實(shí)變函數(shù)期末考試卷試題A卷

1、 實(shí)變函數(shù)得 分閱卷人一、 判斷題（每題2分，共20分）1.若是的真子集，則必有。 （×）2.必有比小的基數(shù)。 （）3.一個(gè)點(diǎn)不是的聚點(diǎn)必不是的內(nèi)點(diǎn)。 （）4.無(wú)限個(gè)開(kāi)集的交必是開(kāi)集。 （×）5.若，則。 （×）6.任何集都有外測(cè)度。 （）7.兩集合的基數(shù)相等，則它們的外測(cè)度相等。 （×）8.可測(cè)集的所有子集都可測(cè)。 （×）9.若在可測(cè)集上可測(cè)，則在的任意子集上也可測(cè)。（×） 10.在上可積必積分存在。 （×）1.設(shè)為點(diǎn)集，則是的外點(diǎn).（ × ）2.不可數(shù)個(gè)閉集的交集仍是閉集. （ × ）3.設(shè)是一列可測(cè)

2、集,且則（× ）4.單調(diào)集列一定收斂. （ ）5.若在上可測(cè),則存在型集,在上連續(xù).（ × ）二、填空題（每空2分，共20分）1.設(shè)是中無(wú)理數(shù)集，則 。2.設(shè)，則 ， 。3.設(shè)，則 ， 。4.有界變差函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集是 至多可列 集。 得分閱卷人5.設(shè)是上的集，則 。6.設(shè)是閉集，是開(kāi)集，則是 閉 集。7.閉區(qū)間 上的有界函數(shù)可積的充要條件是 是上的幾乎處處的連續(xù)函數(shù) 。8. 函數(shù)是 可積也是 可積的。三、計(jì)算題（每題10分，共20分）1.計(jì)算。（提示：使用Lebesgue控制收斂定理）解：設(shè)，則（1） 因在上連續(xù)，所以是可測(cè)的；（2）；（3）因?yàn)轱@然在上可積。于是

3、由Lebesgue控制收斂定理，有2. 設(shè)試計(jì)算。解：因?yàn)橛欣頂?shù)集的測(cè)度為零，所以 于， 于。于是 四、證明題（每題8分，共40分）1. 證明：證明： = 2. 設(shè)是直線上一族兩兩互不相交的非空開(kāi)區(qū)間組成的集合，證明是至多可列集。證明：由有理數(shù)集的稠密性可知，每一個(gè)開(kāi)區(qū)間中至少有一個(gè)有理數(shù)，從每個(gè)開(kāi)區(qū)間中取定一個(gè)有理數(shù)，組成一個(gè)集合A。因?yàn)檫@些開(kāi)區(qū)間是互不相交的，所以此有理數(shù)集A與開(kāi)區(qū)間組成的集合M是一一對(duì)應(yīng)的。則A是有理數(shù)集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。3. 證明：若，則為可測(cè)集。證明：對(duì)任意點(diǎn)集，顯然成立著 。另一方面，因?yàn)?，而，所以，于是。又因?yàn)?，所以，從?。總之，。故是可

4、測(cè)集。 4. 可測(cè)集上的函數(shù)為可測(cè)函數(shù)充分必要條件是對(duì)任何有理數(shù)，集合是可測(cè)集。一、填空題（每小題2分，共10分）（ D ）1、成立的充分必要條件是（ ）A、 B、C、 D、（ A ）2、設(shè)是閉區(qū)間中的無(wú)理點(diǎn)集，則（ ） 是不可測(cè)集 是閉集（ C ）3、設(shè)是可測(cè)集，是不可測(cè)集，則是（ ）可測(cè)集且測(cè)度為零 可測(cè)集但測(cè)度未必為零不可測(cè)集 以上都不對(duì)（ B ）4、設(shè)，是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則幾乎處處收斂于是依測(cè)度收斂于的（ ）必要條件 充分條件充分必要條件 無(wú)關(guān)條件（ D ）5、設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，則（ ）是上的連續(xù)函數(shù) 是上的勒貝格可積函數(shù)是上的簡(jiǎn)單函數(shù)可表示為一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)，是一開(kāi)集，而總是一閉集。證明：若，因?yàn)槭沁B續(xù)的，所以存在，使任意， (5分)即任意是開(kāi)集（10分）若且，由于連續(xù)，即，因此E是閉集。 （1）設(shè)求出集列的上限集和下限集證明：（5分）設(shè)，則存在N，使，因此時(shí)，即，所以屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集，從而屬于無(wú)限多，得，又顯然（7分）（12分）若有，則存在N，使任意