高考專題復(fù)習(xí)17-第17練　基本不等式及其應(yīng)用新課標(biāo)試卷

1、第17練基本不等式及其應(yīng)用一、選擇題 1.若x72,則f(x)=x2-6x+10x-3有()A.最大值52B.最小值52C.最大值2D.最小值2答案Dx72,x-3>0,f(x)=x2-6x+10x-3=(x-3)2+1x-3=(x-3)+1x-32(x-3)×1x-3=2,當(dāng)且僅當(dāng)x-3=1x-3,即x=4時(shí),等號成立,即f(x)有最小值2.2.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,則1a+2b的最小值為()A.8B.9C.10D.11答案B由題意知,正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,則1a+2b=1a+2b(a+2b)=5+2ba+2ab5+22ba·2ab=5+4=9,

2、當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab,即a=b=13時(shí),等號成立,所以1a+2b的最小值為9.3.已知x>0,y>0,且2x+5y=20,則xy的最大值為()A.1B.5C.10D.100答案C因?yàn)?x·5y2x+5y22=2022=100,即10xy100,所以xy10,當(dāng)且僅當(dāng)2x+5y=20,2x=5y,即x=5,y=2時(shí),等號成立.4.設(shè)m,n為正數(shù),且m+n=2,則1m+1+n+3n+2的最小值為()A.32B.53C.74D.95答案D當(dāng)m+n=2時(shí),1m+1+n+3n+2=1m+1+1n+2+1=m+n+3(m+1)·(n+2)+1=5(m+1)·(n

3、+2)+1.(m+1)·(n+2)m+1+n+222=254,當(dāng)且僅當(dāng)m+1=n+2,即m=32,n=12時(shí)取等號,1m+1+n+3n+295.5.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+1y=2,且不等式x+y<m2-m有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-1,2)B.(-4,1)C.(-,-1)(2,+)D.(-,-1)(4,+)答案C因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足1x+1y=2,所以x+y=12x+12y(x+y)=1+y2x+x2y1+214=2,當(dāng)且僅當(dāng)y=x=1時(shí),x+y取得最小值2.由x+y<m2-m有解,可得m2-m>2,解得m>2或m<-1.6.(多選題)設(shè)

4、a,b均為正數(shù),且a+2b=1,則下列結(jié)論正確的是()A.ab有最大值18B.a+2b有最大值2C.a2+b2有最小值15D.a2-b2有最小值-14答案ACa+2b=122ab,ab18,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b,即a=12,b=14時(shí)等號成立,故A正確;由前面推導(dǎo)可知(a+2b)2=a+2b+22ab2,即a+2b2,當(dāng)且僅當(dāng)a=12,b=14時(shí)等號成立,故B錯(cuò)誤;由已知得a=1-2b,則a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5b-252+15,易知0<b<12,當(dāng)b=25,a=15時(shí),a2+b2取得最小值15,故C正確;a2-b2=(1-2b)2-b2=3b2-4b+1

5、=3b-23213,0<b<12,故a2-b2-14,1,沒有最小值,故D錯(cuò)誤.7.已知正數(shù)m,n滿足m+n=2,則1m+1+1n+2的最小值為()A.35B.45C.54D.2答案Bm+n=2,(m+1)+(n+2)=5,即m+15+n+25=1,1m+1+1n+2=m+15+n+25m+1+m+15+n+25n+2=25+n+25(m+1)+m+15(n+2)25+2n+25(m+1)·m+15(n+2)=45.當(dāng)且僅當(dāng)n+25(m+1)=m+15(n+2),即m=32,n=12時(shí),取等號.8.已知x,y>0,3x+2+3y+2=1,則x+2y的最小值為()A.

6、9B.12C.15D.62+3答案D由題意,可令a=x+2,b=y+2,則x=a-2,y=b-2,故x+2y=a+2b-6,因?yàn)?a+3b=1(a>2,b>2),所以a+2b=(a+2b)3a+3b=9+6ba+3ab9+62,當(dāng)且僅當(dāng)a=3+32,b=322+3時(shí)取等號,故x+2y的最小值為62+3.9.(多選題)若a,b為正數(shù),則()A.2aba+babB.當(dāng)1a+1b=2時(shí),a+b2C.當(dāng)a+b=1a+1b時(shí),a+b2D.當(dāng)a+b=1時(shí),a21+a+b21+b13答案BD因?yàn)閍+b2ab,所以2aba+bab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號,故A錯(cuò)誤;12(a+b)1a+1b=122

7、+ba+ab122+2ba·ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號,故B正確;a+b=1a+1b=a+bab,則ab=1,a+b2ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號,故C錯(cuò)誤;a21+a+b21+b(1+a+1+b)=a2+b2+b2(1+a)1+b+a2(1+b)1+aa2+b2+2b2(1+a)1+b·a2(1+b)1+a=a2+b2+2ab=(a+b)2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號,即a21+a+b21+b13,故D正確.二、填空題10.已知a,bR,且a-2b+4=0,則3a+19b的最小值為. 答案29解析由題意及基本不等式可知,3a+19b=3a+3

8、2b23a·3-2b=23a-2b=23-4=29當(dāng)且僅當(dāng)3a=3-2b,a-2b+4=0,即a=-2,b=1時(shí)取等號.11.若直線ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圓x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦長為6,則4b+aab的最小值為. 答案3+22解析由題意知,圓的方程可以化為(x-2)2+(y+1)2=9,所以該圓圓心為(2,-1),半徑r=3,因?yàn)橹本€ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圓x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦長為6,所以直線經(jīng)過圓心,所以2a+4b-4=0,即a2+b=1,所以4b+aab=4a+1ba2+b=3

9、+4ba+a2b3+24ba·a2b=3+22,當(dāng)且僅當(dāng)a=4-22,b=2-1時(shí)取等號,所以4b+aab的最小值為3+22.12.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從某月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月的運(yùn)營發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品的月銷量x(萬件)與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t(萬元)之間滿足x=3-2t+1(t0)的函數(shù)關(guān)系式.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元,每1萬件產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)格為32萬元,若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為進(jìn)貨價(jià)的150%與平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半之和,則該公司的最大月利潤是萬元. 答案37.5解析設(shè)月利潤為y萬元,則y=48+t2x·x32xt3=16xt23=16x+x-12(x-3)-3=16(x-3)+1x-3+482.5.因?yàn)閤=32t+1<3,所以x-3