例談學習中學數(shù)學中的有限與無限

1、例談學習中學數(shù)學中的“有限”與“無限”湖州二中陸麗濱日常生活中，我們常常和有限、無限打交道：天空有邊嗎？星星有多少？兩面鏡子對照，鏡子中有鏡子，一共有多少面？文學作品中，如王之渙的“欲窮千里目，更上一層樓”；李白的“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”；中國古代的“一尺之植，日取其半，萬世不竭”等等，都是一種有限與無限的結合.在數(shù)學教育界也有兩個尷尬的故事：一件是有一天參考消息譯載美報刊上的“新聞”說：“美一位中學生找到了圓周率n的末位小數(shù)”，冗是無理數(shù)，怎么有末位小數(shù)呢？這是個常識性錯誤，卻經編輯與千百個人之手被廣泛傳播.另一件是關于0%=1對嗎？其中絕大多數(shù)師生認為“這是近似等式”，雖然最后結

2、論是精確等式，卻仍有千千萬萬的人“不服”.又是一個涉及無限觀的常識性問題.在今天的中學數(shù)學中，也有很多關于有限和無限的數(shù)學知識.美籍德國數(shù)學家魏爾說：“數(shù)學是關于無限的科學.”其中有限的方面叫人感覺具體、形象，便于教師教與學生學；而無限的方面使學生充滿想象，讓人對數(shù)學更多一份理性的思考.有限建立在無限基礎之上，無限是有限的延伸.魏爾又指出：無限在數(shù)學中占有十分重要的地位，甚至可以說它是整個數(shù)學的基礎.在新課標教學中，筆者發(fā)現(xiàn)從必修1集合中的元素個數(shù)比較到必修3新增內容古典概型、幾何概型等等，無不體現(xiàn)中學數(shù)學的“有限”與“無限”.下文淺談一些中學數(shù)學中的“有限”與“無限”.一、比較兩個集合的元素

3、個數(shù)人民教育出版社高中數(shù)學A版必修1第14頁（2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷）閱讀材料一一“有限集合中元素的個數(shù)，可以一一數(shù)出來，而對于元素個數(shù)無限的集合，例如：A=1,2,川,n,|,B=2,4，川,2n,川,我們無法數(shù)出集合中的元素個數(shù)，但可以比較這兩個集合的元素個數(shù)的多少.你能設計一個比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？”筆者不妨再問：“集合B是集合A的真子集嗎？”我們都知道在有限集中，整體必定大于部分.但是無限集中呢？其實，無限集與有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而這也正是康托爾認為的無限集的特征之一.實際上，康托爾把正整數(shù)集的勢(元素個數(shù))稱之為“阿列夫零

4、”個，計數(shù)用的數(shù)是無窮大等級中最低一級的無窮數(shù).康托爾把集合的元素個數(shù)叫做基數(shù)，有限集合的基數(shù)是自然數(shù)，無限集合的基數(shù)叫超限數(shù).康托爾進一步論證了無理數(shù)集、實數(shù)集是不可數(shù)集，但它們之間存在著一一對應關系，也就是說有比自然數(shù)集合更大的集合，有更大的超限數(shù).康托爾還發(fā)現(xiàn)，任一線段上的點能與全直線上的點，與正方形內的點，與立方體內的點構成一一對應.他甚至證明，一條直線上的點能與n維空間的點構成一一對應.這與我們關于大小的觀念相矛盾，是按數(shù)學常識根本無法想象的，康托爾還證明了比實數(shù)集合更大的集合.今天，集合論已經成為整個數(shù)學的基礎，以至于希爾伯特動情地說：“沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中驅逐

5、出去”，“康托爾的超限算數(shù)是數(shù)學思想的最驚人的產物，是在純粹理性的范疇中，人類活動最美的表現(xiàn)之一.”為此，有如下定理：(1)兩個有限集合等勢當且僅當它們有相同的元素個數(shù).(2)有限集合不和其任何真子集等勢.(3)無限集合可以和其真子集等勢.二、割圓術，化直為曲劉徽用割圓術證明“半周半徑相乘得積步”的圓面積公式時，從內接正六邊形(“六熊”)開始割圓，依次得到內接正十二邊形(“十二期)、正二十四邊形(“二十四輒)、，”割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.這種處理是比較符合直觀的.從6邊形到12邊形、到24邊形、，在這樣越來越接近圓面積的趨勢中，圓以多邊形代替，所失的

6、面積會越來越少，這樣他就很自然的會覺得多邊形和圓會越來越接近重合.劉徼的割圓術是他成功應用無窮小分割思想和極限思想的光輝典范，架起了通向微積分的橋梁.正是在這種思想的指引下，劉徽與阿基米德已經有了極限的思想.后繼者們在他們開辟的道路上繼續(xù)前進.德國的開普勒發(fā)明了“同維無窮小法”求體積，法國的費馬研究了切線、極值等問題，而英國的巴羅則引入了微分三角形.這一切為兩個劃時代人物的到來拉開了帷幕：牛頓和萊布尼茨.兩人各自獨立地創(chuàng)立了微積分.這種“化直為曲無限化”的數(shù)學思想，是學生學習從“有限”到“無限”一種飛躍！也為其學習定積分建立良好的數(shù)學思想基礎.三、數(shù)式中的有限與無限3.1 (定)積分看看牛頓和

7、萊布尼茨發(fā)展的積分，它們均來源于求曲多邊形的面積.方法大致為：分割、近似求和、取極限.這里的分割是一種動態(tài)無限的過程.在保證最大區(qū)間長度趨于零的條件下，分割而成的區(qū)間數(shù)目趨于無窮.從有限個矩形到無限塊和，利用積分可以計算不規(guī)則圖形面積.例如：求由函數(shù)f(x),直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積.步驟如下：將區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間x-,x(1in),每個區(qū)間上任取一點彳，以f&)作為矩形的高，求出n個矩形的面積并求和：nbS=limSn=limZf(-i)(x-xi)=ff(x)dxn：-na3.2 數(shù)列極限的公式數(shù)列極限是極限的重要基礎知識，其運算法則只適用于有限個計算.例如：

8、lim(1+3+川+二)如何計算？按照有限的計算法則，n:n_D_nn1,1nim(n口)二,顯然是不對的！不能用有限個的運算法則來替代無限的運算.此處有限和無限是無法統(tǒng)一于一個運算法則中.數(shù)學極限公式中蘊含的無限思想，體現(xiàn)了無限是有限的延伸,但有限到無限是引起“質變”的！3.3球表面積、體積公式的推導球的表面積、體積公式推導也是一種無線分割思想的運用!如圖1所示,riR2-R(i-1)2(1in)221IH(n-1)2n4=n3R3nnV=2VVi=2%(二r：i1iWR、二R,)=2lim(n-n一如圖2所示，將球分割成n份三棱錐，其體積.n17:-LsiR-id31RZLsi=RS,由上

9、述球的體積公式，得：S=4R2.3y33.4結合律和分配律的使用大家都知道a+(b+c)=(a+b)+c,這在有限相加的世界里似乎沒什么問題.然而在無限相加的世界里，若把這種結合律再看成是正確的,那你就會鑄成大錯！不妨看下式如何計算：Z=1+(-1)+1+(.1)+1+川,如果你認為數(shù)的加法可以任意結合，那么Z=1(-1)1川=10前十|=1,好像不錯吧！注意到還可以這樣用結合律：z=1(.1)1一(|1)=川0,也沒有問題吧！這時推出的結論0=z=1就有大問題了！原因何在呢？解釋并不困難：結合律和分配律并不像人們通常認為的那樣永遠正確，它們在有限數(shù)學中的確是正確的，但在無限數(shù)學中就不是沒有任

10、何條件的正確無誤.所以說，有限到無限畢竟是引起了“質變”！四、切線：割線的極限位置中學階段對切線的認識，是逐步深入的.平面幾何中，直線和圓與一個交點叫做相切；而在后來的圓錐曲線中，雙曲線學習時便會出現(xiàn)新的問題，而在微分學中所研究的曲線不都是二次曲線，切線與曲線的交點不止一個，因此不能用交點個數(shù)來定義，而是用割線的極限位置來定義曲線的切線.如圖3所示，直線與圓相切的情形yy=f(x)J在同學們的大腦中已根深蒂固，受此負遷移的影響，不少學生對切線問題產生V錯誤的想法，導致錯解時常發(fā)生，因此白理要加強概念性知識的理解.于是，割線丁1r“無限化”之后，才有了較為科學的切3線定義，避開從交點的個數(shù)來定義

11、，方便得解決了切線的概念問題.五、古典概型與幾何概型中的概率加法公式大家知道，必修3中的古典概型是一種離散型的等可能性概型，而幾何概型是一種連續(xù)性的等可能性概型.恰恰因為正是這種“離散”到“連續(xù)”，也就是“有限”到“無限”，使得學生學習概率加法公式有很大的難度.概率加法公式：P(A-B)=P(A)P(B)=1如圖4,古典概型中，概率加法公式體現(xiàn)事件A、B必定是一對互斥事件，這是離散、有限決定的，也是學生易理解的；如圖5,我們也可以看到其實概率加法公式體現(xiàn)的事件A、B就不一定是互斥事件，這是連續(xù)、無限所凸顯的.如圖5所示，譬如：在區(qū)間0,2內投點，記落在區(qū)間0,1內為事件A,落在區(qū)間1,2內為事

12、件B,顯然概率論加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)=1在幾何概型中也是成立的，事件A、B不互斥！另一方面，有限的古典概型和無限的幾何概型又是相容相通的.問題：甲、乙、丙三人相約7點到8點之間在某處會面，一起乘車去游玩，已知該車站每隔30分鐘有一班車，發(fā)車時間為7點30,8點，若3人約定在車站就乘，求3人乘同一班車的概率.分析：設甲、乙、丙三人分別在7點到8點之間的x分、y分、z分到達，則所有可能的結果表示的區(qū)域為棱長60的正方體.記事件A表示三人乘同一班車，要使得事件A發(fā)生，只需三人同一個30分鐘內達到即可.解法(1):事件A表示的可能結果(如圖6所示)：010Mx3030:二x60.I

13、.1A=(x,y,z)0EyE300r30,|J|0z3030z60表示的空間區(qū)域為2個棱長為30的正方體，由幾何概型的公式可得:P(A)令VJ230360314解法（2）:因為三人乘坐哪一班車是隨機的，且等可能的，若以三人的一種乘車方式作為一個基本事件，則基本事件的總數(shù)為2M2M2=8種，而三人同乘一班車包含2個基本事件，因此概率為2=1.84古典概型與幾何概型的本質是對于基本事件個數(shù)有限還是無限的一種區(qū)分，有些問題中，不同角度理解基本事件，“有限”、“無限”的問題還能相互轉化.六、希爾伯特旅館有一個故事?lián)f出自杰出的數(shù)學家大衛(wèi).希爾伯特之口，上述引語就是他說的.一天夜里已經很晚了，一個人走

14、進一家旅館想要一個房阿.店主回答說：“對不起，我們沒有任何空房間了，但是讓我們看一看，或許我最終能為您找到一個房間.”然后店主離開了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且請他們換一換房間：1號房間的房客搬到了2號房間，2號房間的房客搬到了3號房間以此類推，直到每一位房客都從一個房間搬到了下一個房間為止.令這位遲來者感到十分吃驚的是，i號房間竟然被騰了出來.他很高興地搬了進去，然后安頓下來過夜.但是，一個百思不得其解的問題使他無法入睡：為什么僅僅通過讓房客從一個房間搬到另一個房間，第一個房間就能騰出來呢？（要知道，他來時所有的房間都住人了）這所旅館一定是希爾伯特的旅館，它是城里一個據(jù)認為無數(shù)個

15、房間的旅館！這是一個關于無限的趣味故事，從這里也讓學生深深知道：從“有限”到“無限”是很容易產生質變的！也讓教師的教與學更上層樓！七、中學生“有限”、“無限”教育觀念的認識在我國中學的課程設置中，數(shù)學作為一門主課，被賦予大量的課時.但是在數(shù)學教學中，過于注重按部就班地講述教科書現(xiàn)有的數(shù)學定義和數(shù)學命題，介紹各種計算題和證明題的解題方法，讓學生做大量的習題，卻忽視了與數(shù)學有關的一些根本性問題的說明和討論，特別是有關數(shù)學基礎和數(shù)學哲學的問題.在數(shù)學上有限與無限是相互聯(lián)系的.無限是由有限構成的.無限又要通過有限來表現(xiàn)，加以掌握.例如，自然數(shù)集是無限的，但它是由無數(shù)個具體的有限數(shù)組成的；周期函數(shù)的圖像長度是無限的，但刻畫它的最小正周期卻是有限的；直線的長度是無限的，而線段作為構成直線的部分，其長度卻是有限的；向量空間所含向量個數(shù)是無限的，而表達該向量空間的基底（向量）個數(shù)卻是有限的；數(shù)學歸納法表達的是關于無限的推理過程，而它的證明步驟卻只有兩步.反之，有限中存在著無限.例如，0到1的單位線段上就有無限多個有理數(shù)點，也有無限多個無理數(shù)點.在“整除”關系中，約數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的；有理數(shù)、無理數(shù)值都是有限數(shù)，而它們的級數(shù)表達式既體現(xiàn)了無窮小，又體現(xiàn)了無窮多.總之在中學數(shù)學教學中，應向學生普及一些與數(shù)學