高考專題復(fù)習(xí)第一節(jié)　數(shù)列的概念

1、第六章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念學(xué)習(xí)要求-公眾號：新課標(biāo)試卷:1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).1.數(shù)列的概念概念含義數(shù)列按照 確定的順序 排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與 序號n 之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn= a1+a2+an 2.數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù) 有限 無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù) 無限 按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類

2、遞增數(shù)列an+1 > an其中nN*遞減數(shù)列an+1 < an常數(shù)列an+1=an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M,使對于任意的nN*,都有|an|M擺動數(shù)列從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種常用表示法,它們分別是 列表法 、圖象法和通項(xiàng)公式法. 知識拓展在數(shù)列an中,若an最大,則anan-1,anan+1(n2,nN*);若an最小,則anan-1,anan+1(n2,nN*).1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”). (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.()(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).()

3、(3)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).()(4)1,1,1,1,不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.()(5)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則nN*,都有an+1=Sn+1-Sn.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版選擇性必修第二冊P6例5改編)在數(shù)列an中,a1=1,an=1+(-1)nan-1(n2),則a5等于()A.32B.53C.85D.23答案D3.(新教材人教A版選擇性必修第二冊P5例2改編)數(shù)列0,1,0,-1,0,1,0,-1,的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=()A.(-1)n+12B.cosn2C.cosn+12 D.cosn+22答案D4.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為

4、an=1n2+1,nN*,則數(shù)列an中的最大項(xiàng)是. 答案125.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=. 答案2,n=16n-5,n2(nN*)由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an典例1(1)(2020北京十五中期中)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n+1,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為. (2)(2020大連高三4月模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+an=-2,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=. (3)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,2Sn=an+1+1,則Sn=. 答案(1)an=4,n=12·3n-1,

5、n2(2)-12n-1(3)12(3n-1+1)解析(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=31+1=4;當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n+1-(3n-1+1)=2·3n-1,由于當(dāng)n=1時(shí),a1=4不滿足上式,故an=4,n=1,2·3n-1,n2.(2)當(dāng)n=1時(shí),S1+a1=2a1=-2,解得a1=-1;由Sn+an=-2,可知當(dāng)n2時(shí),Sn-1+an-1=-2,兩式相減,得2an-an-1=0,即an=12an-1(n2).所以數(shù)列an是首項(xiàng)為-1,公比為12的等比數(shù)列,所以an=-12n-1.(3)a1=1,S1=a1=1,2Sn=an+1+1=Sn+1-Sn+1,Sn

6、+1=3Sn-1,即Sn+1-12=3Sn32=3Sn-12,又S1-12=12,數(shù)列Sn-12是首項(xiàng)為12,公比為3的等比數(shù)列,Sn-12=12·3n-1,Sn=12·3n1+12=12(3n-1+1).名師點(diǎn)評數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.若a1適合Sn-Sn-1,則n=1的情況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)an;若a1不適合Sn-Sn-1,則用分段函數(shù)的形式表示.提醒在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式時(shí),往往容易忽略先求出a1,而直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成an=Sn-Sn-1的形式,但它只適用于n2的情形.1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=

7、2n2-3n,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=. 答案4n-5解析a1=S1=2-3=-1,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,因?yàn)閍1也適合上式,所以an=4n-5.2.(2020廣東湛江高三一模)已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且Sn+2an=2(nN*),則an=. 答案23n解析Sn+2an=2(nN*),a1=23,Sn-1+2an-1=2(n2).Sn-Sn-1+2an-2an-1=0(n2).3an=2an-1(n2).anan-1=23(n2).數(shù)列an是以23為首項(xiàng),23為公比的等比數(shù)列,an=23×

8、23n-1=23n.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)典例2(1)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,則an=() A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n(2)若數(shù)列an滿足a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),則an=. (3)若數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+3,則an=. (4)若數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2anan+2,則an=. 答案(1)A(2)2n+1(3)2n+1-3(4)2n+1解析(1)因?yàn)閍n+1-an=lnn+1n=ln(n+1)-ln n,所以a2-a1=ln 2-ln

9、 1,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n2).把以上各式分別相加得an-a1=ln n-ln 1,則an=2+ln n(n2),因?yàn)閍1=2滿足此式,所以an=2+ln n(nN*).(2)由nan-1=(n+1)an(n2),得anan-1=nn+1(n2).所以an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3··a3a2·a2a1·a1=nn+1×n-1n×n-2n-1××34×23×1=2n

10、+1,又a1=1滿足上式,所以an=2n+1.(3)由an+1=2an+3,得an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,則b1=a1+3=4,且bn+1bn=an+1+3an+3=2.所以bn是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.所以bn=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.(4)因?yàn)閍n+1=2anan+2,a1=1,所以an0,所以1an+1=1an+12,即1an+11an=12.又a1=1,則1a1=1,所以1an是以1為首項(xiàng),12為公差的等差數(shù)列.所以1an=1+(n-1)×12=n2+12=n+12.所以an=2n+1.名師點(diǎn)評由數(shù)列的遞推關(guān)系求通

11、項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1,且an-an-1=f(n)(n2),可用“累加法”求an.(2)已知a1(a10),且anan-1=f(n)(n2),可用“累乘法”求an.(3)已知a1,且an+1=qan+b(q0且q1),則an+1+k=q(an+k)(其中k可用待定系數(shù)法確定),可轉(zhuǎn)化為an+k為等比數(shù)列.(4)形如an+1=AanBan+C(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列,可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,則an=. 答案2n-1+n解析an+1=an+2n-1+1,an+1-an=2n-1+1,a

12、n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2n-2+2n-3+2+1+a1+n-1=1-2n-11-2+2+n-1=2n-1+n.2.若數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2nan,則an=. 答案2n(n-1)2解析由an+1=2nan,得anan-1=2n-1(n2),所以an=anan-1·an-1an-2··a2a1·a1=2n-1×2n-2××2×1=21+2+3+(n-1)=2n(n-1)2.又a1=1適合上式,故an=2n(n-1)2.數(shù)列的性質(zhì)角度一

13、數(shù)列的單調(diào)性典例3(1)已知an是遞增數(shù)列,且對于任意的nN*,有an=n2+n恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是. (2)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1,n4,-n2+(a-1)n,n5(nN*),若a5是an中的唯一最大項(xiàng),則a的取值范圍是. 答案(1)(-3,+)(2)(9,12)解析(1)由題意可知,an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+1+.an是遞增數(shù)列,an+1-an>0,且當(dāng)n=1時(shí),an+1-an最小,an+1-ana2-a1=3+>0,>-3.(2)當(dāng)n4時(shí),an為遞增數(shù)列,n=4時(shí)取得最大值,a4=24-1=15;當(dāng)n

14、5時(shí),an=-n2+(a-1)n=-n-a-122+(a-1)24.因?yàn)閍5是an中的唯一最大項(xiàng),所以a-12<5.5,-25+5(a-1)>15,解得9<a<12.所以a的取值范圍是(9,12).角度二數(shù)列的周期性典例4若數(shù)列an滿足a1=2,an+1=1+an1-an,則a2 022的值為() A.2B.-3C.-12D.13答案B因?yàn)閍1=2,an+1=1+an1-an,所以a2=1+a11-a1=-3,同理可得a3=-12,a4=13,a5=2,可得an+4=an,則a2 022=a505×4+2=a2=-3.名師點(diǎn)評1.數(shù)列單調(diào)性的判斷方法及應(yīng)用思路

15、(1)判斷數(shù)列的單調(diào)性通常是通過比較數(shù)列an中任意相鄰兩項(xiàng)an+1和an的大小來判斷,常用方法是作差法和作商法,也可利用與數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷.(2)利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍時(shí)常利用以下等價(jià)關(guān)系:數(shù)列an遞增an+1>an(nN*);數(shù)列an遞減an+1<an(nN*).由此可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,進(jìn)而通過分離變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值問題來解決;或由數(shù)列的函數(shù)特征,通過構(gòu)建變量的不等關(guān)系,解不等式(組)來確定變量的取值范圍.2.解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng),確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.1.已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1=an-1a

16、n+1,且數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 016=. 答案-5882.已知數(shù)列an中,an=1+1a+2(n-1)(nN*,aR且a0).(1)若a=-7,求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;(2)若對任意的nN*,ana6恒成立,求a的取值范圍.解析(1)若a=-7,則an=1+1a+2(n-1)=1+12n-9(nN*).結(jié)合函數(shù)f(x)=1+12x-9的單調(diào)性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>>an>1(nN*).所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a5,a5=1+12×5-9=2,最小項(xiàng)為a4,a4=1+1

17、2×4-9=0.(2)an=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,已知對任意的nN*,ana6恒成立,結(jié)合函數(shù)f(x)=1+12x-2-a2的單調(diào)性,可知5<2-a2<6,解得-10<a<-8,故a的取值范圍是(-10,-8).邏輯推理由遞推關(guān)系求通項(xiàng)(1)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+2(nN*),則an=. (2)在數(shù)列an中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n2),則an=. 答案(1)2·3n-1-1(2)2n-1(nN*)解析(1)設(shè)an+1+x=3(an+x),可得an+1=3a

18、n+2x,2x=2,得x=1,an+1+1=3(an+1),則an+1+1an+1=3,又a1+1=2,數(shù)列an+1是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,an+1=2·3n-1,因此,an=2·3n-1-1.(2)an+1=3an-2an-1(n2),an+1-an=2(an-an-1),即an+1-anan-an-1=2,a1=1,a2=2,a2-a1=1,數(shù)列an+1-an是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,an+1-an=2n-1,由累加法可得,an-a1=an-1=1+2+22+2n-2=1×(1-2n-1)1-2=2n-1-1,an=2n-1(nN*).利用數(shù)列

19、的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式一般以遞推公式為核心,以構(gòu)造推理為手段,以特殊數(shù)列為目的,考查學(xué)生思維的敏銳性,充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象.1.已知數(shù)列an中,a1=1,an+1=3an+3n,則an=. 答案n·3n-1解析an+1=3an+3n,an+13n+1an3n=13,數(shù)列an3n是首項(xiàng)為a13=13,公差為13的等差數(shù)列,an3n=13+(n-1)×13=n3,an=n·3n-1.2.設(shè)數(shù)列an滿足nan+1-(n+1)an=nn+2(nN*),a1=12,則an=. 答案n2n+1解析nan+1-(n+1)an=nn+2

20、(nN*),an+1n+1ann=1(n+2)(n+1)=1n+11n+2,annan-1n-1=1n1n+1(n2),a22a11=1213,累加可得anna1=121n+1,a1=12,ann=11n+1=nn+1,an=n2n+1(n2).當(dāng)n=1時(shí),a1=12滿足上式,an=n2n+1(nN*).A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知數(shù)列1,2,7,10,13,則219在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A.16B.24C.26D.28答案C2.已知數(shù)列an滿足對任意m,nN*,都有an·am=an+m,且a1=12,那么a5=()A.132B.116C.14D.12答案A3.將石子擺成如圖所示的梯形,稱

21、數(shù)列5,9,14,20,為梯形數(shù),根據(jù)圖形的構(gòu)成,此數(shù)列的第2 020項(xiàng)與5的差,即a2 020-5=()A.2 026×2 018B.2 026×2 019C.1 013×2 018D.1 013×2 019答案D4.(2019江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考)在數(shù)列an中,a1=-14,an=1-1an-1(n2,nN+),則a2 019的值為()A.-14B.5C.45D.54答案C5.(2020黃岡中學(xué)模擬)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2an-1(nN+),則a5=()A.8B.16C.32D.64答案B數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2an-1(nN+),則Sn-1

22、=2an-1-1(n2),兩式相減得到an=2an-1(n2),由此可得,數(shù)列an是等比數(shù)列,又S1=2a1-1=a1,所以a1=1,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1,令n=5,得a5=16.6.在數(shù)列-1,0,19,18,n-2n2,中,0.08是它的第項(xiàng). 答案107.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(nN*),則an=. 答案1,n=13·4n-2,n2解析an+1=3Sn(nN*),n=1時(shí),a2=3,n2時(shí),an=3Sn-1,an+1-an=3an,得an+1=4an,數(shù)列an從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列,當(dāng)n2時(shí),an=3·

23、4n-2,故an=1,n=1,3·4n-2,n2.8.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(n+1)·1011n(nN*),則此數(shù)列取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)是. 答案9或10解析因?yàn)閍n+1-an=(n+2)1011n+1-(n+1)1011n=1011n×9-n11,當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1<an,所以該數(shù)列中有最大值,且取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)為9或10.9.已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且滿足Sn=12an2+12

24、an(nN*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解析(1)由Sn=12an2+12an(nN*),可得a1=12a12+12a1,解得a1=0(舍去)或a1=1,又S2=a1+a2=12a22+12a2,所以a2=-1(舍去)或 a2=2,同理得,a3=3,a4=4.(2)Sn=12an2+12an,當(dāng)n2時(shí),Sn-1=12an-12+12an-1,-得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.因?yàn)閍n+an-10,所以an-an-1=1,又由(1)知a1=1,故數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,故an=n.B組能力拔高10.(多選題)(2020江蘇淮

25、陰中學(xué)高三期末)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,數(shù)列2nanan+1的前n項(xiàng)和為Tn,nN*,則下列選項(xiàng)正確的為()A.數(shù)列an+1是等差數(shù)列B.數(shù)列an+1是等比數(shù)列C.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1D.Tn<1答案BCDSn+1=Sn+2an+1,an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1),又S1=a1=1,數(shù)列an+1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,則an+1=2n,即an=2n-1,2nanan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-112n+1-1,Tn=1-122-1+122-1123-1+12n-112n+1-1=11

26、2n+1-1<1,故A錯誤,B,C,D正確.11.(多選題)(2020山東聊城高三期末)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an2+3an(nN*),則下列結(jié)論正確的是()A.1an+3為等比數(shù)列B.an的通項(xiàng)公式為an=12n+1-3C.an為遞增數(shù)列D.1an的前n項(xiàng)和Tn=2n+2-3n-4答案ABD因?yàn)?an+1=2+3anan=2an+3,所以1an+1+3=21an+3,又1a1+3=40,所以1an+3是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故A中結(jié)論正確.1an+3=4×2n-1,即an=12n+1-3.故B中結(jié)論正確.易知an為遞減數(shù)列,故C中結(jié)論錯誤.1an=2n+1-3,則1an的前n項(xiàng)和Tn=(22-3)+(23-3)+(2n+1-3)=2(21+22+2n)-3n=2×2×(1-2n)1-2-3n=2n+2-3n-4.故D中結(jié)論正確.12.已知數(shù)列an滿足a1=1,an-an+1=nanan+1(nN*),則an=. 答案2n2-n+2解析因?yàn)閍n-an+1=nanan+1,所以an-an+1anan+1=1an+11an=n,則1an=1an-1an-1+1an-1-1an