灰色系統(tǒng)模型描述

1、1 灰色系統(tǒng)理論概述灰色系統(tǒng)理論概述2 灰色灰色GM(1.1)模型模型 1.1 1.1 灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生及發(fā)展動(dòng)態(tài)灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生及發(fā)展動(dòng)態(tài) 1.2 1.2 灰色系統(tǒng)的研究?jī)?nèi)容灰色系統(tǒng)的研究?jī)?nèi)容 1.3 1.3 灰色系統(tǒng)理論在建模中的應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論在建模中的應(yīng)用 定義定義1.1 系統(tǒng)是客觀世界普遍存在的一種物質(zhì)系統(tǒng)是客觀世界普遍存在的一種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式運(yùn)動(dòng)形式,它和運(yùn)動(dòng)性一樣它和運(yùn)動(dòng)性一樣,是物質(zhì)存在的一種是物質(zhì)存在的一種根本屬性根本屬性.定義定義1.2 灰色系統(tǒng)是指灰色系統(tǒng)是指“部分信息已知部分信息已知,部分信部分信息未知息未知”的的“小樣本小樣本”,“貧信息貧信息”的不確定性的不確定性

2、系統(tǒng)系統(tǒng),它通過(guò)對(duì)它通過(guò)對(duì)“部分部分”已知信息的生成、開(kāi)發(fā)已知信息的生成、開(kāi)發(fā)去了解、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為去了解、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述和演化規(guī)律的正確把握和描述.灰色系統(tǒng)模型的灰色系統(tǒng)模型的特點(diǎn)：特點(diǎn)：對(duì)試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)及其分對(duì)試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)及其分布沒(méi)有特殊的要求和限制，是一種十分簡(jiǎn)便的布沒(méi)有特殊的要求和限制，是一種十分簡(jiǎn)便的新理論，具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域。新理論，具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域?；疑到y(tǒng)理論，是在一般系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上灰色系統(tǒng)理論，是在一般系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，它是系統(tǒng)科學(xué)思想發(fā)展的必然產(chǎn)物，產(chǎn)生的，它是系統(tǒng)科學(xué)思想發(fā)展的必然產(chǎn)物，是社會(huì)經(jīng)

3、濟(jì)深入發(fā)展對(duì)科學(xué)刺激和需要的產(chǎn)是社會(huì)經(jīng)濟(jì)深入發(fā)展對(duì)科學(xué)刺激和需要的產(chǎn)物。當(dāng)我們認(rèn)識(shí)與研究自然和社會(huì)時(shí)，要從物。當(dāng)我們認(rèn)識(shí)與研究自然和社會(huì)時(shí)，要從系統(tǒng)的角度出發(fā)，從宏觀上對(duì)其進(jìn)行深入的系統(tǒng)的角度出發(fā)，從宏觀上對(duì)其進(jìn)行深入的剖析和整體把握。在實(shí)際中，我們首先要對(duì)剖析和整體把握。在實(shí)際中，我們首先要對(duì)事物進(jìn)行系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)已有的系統(tǒng)進(jìn)事物進(jìn)行系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)已有的系統(tǒng)進(jìn)行有效控制以及設(shè)計(jì)一些最優(yōu)系統(tǒng)來(lái)為人民行有效控制以及設(shè)計(jì)一些最優(yōu)系統(tǒng)來(lái)為人民服務(wù)。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制就要通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)部和服務(wù)。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制就要通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)部和外部的信息和信息流來(lái)加以實(shí)施，通過(guò)對(duì)信外部的信息和信息流來(lái)加以實(shí)施，通過(guò)對(duì)信

4、息的控制進(jìn)而達(dá)到對(duì)系統(tǒng)本身的控制。息的控制進(jìn)而達(dá)到對(duì)系統(tǒng)本身的控制。但是無(wú)論是現(xiàn)代控制理論還是經(jīng)典控制理論，但是無(wú)論是現(xiàn)代控制理論還是經(jīng)典控制理論，它們都要依賴(lài)正確而精確的數(shù)學(xué)模型，否則，它們都要依賴(lài)正確而精確的數(shù)學(xué)模型，否則，一切都很難取得滿意的結(jié)果。然而，在現(xiàn)實(shí)生一切都很難取得滿意的結(jié)果。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多情況不大可能求得精確的數(shù)學(xué)?；钪?，有許多情況不大可能求得精確的數(shù)學(xué)模型，如工業(yè)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會(huì)型，如工業(yè)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。若得不出精確的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)代控制系統(tǒng)等。若得不出精確的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)代控制理論的方法和手段就無(wú)法施行，因而，現(xiàn)代控理論的方法和

5、手段就無(wú)法施行，因而，現(xiàn)代控制理論對(duì)一些研究對(duì)象也鞭長(zhǎng)莫及。制理論對(duì)一些研究對(duì)象也鞭長(zhǎng)莫及。 當(dāng)人們對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行潛心研究時(shí)，當(dāng)人們對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行潛心研究時(shí)，查德查德于于1965年首創(chuàng)年首創(chuàng)模糊理論模糊理論，第一次用精確的數(shù)，第一次用精確的數(shù)學(xué)方式來(lái)分析和研究模糊量，取得了新的突破，學(xué)方式來(lái)分析和研究模糊量，取得了新的突破，隨后，模糊集合論迅速應(yīng)用于控制領(lǐng)域，隨后，模糊集合論迅速應(yīng)用于控制領(lǐng)域，收到了良好的效果收到了良好的效果。模糊控制能夠?qū)σ恍o(wú)法模糊控制能夠?qū)σ恍o(wú)法構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)進(jìn)行控制，但模糊控制也構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)進(jìn)行控制，但模糊控制也表現(xiàn)出固有的弱點(diǎn)，即信息利用率低，控制粗表現(xiàn)

6、出固有的弱點(diǎn)，即信息利用率低，控制粗糙、精度低等。因而，在要求高精度的情況下糙、精度低等。因而，在要求高精度的情況下，這種控制難以勝任，并且它也未能對(duì)被控對(duì)，這種控制難以勝任，并且它也未能對(duì)被控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律作深刻的闡明，故模糊控制有它象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律作深刻的闡明，故模糊控制有它的局限性，只適應(yīng)于一些特有的模糊系統(tǒng)的局限性，只適應(yīng)于一些特有的模糊系統(tǒng)。 經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和模糊控制經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和模糊控制理論都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是它們所研究的對(duì)理論都有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是它們所研究的對(duì)象系統(tǒng)必須是象系統(tǒng)必須是白色系統(tǒng)白色系統(tǒng)（信息完全確知的系統(tǒng)（信息完全確知的系統(tǒng)），而事實(shí)上，無(wú)

7、論是自然系統(tǒng)還是社會(huì)系統(tǒng)），而事實(shí)上，無(wú)論是自然系統(tǒng)還是社會(huì)系統(tǒng)，宏觀系統(tǒng)還是微觀系統(tǒng)，無(wú)生命系統(tǒng)還是有，宏觀系統(tǒng)還是微觀系統(tǒng)，無(wú)生命系統(tǒng)還是有生命系統(tǒng)，對(duì)我們認(rèn)識(shí)的主體來(lái)說(shuō)，總是信息生命系統(tǒng)，對(duì)我們認(rèn)識(shí)的主體來(lái)說(shuō)，總是信息不完全的，艱難說(shuō)明一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)是完全的。毫無(wú)疑問(wèn)，內(nèi)部參數(shù)不完全的系統(tǒng)具有極為普遍的意義。就像模糊理論的誕生一樣，灰色系統(tǒng)理論也應(yīng)運(yùn)而生了。 灰色系統(tǒng)理論是我國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授于19世紀(jì)80年代初創(chuàng)立并發(fā)展的理論，它把一般系統(tǒng)論，信息論和控制論的觀點(diǎn)和方法延伸到社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，生態(tài)等抽象系統(tǒng)，結(jié)合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法發(fā)展的一套解決灰色系統(tǒng)的理論和方法，20多年來(lái)，灰色系統(tǒng)理論引起了

8、國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。灰色系統(tǒng)理論已成功應(yīng)用到工業(yè)，農(nóng)業(yè)，社會(huì)，經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域，解決了生產(chǎn)，生活和科學(xué)研究中的大量實(shí)際問(wèn)題。 灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過(guò)20年的發(fā)展，已基本建立起一門(mén)新興的結(jié)構(gòu)體系，其研究?jī)?nèi)容主要包括：灰色系統(tǒng)建模理論、灰色系統(tǒng)控制理論、灰色關(guān)聯(lián)分析方法、灰色預(yù)測(cè)方法、灰色規(guī)劃方法、灰色決策方法等。 今天我們主要介紹灰色系統(tǒng)建模理論及灰色數(shù)列預(yù)測(cè)?；疑珨?shù)列預(yù)測(cè)是指利用動(dòng)態(tài)GM模型，對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間序列進(jìn)行數(shù)量大小的預(yù)測(cè)，即對(duì)系統(tǒng)的主行為特征量或某項(xiàng)指標(biāo)，發(fā)展變化到未來(lái)特定時(shí)刻出現(xiàn)的數(shù)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。 灰色系統(tǒng)理論在建模中被廣泛用來(lái)處理數(shù)據(jù)。與插值擬合相比，利用灰色模型處理數(shù)據(jù)不僅對(duì)數(shù)據(jù)沒(méi)有很強(qiáng)的

9、限制，而且精度更高，計(jì)算更簡(jiǎn)便。 2.1 2.1 灰色生成灰色生成 2.2 GM2.2 GM（1.11.1）模型建模機(jī)理）模型建模機(jī)理 2.3 GM(1.1)2.3 GM(1.1)模型的精度檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木葯z驗(yàn) 2.1 灰色生成 將原始數(shù)據(jù)列中的數(shù)據(jù),按某種要求作數(shù)據(jù)處理稱(chēng)為生成. 客觀世界盡管復(fù)雜,表述其行為的數(shù)據(jù)可能是雜亂無(wú)章的,然而它必然是有序的,都存在著某種內(nèi)在規(guī)律,不過(guò)這些規(guī)律被紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象所掩蓋,人們很難直接從原始數(shù)據(jù)中找到某種內(nèi)在的規(guī)律.對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成就是企圖從雜亂無(wú)章的現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律. 常用的灰色系統(tǒng)生成方式有: 累加生成,累減生成,均值生成,級(jí)比生成等,下面對(duì)這幾種生

10、成做簡(jiǎn)單介紹.2.1.1 累加生成 累加生成,即通過(guò)數(shù)列間各時(shí)刻數(shù)據(jù)的依個(gè)累加以得到新的數(shù)據(jù)與數(shù)列.累加前的數(shù)列稱(chēng)原始數(shù)列,累加后的數(shù)列稱(chēng)為生成數(shù)列.累加生成是使灰色過(guò)程由灰變白的一種方法,它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要地位,通過(guò)累加生成可以看出灰量積累過(guò)程的發(fā)展態(tài)勢(shì),使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的積分特性或規(guī)律加以顯化.累加生成是對(duì)原始數(shù)據(jù)列中各時(shí)刻的數(shù)據(jù)依次累加,從而生成新的序列的一種手段.(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1),(2),( ),(1),(2),( ),:xxxxxnxxxxxnxx 令令為為原原始始序序列列, ,記記生生成成數(shù)數(shù)為為如如果

11、果與與之之間間滿滿足足如如下下關(guān)關(guān)系系(1)(0)1( )( );1,2,(21)kixkxikn ,1()AGO AccumulatingGenerationOperator 一一次次累累加加生生成成則則稱(chēng)稱(chēng)為為記記為為:r次次累累加加生生成成有有下下述述關(guān)關(guān)系系( )(1)1( )( )(22)krrixkxi (22),1:rr從從式式 又又有有次次到到 次次的的累累加加為為1( )(1)(1)(1)(1)1( )( )( )(1)( )krrrrrixkxixkxkxk ( )(1)(2)111( )( )( )kkirrriijxkxixj 累累加加生生成成在在灰灰色色系系統(tǒng)統(tǒng)理理論

12、論中中有有著著非非常常重重要要的的地地位位, ,它它能能使使任任意意非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)列列, ,擺擺動(dòng)動(dòng)的的或或非非擺擺動(dòng)動(dòng)的的, ,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為非非減減的的的的, ,遞遞增增的的數(shù)數(shù)列列. .2.1.2 累減生成 累減生成,即對(duì)數(shù)列求相鄰兩數(shù)據(jù)的差,累減生成是累加生成的逆運(yùn)算,常簡(jiǎn)記為IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累減生成可將累加生成還原為非生成數(shù)列,在建模過(guò)程中用來(lái)獲得增量信息,其運(yùn)算符號(hào)為a. ( )( )( ),:rrixrxi 令令為為 次次生生成成數(shù)數(shù)列列 對(duì)對(duì)作作 次次累累減減生生成成記記為為其其基基本本關(guān)關(guān)系系式式為

13、為(0)( )( )(1)( )(0)( )(0)( )(2)( )(1)( )(1)( )( )( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )(1)( )( )(1)(25)( )( )(1)rrrrrrrriririrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk (0)(1)( ),(0)0,;(0)1(0)11.ikkikki 式式中中為為 次次累累減減 即即無(wú)無(wú)累累減減為為1 1次次累累減減, ,即即與與 時(shí)時(shí)刻刻兩兩個(gè)個(gè)零零次次累累減減量量求求差差, ,為為 次次累累減減, ,即即與與 時(shí)時(shí)刻刻兩兩個(gè)個(gè)次次累累減減量量求求差差(25): 從從式式還還可可得得到到以以下下關(guān)關(guān)系

14、系(1)( )(0)( )(0)( )( )( )1(1)(1)11(1)( )( )(1)( )(1)(26)( )( )( )rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk (2)( )(1)( )(1)( )(1)(1)1(2)(2)11(2)( )( )(1)( )(1)(27)( )( )( )rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk :同同理理可可得得( )( )()( )( )(28)irr ixkxk ( )( )(0)( )( )(29)rrxkxk(29),.,.:1,rrr 從從式式可可以以看看出出 對(duì)對(duì) 次次生生成成數(shù)數(shù)列列作作 次次累累減減即

15、即還還原原為為非非生生成成數(shù)數(shù)列列事事實(shí)實(shí)上上 累累加加中中包包含含著著累累減減 累累減減中中包包含含著著累累加加比比如如時(shí)時(shí) 有有1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)( )( )( )( )(1)( )(210)kkiixkxixixkxkxk (0)(1)(1)( )( )(1)xkxkxk進(jìn)進(jìn)一一步步有有(1)( )( )( )( )(1)(211)rrrxkxkxk .上上述述關(guān)關(guān)系系式式經(jīng)經(jīng)常常被被用用在在從從生生成成數(shù)數(shù)列列求求還還原原數(shù)數(shù)列列中中2.1.3 均值生成.均均值值生生成成分分為為鄰鄰均均值值生生成成與與非非鄰鄰均均值值生生成成兩兩種種, (1), (2), (

16、),( ),( )0.5 ( )0.5 (1),( )Xxxx nkz kz kx kx kz k 所所謂謂就就是是對(duì)對(duì)于于等等時(shí)時(shí)距距的的數(shù)數(shù)列列, ,用用相相鄰鄰數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的平平均均值值構(gòu)構(gòu)造造新新的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù). .即即若若有有原原始始數(shù)數(shù)列列記記 點(diǎn)點(diǎn)的的生生成成值值為為且且則則稱(chēng)稱(chēng)為為鄰鄰均均值值生生成成數(shù)數(shù), ,顯顯然然, ,這這種種生生成成是是相相鄰鄰值值的的等等鄰鄰均均值值生生成成權(quán)權(quán)生生成成. ., (1), (2), ( ), (1), ( ),( ),( ),( )0.5 (1)0.5 (1),( )Xxxkx kx nkkz kz kx kx kz k 所所謂謂就就是是對(duì)

17、對(duì)于于非非等等時(shí)時(shí)距距的的數(shù)數(shù)列列, ,或或雖雖為為等等時(shí)時(shí)距距數(shù)數(shù)列列, ,但但剔剔除除異異常常值值之之后后出出現(xiàn)現(xiàn)空空穴穴的的數(shù)數(shù)列列, ,用用空空穴穴兩兩邊邊的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)求求平平均均值值構(gòu)構(gòu)造造新新的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)以以填填補(bǔ)補(bǔ)空空穴穴, ,即即若若有有原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)這這里里為為空空穴穴 記記 點(diǎn)點(diǎn)的的生生成成值值為為且且則則稱(chēng)稱(chēng)為為非非鄰鄰均均值值生生成成數(shù)數(shù), ,顯顯然然, ,這這種種生生成成是是空空穴穴前前后后信信息息的的非非鄰鄰均均值值生生成成等等權(quán)權(quán)生生成成. .2.1.4 級(jí)比生成 級(jí)級(jí)比比生生成成是是一一種種常常用用的的填填補(bǔ)補(bǔ)序序列列端端點(diǎn)點(diǎn)空空穴穴的的方方法法. .對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)

18、列列端端點(diǎn)點(diǎn)值值的的生生成成, ,我我們們無(wú)無(wú)法法采采用用均均值值生生成成填填補(bǔ)補(bǔ)空空缺缺, ,只只能能采采用用級(jí)級(jí)比比生生級(jí)級(jí)比比生生成成. .成成是是級(jí)級(jí)比比級(jí)級(jí)比比生生(k(k成成在在建建模模中中可可以以獲獲得得較較好好的的灰灰) )與與光光滑滑比比 (k)(k)生生成成指指數(shù)數(shù)律律. .的的總總稱(chēng)稱(chēng). .(0)(0)(0)(0)(1),(2),( ),(), ( ),XxxxnKk 設(shè)設(shè)序序列列為為原原始始序序列列稱(chēng)稱(chēng)為為級(jí)級(jí)比比為為光光滑滑比比 其其表表達(dá)達(dá)式式為為(0)(0)(0)(1)( )( )/(1)( )( )/(1)(212)kxkxkkxkxk (0)(0)(0)(0)

19、(0)(0)(0) (1),(2),(1), ( ),(1)(1),( )( ),(1)( )Xxxnnxnxnxxn設(shè)設(shè)為為端端點(diǎn)點(diǎn)是是空空穴穴的的序序列列 若若用用右右鄰鄰的的級(jí)級(jí)比比生生成成用用的的左左鄰鄰級(jí)級(jí)比比生生成成則則稱(chēng)稱(chēng)和和為為級(jí)級(jí)比比生生成成2.2 GM(1.1)模型建模機(jī)理,(1.1)GM灰灰色色系系統(tǒng)統(tǒng)是是對(duì)對(duì)離離散散序序列列建建立立的的微微分分方方程程是是一一階階微微分分方方程程模模型型, ,其其形形式式為為: :(2(1.1)13)dGMxaxudt:由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義知知0()( )limtdxx ttx tdtt 1,t 當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)并并且且取取很很小小的的

20、 單單位位時(shí)時(shí) 則則近近似似地地有有(1)( )xx tx tt 寫(xiě)寫(xiě)成成離離散散形形式式為為(1)(1)( )( (1)xx kx kx kt (1),(1)( ),(1)( )(1), ( ).(1), ( ):xxx kttx kx kx kx kx kx kxx kx kt 這這表表示示是是的的一一次次累累減減生生成成 因因此此是是和和二二元元組組合合等等效效值值 則則稱(chēng)稱(chēng)與與的的二二元元組組合合為為偶偶對(duì)對(duì), ,記記為為 于于是是我我們們可可以以定定義義一一個(gè)個(gè)從從 到到的的一一個(gè)個(gè)映映射射: (1), ( )(214)dxFx kx kdt( )(),( ).dxR ttxdtdx

21、R tdtdxaxudt 若若定定義義是是 時(shí)時(shí)刻刻背背景景的的就就是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的 的的值值那那么么 每每一一個(gè)個(gè)都都有有一一個(gè)個(gè)偶偶對(duì)對(duì)背背景景值值與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)現(xiàn)現(xiàn)在在考考慮慮一一階階微微程程值值分分方方,1,( )(),dxx udtdxdtxx tx tt 它它是是與與的的線線性性組組合合. .那那么么, ,作作這這種種線線性性組組合合時(shí)時(shí), ,所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的背背景景值值究究竟竟取取偶偶對(duì)對(duì)是是的的哪哪一一個(gè)個(gè)呢呢? ?如如果果認(rèn)認(rèn)為為在在的的很很短短時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi) 變變量量之之間間不不會(huì)會(huì)出出現(xiàn)現(xiàn)突突變變量量 那那么么可可取取偶偶對(duì)對(duì)的的平平均均值值作作為為背背景景值值1( )

22、( )(1)(215)2z tx kx k,(1.1)GM基基于于上上述述機(jī)機(jī)理理 下下面面介介紹紹的的具具體體模模型型及及計(jì)計(jì)算算式式, ,設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)原原始始序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn (0),X對(duì)對(duì)作作一一次次累累加加 得得到到生生成成數(shù)數(shù)列列為為 (1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn (1)0,( )( )kixkx i 其其中中(0)( )(1.1)xkGM于于是是的的白白化化形形式式的的微微分分方方程程為為(1)(1)(216)dxaxudt, , a u其其中中為為待待定定參參數(shù)數(shù), ,將將(2-16)(2-16)式式離

23、離散散化化, ,即即得得(1)(1)(1)(1)( (1)(2 17)xkazx ku (1)(1)(1)(1)(1),(1)(1),(1)(1)xkxkdxzkkdt其其中中為為在在時(shí)時(shí)刻刻的的累累減減生生成成序序列列為為在在時(shí)時(shí)刻刻的的背背景景值值. .因因?yàn)闉?1)(1)(1)(1)(0)(1)(1)( )(1)(218)xkxkxkxk(1)(1)(1)1(1)(1)( )(219)2zkxkxk(218),(219)將將式式代代入入(2-17)(2-17)式式, ,得得(0)(1)(1)1(1)( )(1)(220)2xkaxkxku(220) 將將式式展展開(kāi)開(kāi)得得(1)(1)(0)

24、(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3)(221)2( )1(1)( )12xxxxxxxnxnxn (1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3),2( )1(1)( )12xxxxxxYBxnxnxn 令令,(221)Tau 為為待待辨辨識(shí)識(shí)參參數(shù)數(shù)向向量量 則則可可寫(xiě)寫(xiě)成成(222)YB 參參數(shù)數(shù)向向量量 可可用用最最小小二二乘乘法法求求取取, ,即即1 , ()(223)TTTa uB BB Y (216), 把把求求取取的的參參數(shù)數(shù)代代入入式式 并并求求出出其其離離散散解解為為(1)(1)

25、(1)(1)(224)akuuxkxeaa 還還原原到到原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)得得(0)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)(225)aakxkxkxkuexea (224),(225)(1.1),(1.1).GMGM式式稱(chēng)稱(chēng)為為模模型型的的時(shí)時(shí)間間相相應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)模模型型 它它是是模模型型灰灰色色預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)的的具具體體計(jì)計(jì)算算公公式式2.3 GM(1.1)模型的精度檢驗(yàn)?zāi)ＤＰ托瓦x選定定之之后后, ,一一定定要要經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)檢檢驗(yàn)驗(yàn)才才能能判判定定其其是是否否合合理理, ,只只有有通通過(guò)過(guò)檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的模模型型才才能能用用來(lái)來(lái)作作預(yù)預(yù)測(cè)測(cè), ,灰灰色色模模型型的的精精度度檢檢驗(yàn)驗(yàn)一一般般有有三三

26、種種方方法法: :相相對(duì)對(duì)誤誤差差大大小小檢檢驗(yàn)驗(yàn)法法, ,關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度檢檢驗(yàn)驗(yàn)法法和和后后驗(yàn)驗(yàn)差差檢檢驗(yàn)驗(yàn)法法. .下下面面對(duì)對(duì)這這三三種種方方法法做做個(gè)個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單介介紹紹. .2.3.1 相對(duì)誤差檢驗(yàn)法(1)(1)(0)(1.1),GMXXX設(shè)設(shè)按按建建模模法法已已求求出出并并將將做做一一次次累累減減轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為即即(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )(231)Xxxxn計(jì)計(jì)算算殘殘差差得得(0)(0) (1), (2), ( )(232)Eeee nXX(0)(0), ( )( )( ),1,2,e kxkxk kn其其中中計(jì)計(jì)算算相相對(duì)對(duì)誤誤差差得得(0)( )( )100%

27、,1,2,(233)( )e krel kknxk計(jì)計(jì)算算平平均均相相對(duì)對(duì)誤誤差差得得11( ),(234)nkrelrel kn 2.3.2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)法(0)(0)2212(1.1)(231),(232),GMXXESS 設(shè)設(shè)按按建建模模法法所所求求出出的的如如所所示示 殘殘差差如如所所示示 原原始始序序列列及及殘殘差差序序列列 的的方方差差分分別別為為和和則則2(0)21122211( )1 ( )(235)nknkSxkxnSe ken (0)1111,( ),( )nnkkxxk ee knn其其中中計(jì)計(jì)算算后后驗(yàn)驗(yàn)差差比比為為21/(236)CSS計(jì)計(jì)算算小小誤誤差差概概率率為為

28、1( )0.6745(237)pP e keS1212,.CpCCSSSSC指指標(biāo)標(biāo) 和和 是是后后驗(yàn)驗(yàn)差差檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的兩兩個(gè)個(gè)重重要要指指標(biāo)標(biāo). .指指標(biāo)標(biāo) 越越小小越越好好越越小小表表示示大大而而越越小小大大表表示示原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)方方差差大大, ,即即原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)離離散散程程度度大大. .小小表表示示殘殘方方差差小小, ,即即殘殘差差離離散散程程度度小小. . 小小就就表表明明盡盡管管原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)很很離離散散, ,而而模模型型所所得得計(jì)計(jì)算算值值與與實(shí)實(shí)際際值值之之差差并并不不太太離離散散. .1,0.6745,.ppC p指指標(biāo)標(biāo) 越越大大越越好好越越大大 表表明明殘殘差差與與

29、殘殘差差平平均均值值之之差差小小于于給給定定值值的的點(diǎn)點(diǎn)較較多多 即即擬擬合合值值( (或或預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)值值) )分分布布比比較較均均勻勻. .按按兩兩個(gè)個(gè)指指標(biāo)標(biāo) 可可綜綜合合評(píng)評(píng)定定預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)模模型型的的精精度度 模模型型的的精精度度由由后后驗(yàn)驗(yàn)差差和和小小誤誤差差概概率率共共同同刻刻劃劃. .一一般般地地, ,將將模模型型的的精精度度分分為為四四級(jí)級(jí), ,見(jiàn)見(jiàn)表表2 2- -1 1模型精度等級(jí)模型精度等級(jí) 均方差比值均方差比值C小誤差概率小誤差概率p1級(jí)（好）級(jí)（好）C=0.350.95=p2級(jí)（合格）級(jí)（合格）0.35C=0.50.80=p0.953級(jí)（勉強(qiáng)）級(jí)（勉強(qiáng)）0.5C=0.650.70=p0.804級(jí)（不合格）級(jí)（不合格） 0.65CP0.702 1 表表精精度度檢檢驗(yàn)驗(yàn)等等