第十章多元函數(shù)微分學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第十章多元函數(shù)微分學(xué)第十章多元函數(shù)微分學(xué)第1頁/共70頁第一節(jié)多元函數(shù)的概念第一節(jié)多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義先看幾個例子先看幾個例子例題例題1 直圓柱體的側(cè)面積直圓柱體的側(cè)面積S和底面半徑和底面半徑R和高和高H之間的依之間的依賴關(guān)系可用公式賴關(guān)系可用公式S=2 RH ,(R，H)R 0，H 0表表示。當(dāng)（示。當(dāng)（R，H）的值在一定范圍內(nèi)取定一對數(shù)值時，）的值在一定范圍內(nèi)取定一對數(shù)值時，S的的對應(yīng)值就隨之確定了。對應(yīng)值就隨之確定了。例題例題2 氣缸內(nèi)理想氣體的容積氣缸內(nèi)理想氣體的容積V與壓強(qiáng)與壓強(qiáng)p，絕對溫度，絕對溫度T之間之間的關(guān)系為的關(guān)系為V=RT/p,其中其中R是常

2、數(shù)，是常數(shù)，(T，p) )T T 0 0，p p 0 0,V是隨是隨T、p變化而變化的。當(dāng)（變化而變化的。當(dāng)（T，p）在一定范圍內(nèi)取定）在一定范圍內(nèi)取定一對數(shù)值時，一對數(shù)值時，V的對應(yīng)值就隨之確定了。的對應(yīng)值就隨之確定了。例題例題3 一氧化氮的氧化過程為一氧化氮的氧化過程為2NO+O2 22N2NO2 2，由實驗可，由實驗可知，在此過程中，其氧化速度知，在此過程中，其氧化速度V與一氧化氮的克分子濃度與一氧化氮的克分子濃度x、氧氣的克分子濃度氧氣的克分子濃度y之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為V=Kx2y, (x，y) )0 x1, 0y10 x1, 0y1，其中，其中K為反應(yīng)速度常數(shù)。當(dāng)為反應(yīng)速度常數(shù)。

3、當(dāng)(x,y)在一在一定范圍內(nèi)取定一對數(shù)值時，定范圍內(nèi)取定一對數(shù)值時，V的對應(yīng)值就隨之確定了。的對應(yīng)值就隨之確定了。第2頁/共70頁第3頁/共70頁第4頁/共70頁RxHyxyxy32-3-2oooo圖1圖3圖2圖4221 ()zxy定義域是閉單位圓：(x，y)0 x2+y21例題5 函數(shù) arcsinarcsin23xyz 定義域是閉矩形：(x，y)-2x2, -3y3第5頁/共70頁2200()()xxyy第6頁/共70頁第7頁/共70頁ezsurf(x2+y2,circ);shading flat;view(-18,28)第8頁/共70頁而函數(shù)它們的定義域為(x，y)x2+y2a2。 的圖

4、形是以坐標(biāo)原點為球心，a為半徑的上半球面，的圖形則是同一個球的下半球面，222zaxy222zaxy 當(dāng)自變量的個數(shù)多于兩個時，函數(shù)就不可以用當(dāng)自變量的個數(shù)多于兩個時，函數(shù)就不可以用幾何圖形直觀地表示出來。幾何圖形直觀地表示出來。第9頁/共70頁x=cos(s)*cos(t);y=cos(s)*sin(t);z=sin(s);subplot(1, 2, 2)ezsurf(x,y,z,0,pi/2,0,2*pi) % view(45,45);shading interp;colormap(spring)x=cos(s)*cos(t);y=cos(s)*sin(t);z=-sin(s);subpl

5、ot(1, 2, 3)ezsurf(x,y,z,0,pi/2,0,2*pi) % view(45,45);shading interp;colormap(spring)畫函數(shù)221zxy的圖形 221zxy 第10頁/共70頁多元函數(shù)的極限及連續(xù)性多元函數(shù)的極限及連續(xù)性 要求：要求：1、理解掌握二元函數(shù)極限的定義，掌握二、理解掌握二元函數(shù)極限的定義，掌握二元函數(shù)連續(xù)的概念元函數(shù)連續(xù)的概念2、會求簡單的二元函數(shù)的極限，能判斷比較簡單、會求簡單的二元函數(shù)的極限，能判斷比較簡單的二元函數(shù)的連續(xù)性的二元函數(shù)的連續(xù)性3、掌握連續(xù)函數(shù)的兩個基本性質(zhì)、掌握連續(xù)函數(shù)的兩個基本性質(zhì)最值定理，最值定理，介值定理介

6、值定理重點：二元函數(shù)極限和連續(xù)的定義重點：二元函數(shù)極限和連續(xù)的定義難點：判斷二元函數(shù)是否存在極限難點：判斷二元函數(shù)是否存在極限第11頁/共70頁 1. 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限 定義定義 2 2 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)),(yxfz ， 如果當(dāng)點如果當(dāng)點 ),(yx以任以任意方式趨向點意方式趨向點),(00yx時，時，),(yxf總趨向于一個確定的常數(shù)總趨向于一個確定的常數(shù)A，那么就稱，那么就稱A是二元函數(shù)是二元函數(shù)),(yxf當(dāng)當(dāng) ),(yx ),(00yx時的時的極限，記為極限，記為 Ayxfyxyx),(lim),(),(00或或Ayxfyyxx),(lim00. 同一元函數(shù)的極限一樣

7、， 二元函數(shù)的極限也有類似的同一元函數(shù)的極限一樣， 二元函數(shù)的極限也有類似的四則運算法則四則運算法則 第12頁/共70頁),(yxP),(000yxP注意：點趨向于點的方式是任意的。如果點P只是沿著某一特殊途徑趨向于點P0，即使這時函數(shù)趨向于某一確定值，也不能斷定函數(shù)的極限存在。第13頁/共70頁例題1 考察函數(shù)22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y在點（0，0）的極限。（MATLAB圖形命令ezsurf(x*y/(x2+y2),circ) ；view(1,1,1);shading flat）圖形如右）-10-50510-10-50510-0

8、.6-0.4-0.200.20.40.6xx y/(x2+y2)yz第14頁/共70頁( ,0)0f x解：因為在x軸上，0lim( ,0)0 xf x故當(dāng)點P（x，y）沿x軸趨向于（0，0）時(0, )0fy 同樣,在y軸上，0lim(0, )0yfy故當(dāng)點P（x，y）沿x軸趨向于（0，0）時( , )f x y雖然沿上面兩條特殊路徑函數(shù)都趨向于0，( , )(0,0)lim( , )x yf x y是不存在的。 但第15頁/共70頁2222222( , )1xykxkf x yxyxk xkykx因為當(dāng)點P沿著路徑趨向于點（0，0）時，有它的值隨著k的變化而變化，故極限不存在。第16頁/共

9、70頁22( , )xyf x yxy例題2 設(shè)函數(shù)( , )(0,0)lim( , )0 x yf x y證明 （MATLAB作圖命令，從不同方向觀察圖形）作圖命令，從不同方向觀察圖形）ezsurf(x*y/sqrt(x2+y2),circ);view(1,1,1);shading flatezsurf(x*y/sqrt(x2+y2),circ);view(0,1,0);shading flat-10-50510-10-50510-505xx y/sqrt(x2+y2)yz-10-8-6-4-20246810-5-4-3-2-1012345xx y/sqrt(x2+y2)z-10-50510

10、-10010-505yxx y/sqrt(x2+y2)z第17頁/共70頁2222(0)(0)xyxy222cos sin( , )cos sinxyf x yxycos ,sinxy證明：證明：設(shè)其中( , )0( , )cos sin2f x yf x y于是0任給正數(shù)2取0則當(dāng)( , )02f x y時，有( , )(0,0)lim( , )0 x yf x y所以第18頁/共70頁322200lim,lim0 xxy kxkxf x yxxk下列說法正確嗎?( , )x yykx當(dāng)動點沿著任意一條直線(k為任意常數(shù))趨向于點（0,0）時,有答：不能.( , )f x y00lim,xx

11、yyfx y等于A,則存在.當(dāng)動點（x,y）沿著任意一條直線趨向于點(0，0)時,函數(shù)的極限存在且242,x yf x yxy例如第19頁/共70頁2444001lim,lim02xxy xxf x yxx( , )x y2yx但當(dāng)沿拋物線趨向于（0,0）時，有00lim,xxyyfx y故不存在。-10-50510-10-50510-0.500.5xx2 y/(x4+y2)yz第20頁/共70頁000(,)P xy( , )P x y000(,)P xy00(,)xy注注: 根據(jù)二重極限的定義根據(jù)二重極限的定義,在點在點的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi),動點動點趨向于趨向于的方式是任意的的方式是任意的. .

12、于是常常用動點取不同的于是常常用動點取不同的的方法來判定函數(shù)極限不存在的方法來判定函數(shù)極限不存在. .路徑趨向于路徑趨向于使其有不同極限使其有不同極限第21頁/共70頁2. 2. 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義 3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(000yxP的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，如果有定義，如果 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 則稱二元函數(shù)則稱二元函數(shù)),(yxfz 在點在點),(000yxP處連續(xù)如果處連續(xù)如果),(yxf在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點都連續(xù)內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱則稱),(yxf在區(qū)域在區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù) 若令若令yyyxxx

13、00,，則式，則式 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx, 可寫成可寫成0),(),(lim000000yxfyyxxfyx. 即即 0lim00zyx. 第22頁/共70頁這里這里z為函數(shù)為函數(shù)),(yxf在點在點),(00yx處的全增量，即處的全增量，即 ),(),(0000yxfyyxxfz. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點0P),(00yx處不連續(xù)， 則稱點處不連續(xù)， 則稱點0P),(00yx為函數(shù)為函數(shù)),(yxf的不連續(xù)點或間斷點的不連續(xù)點或間斷點 同一元函數(shù)一樣， 二元連續(xù)函數(shù)的和、 差、 積、 商同一元函數(shù)一樣， 二元連續(xù)函數(shù)的和、 差、 積、 商(分分母不

14、等于零母不等于零)及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù) 由此還可得“多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)” 由此還可得“多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)” 第23頁/共70頁22222200()()(0)(0)xxyyxyxy2222,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyxyx yf x yxyx y( , )f x y例題3 設(shè)試證明在原點處連續(xù)。222xy即可取當(dāng)證明：給定任意小正數(shù)第24頁/共70頁-10-50510-10-50510-20-1001020 xx y (x2-y2)/(x2+y2)yz2222( , )(0,0)( , )xyf x yff x yxyx

15、yxy時就有（MATLAB作圖命令)ezsurf(x*y*(x2-y2)/(x2+y2),circ);view(1,1,1);shading flat）( , )f x y，所以在原點連續(xù)。第25頁/共70頁函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點。如函數(shù)函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點。如函數(shù)22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y在點（在點（0，0）的極限不存在，所以該點是函數(shù)的）的極限不存在，所以該點是函數(shù)的一個間斷點。一個間斷點。二元函數(shù)的間斷點有可能還可以形成一條或幾條二元函數(shù)的間斷點有可能還可以形成一條或幾條曲線。曲線。第26頁/共70頁( , )f x

16、y( , )f x y若函數(shù)在區(qū)域D的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)一個無孔隙、無裂縫的曲面。在區(qū)域D上連續(xù)。二元連續(xù)函數(shù)的圖形是221zxy22( , )|1x yxy的圖形是球心在原點、半徑等于1的上半球面。例如連續(xù)函數(shù)第27頁/共70頁與閉區(qū)間上的一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)類似，在有與閉區(qū)間上的一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)：界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)：1()f P2()f P為最大值，為最大值，為最小值。為最小值。12()( )()f Pf Pf P（點（點P在在D上）上）性質(zhì)性質(zhì)1（最值定理）（最值定理） 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元上的多元函數(shù)，在該區(qū)

17、域上有界，且取得最大至于最小函數(shù)，在該區(qū)域上有界，且取得最大至于最小值。就是說，在值。就是說，在D上至少存在一點上至少存在一點P1及及P2，使，使得得第28頁/共70頁性質(zhì)性質(zhì)2（介值定理）（介值定理） 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的上的多元函數(shù)，若取得兩個不同的函數(shù)值，多元函數(shù)，若取得兩個不同的函數(shù)值，則它在該區(qū)域上取得介于這兩個值之間則它在該區(qū)域上取得介于這兩個值之間的任何值。特殊地，若的任何值。特殊地，若a是函數(shù)介于最小是函數(shù)介于最小值值m與最大值與最大值M之間的一個數(shù)，則在之間的一個數(shù)，則在D上上至少存在一點至少存在一點Q，使得，使得( )f Qa第29頁/共70頁注意：根據(jù)極限運算法

18、則，可以證明多元連續(xù)函數(shù)注意：根據(jù)極限運算法則，可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和差積均為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零處，連續(xù)函的和差積均為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商也是連續(xù)函數(shù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也數(shù)的商也是連續(xù)函數(shù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。有了二元連續(xù)函數(shù)的運算法則和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性有了二元連續(xù)函數(shù)的運算法則和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理以及已知的一元函數(shù)的連續(xù)性，就能判斷許多定理以及已知的一元函數(shù)的連續(xù)性，就能判斷許多常見的二元函數(shù)的連續(xù)性，并且注意把常見的二元函數(shù)的連續(xù)性，并且注意把( ), ( )xy看作是二元連續(xù)函數(shù)的特殊情況看作是二元連續(xù)函數(shù)的特殊情況。第30頁/

19、共70頁22( , )cos()x yf x yexyxy-1-0.500.51-1-0.500.51020406080100例題4 函數(shù)( , )f x y都是x，y的連續(xù)函數(shù)，從而是x，y的連續(xù)函數(shù)。x=-1:0.1:1;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);z=exp(X+Y)*sqrt(X.2+Y.2)+cos(X+Y);surf(X,Y,z)）（MATLAB作圖命令：在整個xoy平面上是連續(xù)的。因為x和y是x，y的連續(xù)函數(shù)，所以x2和y2，也是x，y的連續(xù)函數(shù)，于是x+y，x2+y2，22,cos()x yexyxy第31頁/共70頁-10-50510-10-50510-100

20、0-50005001000yx+y2 sin(x)/sin(x2+y2)xz222sin( , )sin()xyxf x yxy22sin()0 xy22()xynnZ同樣可以判斷函數(shù)同樣可以判斷函數(shù)當(dāng)當(dāng)（即）時連續(xù)時連續(xù)（MATLAB作圖命令：ezsurf(x+y2*sin(x)/sin(x2+y2),circ); shading flat ）第32頁/共70頁00lim( )()PPf Pf P22( , )(0,0)lim4()4(00)2x yxy( , )(1, 1)lim (arcsinarccos )arcsin1arccos( 1)022x yxx根據(jù)多元函數(shù)的連續(xù)性，若點根據(jù)

21、多元函數(shù)的連續(xù)性，若點P0在此函數(shù)的在此函數(shù)的定義域內(nèi)，則函數(shù)在點定義域內(nèi)，則函數(shù)在點P0的極限值就是函數(shù)在的極限值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值，即該點的函數(shù)值，即例如例如第33頁/共70頁下列問題是否正確？下列問題是否正確？00(,)xy答：不正確.因為二元函數(shù)的連續(xù)性定義是建立在二重極限的基礎(chǔ)之上的,因此,當(dāng)一個變量固定時，二元函數(shù)對另一個變量連續(xù)相當(dāng)于一種特定方式（即點(x,y)沿平行于坐標(biāo)軸的方式趨于點 時）的極限存在,并不能保證( , )x y00(,)xy00(,)f xy以任何方式趨向于的極限存在且等于( , )f x y就是說不能保證的連續(xù)性. 0(, )f xy0y0( ,)f x

22、 y0 x( , )f x y00(,)xy在處連續(xù),在處連續(xù),那末,二元函數(shù)在點如果一元函數(shù)處是連續(xù)的.第34頁/共70頁2222222( , )(0,)( , )(0,)0lim( , )limlim1x ykxx ykxxxykxkf x yxyxk xk22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y例如函數(shù)(0, )0fy 一元函數(shù)在y=0連續(xù),( ,0)0f x在x=0連續(xù),它的值隨著k的變化而變化，所以極限不存在,從而不連續(xù).ykx趨向于點(0,0)時, 有事實上, 當(dāng)動點(x,y)沿著任意一條直線( , )f x y在(0,0)處不連續(xù)

23、.但第35頁/共70頁思思考考題題 1. 將二元函數(shù)與一元函數(shù)的極限、連續(xù)概念相比將二元函數(shù)與一元函數(shù)的極限、連續(xù)概念相比較，說明二者之間的區(qū)別較，說明二者之間的區(qū)別 2. 若二元函數(shù)若二元函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)分別對內(nèi)分別對yx,都連續(xù)，試問都連續(xù)，試問),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域 D上是否必定連續(xù)上是否必定連續(xù)? 第36頁/共70頁( , )vf u vu(,)f xy xy11(13),(13)22xy2arctan()arctan()xyzxy習(xí)題1、求時函數(shù)的值。，試求2、已知函數(shù)( , )lnlnF x yxy(,)( , )( , )( , )( , )F xy

24、uvF x uF x vF y uF y v3、試證明滿足如下關(guān)系式：第37頁/共70頁4、求下列函數(shù)的定義域：求下列函數(shù)的定義域：2ln(48)zyx（1）zxy（2）2224ln(1)xyzxy（3）22sin()zxy（4）第38頁/共70頁5、求下列各極限：（1）( , )(0,0)lim1 1x yxyxy （作圖命令（作圖命令ezsurf(xezsurf(x* *y/(sqrty/(sqrt(x(x* *y+1)-1),circ);y+1)-1),circ);shading flatshading flat）-10-8-6-4-20246810-100101234567x y/(s

25、qrt(x y+1)-1)xyz-10-50510-10-50510246yx y/(sqrt(x y+1)-1)xz第39頁/共70頁( , )(0, )sin()limx yaxyx（2）22( , )(1,0)ln()limyx yxexy（3）222222( , )(0,0)1 cos()lim()x yxyxyx y（4）第40頁/共70頁一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與最值要求：要求：1、了解多元函數(shù)極值和最值概念，掌握二元函數(shù)取得、了解多元函數(shù)極值和最值概念，掌握二元函數(shù)取得極值的充分條件和必要條件，掌握

26、求函數(shù)極值的一般步驟極值的充分條件和必要條件，掌握求函數(shù)極值的一般步驟2、理解掌握求條件極值的方法、理解掌握求條件極值的方法拉格朗日乘數(shù)法及其解題步驟拉格朗日乘數(shù)法及其解題步驟3、能解簡單的條件極值應(yīng)用題、能解簡單的條件極值應(yīng)用題重點：重點：1、二元函數(shù)取得極值的條件，判斷二元函數(shù)極值的方、二元函數(shù)取得極值的條件，判斷二元函數(shù)極值的方法法2、拉格朗日乘數(shù)法、拉格朗日乘數(shù)法第41頁/共70頁 一、多元函數(shù)的極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 . .使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 . .1二元函數(shù)極值的定義 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的

27、點若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極大值；若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極小值；),(yxfz ),(00yx),(00yx),(yx),(),(00yxfyxf),(00yx),(),(00yxfyxf),(00yx第42頁/共70頁(1(1) )(2(2) )(3(3) )例例1 1 函數(shù)函數(shù)2243yxz處有極小值處有極小值在在)0 , 0(例例函數(shù)函數(shù)處有極大值處有極大值在在)0 , 0(22yxz處有極大值處有極大值在在)0 , 0(例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 如圖1如圖2如圖3第43頁/共70頁2 2多元函數(shù)取得極值的條件定理 1 1（二元函數(shù)取得極值的必要條件）設(shè)

28、函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：，. .),(yxfz ),(00yx),(00yx0),(00yxfx0),(00yxfy證),(00yx不妨設(shè)不妨設(shè)在點在點處有極大值處有極大值,則對于則對于的某鄰域內(nèi)任意的某鄰域內(nèi)任意都有都有,),(yxfz ),(00yx),(),(00yxyx),(),(00yxfyxf第44頁/共70頁故當(dāng)故當(dāng)時，時， 有有00,xxyy),(),(000yxfyxf說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)在在處有極大值，處有極大值，),(0yxf0 xx 必有必有;0),(00yxfx類似地可證類似地可證.0),(00yxfy推廣推廣 如果三元函數(shù)

29、如果三元函數(shù)在點在點具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在有極值的必要條有極值的必要條件為件為),(zyxfu ),(000zyxP),(000zyxP ，.;0),(000zyxfx0),(000zyxfy0),(000zyxfz第45頁/共70頁 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點零的點，均稱為函數(shù)的駐點. .問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？ 駐點駐點極值點極值點注意注意：定理定理 2 2（二元函數(shù)取得極值的充分條件）（二元函數(shù)取得極值的充分條件） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰

30、域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ),(yxfz ),(00yx.例如例如 點點是函數(shù)是函數(shù)的駐點，的駐點， 但不是極值點但不是極值點xyz )0,0(第46頁/共70頁又又 ，0),(00yxfx0),(00yxfyAyxfxx),(00Byxfxy),(00 令令，Cyxfyy),(00則則在點在點處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：),(yxf),(00yx（1 1）時具有極值，時具有極值，02 BAC當(dāng)當(dāng)時有極大值，時有極大值， 當(dāng)當(dāng)時有極小值；時有極小值；0A0A（3 3）時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作

31、討論還需另作討論02 BAC（2 2）時沒有極值；時沒有極值；02 BAC第47頁/共70頁求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第一步第一步 解方程組解方程組 , 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點 .第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值 .第48頁/共70頁例例4 4求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值333yxxyz解解033),(033),(22yyyxfxyyxfyx求得駐點求得駐點)0

32、, 0() 1 , 1 (，在點處在點處)0 , 0(06)0 , 0()0,0(xfAxx3)0 , 0(xyfB06)0 , 0()0,0(yfAyy第49頁/共70頁092ACB所以，在處函數(shù)沒有極值所以，在處函數(shù)沒有極值)0 , 0(在點處在點處) 1 , 1 (66) 1 , 1 ()1 , 1(xfAxx3) 1 , 1 (xyfB66) 1 , 1 ()1 , 1(yfAyy0272ACB又又06 A所以，在處函數(shù)有極大值且所以，在處函數(shù)有極大值且) 1 , 1 (1) 1 , 1 (f第50頁/共70頁求最值的一般方法： 1 1）將函數(shù)在）將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值內(nèi)

33、的所有駐點處的函數(shù)值 2 2）求）求D D的邊界上的最大值和最小值的邊界上的最大值和最小值 3 3）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值. .3 多元函數(shù)的最值第51頁/共70頁解解先求函數(shù)在先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點，內(nèi)的駐點，xyo6 yxDD如圖如圖,例例 5 5 求二元函數(shù)求二元函數(shù) 在直線在直線， 軸和軸和 軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域上的最大值與最小值上的最大值與最

34、小值.)4(),(2yxyxyxfz6 yxxyD第52頁/共70頁解方程組解方程組0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx再求再求在在邊界上的最值，邊界上的最值，D),(yxf得區(qū)域得區(qū)域內(nèi)唯一駐點內(nèi)唯一駐點,且且D4) 1 , 2(f) 1 , 2( 在邊界在邊界和和上上,0 x0y0),(yxf第53頁/共70頁xyo6 yxD在邊界在邊界上上，即，即6 yxxy 6于是于是,)6)(2(),(2xxyxfz由由 , 02)6(42xxxfx得得4, 021xx264xxy64)2 , 4(f 比較后可知比較后可知為最大值為最大值,為最小值為最小值.4)

35、 1 , 2(f64)2 , 4(f第54頁/共70頁, 0) 1()(2) 1(22222yxyxyyxzy, 0) 1()(2) 1(22222yxyxxyxzx解解 由由例例 6 6 求求的最大值和最小值的最大值和最小值.122yxyxz得駐點得駐點和和,)21,21()21,21(第55頁/共70頁即邊界上的值為零即邊界上的值為零.,21)21,21(z,21)21,21(z無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件，并無其他條件. .因為因為01lim22yxyxyx所以最大值為所以最大值為，最小值為最小值為2121第56頁/共70頁例例7 某

36、廠要用鐵板做成一個體積為某廠要用鐵板做成一個體積為2的有蓋長的有蓋長方體水箱，問長寬高各取怎樣的尺寸時，才方體水箱，問長寬高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省？能使用料最??？此水箱的用料面積此水箱的用料面積0)y0,(x )22(2)22(2yxxyxyxxyyxyA解解：設(shè)水箱的長為：設(shè)水箱的長為x,x,寬為寬為y,y,則其高為則其高為xy2第57頁/共70頁332,2 yx332,2 yx時，時，A A取得最小值，取得最小值，根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域定存在，并在開區(qū)域D(x0,y0)D(x0,y0)內(nèi)取得。又函數(shù)內(nèi)

37、取得。又函數(shù)在在D D內(nèi)只有唯一的駐點，因此可斷定當(dāng)內(nèi)只有唯一的駐點，因此可斷定當(dāng)就是說，當(dāng)水箱的長、寬、高均為就是說，當(dāng)水箱的長、寬、高均為3332,2,2時，時，水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。0)2(20)2(222yxAxyAyx第58頁/共70頁實例：實例： 小王有小王有200200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為，效果函數(shù)為 設(shè)每張磁盤設(shè)每張磁盤8 8元，每盒磁帶元，每盒磁帶1010元，問他如何元，問他如

38、何分配這分配這200200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),(問題的實質(zhì)：求問題的實質(zhì)：求 在條件在條件 下的極值點下的極值點yxyxUlnln),(200108yx二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法第59頁/共70頁拉格朗日乘數(shù)法 條件極值：對自變量有附加條件的極值對自變量有附加條件的極值無條件極值：對自變量除有定義域限制外，對自變量除有定義域限制外，無任何其它條件限制的極值無任何其它條件限制的極值要找函數(shù)要找函數(shù)在條件在條件下的下的可能極值點，可能極值點，),(yxfz 0),(yx 其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyx

39、fyxF 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出，其中其中就是可能的極值點的坐標(biāo)就是可能的極值點的坐標(biāo). , yxyx,第60頁/共70頁拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)在條件在條件 ，下的極值，下的極值，),(tzyxfu 0),(tzyx 0),(tzyx 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF 其中其中均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出，即得極值點的坐標(biāo)，即得極值點的坐標(biāo).tzyx,21, 第61頁/共70頁例例 8 8 將正數(shù)將正數(shù)12 分成三個正數(shù)分成三個正數(shù)zyx,之和之和