第五節(jié)隱函數求導PPT學習教案

1、會計學1第五節(jié)隱函數求導第五節(jié)隱函數求導1) 方程在什么條件下才能確定隱函數 .例如, 方程02Cyx當 C 0 時, 不能確定隱函數;2) 在方程能確定隱函數時,研究其連續(xù)性、可微性 及求導方法問題 .第1頁/共47頁 在一元函數微分學中我們已經提出了隱函0),( yxF求出它所確定的隱函數的導數的方法。然而有一問題沒有解決：在什么條件下該方程)(xyy 并且函數 是可導的？)(xyy 數的概念，并且通過舉例的方法指出了不經過顯化直接由方程可以唯一確定函數第2頁/共47頁0),( yxF所確定的 y 是 x 的隱函數 y = f (x) , 如何求 xdyd例如：0 xexyy兩邊對 x 求

2、導01)(xdexdxdydy,01)(xdydexexdydyyyyexexdyd 11由方程一、一個方程所確定的隱函數及其導數第3頁/共47頁問題：(1) 沒有統(tǒng)一的公式;(2) 沒有回答隱函數是否一定存在. 隱函數的微分法可以看成復合函數微分法的一個應用.在一元函數中，我們已經用復合函數求導法，求出方程F(x,y)=0所確定的隱函數y=f(x)的導數. 現在從另一個角度，即根據多元復合函數的求導法來導出隱函數的求導公式.第4頁/共47頁定理1. 設函數),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點連續(xù)函數 y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)y

3、xFFxydd(隱函數求導公式) 具有連續(xù)的偏導數;的某鄰域內可唯一確定一個在點的某一鄰域內滿足0),(00yxFy滿足條件導數三個條件、三個結論定理證明從略，僅就求導公式推導如下：第5頁/共47頁0)(,(xfxF兩邊對 x 求導0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數為方程設yxFxfy在),(00yx的某鄰域內則問題：如何給出 的計算公式？22xdyd第6頁/共47頁若F( x , y ) 的二階偏導數也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF)(y

4、xFFxxyxxydd則還有第7頁/共47頁01sinyxeyx在點(0,0)某鄰域可確定一連續(xù)導數的隱函數, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導的隱函數 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內方程存在一個可且并求第8頁/共47頁0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx,

5、1sin),(yxeyyxFx, yeFxxxyFy cos第9頁/共47頁0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對 x 求導1兩邊再對 x 求導yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex 利用隱函數求導第10頁/共47頁例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求求 dxdy. 解令則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx xyyxarctan)ln(2122第11頁/

6、共47頁若函數 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內具有連續(xù)偏導數 ,則方程0),(zyxF在點),(00yx并有連續(xù)偏導數, ),(000yxfz 定一個連續(xù)函數 z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點滿足:某一鄰域內可唯一確第12頁/共47頁0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導xFzxFFxzzyFFyz同理可得( , )( , , )0,zf x yF x y z設是方程所確定的隱函數則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內在第13頁/共47頁,04222

7、zzyx解法1 利用隱函數求導0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導第14頁/共47頁設zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz例3. 設,04222zzyx.22xz求第15頁/共47頁設函數 由方程 確定。),(yxzz yezzx232 yzxz3求 。例4解法一(利用隱函數求導法則)設02),(32zyezyxFzxzxexF322 2 yF1332 zxe

8、zF則有zFxFxzzxzxee3232312于是zFyFyzzxe32312從而有yzxz3zxzxee32323123zxe323122第16頁/共47頁法二(利用全微分公式)2(32yddedzzxdyzxdezx2)32(32dydzdxezx2)32(32有 dydxedzezxzx22)31 (3232yezzx232 dyedxeedzzxzxzx323232312312從而有zxzxeexz3232312zxeyz32312于是yzxz32第17頁/共47頁法三(利用復合函數求偏導數法)把z看成x,y的函數，兩邊同時對x,y求導，有yezzx232 )32(32xzexzzx

9、2)3(32 yzeyzzx從而有zxzxeexz3232312 zxeyz32312 yzxz 3于是zxzxee32323123 zxe32312 2第18頁/共47頁zx xz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf例例 5 5 設設),(xyzzyxfz ，求求 xz，zx，yx. 法一思路：把把z看成看成yx,的隱函數對的隱函數對x求偏導數得求偏導數得 xz ， 把把x看成看成yz,的隱函數對的隱函數對y求偏導數得求偏導數得 yx ， 第

10、19頁/共47頁法二利用全微分形式不變性同時求出各偏導數.令, zyxu ,xyzv 則),(vufz （1）解出 d z 得dzdxxyffyzffvuvu 1兩邊微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dyxyffzfxfvuvu 1xz ,1vuvuxyffyzff 所以yz ,1vuvuxyffxzff 例例 5 5 設設),(xyzzyxfz ，求求 xz，zx，yx. 第20頁/共47頁（2）解出 d x 得dxdyfzyffzxfvuvu dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dzfyzfyfxf

11、vuvu 1yx ,vuvufzyffzxf -所以zx ,1vuvufyzffxyf （3）解出 d y 得dydxfzxffzyfvuvu dzfzxfyfxfvuvu 1所以xy ,vuvufzxffzyf -zy ,1vuvufxzffxyf 第21頁/共47頁zx xz21fzyf211fyxf211fyxf21fzyfyx 21fzxf21fzyf例例 5 5 設設),(xyzzyxfz ，求求 xz，zx，yx. 法三：利用隱函數求導法則xyzvzyxuzvufzyxF,),().(設則有21yzffFx21xzffFy121xyffFz于是第22頁/共47頁例6 已知0coss

12、in020022zyxyxxttdttdtttde確定 z = z ( x , y ) ，yzxz,求解：令zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(22xF2)(4xxxe)(sinxyxyxyx2)()(cosxzyxzyx42xexxyxsin2)(coszyxzyyF0)(sinyyxyxyx2)()(cosyzyxzyxyyxsin2)(coszyxzxzF00 2)()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx 第23頁/共47頁 xzzxFF 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyFF 2)(coszyxyx

13、yyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin2)(coszyxzyyyxsin2)(coszyxzx2)(coszyxyxxFyFzF第24頁/共47頁zxFFxz xz設F( x , y)具有連續(xù)偏導數, 0),(zyzxF.dz求解法1 利用偏導數公式.是由方程設),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數,)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程故第25頁/共47頁對方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz

14、)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0第26頁/共47頁隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導數組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比( Jacobi )行列式(函數行列式).以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例 ,即問題：如何求偏導數?,yvxvyuxu 第27頁/共47頁德國數學家. 他在數學方面最主要的成就是和挪威數學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數論的基礎.

15、他對行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進了“雅可比行列式”, 并應用在微積分中.他的工作還包括代數學, 變分法, 復變函數和微分方程, 在分析力學, 動力學及數學物理方面也有貢獻 . 他在柯尼斯堡大學任教18年, 形成了以他為首的學派.第28頁/共47頁222111cybxacybxa解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 第29頁/共47頁,0),(0000vuyxF的某一鄰域內具有連續(xù)偏設函數),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點的單值連續(xù)函數)

16、,(, ),(yxvvyxuu且有偏導數公式 : 在點的某一鄰域內可唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG導數；, ),(000yxuu ),(000yxvv 第30頁/共47頁),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理證明略.僅推導偏導數公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF第31頁/共47頁0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線

17、性方程組這是關于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數組則兩邊對 x 求導得,),(),(yxvvyxuu,0vuvuGGFFJ在點P 的某鄰域內xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系數行列式第32頁/共47頁同樣可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv說明：定理的敘述及計算公式都比較麻煩，實際計算中一般不套公式，而用推導公式的方法。xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0第33頁/共47頁, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩

18、邊對 x 求導，并移項得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案:由題設故有第34頁/共47頁 vueyvuexuucossin例2：設 xd解：將方程兩邊取微分得求.,yvxvyuxu )sin()(vudedu udeu )cossin(vdvuvdu ydudeu)sincos(vdvuvdu 整理得xdvdvuduveu cos)sin(ydvdvuduveu sin)cos( ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuyd

19、evxdevdvuuu 解得第35頁/共47頁 vueyvuexuucossin例3：設解：將方程兩邊取微分得求.,yvxvyuxu ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu ,)cos(sinsin1 vvevxuu,)cos(sincos1 vvevyuu,)cos(sin)(cos1 vveuevxvuu)cos(sin)(sin1 vveuevyvuu第36頁/共47頁在點(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數組),(),(vuyyvuxx( x,

20、 y) 的某一鄰域內. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對 x , y 的偏導數.在與點 (u, v) 對應的點鄰域內有連續(xù)的偏導數,且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的反函數第37頁/共47頁),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對 x 求導, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結論 1) 成立.2) 求反函數的偏導數. 第38頁/共47頁, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導, 可得,1vxJyuuxJyv1第39頁/共47頁xuxvsin,cosryrx的反變換的導數 .),(),(ryxJxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr第40頁/共47頁1. 隱函數( 組) 存在定理2. 隱函數 ( 組) 求導方法方法1. 利用復合函數求導法則直接計算 ;方法2.