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1、數(shù)列典型例題分析【題型1】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系例1 (2010陜西文16)已知an是公差不為零的等差數(shù)列,a11,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.()求數(shù)列an的通項;()求數(shù)列2an的前n項和Sn.解:()由題設(shè)知公差d0,由a11,a1,a3,a9成等比數(shù)列得,解得d1,d0(舍去), 故an的通項an1+(n1)×1n.()由()知=2n,由等比數(shù)列前n項和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.小結(jié)與拓展:數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,其中是常數(shù),是的公差。(a>0且a1).【題型2】 與“前n項和Sn與通項an”、常用求通項公式的結(jié)合例2 已知
2、數(shù)列an的前三項與數(shù)列bn的前三項對應(yīng)相同,且a12a222a32n1an8n對任意的nN*都成立,數(shù)列bn1bn是等差數(shù)列求數(shù)列an與bn的通項公式。解:a12a222a32n1an8n(nN*) 當(dāng)n2時,a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得2n1an8,求得an24n,在中令n1,可得a18241,an24n(nN*) 由題意知b18,b24,b32,b2b14,b3b22,數(shù)列bn1bn的公差為2(4)2,bn1bn4(n1)×22n6,法一(迭代法)bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8) n27n14(nN*)法二(累加法)
3、即bnbn12n8,bn1bn22n10,b3b22,b2b14,b18,相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小結(jié)與拓展:1)在數(shù)列an中,前n項和Sn與通項an的關(guān)系為:.是重要考點;2)韋達(dá)定理應(yīng)引起重視;3)迭代法、累加法及累乘法是求數(shù)列通項公式的常用方法。【題型3】 中項公式與最值(數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì))例3 (2009汕頭一模)在等比數(shù)列an中,an0 (nN),公比q(0,1),且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825,a3與as的等比中項為2。(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bnlog2 an,數(shù)列bn的前n項和為Sn當(dāng)最大時,求n的值。解:(1)因為
4、a1a5 + 2a3a5 +a 2a825,所以, + 2a3a5 +25 又ano,a3a55 又a3與a5的等比中項為2,所以,a3a54而q(0,1),所以,a3a5,所以,a34,a51,a116,所以, (2)bnlog2 an5n,所以,bn1bn1,所以,bn是以4為首項,1為公差的等差數(shù)列。所以, 所以,當(dāng)n8時,0,當(dāng)n9時,0,n9時,0,當(dāng)n8或9時,最大。小結(jié)與拓展:1)利用配方法、單調(diào)性法求數(shù)列的最值;2)等差中項與等比中項。2、 數(shù)列的前n項和1.前n項和公式Sn的定義:Sn=a1+a2+an。2.數(shù)列求和的方法(1)(1)公式法:1)等差數(shù)列求和公式;2)等比數(shù)列
5、求和公式;3)可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列;4)常用公式:;。(2)分組求和法:把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合,使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。(3)倒序相加法:如果一個數(shù)列an,與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法。如:等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的。(4)裂項相消法:即把每一項都拆成正負(fù)兩項,使其正負(fù)抵消,只余有限幾項,可求和。適用于其中是各項不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù);部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如:1)和(其中等差)可裂項為:;2)。(根式在分母上時可考慮利用分母有理化,因式相消
6、求和)常見裂項公式:(1);(2);(3);3.典型例題分析【題型1】 公式法例1 等比數(shù)列的前項和S2p,則_.解:1)當(dāng)n=1時,;2)當(dāng)時,。 因為數(shù)列為等比數(shù)列,所以從而等比數(shù)列為首項為1,公比為2的等比數(shù)列。故等比數(shù)列為首項為1,公比為的等比數(shù)列。小結(jié)與拓展:1)等差數(shù)列求和公式;2)等比數(shù)列求和公式;3)可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列;4)常用公式:(見知識點部分)。5)等比數(shù)列的性質(zhì):若數(shù)列為等比數(shù)列,則數(shù)列及也為等比數(shù)列,首項分別為、,公比分別為、?!绢}型2】 分組求和法例2 (2010年豐臺期末18)數(shù)列中,且點在函數(shù)的圖象上.()求數(shù)列的通項公式;()在數(shù)列中,依次抽取第3,
7、4,6,項,組成新數(shù)列,試求數(shù)列的通項及前項和.解:()點在函數(shù)的圖象上,。,即數(shù)列是以為首項,2為公差的等差數(shù)列,。()依題意知:=.小結(jié)與拓展:把數(shù)列的每一項分成多個項,再把數(shù)列的項重新組合,使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解?!绢}型3】 裂項相消法例3 (2010年東城二模19改編)已知數(shù)列的前項和為,設(shè)()證明數(shù)列是等比數(shù)列;()數(shù)列滿足,求。證明:()由于, 當(dāng)時, 得 所以 又, 所以因為,且,所以所以故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列 解:()由()可知,則() 小結(jié)與拓展:裂項相消法是把每一項都拆成正負(fù)兩項,使其正負(fù)抵消,只余有限幾項,可求和。它適用于
8、其中是各項不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù);部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如:1)和(其中等差)可裂項為:;2)。(根式在分母上時可考慮利用分母有理化,因式相消求和)(5)錯位相減法:適用于差比數(shù)列(如果等差,等比,那么叫做差比數(shù)列)即把每一項都乘以的公比,向后錯一項,再對應(yīng)同次項相減,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。如:等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的. (6)累加(乘)法(7)并項求和法:一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如an(1)nf(n)類型,可采用兩項合并求。5.典型例題分析【題型4】 錯位相減法例4 求數(shù)列前n項的和.解:由題可知的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項
9、之積設(shè) (設(shè)制錯位)得(錯位相減) 【題型5】 并項求和法例5 求10029929829722212解:10029929829722212(100 99)(9897)(21)5050.【題型6】 累加(乘)法及其它方法:歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等例6 求之和.解:由于 (找通項及特征)(分組求和)6.歸納與總結(jié)以上8種方法雖然各有其特點,但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu),使其能進(jìn)行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決,只要很好地把握這一規(guī)律,就能使數(shù)列求和化難為易,迎刃而解。3、 數(shù)列的通項公式1.數(shù)列的通項公式一個數(shù)列an的 與 之間的
10、函數(shù)關(guān)系,如果可用一個公式anf(n)來表示,我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式2.通項公式的求法(1)(1)定義法與觀察法(合情推理:不完全歸納法):直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法,這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目;有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項觀察出通項公式。(2)公式法:在數(shù)列an中,前n項和Sn與通項an的關(guān)系為: (數(shù)列的前n項的和為).(3)周期數(shù)列由遞推式計算出前幾項,尋找周期。(4)由遞推式求數(shù)列通項類型1 遞推公式為解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 (1)遞推公式為解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2)由
11、和確定的遞推數(shù)列的通項可如下求得:由已知遞推式有, ,依次向前代入,得,這就是疊(迭)代法的基本模式。類型3 遞推公式為(其中p,q均為常數(shù),)。解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。3.典型例題分析【題型1】 周期數(shù)列例1 若數(shù)列滿足,若,則=_。答案:。小結(jié)與拓展:由遞推式計算出前幾項,尋找周期?!绢}型2】 遞推公式為,求通項例2 已知數(shù)列滿足,求。解:由條件知:分別令,代入上式得個等式累加之,即所以,小結(jié)與拓展:在運用累加法時,要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.【題型3】 遞推公式為,求通項例3 已知數(shù)列滿足,求。解:由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之
12、,即又,小結(jié)與拓展:在運用累乘法時,還是要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.【題型4】 遞推公式為(其中p,q均為常數(shù),),求通項例4 在數(shù)列中,當(dāng)時,有,求的通項公式。解:設(shè),即有,對比,得,于是得,數(shù)列是以為首項,以3為公比的等比數(shù)列,所以有。(5)構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中,通過對條件與結(jié)論的充分剖析,有時會聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型,如某種數(shù)量關(guān)系,某個直觀圖形,或者某一反例,以此促成命題轉(zhuǎn)換,產(chǎn)生新的解題方法,這種思維方法的特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式,此類題通常較難,但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺.1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比
13、數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然,對于一些遞推數(shù)列問題,若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.2)構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差,然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.3)構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式,然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.4)構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù),取倒數(shù)代數(shù)變形方法,可由復(fù)雜變?yōu)楹唵危箚栴}得以解決.(6)歸納猜想證明法數(shù)學(xué)歸納法(7)已知數(shù)列前項之積Tn,一般可求Tn-1,則an(注意:不能忘記討論).如:數(shù)列中,對所有的都有,則_.四、典型例題分析【題型5】 構(gòu)造法:1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列例5 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,對于任意正整數(shù)n,都有等式:成立,求的通項.解:, ,. 即是以2為公差的等差數(shù)列,且.小結(jié)與拓展:由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然,對于一些遞推數(shù)列問題,若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.【題型6】 構(gòu)造法:2)構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差,然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式。例6 設(shè)是首項為1
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