數(shù)學(xué)建模專題之Monte-Carlo方法

1、2022年4月25日1數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法重慶理工大學(xué)重慶理工大學(xué)主講：肖漢光主講：肖漢光Email:數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日2內(nèi)容提綱內(nèi)容提綱引言引言Monte Carlo模擬基本思想模擬基本思想隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)應(yīng)用小實(shí)例應(yīng)用小實(shí)例排隊(duì)論模擬排隊(duì)論模擬2009年年B題病床合理安排題病床合理安排蒙特卡羅求解積分蒙特卡羅求解積分2010年年A題儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定題儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定Monte Carlo方法預(yù)測搜救區(qū)域方法預(yù)測搜救區(qū)域Monte Carlo方法計(jì)算零件可靠度方法計(jì)

2、算零件可靠度Monte Carlo方法求解規(guī)劃問題方法求解規(guī)劃問題數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日3Monte Carlo方法：方法：蒙特卡羅方法，又稱隨機(jī)模擬方法，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是在上世紀(jì)四十年蒙特卡羅方法，又稱隨機(jī)模擬方法，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是在上世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的。代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的。亦稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，亦稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，statistical simulation method 利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法Monte Carlo名

3、字的由來：名字的由來：Monte Carlo是摩納哥（是摩納哥（monaco)最大的城市，該城以賭博聞名。最大的城市，該城以賭博聞名。Monte-Carlo, Monaco數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日4Monte Carlo方法的起源：方法的起源：二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來，并首先在核武明，蒙特卡羅方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。Nicholas Me

4、tropolis (1915-1999)John Von Neumann (1903-1957) 數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日5Monte Carlo方法的應(yīng)用：方法的應(yīng)用： 物理：核物理，熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理，粒子輸運(yùn)問題等物理：核物理，熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理，粒子輸運(yùn)問題等 數(shù)學(xué)：多重積分、解微分方程、非線性方程組求解等數(shù)學(xué)：多重積分、解微分方程、非線性方程組求解等 工程領(lǐng)域：真空技術(shù)，水力學(xué)，激光技術(shù)等工程領(lǐng)域：真空技術(shù)，水力學(xué)，激光技術(shù)等 經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域：期權(quán)定價(jià)、項(xiàng)目管理、投資風(fēng)險(xiǎn)決策等經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域：期權(quán)定價(jià)、項(xiàng)目管理、投資風(fēng)險(xiǎn)決策等 其他領(lǐng)域：化學(xué)

5、、醫(yī)學(xué)，生物，生產(chǎn)管理、其他領(lǐng)域：化學(xué)、醫(yī)學(xué)，生物，生產(chǎn)管理、系統(tǒng)科學(xué)、公用系統(tǒng)科學(xué)、公用事業(yè)事業(yè)等方面。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，其應(yīng)用范圍將更加廣泛。等方面。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，其應(yīng)用范圍將更加廣泛。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日6Monte Carlo方法的基本思想方法的基本思想qBuffon投針實(shí)驗(yàn)投針實(shí)驗(yàn)17681768年，法國數(shù)學(xué)家年，法國數(shù)學(xué)家Comte de Buffon利用投針實(shí)驗(yàn)估計(jì)利用投針實(shí)驗(yàn)估計(jì) 的值的值dLp2dL數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日7SolutionThe posit

6、ioning of the needle relative to nearby lines can be described with a random vector which has components:),),dAThe random vector is uniformly distributed on the region 0,d)0,). Accordingly, it has probability density function 1/d.The probability that the needle will cross one of the lines is given b

7、y the integraldldAdpld20sin01 數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日8例例1. 蒲豐投針問題蒲豐投針問題n利用關(guān)系式：利用關(guān)系式：求出求出值值 其中其中為投計(jì)次數(shù)，為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。alP2)(22nNalaPl數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日9一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表 ：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)1850500

8、03.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日10基本思想基本思想n 由上面的例子可以看出，當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事由上面的例子可以看出，當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是學(xué)期望，或者是與之有關(guān)的量時(shí)，通過某種試驗(yàn)的方法，得出該事件與之有關(guān)的量時(shí)，通過某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，再通過它得到問題的解。這就是蒙特卡發(fā)生的頻率

9、，再通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。羅方法的基本思想。n 蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。直到電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，使得人們可以很少被使用。直到電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，使得人們可以通過電子計(jì)算機(jī)來模擬巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)過程，使通過電子計(jì)算機(jī)來模擬巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)過程，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代化的科學(xué)技得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代化的科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日11例例1 1在我方某前沿防守地域，敵人以

10、一個(gè)炮排（含兩門火炮）在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單位對我方進(jìn)行干擾和破壞為躲避我方打擊，敵方對其陣地為單位對我方進(jìn)行干擾和破壞為躲避我方打擊，敵方對其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn)進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn) 經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對敵方目標(biāo)的指示有經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對敵方目標(biāo)的指示有5050是是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/31/3的射擊效果能的射擊效果能毀傷敵人一門火炮，有毀傷敵人一門火炮，有1/61/6的射擊效果能全部毀傷敵人火炮的射擊效果能全部毀傷敵人火炮 現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對

11、敵人實(shí)施的現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對敵人實(shí)施的2020次打擊結(jié)次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來，確定有效射擊的比率及毀傷敵方火炮的平均值。果顯現(xiàn)出來，確定有效射擊的比率及毀傷敵方火炮的平均值。分析：分析： 這是一個(gè)概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的這是一個(gè)概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率和期望值概率和期望值. .但這樣只能給出作戰(zhàn)行動的最終靜態(tài)結(jié)果，而但這樣只能給出作戰(zhàn)行動的最終靜態(tài)結(jié)果，而顯示不出作戰(zhàn)行動的動態(tài)過程顯示不出作戰(zhàn)行動的動態(tài)過程. . 為了能顯示我方為了能顯示我方2020次射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式。次射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式。舉例舉例數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Mont

12、e Carlo方法方法2022年4月25日12 需要模擬出以下兩件事： 2 2 當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況1 1 觀察所對目標(biāo)的指示正確與否觀察所對目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2 因此，可用投擲一枚硬幣的方式予以確定可用投擲一枚硬幣的方式予以確定，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確 模擬試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷一門火炮的可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門的可能性為1/6，沒能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6) 這時(shí)可用投擲骰子的方法來確定可用投擲骰子的方法來確定：如果出現(xiàn)的是、三個(gè)點(diǎn)：則認(rèn)為沒能

13、擊中敵人；如果出現(xiàn)的是、點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)的是點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火炮問題分析問題分析數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日13i：要模擬的打擊次數(shù)； k1：沒擊中敵人火炮的射擊總數(shù)； k2：擊中敵人一門火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮的射擊總數(shù)；E：有效射擊比率； E1：20次射擊平均每次毀傷敵人的火炮數(shù)符號說明符號說明數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日14模擬框圖模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k

14、1+1i20?E=(k2+k3)/20 E1=(0*k1+1*k2+2*k3)/20停止硬幣正面?YNNY1，2，34，56數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日15模擬結(jié)果模擬結(jié)果消消 滅滅 敵敵 人人 火火 炮炮數(shù)數(shù)試試 驗(yàn)驗(yàn)序序 號號投投 硬硬 幣幣結(jié)結(jié) 果果指指 示示正正 確確指指 示示不不 正正 確確擲擲 骰骰 子子結(jié)結(jié) 果果正正反正正反正正反 反數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日16消消滅滅敵敵人人火火炮炮數(shù)數(shù)試試驗(yàn)驗(yàn)序序號號投投硬硬幣幣結(jié)結(jié)果果指指示示正正確確指指示示不不正正確確擲擲骰骰子子結(jié)結(jié)果

15、果正反正反正正正正反正數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日17理論計(jì)算理論計(jì)算數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日18結(jié)果比較結(jié)果比較 雖然模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能更加真實(shí)地表雖然模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能更加真實(shí)地表達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動態(tài)過程要使結(jié)果接近理論計(jì)算值，必須加大模擬次達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動態(tài)過程要使結(jié)果接近理論計(jì)算值，必須加大模擬次數(shù)，這就要求使用計(jì)算機(jī)模擬了。數(shù)，這就要求使用計(jì)算機(jī)模擬了。 用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：1 1 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型設(shè)

16、計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型2 2 根據(jù)流程圖編寫程序，模擬隨機(jī)現(xiàn)象可通過具有各種概率分布根據(jù)流程圖編寫程序，模擬隨機(jī)現(xiàn)象可通過具有各種概率分布的模擬隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象的模擬隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象3 3 分析模擬結(jié)果，計(jì)算所需要結(jié)果分析模擬結(jié)果，計(jì)算所需要結(jié)果. .數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日19Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)rand(m,n) l 生成一個(gè)滿足均勻分布的生成一個(gè)滿足均勻分布的 m n 隨機(jī)矩陣，矩陣的每隨機(jī)矩陣，矩陣的每個(gè)元素都在個(gè)元素都在 (0,1) 之間。之間。 rand(4,5)ans = 0.4469 0.116

17、0 0.2234 0.8743 0.1625 0.1528 0.2509 0.6733 0.3937 0.3098 0.8862 0.7597 0.8188 0.9370 0.6811 0.0314 0.8983 0.9489 0.4369 0.9341數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日20Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)unifrnd(a,b,m,n) l 生成一個(gè)滿足均勻分布的生成一個(gè)滿足均勻分布的 m n 隨機(jī)矩陣，矩陣的每隨機(jī)矩陣，矩陣的每個(gè)元素都在個(gè)元素都在 (a,b) 之間。之間。 unifrnd(-1,1,5,4)an

18、s = 0.8948 -0.4123 -0.7244 -0.3106 0.1982 -0.9361 -0.5161 -0.2304 0.8977 0.7290 -0.5540 0.1897 -0.1920 -0.1349 0.7355 0.0702 -0.9179 -0.8144 0.5284 -0.3329數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日21Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)randn(m,n)l 生成一個(gè)滿足正態(tài)生成一個(gè)滿足正態(tài) m n 的隨機(jī)矩陣的隨機(jī)矩陣 hist(randn(1,1000),50)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題

19、之Monte Carlo方法方法2022年4月25日22Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)exprnd(mu,sigma,m,n)l 生成一個(gè)滿足生成一個(gè)滿足N(mu, sigma)正態(tài)正態(tài) m n 的隨機(jī)矩陣的隨機(jī)矩陣 hist(normrnd(-1,3,1,1000),50)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日23Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)normrnd(lamda,m,n)l 生成一個(gè)指數(shù)分布為生成一個(gè)指數(shù)分布為lamda的的 m n 隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣 hist(exprnd(10,1,1000),50)數(shù)

20、學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日24Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)poissrnd(lamda,m,n)l 生成一個(gè)泊松分布為生成一個(gè)泊松分布為lamda的的 m n 隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣 hist(poissrnd(3,1,1000),50)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日25Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù) randperm(10)ans = 2 10 1 3 8 7 5 6 9 4randperm(m)l 生成一個(gè)由生成一個(gè)由 1:m 組成的隨機(jī)排列組成的隨機(jī)排列p

21、erms(1:n)l 生成由生成由 1:n 組成的全排列，共組成的全排列，共 n! 個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日26l name 的取值可以是的取值可以是norm or Normalunif or Uniformpoiss or Poissonbeta or Betaexp or Exponentialgam or Gammageo or Geometricunid or Discrete Uniform . .random(name,A1,A2,A3,M,N)Matlab 中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)中的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之M

22、onte Carlo方法方法2022年4月25日27q 隨機(jī)投擲均勻硬幣，驗(yàn)證國徽朝上與朝下的概率隨機(jī)投擲均勻硬幣，驗(yàn)證國徽朝上與朝下的概率是否都是是否都是 1/2 n=10000; % 給定試驗(yàn)次數(shù)給定試驗(yàn)次數(shù)m=0;for i=1:n x=randperm(2)-1; y=x(1); if y=0 % 0 表示國徽朝上，表示國徽朝上，1 表示國徽朝下表示國徽朝下 m=m+1; endendfprintf(國徽朝上的頻率為國徽朝上的頻率為：%fn,m/n);小實(shí)例一：投擲硬幣小實(shí)例一：投擲硬幣數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日28q 隨機(jī)投擲骰子，

23、驗(yàn)證各點(diǎn)出現(xiàn)的概率是否為隨機(jī)投擲骰子，驗(yàn)證各點(diǎn)出現(xiàn)的概率是否為 1/6 n=10000; m1=0; m2=0; m3=0; m4=0; m5=0;m6=0;for i=1:n x=randperm(6); y=x(1); switch y case 1, m1=m1+1; case 2, m2=m2+1; case 3, m3=m3+1; case 4, m4=m4+1; case 5, m5=m5+1; otherwise, m6=m6+1; endendm1,m2,m3,m4,m5,m6 % 輸出結(jié)果輸出結(jié)果m1/n,m2/n,m3/n,m4/n,m5/n,m6/n m1/n,m2/n,

24、m3/n,m4/n,m5/n,m6/n % % 輸出結(jié)果輸出結(jié)果小實(shí)例二：投擲骰子小實(shí)例二：投擲骰子數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日29q 用蒙特卡羅用蒙特卡羅 ( Monte Carlo ) 投點(diǎn)法計(jì)算投點(diǎn)法計(jì)算 的值的值 n=10000000; a=2; m=0; for i=1:n x=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2; if ( x2 + y2 = (a/2)2 ) m=m+1; endendfprintf(計(jì)算出來的計(jì)算出來的 pi 為：為：%fn,4*m/n);小實(shí)例三：蒙特卡羅投點(diǎn)法小實(shí)例三：蒙特卡羅投點(diǎn)法數(shù)學(xué)建模專

25、題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日30小實(shí)例三：蒙特卡羅投點(diǎn)法小實(shí)例三：蒙特卡羅投點(diǎn)法ezplot(x2+y2-1,-1.1 1.1);hold onaxis equalplot(-1 -1 1 1 -1,-1 1 1 -1 -1);N=0;for k=1:100 N_point=100000; xy=(rand(2,N_point)-0.5)*2; d=sqrt(xy(1,:).2+xy(2,:).2); N(k)=length(find(d=1);endp1=sum(N)/(N_point*k)p2=pi*12/4pi0=p1*4p_xy=(rand(50

26、0,2)-0.5).*2;plot(p_xy(:,1),p_xy(:,2),.);數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日31q 在畫有許多間距為在畫有許多間距為 d 的等距平行線的白紙上，隨的等距平行線的白紙上，隨機(jī)投擲一根長為機(jī)投擲一根長為 l ( l d ) 的均勻直針，求針與平行的均勻直針，求針與平行線相交的概率，并計(jì)算的線相交的概率，并計(jì)算的 值值小實(shí)例四：蒲豐投針實(shí)驗(yàn)小實(shí)例四：蒲豐投針實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日32n=100000; L=0.5; d=1; m=0; for i=1:n a

27、lpha=rand(1)*pi; y=rand(1)*d/2; if y=yy),2)+1; X(i)=x(d);endhist(X,x)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日36課堂練習(xí)課堂練習(xí)n請用蒙特卡羅方法模擬輪盤中獎的過程。請用蒙特卡羅方法模擬輪盤中獎的過程。要求統(tǒng)計(jì)出各獎的中獎概率。要求統(tǒng)計(jì)出各獎的中獎概率。一等獎10%四等獎50%三等獎25%二等獎15%數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日37排隊(duì)問題隨機(jī)模擬排隊(duì)問題隨機(jī)模擬排隊(duì)論主要研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的工作過程。在排隊(duì)系統(tǒng)中，服務(wù)對象的到達(dá)時(shí)間和服務(wù)

28、時(shí)間都是隨機(jī)的。排隊(duì)論通過對隨機(jī)服務(wù)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)研究，找出反映這些隨機(jī)現(xiàn)象平均特性的規(guī)律指標(biāo)，如排隊(duì)的長度、等待的時(shí)間及服務(wù)利用率。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日381 系統(tǒng)的假設(shè)：系統(tǒng)的假設(shè)：（1） 顧客源是無窮的；顧客源是無窮的；（2） 排隊(duì)的長度沒有限制；排隊(duì)的長度沒有限制；（ 3）到達(dá)系統(tǒng)的顧客按先后順序依次進(jìn)入服務(wù)，）到達(dá)系統(tǒng)的顧客按先后順序依次進(jìn)入服務(wù)， “先到先服務(wù)先到先服務(wù)”。 在某商店有一個(gè)售貨員，顧客陸續(xù)來到，售貨員逐個(gè)地接待顧在某商店有一個(gè)售貨員，顧客陸續(xù)來到，售貨員逐個(gè)地接待顧客當(dāng)?shù)絹淼念櫩洼^多時(shí)，一部分顧客便須排隊(duì)等待，被

29、接待后的顧客當(dāng)?shù)絹淼念櫩洼^多時(shí)，一部分顧客便須排隊(duì)等待，被接待后的顧客便離開商店設(shè)：客便離開商店設(shè)： 1 1顧客到來間隔時(shí)間服從參數(shù)為顧客到來間隔時(shí)間服從參數(shù)為1010的指數(shù)分布的指數(shù)分布 2 2對顧客的服務(wù)時(shí)間服從對顧客的服務(wù)時(shí)間服從4 4，1515上的均勻分布上的均勻分布 3 3排隊(duì)按先到先服務(wù)規(guī)則，隊(duì)可以無限制長排隊(duì)按先到先服務(wù)規(guī)則，隊(duì)可以無限制長 假定一個(gè)工作日為假定一個(gè)工作日為8 8小時(shí)，時(shí)間以分鐘為單位。小時(shí)，時(shí)間以分鐘為單位。11模擬一個(gè)工作日內(nèi)完成服務(wù)的個(gè)數(shù)及顧客平均等待時(shí)間模擬一個(gè)工作日內(nèi)完成服務(wù)的個(gè)數(shù)及顧客平均等待時(shí)間t t22模擬模擬100100個(gè)工作日，求出平均每日完成

30、服務(wù)的個(gè)數(shù)及每日顧客的平個(gè)工作日，求出平均每日完成服務(wù)的個(gè)數(shù)及每日顧客的平均等待時(shí)間。均等待時(shí)間。單服務(wù)員的排隊(duì)模型模擬單服務(wù)員的排隊(duì)模型模擬數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日39c1b1c3c4c5c2e1b2e2b3e3b4e4b5建立排隊(duì)模型：建立排隊(duì)模型： ci=ci-1+ xi bi=max(ci,ei-1) ei=bi+yi wi=bi-cit思路分析思路分析數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日40w w：總等待時(shí)間；：總等待時(shí)間；c ci i：第：第i i個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)刻；個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)刻；b

31、bi i：第：第i i個(gè)顧客開始服務(wù)時(shí)刻；個(gè)顧客開始服務(wù)時(shí)刻； e ei i：第：第i i個(gè)顧客服務(wù)結(jié)束時(shí)刻；個(gè)顧客服務(wù)結(jié)束時(shí)刻；x xi i：第第i-1i-1個(gè)顧客與第個(gè)顧客與第i i個(gè)顧客之間到達(dá)個(gè)顧客之間到達(dá)的間隔時(shí)間；的間隔時(shí)間；y yi i：對第對第i i個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間。個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間。符號說明符號說明數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日41初始化：令i=1，ei-1=0，w=0產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi參數(shù)為10的指數(shù)分布ci=xi , bi=xi 產(chǎn)生服務(wù)時(shí)間隨機(jī)數(shù)yi4,15的均勻分布ei=bi+yi累計(jì)等待時(shí)間：w=w+bi-ci準(zhǔn)備

32、下一次服務(wù)：i=i+1產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi參數(shù)為10的指數(shù)分布ci=ci-1+ xi 確定開始服務(wù)時(shí)間：bi=max(ci,ei-1)bi480?YNi=i-1,t=w/i輸出結(jié)果：完成服務(wù)個(gè)數(shù)：m=i 平均等待時(shí)間：t停止1模擬一日To Matlab(simu1)2模擬100日To Matlab(simu2)流程框圖流程框圖數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日42源代碼源代碼simu1function i,t=simu1i=1;e=0;w=0;x(i)=random(exp,10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);while(b(i)=48

33、0) y(i)=11*rand(1)+4; e(i)=b(i)+y(i); w=w+b(i)-c(i); i=i+1; x(i)=random(exp,10); c(i)=c(i-1)+x(i); b(i)=max(c(i),e(i-1);endi=i-1;t=w/i;fprintf( 一天完成服務(wù)人數(shù)：一天完成服務(wù)人數(shù)：%f位位 n, i);fprintf( 每位顧客平均等待時(shí)間：每位顧客平均等待時(shí)間：%f分鐘分鐘 n, t);數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日43源代碼源代碼simu2function simu2M(1)=0;T(1)=0;for

34、 i=1:100 M(i),T(i)=simu1;endmean_M=mean(M);mean_T=mean(T);fprintf(一百天完成服務(wù)人數(shù)：一百天完成服務(wù)人數(shù)：%f位位 n, mean_M);fprintf(一百天每位顧客平均等待時(shí)間：一百天每位顧客平均等待時(shí)間：%f分鐘分鐘 n, mean_T);2022年4月25日44眼科病床的合理安排眼科病床的合理安排全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2009年年B題題數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日45 醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉

35、的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種服務(wù)。服務(wù)。 我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題。我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題。 該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床病床79張張。該醫(yī)院眼科。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄中。附錄中給出了

36、給出了2008年年7月月13日至日至2008年年9月月11日這段時(shí)間里各類病人的情況。日這段時(shí)間里各類病人的情況。白內(nèi)障手術(shù)較簡單，而且沒有急癥。目前該院是白內(nèi)障手術(shù)較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需1、2天。做兩只眼的病人比天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要。如果要做雙眼是周一先做一做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只只，周三再做另一只。一、題一、題 目目數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日46外傷

37、疾病通常屬于急癥外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時(shí)立即安排住院，住院后第二天，病床有空時(shí)立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)。便會安排手術(shù)。其他眼科疾病其他眼科疾病比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時(shí)間較長術(shù)后的觀察時(shí)間較長。這類疾病手術(shù)時(shí)間。這類疾病手術(shù)時(shí)間可根據(jù)需要安排，一般可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建由于急癥數(shù)量較少，建模時(shí)這些眼科疾病可不考慮急癥模時(shí)這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時(shí)可不考

38、慮手術(shù)條該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時(shí)可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對全體當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照非急癥病人是按照FCFS（First come, First serve）規(guī)則安排住院）規(guī)則安排住院，但，但等待住院病人隊(duì)列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來等待住院病人隊(duì)列卻越來越長，醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資

39、源的有效利幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。用。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日47 問題一：試分析確定問題一：試分析確定合理的評價(jià)指標(biāo)體系合理的評價(jià)指標(biāo)體系，用以評價(jià)該問題的病床安，用以評價(jià)該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。排模型的優(yōu)劣。 問題二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立問題二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型合理的病床安排模型，以根，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并。并對你們的模型利用問題一中的指標(biāo)體系作出評價(jià)。

40、對你們的模型利用問題一中的指標(biāo)體系作出評價(jià)。 問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時(shí)能住院。能否根問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時(shí)能住院。能否根據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況，據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況，在病人門診時(shí)即告知其大在病人門診時(shí)即告知其大致入住時(shí)間區(qū)間致入住時(shí)間區(qū)間。 問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的醫(yī)院的手術(shù)時(shí)間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整手術(shù)時(shí)間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整? 問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床問題五：有人從便于

41、管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）最短的病床比例分配模型最短的病床比例分配模型。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日48【附錄】 2008-07-13到到2008-09-11的病人信息的病人信息序序號號類型類型門診時(shí)間門診時(shí)間入院時(shí)間入院時(shí)間第一次手術(shù)第一次手術(shù)時(shí)間時(shí)間第二次手術(shù)第二次手術(shù)時(shí)間時(shí)間出院

42、時(shí)間出院時(shí)間1 1外傷外傷2008-7-132008-7-132008-7-142008-7-142008-7-152008-7-15/ /2008-7-192008-7-192 2視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-7-132008-7-132008-7-252008-7-252008-7-272008-7-27/ /2008-8-82008-8-83 3白內(nèi)障白內(nèi)障2008-7-132008-7-132008-7-252008-7-252008-7-282008-7-28/ /2008-7-312008-7-314 4視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-7-132008-7-132008-7-2520

43、08-7-252008-7-272008-7-27/ /2008-8-42008-8-45 5青光眼青光眼2008-7-132008-7-132008-7-252008-7-252008-7-272008-7-27/ /2008-8-52008-8-56 6視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-7-132008-7-132008-7-262008-7-262008-7-292008-7-29/ /2008-8-112008-8-117 7白內(nèi)障白內(nèi)障( (雙眼雙眼) )2008-7-132008-7-132008-7-262008-7-262008-7-282008-7-282008-7-302008

44、-7-302008-8-22008-8-28 8視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-7-142008-7-142008-7-262008-7-262008-7-292008-7-29/ /2008-8-62008-8-69 9白內(nèi)障白內(nèi)障( (雙眼雙眼) )2008-7-142008-7-142008-7-262008-7-262008-7-282008-7-282008-7-302008-7-302008-8-12008-8-11010白內(nèi)障白內(nèi)障2008-7-142008-7-142008-7-262008-7-262008-7-282008-7-28/ /2008-7-302008-7-303

45、48348外傷外傷2008-9-32008-9-32008-9-42008-9-42008-9-52008-9-5/ /2008-9-102008-9-10349349外傷外傷2008-9-42008-9-42008-9-52008-9-52008-9-62008-9-6/ /2008-9-112008-9-11數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日491 1視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-8-152008-8-152008-8-292008-8-292008-8-312008-8-31/ / /2 2視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-8-162008-8-1

46、62008-8-292008-8-292008-8-312008-8-31/ / /3 3白內(nèi)障白內(nèi)障( (雙眼雙眼) )2008-8-192008-8-192008-9-12008-9-12008-9-82008-9-82008-9-102008-9-10/ /7979外傷外傷2008-9-92008-9-92008-9-102008-9-102008-9-112008-9-11/ / /1 1白內(nèi)障白內(nèi)障( (雙眼雙眼) )2008-8-302008-8-30/ / / / /2 2視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-8-302008-8-30/ / / / /101101視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2

47、008-9-112008-9-11/ / / / /102102視網(wǎng)膜疾病視網(wǎng)膜疾病2008-9-112008-9-11/ / / / /序序號號類型類型門診時(shí)間門診時(shí)間入院時(shí)間入院時(shí)間第一次手術(shù)第一次手術(shù)時(shí)間時(shí)間第二次手第二次手術(shù)時(shí)間術(shù)時(shí)間出院時(shí)間出院時(shí)間數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日50二、題目的背景二、題目的背景 數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日51 從數(shù)據(jù)看從數(shù)據(jù)看, 目前住院排隊(duì)處于超飽和的等待狀態(tài)。目前住院排隊(duì)處于超飽和的等待狀態(tài)。 不考慮急診（外傷），其他三類病人的手術(shù)時(shí)間不考慮急診（外

48、傷），其他三類病人的手術(shù)時(shí)間以一周為周期。以一周為周期。白內(nèi)障病人術(shù)白內(nèi)障病人術(shù)前等待時(shí)間長。前等待時(shí)間長。三、問題分析三、問題分析 術(shù)前住院無效等待時(shí)間，找出術(shù)前住院無效等待時(shí)間，找出各類病人的最佳入院時(shí)間。各類病人的最佳入院時(shí)間。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日52四、數(shù)據(jù)分析和處理（統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)）四、數(shù)據(jù)分析和處理（統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)）對對3類病人分別檢驗(yàn)和計(jì)算：類病人分別檢驗(yàn)和計(jì)算：1）檢驗(yàn)到達(dá)時(shí)間（門診）服從泊松分布，計(jì)算平）檢驗(yàn)到達(dá)時(shí)間（門診）服從泊松分布，計(jì)算平均到達(dá)率；均到達(dá)率；2）檢驗(yàn)服務(wù)時(shí)間（術(shù)后住院）服從正態(tài)分布，計(jì)）檢驗(yàn)服務(wù)時(shí)間（術(shù)后住院

49、）服從正態(tài)分布，計(jì)算平均服務(wù)率；算平均服務(wù)率；3）統(tǒng)計(jì)術(shù)前）統(tǒng)計(jì)術(shù)前住院無效等待時(shí)間，計(jì)算平均無效等住院無效等待時(shí)間，計(jì)算平均無效等待時(shí)間待時(shí)間。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日53 應(yīng)該主要考慮兩個(gè)方面：效率；公平。應(yīng)該主要考慮兩個(gè)方面：效率；公平。 同學(xué)論文中提出許多指標(biāo)：病床使用率，病床周轉(zhuǎn)同學(xué)論文中提出許多指標(biāo)：病床使用率，病床周轉(zhuǎn)次數(shù)，平均住院時(shí)間，平均等待天數(shù)，平均等待隊(duì)次數(shù)，平均住院時(shí)間，平均等待天數(shù)，平均等待隊(duì)長，每天出院人數(shù)，平均拒絕率，長，每天出院人數(shù)，平均拒絕率， 效率指標(biāo)效率指標(biāo)五、評價(jià)病床安排模型的指標(biāo)體系五、評價(jià)病床安排

50、模型的指標(biāo)體系 只考慮效率指標(biāo)會導(dǎo)致多接收只考慮效率指標(biāo)會導(dǎo)致多接收數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日54公平性指標(biāo)公平性指標(biāo) 評價(jià)模型的指標(biāo)應(yīng)該全面、合理，并非越多越好，評價(jià)模型的指標(biāo)應(yīng)該全面、合理，并非越多越好，實(shí)際上，各個(gè)指標(biāo)應(yīng)盡量相互獨(dú)立。實(shí)際上，各個(gè)指標(biāo)應(yīng)盡量相互獨(dú)立。 五、評價(jià)病床安排模型的指標(biāo)體系五、評價(jià)病床安排模型的指標(biāo)體系 由各個(gè)指標(biāo)構(gòu)造綜合指標(biāo)沒有確定的辦法，用加由各個(gè)指標(biāo)構(gòu)造綜合指標(biāo)沒有確定的辦法，用加權(quán)平均時(shí)權(quán)重也不易給出，只能具體問題具體分析。權(quán)平均時(shí)權(quán)重也不易給出，只能具體問題具體分析。 數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Mon

51、te Carlo方法方法2022年4月25日55T病人排隊(duì)數(shù)組病人排隊(duì)數(shù)組C門診時(shí)間門診時(shí)間B入院時(shí)間入院時(shí)間W空等開始時(shí)間空等開始時(shí)間O手術(shù)開始時(shí)間手術(shù)開始時(shí)間E術(shù)后出院時(shí)間術(shù)后出院時(shí)間重要的數(shù)據(jù)變量重要的數(shù)據(jù)變量數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日56例：建立評價(jià)指標(biāo)例：建立評價(jià)指標(biāo)n定義指標(biāo)定義指標(biāo)1：平均術(shù)前住院時(shí)間平均術(shù)前住院時(shí)間M1 M2= (Oi-Wi)/ in定義指標(biāo)定義指標(biāo)2：公平性公平性M2 M2= “延期入院延期入院” 人數(shù)人數(shù)/總?cè)藬?shù)總?cè)藬?shù)總指標(biāo)：總指標(biāo)： M=x1*M1+x2*M2參數(shù)參數(shù)x1,x2按要求設(shè)定。按要求設(shè)定。數(shù)學(xué)

52、建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日57例：建立評價(jià)指標(biāo)例：建立評價(jià)指標(biāo)n定義指標(biāo)定義指標(biāo)1：入院等待不滿意度入院等待不滿意度M1計(jì)算門診到住院所用的平均時(shí)間，用某病的等待時(shí)間減去正常平均時(shí)間，然后除以計(jì)算門診到住院所用的平均時(shí)間，用某病的等待時(shí)間減去正常平均時(shí)間，然后除以正常平均時(shí)間，故不滿意程度為：正常平均時(shí)間，故不滿意程度為： M1= (Bi-Ci)-BCi/BCin定義指標(biāo)定義指標(biāo)2：入院后無效等待不滿意度入院后無效等待不滿意度M2計(jì)算入院觀察后無效等待的平均時(shí)間，用某病的無效等待時(shí)間減去正常平均時(shí)間，計(jì)算入院觀察后無效等待的平均時(shí)間，用某病的無效

53、等待時(shí)間減去正常平均時(shí)間，然后除以正常平均時(shí)間，故不滿意程度為：然后除以正常平均時(shí)間，故不滿意程度為： M2= (Oi-Wi)-OWi/OWin定義指標(biāo)定義指標(biāo)3：公平性公平性M3FCFS排隊(duì)方法對病人的公平性為排隊(duì)方法對病人的公平性為100%。而根據(jù)優(yōu)化算法，把不公平性。而根據(jù)優(yōu)化算法，把不公平性M3的值量的值量化為：化為： M3=逆序數(shù)逆序數(shù)/總?cè)藬?shù)總?cè)藬?shù)總指標(biāo)：總指標(biāo)： M=x1*M1+x2*M2+x3*M3參數(shù)參數(shù)x1,x2,x3按要求設(shè)定。按要求設(shè)定。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日58主要方法：主要方法：仿真與優(yōu)化相結(jié)合。仿真與優(yōu)化相結(jié)

54、合。六、相對合理的病床安排模型六、相對合理的病床安排模型 先確定若干種住院規(guī)則，然后根據(jù)仿真的統(tǒng)計(jì)結(jié)果選先確定若干種住院規(guī)則，然后根據(jù)仿真的統(tǒng)計(jì)結(jié)果選出較優(yōu)規(guī)則；出較優(yōu)規(guī)則； 先確定一個(gè)優(yōu)化原則，然后在仿真時(shí)，對每一個(gè)排隊(duì)病先確定一個(gè)優(yōu)化原則，然后在仿真時(shí)，對每一個(gè)排隊(duì)病人按照該優(yōu)化原則決定住院先后。人按照該優(yōu)化原則決定住院先后。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日59優(yōu)化問題優(yōu)化問題求求M最小值最小值St：每天都可以做手術(shù)每天都可以做手術(shù)急診不需要排隊(duì)急診不需要排隊(duì)周一周一 ,周三只做白內(nèi)障手術(shù)周三只做白內(nèi)障手術(shù)除周一，周三的其它天不做白內(nèi)障手術(shù)除周

55、一，周三的其它天不做白內(nèi)障手術(shù)白內(nèi)障雙眼手術(shù)只能在周一做第一只眼睛，周三做第二只眼睛白內(nèi)障雙眼手術(shù)只能在周一做第一只眼睛，周三做第二只眼睛數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日60仿真步驟仿真步驟根據(jù)當(dāng)天住院情況統(tǒng)計(jì)根據(jù)當(dāng)天住院情況統(tǒng)計(jì)第二天出院的病人數(shù)第二天出院的病人數(shù)S S對每一位排隊(duì)病人進(jìn)對每一位排隊(duì)病人進(jìn)行綜合評分行綜合評分等待入院的人等待入院的人W W對對W W公平性公平性M2M2評分評分安排安排W W住院和手術(shù)住院和手術(shù)對對W W進(jìn)行進(jìn)行M1M1評分評分綜合評分綜合評分M=x1M=x1* *M1+x2M1+x2* *M2M2根據(jù)各綜合評分進(jìn)行

56、根據(jù)各綜合評分進(jìn)行排序，選取前排序，選取前S S個(gè)病個(gè)病人第二天入院人第二天入院返回至第一步分析第返回至第一步分析第三天的入院情況三天的入院情況難點(diǎn)難點(diǎn)數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日61T病人排隊(duì)數(shù)組病人排隊(duì)數(shù)組C門診時(shí)間門診時(shí)間B入院時(shí)間入院時(shí)間W空等開始時(shí)間空等開始時(shí)間O手術(shù)開始時(shí)間手術(shù)開始時(shí)間E術(shù)后出院時(shí)間術(shù)后出院時(shí)間第二步：從無人住院的情況開始，逐漸將第二步：從無人住院的情況開始，逐漸將排隊(duì)人安排入院，中間過程需要考慮空床排隊(duì)人安排入院，中間過程需要考慮空床數(shù)。有空床即安排入院；按數(shù)。有空床即安排入院；按M M的大小安排；的大小安排；第三

57、步：根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到各類病人的觀察時(shí)第三步：根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到各類病人的觀察時(shí)間滿足的分布，利用間滿足的分布，利用蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法得到仿得到仿真的觀察時(shí)間；真的觀察時(shí)間；第五步：根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)得到術(shù)后各類病人第五步：根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)得到術(shù)后各類病人恢復(fù)時(shí)間分布，采用恢復(fù)時(shí)間分布，采用蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法得到各得到各病人術(shù)后觀察時(shí)間，得到出院時(shí)間。病人術(shù)后觀察時(shí)間，得到出院時(shí)間。第一步：根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)得到來診病人類型第一步：根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)得到來診病人類型和時(shí)間分布，采用和時(shí)間分布，采用蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法得到仿真得到仿真的的T T和和C C；仿真實(shí)現(xiàn)仿真實(shí)現(xiàn)第四步：根據(jù)手術(shù)規(guī)則安排病人手術(shù)或是第四步

58、：根據(jù)手術(shù)規(guī)則安排病人手術(shù)或是空等。空等。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日62得到如下結(jié)果：人均等待入院時(shí)間人均術(shù)前等待時(shí)間人均住院時(shí)間FCFS11.21083.23329.3251新模型11.62732.56489.2083數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日63 對于每一類病人，統(tǒng)計(jì)每天平均出院人數(shù)，按對于每一類病人，統(tǒng)計(jì)每天平均出院人數(shù)，按照等待住院人數(shù)，計(jì)算預(yù)約住院時(shí)間的平均值。照等待住院人數(shù)，計(jì)算預(yù)約住院時(shí)間的平均值。預(yù)約住院時(shí)間區(qū)間預(yù)約住院時(shí)間區(qū)間 要求給出一個(gè)滿足一定置信度（例如要求給出一個(gè)滿

59、足一定置信度（例如90%）的）的預(yù)約住院時(shí)間區(qū)間，區(qū)間長度越短越好。預(yù)約住院時(shí)間區(qū)間，區(qū)間長度越短越好。 對于每一類病人，按照術(shù)后住院時(shí)間的分布，對于每一類病人，按照術(shù)后住院時(shí)間的分布，計(jì)算方差，在一定置信度下，給出預(yù)約住院時(shí)間計(jì)算方差，在一定置信度下，給出預(yù)約住院時(shí)間的區(qū)間。的區(qū)間。數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日64周六、周日不安排手術(shù)的調(diào)整方案周六、周日不安排手術(shù)的調(diào)整方案 數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo方法方法2022年4月25日65各類病人占用病床的比例大致固定條件各類病人占用病床的比例大致固定條件下，平均逗留時(shí)間最短

60、的病床分配模型下，平均逗留時(shí)間最短的病床分配模型 仿真計(jì)算模型：對于床位分配的各種組合，通過仿真仿真計(jì)算模型：對于床位分配的各種組合，通過仿真得到評價(jià)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)值，通過優(yōu)化技術(shù)，得到最佳方案。得到評價(jià)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)值，通過優(yōu)化技術(shù)，得到最佳方案。 服務(wù)強(qiáng)度平衡模型：當(dāng)各分類系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度相等時(shí)，服務(wù)強(qiáng)度平衡模型：當(dāng)各分類系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度相等時(shí)，效果最佳?？梢酝ㄟ^建立條件極值模型，利用拉格朗日效果最佳。可以通過建立條件極值模型，利用拉格朗日方法證明這一結(jié)論。方法證明這一結(jié)論。 排隊(duì)論近似模型：利用排隊(duì)論的現(xiàn)成結(jié)論寫出優(yōu)化模排隊(duì)論近似模型：利用排隊(duì)論的現(xiàn)成結(jié)論寫出優(yōu)化模型。型。 數(shù)學(xué)建模專題之?dāng)?shù)學(xué)建模專題之Monte Carlo