結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)極限

1、第第1212章章 結(jié)構(gòu)的極限荷載結(jié)構(gòu)的極限荷載12-1 12-1 概述概述12-2 12-2 極限彎矩和塑性鉸極限彎矩和塑性鉸破壞機構(gòu)破壞機構(gòu)靜定梁的計靜定梁的計算算12-3 12-3 單跨靜定梁的極限荷載單跨靜定梁的極限荷載12-4 比例加載時有關(guān)極限荷載的幾個定理比例加載時有關(guān)極限荷載的幾個定理12-5 計算極限荷載的窮舉法和試算法計算極限荷載的窮舉法和試算法12-6 連續(xù)梁的極限荷載連續(xù)梁的極限荷載12-7 剛架的極限荷載剛架的極限荷載12-8 矩陣位移法求剛架極限荷載的概念矩陣位移法求剛架極限荷載的概念1、彈性分析方法、彈性分析方法 把結(jié)構(gòu)當(dāng)作理想彈性體，用容許應(yīng)力法計算結(jié)構(gòu)的強度。把

2、結(jié)構(gòu)當(dāng)作理想彈性體，用容許應(yīng)力法計算結(jié)構(gòu)的強度。 其強度條件為其強度條件為2、塑性分析方法、塑性分析方法 按極限荷載計算結(jié)構(gòu)強度，以結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段并最后喪失按極限荷載計算結(jié)構(gòu)強度，以結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段并最后喪失 承載能力時的極限狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)破壞的標(biāo)志。強度條件為承載能力時的極限狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)破壞的標(biāo)志。強度條件為12-1 概述 kumaxKFFumax結(jié)構(gòu)的實際最大應(yīng)力；結(jié)構(gòu)的實際最大應(yīng)力；材料的容許應(yīng)力；材料的容許應(yīng)力； u材料的極限應(yīng)力；材料的極限應(yīng)力； k安全系數(shù)。安全系數(shù)。F結(jié)構(gòu)實際承受的荷載；結(jié)構(gòu)實際承受的荷載；Fu極限荷載；極限荷載；K安全系數(shù)。安全系數(shù)。12-1 概述 結(jié)構(gòu)塑性分析

3、中，為簡化計算，把材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)結(jié)構(gòu)塑性分析中，為簡化計算，把材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系作合理地簡化。簡化為系作合理地簡化。簡化為理想彈塑性理想彈塑性材料。如圖所示。材料。如圖所示。OA段：材料是理想彈性的，應(yīng)力段：材料是理想彈性的，應(yīng)力 與應(yīng)變成正比。與應(yīng)變成正比。AB段：材料是理想塑性的，應(yīng)力不段：材料是理想塑性的，應(yīng)力不 變，應(yīng)變可以任意增長。變，應(yīng)變可以任意增長。CD段：應(yīng)力減為零時，有殘余應(yīng)段：應(yīng)力減為零時，有殘余應(yīng) 變變OD。 結(jié)構(gòu)的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一結(jié)構(gòu)的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一次加于結(jié)構(gòu)，且各荷載按同一比例增加次加于結(jié)構(gòu)，且各荷載按同一比

4、例增加比例加載比例加載。 圖圖a所示梁的橫截面有一對稱軸，承受位于對稱平面內(nèi)的所示梁的橫截面有一對稱軸，承受位于對稱平面內(nèi)的豎向荷載作用。隨荷載的增大，梁截面應(yīng)力變化為豎向荷載作用。隨荷載的增大，梁截面應(yīng)力變化為圖圖(b)：荷載較小時，彈性階段，截面應(yīng)力：荷載較小時，彈性階段，截面應(yīng)力S。圖圖(c)：荷載加大到一定值，最外邊緣應(yīng)力達(dá)到屈服極限：荷載加大到一定值，最外邊緣應(yīng)力達(dá)到屈服極限S， 對應(yīng)的彎矩稱為對應(yīng)的彎矩稱為屈服彎矩屈服彎矩MSWMsS12-2 極限彎矩和塑性鉸破壞機構(gòu)靜定 梁的計算12-2 極限彎矩和塑性鉸破壞機構(gòu)靜定 梁的計算圖圖(d)：荷載再增加，截面由外向內(nèi)有更多部分的應(yīng)力為

5、：荷載再增加，截面由外向內(nèi)有更多部分的應(yīng)力為S， 其余纖維處于彈性階段其余纖維處于彈性階段塑性流動階段。塑性流動階段。圖圖(e)：荷載繼續(xù)增加，整個截面的應(yīng)力都達(dá)到了屈服極限：荷載繼續(xù)增加，整個截面的應(yīng)力都達(dá)到了屈服極限S， 彎矩達(dá)到了最大彎矩達(dá)到了最大極限彎矩極限彎矩Mu。此時，截面彎矩不再增。此時，截面彎矩不再增 大，但彎曲變形可任意增長，相當(dāng)于在該截面處出現(xiàn)了大，但彎曲變形可任意增長，相當(dāng)于在該截面處出現(xiàn)了 一個鉸一個鉸塑性鉸塑性鉸。塑性鉸的特點：塑性鉸的特點：可以承受極限彎矩可以承受極限彎矩Mu。(1) (2) 是單向鉸，只沿彎矩的方向是單向鉸，只沿彎矩的方向轉(zhuǎn)動。彎矩減小時，材料恢復(fù)

6、彈轉(zhuǎn)動。彎矩減小時，材料恢復(fù)彈性，塑性鉸消失。性，塑性鉸消失。12-2 極限彎矩和塑性鉸破壞機構(gòu)靜定 梁的計算SSuWM由圖由圖(e)可推得可推得WS塑性截面系數(shù)，受壓和受拉部分面積對等分截面軸的靜矩之和。塑性截面系數(shù)，受壓和受拉部分面積對等分截面軸的靜矩之和。當(dāng)截面為當(dāng)截面為bh的矩形時的矩形時42SbhW 故故S2u4bhM 彈性截面系數(shù)為彈性截面系數(shù)為62bhW 屈服彎矩為屈服彎矩為S2S6bhM 5 . 1SuMM 對矩形截面梁來說，按塑性計算比按對矩形截面梁來說，按塑性計算比按彈性計算截面的承載能力提高彈性計算截面的承載能力提高50%。12-2 極限彎矩和塑性鉸破壞機構(gòu)靜定 梁的計算

7、破壞機構(gòu)破壞機構(gòu)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)若干塑性鉸而成為幾何可變體系或瞬變體系。結(jié)構(gòu)出現(xiàn)若干塑性鉸而成為幾何可變體系或瞬變體系。 靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)出現(xiàn)一個塑性鉸即成為出現(xiàn)一個塑性鉸即成為破壞機構(gòu)。對等截面梁，塑性鉸出現(xiàn)破壞機構(gòu)。對等截面梁，塑性鉸出現(xiàn)在在|M|max處。處。 圖圖a所示截面簡支梁，跨中截面彎所示截面簡支梁，跨中截面彎矩最大，該處出現(xiàn)塑性鉸時梁成為機矩最大，該處出現(xiàn)塑性鉸時梁成為機構(gòu)如圖構(gòu)如圖b。同時該截面彎矩達(dá)到極限彎。同時該截面彎矩達(dá)到極限彎矩矩Mu。 由平衡條件作由平衡條件作M圖如圖如c。由由uu4MlFlMFuu求得極限荷載為求得極限荷載為超靜定梁超靜定梁：具有多余聯(lián)系，只有出現(xiàn)足夠多的

8、塑性鉸，才能：具有多余聯(lián)系，只有出現(xiàn)足夠多的塑性鉸，才能 使其成為破壞機構(gòu)。使其成為破壞機構(gòu)。 圖圖(a)所示等截面梁，梁在彈性階所示等截面梁，梁在彈性階段的彎矩圖如圖段的彎矩圖如圖b，截面，截面A的彎矩最大。的彎矩最大。12-3 單跨超靜定梁的極限荷載 荷載增大到一定值時，荷載增大到一定值時，A先出現(xiàn)塑先出現(xiàn)塑性鉸。如圖性鉸。如圖c，A端彎矩為端彎矩為Mu，變成靜，變成靜定的問題。此時梁未破壞，承載能力未定的問題。此時梁未破壞，承載能力未達(dá)到極限。達(dá)到極限。 荷載繼續(xù)增大，跨中截面荷載繼續(xù)增大，跨中截面C的彎矩的彎矩達(dá)到達(dá)到Mu，C截面變成塑性鉸。如圖截面變成塑性鉸。如圖d，此時梁成為幾何可

9、變的機構(gòu)，達(dá)到極限此時梁成為幾何可變的機構(gòu)，達(dá)到極限狀態(tài)。狀態(tài)。 按平衡條件作出此時的彎矩圖，按平衡條件作出此時的彎矩圖，如圖如圖e所示。所示。uuu24MMlF由圖可得由圖可得得極限荷載得極限荷載lMFuu612-3 單跨超靜定梁的極限荷載 靜力法靜力法求極限荷載求極限荷載超靜定梁超靜定梁（1）使破壞機構(gòu)中各塑性鉸處的彎矩都等于極限彎矩；）使破壞機構(gòu)中各塑性鉸處的彎矩都等于極限彎矩；（2）按靜力平衡條件作出彎矩圖，即可確定極限荷載。）按靜力平衡條件作出彎矩圖，即可確定極限荷載。 機動法機動法求極限荷載求極限荷載超靜定梁超靜定梁（1）設(shè)機構(gòu)沿荷載正方向產(chǎn)生任意微小的虛位移如圖）設(shè)機構(gòu)沿荷載正方

10、向產(chǎn)生任意微小的虛位移如圖d；（2）由虛功方程）由虛功方程22uuuMMlF得極限荷載得極限荷載lMFuu612-3 單跨超靜定梁的極限荷載例例12-1 試求圖試求圖a所示兩端固定的等截面梁的極限荷載。所示兩端固定的等截面梁的極限荷載。解：此梁出現(xiàn)三個塑性鉸即進(jìn)入極限狀態(tài)。解：此梁出現(xiàn)三個塑性鉸即進(jìn)入極限狀態(tài)。 塑性鉸出現(xiàn)在最大負(fù)彎矩塑性鉸出現(xiàn)在最大負(fù)彎矩A、B截面及截面及 最大正彎矩最大正彎矩C截面。截面。靜力法靜力法：作極限狀態(tài)彎矩圖如圖：作極限狀態(tài)彎矩圖如圖b。 由平衡條件有由平衡條件有uuuMMlabF得極限荷載得極限荷載uu2MablF 機動法機動法：作出機構(gòu)的虛位移圖如圖：作出機構(gòu)

11、的虛位移圖如圖c。baMblMMaFuuuu得極限荷載得極限荷載uu2MablF 12-3 單跨超靜定梁的極限荷載例例12-2 試求圖試求圖a所示等截面梁在均布荷載作用時的極限荷載所示等截面梁在均布荷載作用時的極限荷載qu。解：此梁出現(xiàn)兩個塑性鉸即達(dá)到極限狀態(tài)。解：此梁出現(xiàn)兩個塑性鉸即達(dá)到極限狀態(tài)。 一個塑性鉸在一個塑性鉸在A處，另一個塑性鉸在處，另一個塑性鉸在 最大彎矩即剪力為零處。最大彎矩即剪力為零處。靜力法：如圖靜力法：如圖b，由，由MA=0，有，有l(wèi)MlqFBuuR20)2(，0uuuuRSxqlMlqxqFFBx)2(uuxllMq得得最大正彎矩為最大正彎矩為Mu，故有，故有u2u8

12、)2(Mxqlx4142.0解得解得2uu66.11lMq 求得極限荷載求得極限荷載12-4比例加載時有關(guān)極限荷載的幾個定理比例加載比例加載：作用于結(jié)構(gòu)上的各個荷載增加時，始終保持它們：作用于結(jié)構(gòu)上的各個荷載增加時，始終保持它們 之間原有的固定比例關(guān)系，且不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。之間原有的固定比例關(guān)系，且不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。荷載參數(shù)荷載參數(shù)F：所有荷載都包含的一個公共參數(shù)。確定極限荷載：所有荷載都包含的一個公共參數(shù)。確定極限荷載 實際上就是確定極限狀態(tài)時的荷載參數(shù)實際上就是確定極限狀態(tài)時的荷載參數(shù)Fu。 結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時應(yīng)同時滿足：結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時應(yīng)同時滿足：（1）機構(gòu)條件。結(jié)構(gòu)出現(xiàn)足夠數(shù)目的塑性鉸而

13、成為機構(gòu)。）機構(gòu)條件。結(jié)構(gòu)出現(xiàn)足夠數(shù)目的塑性鉸而成為機構(gòu)。（2）內(nèi)力局限條件。任一截面的彎矩絕對值）內(nèi)力局限條件。任一截面的彎矩絕對值|M| Mu。（3）平衡條件。結(jié)構(gòu)的整體或任一局部仍維持平衡。）平衡條件。結(jié)構(gòu)的整體或任一局部仍維持平衡。12-4比例加載時有關(guān)極限荷載的幾個定理可破壞荷載可破壞荷載：滿足機構(gòu)條件和平衡條件的荷載，用：滿足機構(gòu)條件和平衡條件的荷載，用F +表示。表示。 （不一定滿足內(nèi)力局限條件）（不一定滿足內(nèi)力局限條件）可接受荷載可接受荷載：滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載，用：滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載，用F -表示。表示。 （不一定滿足機構(gòu)條件）（不一定滿足機構(gòu)條件）

14、1、極小定理、極小定理：極限荷載是所有可破壞荷載中的極小者。：極限荷載是所有可破壞荷載中的極小者。2、極大定理、極大定理：極限荷載是所有可接受荷載中的極大者。：極限荷載是所有可接受荷載中的極大者。3、惟一性定理、惟一性定理：極限荷載只有一個確定值。若某荷載既是可破：極限荷載只有一個確定值。若某荷載既是可破 壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載即為極限壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載即為極限 荷載。荷載。12-5 計算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法、窮舉法：也稱機構(gòu)法或機動法。列舉所有可能的破壞機構(gòu)，：也稱機構(gòu)法或機動法。列舉所有可能的破壞機構(gòu)， 求出相應(yīng)的荷載，取其求出相應(yīng)的荷載，取其最小者最

15、小者即為極限荷載。即為極限荷載。2、試算法、試算法：任選一種破壞機構(gòu)，求出相應(yīng)荷載，并作彎矩圖，：任選一種破壞機構(gòu)，求出相應(yīng)荷載，并作彎矩圖， 若滿足內(nèi)力局限條件，則該荷載即為極限荷載；如若滿足內(nèi)力局限條件，則該荷載即為極限荷載；如 不滿足，則另選一機構(gòu)再試算不滿足，則另選一機構(gòu)再試算，直至滿足。，直至滿足。例例12-3 試求圖試求圖a所示變截面梁的極限荷載。所示變截面梁的極限荷載。解：此梁出現(xiàn)兩個塑性鉸即成為破壞解：此梁出現(xiàn)兩個塑性鉸即成為破壞 機構(gòu)。除最大負(fù)彎矩和最大正彎機構(gòu)。除最大負(fù)彎矩和最大正彎 矩所在的矩所在的A、C截面外，截面突截面外，截面突 變處變處D右側(cè)也可能出現(xiàn)塑性鉸。右側(cè)也

16、可能出現(xiàn)塑性鉸。12-5 計算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法、窮舉法機構(gòu)機構(gòu)1：設(shè)：設(shè)A、D處出現(xiàn)塑性鉸處出現(xiàn)塑性鉸3223uuMMlF得得lMFu21機構(gòu)機構(gòu)2：設(shè)：設(shè)A、C處出現(xiàn)塑性鉸處出現(xiàn)塑性鉸3232uuMMlF得得lMFu5 . 7機構(gòu)機構(gòu)3：設(shè)：設(shè)D、C處出現(xiàn)塑性鉸處出現(xiàn)塑性鉸23uuMMlF得得lMFu9極限荷載為極限荷載為lMFuu5 . 712-5 計算極限荷載的窮舉法和試算法2、試算法、試算法作彎矩圖如圖作彎矩圖如圖e。選擇機構(gòu)選擇機構(gòu)1：求得相應(yīng)的荷載：求得相應(yīng)的荷載lMFu21 截面截面C的彎矩超過了的彎矩超過了Mu。此機構(gòu)。此機構(gòu)不是極限狀態(tài)。不是極限狀態(tài)。選擇機

17、構(gòu)選擇機構(gòu)2：求得相應(yīng)的荷載：求得相應(yīng)的荷載lMFu5 . 7作彎矩圖如圖作彎矩圖如圖f。 所有截面的彎矩均未超過所有截面的彎矩均未超過Mu。此時的荷載為可接受荷載，極限荷此時的荷載為可接受荷載，極限荷載為載為lMFuu5 . 7 圖圖a所示連續(xù)梁只可能出所示連續(xù)梁只可能出現(xiàn)某一跨單獨破壞的機構(gòu)如圖現(xiàn)某一跨單獨破壞的機構(gòu)如圖b、c、d。 也可能由相鄰各跨聯(lián)合形也可能由相鄰各跨聯(lián)合形成破壞機構(gòu)如圖成破壞機構(gòu)如圖e。12-6 連續(xù)梁的極限荷載 圖圖e中至少有一跨在中部出中至少有一跨在中部出現(xiàn)負(fù)彎矩的塑性鉸，這是不可現(xiàn)負(fù)彎矩的塑性鉸，這是不可能出現(xiàn)的。能出現(xiàn)的。連續(xù)梁的極限荷載計算：只需計算各跨單獨

18、破壞時的荷載，取連續(xù)梁的極限荷載計算：只需計算各跨單獨破壞時的荷載，取 其其最小者最小者即為極限荷載。即為極限荷載。例例12-4 試求圖試求圖a所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別為等截面的，所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別為等截面的， 其極限彎矩如圖所示。其極限彎矩如圖所示。12-6 連續(xù)梁的極限荷載解：第解：第1跨機構(gòu)如圖跨機構(gòu)如圖b。uu28 . 0MMFaaMFu75. 3第第2跨機構(gòu)如圖跨機構(gòu)如圖c。uuu222MMMaaaFaMFu4第第3跨機構(gòu)如圖跨機構(gòu)如圖d。332uuMMaFFaaMFu33. 3 比較以上結(jié)果，按極小定理，第比較以上結(jié)果，按極小定理，第3跨首先破壞。極限跨首先破壞。

19、極限荷載為荷載為aMFu33. 312-6 連續(xù)梁的極限荷載剛架極限荷載計算時忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響。剛架極限荷載計算時忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響。uuu222MMMFa 圖圖a所示剛架，各桿分別為等截面所示剛架，各桿分別為等截面桿，由彎矩圖的形狀可知，塑性鉸只可桿，由彎矩圖的形狀可知，塑性鉸只可能在能在A、B、C（下側(cè)）、（下側(cè)）、E（下側(cè)）、（下側(cè)）、D五個截面出現(xiàn)。五個截面出現(xiàn)。 此剛架為此剛架為3次超靜定，只要出現(xiàn)次超靜定，只要出現(xiàn)4個個塑性鉸或一直桿上出現(xiàn)塑性鉸或一直桿上出現(xiàn)3個塑性鉸即成個塑性鉸即成為破壞機構(gòu)?？赡艿臋C構(gòu)形式有為破壞機構(gòu)?？赡艿臋C構(gòu)形式有機構(gòu)機構(gòu)1（圖（

20、圖b）：橫梁上出現(xiàn)）：橫梁上出現(xiàn)3個塑性鉸，個塑性鉸， 又稱又稱“梁機構(gòu)梁機構(gòu)”aMFu312-7 剛架的極限荷載窮舉法窮舉法12-7 剛架的極限荷載機構(gòu)機構(gòu)2（圖（圖c）：）：4個塑性鉸出現(xiàn)在個塑性鉸出現(xiàn)在A、C、 E、B處，整個剛架側(cè)移，處，整個剛架側(cè)移， 又稱又稱“側(cè)移機構(gòu)側(cè)移機構(gòu)”。 u45 . 1MaFaMFu67. 2機構(gòu)機構(gòu)3（圖（圖d）：塑性鉸出現(xiàn)在）：塑性鉸出現(xiàn)在A、D、 E、 B處，橫梁轉(zhuǎn)折，剛架亦處，橫梁轉(zhuǎn)折，剛架亦 側(cè)移，又稱側(cè)移，又稱“聯(lián)合機構(gòu)聯(lián)合機構(gòu)”。 uuuu222225 . 1MMMMFaaFaMFu29. 212-7 剛架的極限荷載機構(gòu)機構(gòu)4（圖（圖e）：也

21、稱聯(lián)合機構(gòu)：右柱向左）：也稱聯(lián)合機構(gòu)：右柱向左 轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，D點豎直位移向下點豎直位移向下 使較大的荷載使較大的荷載2F作正功，作正功， C點水平荷載點水平荷載F作負(fù)功。作負(fù)功。 uuuu2225 . 12MMMMaFFaaMFu16若所得若所得F為負(fù)值，則需將虛位移反方向。為負(fù)值，則需將虛位移反方向。 經(jīng)分析，無其他可能的機構(gòu)，按極小值定理取上述經(jīng)分析，無其他可能的機構(gòu)，按極小值定理取上述F中中的最小者為極限荷載的最小者為極限荷載aMFuu29. 2實際的破壞機構(gòu)為機構(gòu)實際的破壞機構(gòu)為機構(gòu)3。試算法試算法12-7 剛架的極限荷載選擇機構(gòu)選擇機構(gòu)2（圖（圖c）求相應(yīng)的荷載求相應(yīng)的荷載F=2.6

22、7Mu/a。作彎矩圖如圖作彎矩圖如圖a。D點處彎矩為點處彎矩為uuuu267. 24222MMaFMMMD 不滿足內(nèi)力局限條件，荷載不滿足內(nèi)力局限條件，荷載是不可承受的。是不可承受的。12-7 剛架的極限荷載選擇機構(gòu)選擇機構(gòu)3（圖（圖d）求相應(yīng)的荷載求相應(yīng)的荷載F=2.29Mu/a。作彎矩圖如圖作彎矩圖如圖b。結(jié)點結(jié)點C處兩桿端彎矩為處兩桿端彎矩為MCuuu29. 242222MFaaFMMMCuu42. 0MMMC 滿足內(nèi)力局限條件，此機構(gòu)即為滿足內(nèi)力局限條件，此機構(gòu)即為極限狀態(tài)，極限荷載為極限狀態(tài)，極限荷載為aMFuu29. 212-8 矩陣位移法求剛架極限荷載的概念矩陣位移法適合電算，能解決更復(fù)雜的求極限狀態(tài)的問題。矩陣位移法適合電算，能解決更復(fù)雜的求極限狀態(tài)的問題。增量法或變剛度法增量法或變剛度法從彈性階段開始，每步增加一個塑性鉸，并把該處改為鉸結(jié)；從彈性階段開始，每步增加一個塑性鉸，并把該處改為鉸結(jié)；求出下一個塑性鉸出現(xiàn)時荷載的增量，直到成為機構(gòu)，便可求求出下一個塑性鉸出現(xiàn)時荷載的增量，直到成為機構(gòu)，便可求得極限荷載。得極限荷載。（1）令荷載參數(shù)）令荷載參數(shù)F=1加于結(jié)構(gòu)，用矩陣位移法進(jìn)行彈性階段計加于結(jié)構(gòu)，用矩陣位移法進(jìn)行彈性階段計 算，其彎矩為算，其彎矩為M1。第一個塑性鉸必出現(xiàn)在第一