè)所求拋物線方程為y2ax(a0)，或者x2ay(a0)；(2)當(dāng)拋物線不在標(biāo)準(zhǔn)位置時，用定義來求4求最值問題：數(shù)形結(jié)合，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為幾何知識求解一、基礎(chǔ)達標(biāo)1拋物線y28x的焦點坐標(biāo)是()A(2,0) B(2,0)C(4,0) D(4,0)答案B解析y28x，p4，焦點坐標(biāo)為(2,0)2

51、若動點P與定點F(1,1)和直線l：3xy40的距離相等，則動點P的軌跡是()A橢圓 B雙曲線 C拋物線 D直線答案D解析設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y)則.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以動點P的軌跡為直線3已知拋物線y22px (p>0)的準(zhǔn)線與圓(x3)2y216相切，則p的值為()A. B1 C2 D4答案C解析拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x，它與圓相切，所以必有1，p2.4(2014·河北正定期末)設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是()A4 B6 C8 D12答案B解析|PF|46.5以雙曲線1的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案y216x解析雙曲線的方程為1，右頂點為(4,0)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px (p>0)，則4，即p8，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.6AB為拋物線yx2上的動弦，且|AB|a(a是常數(shù)且a1)，則弦AB的中點M離x軸的最近距離