受迫振動中振幅和頻率的討論

1、關(guān)于受迫振動中振幅和頻率的討論現(xiàn)在學習的是第一頁，共43頁關(guān)于受迫振動的微分方程關(guān)于受迫振動的微分方程 振子的受力情況：振子的受力情況： 回復力、阻力、策動力回復力、阻力、策動力 回復力：回復力： 阻力：阻力：Fkx= -回復dxfdtm= -阻現(xiàn)在學習的是第二頁，共43頁策動力的討論策動力的討論 一般情況下策動力需要周期性變化，因此，我一般情況下策動力需要周期性變化，因此，我們可以用弦類函數(shù)去表示策動力們可以用弦類函數(shù)去表示策動力 同時策動力一般是有穩(wěn)定的最大值同時策動力一般是有穩(wěn)定的最大值 我們看到在受迫振動中，策動力成為振子運動我們看到在受迫振動中，策動力成為振子運動的主要因素。所以策動

2、力的方向應該與位移方的主要因素。所以策動力的方向應該與位移方向相同。向相同。12cossi nFFtFt=W+W策動現(xiàn)在學習的是第三頁，共43頁幾處要點幾處要點 使用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)疊加，是為了使策動使用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)疊加，是為了使策動力能取到不同的相位。力能取到不同的相位。 余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期相同，是為了使策動余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期相同，是為了使策動力的最大值在任意一個周期內(nèi)都為一個定值。力的最大值在任意一個周期內(nèi)都為一個定值。 在余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期一致的情況下，在余弦函數(shù)與正弦函數(shù)周期一致的情況下，策動力可以使用輔助角公式變?yōu)橐粋€弦類策動力可以使用輔助角公式變?yōu)橐粋€弦類函數(shù)。

3、函數(shù)?，F(xiàn)在學習的是第四頁，共43頁微分方程微分方程2122cossi nd xdxmkxFtFtdtdtm= -+W+W2122cossi nFFd xdxkxttm dtmmmdtm+=W+W這是一個二階非齊次線性常系數(shù)微分方程這是一個二階非齊次線性常系數(shù)微分方程現(xiàn)在學習的是第五頁，共43頁為了簡化運算，我們做參數(shù)替換為了簡化運算，我們做參數(shù)替換2mmg=令2kmw=1212,FFffmm=221222cossi nd xdxxftftdtdtgw+=W+W方程變?yōu)橐韵滦问椒匠套優(yōu)橐韵滦问浆F(xiàn)在學習的是第六頁，共43頁對應的齊次方程為對應的齊次方程為22220d xdxxdtdtgw+=設(shè)方程

4、的一個解為：設(shè)方程的一個解為：txel=代入齊次方程代入齊次方程2220ttteeellllglw+=22(2)0tellglw+=現(xiàn)在學習的是第七頁，共43頁0telQ2220lglw+=221lggw= -得222lggw= -+-這就是這個二階齊次線性常系數(shù)微分方程的特征這就是這個二階齊次線性常系數(shù)微分方程的特征方程。我們用一元二次方程的求根公式求解方程方程。我們用一元二次方程的求根公式求解方程?，F(xiàn)在學習的是第八頁，共43頁討論根的情況討論根的情況方程的兩個特解為：22()1txeggw-=22()2txeggw-+-=但是，上述兩個解都不含有任意常數(shù)，但是，上述兩個解都不含有任意常數(shù)，

5、所以它們都不是方程的通解。所以它們都不是方程的通解。我們可以利用常數(shù)變易法去討論我們可以利用常數(shù)變易法去討論在上述方程的解中在上述方程的解中，1均為常數(shù)，但均為常數(shù)，但是前兩者由方程給定，只有是前兩者由方程給定，只有“1”是我們是我們的假設(shè)。的假設(shè)。現(xiàn)在學習的是第九頁，共43頁所以，我們可以把所以，我們可以把“1”，變?yōu)橐粋€與自變量，變?yōu)橐粋€與自變量t有關(guān)的變常數(shù)有關(guān)的變常數(shù)C(t).( ),txC tel=令并代入方程，得2222( )( )( )( )( )2 ( )( )0tttttttdC tdC te C teedtdtd C tdC tee C tedtdte C tlllllll

6、lllg lw+=現(xiàn)在學習的是第十頁，共43頁對方程進行整理，可以得到：對方程進行整理，可以得到：2222( )( )2()(2) ( )0td C tdC tedtdtC tlgllglw+=222lglw+這里出現(xiàn)了222= 0lglw+顯然，22( )( )2()0td C tdC tedtdtlgl+=現(xiàn)在學習的是第十一頁，共43頁+0時，使用積分因子法對方程進行處理時，使用積分因子法對方程進行處理(2 ),telg+方程兩邊同時乘以得到22()2( )( )2()0td C tdC tedtdtglgl+=22()2()2( )( )2()0ttd C tdC teedtdtglgl

7、gl+=2()( )()0tdC tdedtdtgl+=現(xiàn)在學習的是第十二頁，共43頁兩邊積分，得到：兩邊積分，得到：2()1( )tdC teCdtgl+=再次積分，得到：再次積分，得到：2()1( )tdC tC edtgl-+=2()12( )2()tC eC tCglgl-+=+-+現(xiàn)在學習的是第十三頁，共43頁221lggw= -222lggw= -+-代入代入C(t),得：得：22211222( )2tC eCtCgwgw-=+-22212222( )2tC eCtCgwgw-=+-現(xiàn)在學習的是第十四頁，共43頁可以看到：可以看到：11222222CCgwgw-，也是任意常數(shù)111

8、12222,22CCCCgwgw=-令222112( )tCtC eCgw-=+222212( )tCtC eCgw-=+現(xiàn)在學習的是第十五頁，共43頁221lggw= -222lggw= -+-( )txC tel=代入，得22222()112()ttxC eCegwggw-=+2222()()112ttxC eC eggwggw-+-=+22222()212()ttxC eCegwggw-+-=+2222()()212ttxC eC eggwggw-+-=+現(xiàn)在學習的是第十六頁，共43頁可以看到，兩者是等價的可以看到，兩者是等價的因此，解可以合并為：因此，解可以合并為：2222()()12

9、ttxC eC eggwggw-+-=+12CC其中，為任意常數(shù)，在動力學之中,兩個常數(shù)與運動有關(guān)。同時，同時，與與的大小關(guān)系也會對方程的形式的大小關(guān)系也會對方程的形式產(chǎn)生影響產(chǎn)生影響現(xiàn)在學習的是第十七頁，共43頁1212,l lll那么均為實數(shù)，且2222()()12ttxC eC eggwggw-+-=+通解為12,CC為兩個與振子運動有關(guān)的常數(shù)22()gw如果過度衰減12,CC至于究竟等于什么，我們會在求解非齊次方程之后說明現(xiàn)在學習的是第十八頁，共43頁22gw如果（阻尼振動）12,l l那么均為復數(shù)，221ilgwg= -222ilgwg= -+-2222()()12ttxC eC e

10、ggwggw-+-=+2222()()12i ti txC eC egwggwg-+-=+現(xiàn)在學習的是第十九頁，共43頁經(jīng)過整理，可得：經(jīng)過整理，可得：222212()itittxeC eC ewgwgg-=+cossi nieibbb=有歐拉公式2222122222 (cossi n)(cossi n)txeCtitCtitgwgwgwgwg-=-+-+-22122221 ()cos()si ntxeCCtiCCtgwgwg-=+-+-現(xiàn)在學習的是第二十頁，共43頁12CC其中，為任意常數(shù)，在動力學之中,兩個常數(shù)與運動有關(guān)。221222(cossi n)txeCtCtgwgwg-=-+-11

11、2221+,()CCCCiCC=-令現(xiàn)在學習的是第二十一頁，共43頁22=()gw如果臨界衰減12llg= -那么2222( )( )2()(2) ( )0td C tdC tedtdtC tlgllglw+=方程22( )0d C tdt=變?yōu)楝F(xiàn)在學習的是第二十二頁，共43頁進行兩次積分，得到：進行兩次積分，得到：12( )C tC xC=+12CC其中，為任意常數(shù)，在動力學之中,兩個常數(shù)與運動有關(guān)。12()=()ttxC teeC xClg-=+以上為齊次方程的通解情況以上為齊次方程的通解情況現(xiàn)在學習的是第二十三頁，共43頁接下來我們求非齊次方程的特解：接下來我們求非齊次方程的特解：221

12、222cossi nd xdxxftftdtdtgw+=W+Wcossi nieibbb=有歐拉公式cos2iieebbb-+=可以得到si n2iieeibbb-=現(xiàn)在學習的是第二十四頁，共43頁222122()()22i ti ti ti td xdxxdtdtffeeeeigwW- WW- W+=+-根據(jù)解的疊加原理，待求的非齊次方程的根據(jù)解的疊加原理，待求的非齊次方程的通解，為下列兩個非齊次方程的通解之和通解，為下列兩個非齊次方程的通解之和?，F(xiàn)在學習的是第二十五頁，共43頁221222()22i tffd xdxxedtidtgwW+=+221222()22i tffd xdxxedt

13、idtgw- W+=-利用待定系數(shù)法求解兩個微分方程利用待定系數(shù)法求解兩個微分方程現(xiàn)在學習的是第二十六頁，共43頁221222()22i tffd xdxxedtidtgwW+=+1( )i tmxPteW=設(shè)方程的特解為( )mPttm是一個關(guān)于 的次多項式1( )i tmxPteW=代入原方程，得到：現(xiàn)在學習的是第二十七頁，共43頁222212( )( )( )( )+ 2 ( )( )()22i ti ti tmmi ti ti tmmmi ti tmdPtdPtei ei edtdtd PtdPtei ePtedtdtffePteigwWWWWWWWW- W+ W+ W+W+=+222

14、212( )( )2()(2)( )()22i tmmi tmd PtdPteidtdtffiPteiggwWW+ W+ - W+W +=+現(xiàn)在學習的是第二十八頁，共43頁顯然我們可以看到：顯然我們可以看到：22020iiggw+ W - W+W +且0m=得到11( )mPtabi=+22( )( )0,0mmd PtdPtdtdt=221211(2)()=22ffiabiigw -W+W +現(xiàn)在學習的是第二十九頁，共43頁2222111121 ()2 ()2=22abbffa iiwgwg- W-W+- W+W-221222()22i tffd xdxxedtidtgw- W+=-同理，我

15、們對方程：同理，我們對方程：現(xiàn)在學習的是第三十頁，共43頁2( )i tnxPte- W=設(shè)方程的特解為( )nPttn是一個關(guān)于 的 次多項式2( )i tnxPte- W=代入原方程，得到：222212( )( )( )( )+ 2 ( )( )()22i ti ti tnni ti ti tnnni ti tndPtdPtei ei edtdtd PtdPtei ePtedtdtffePteigw- W- W- W- W- W- W- W- W- W- W- W+- W+=-現(xiàn)在學習的是第三十一頁，共43頁222212( )( )2()(2)( )()22i tnni tnd PtdPt

16、eidtdtffiPteiggw- W- W+- W+ - W-W +=+22020iiggw- W - W -W +且0n=得到22( )nPtab i=+22( )( )0,0nnd PtdPtdtdt=現(xiàn)在學習的是第三十二頁，共43頁221222(2)()=22ffiab iigw -W -W +-2222222122 ()2 ()2=22abbffa iiwgwg- W+W+- W-W+兩個復數(shù)相等的條件是它們的實部和兩個復數(shù)相等的條件是它們的實部和虛部分別相等虛部分別相等現(xiàn)在學習的是第三十三頁，共43頁得到方程組：得到方程組：22111()2=2fabwg- W-W22211()2=

17、2fbawg- W+W-22122()2=2fabwg- W+W22222()2=2fbawg- W-W現(xiàn)在學習的是第三十四頁，共43頁2212122 22()2=2 ()(2) ffawgwg- W-W- W+W2212122 222()=2 ()(2) ffbgwwgW+- W- W+W2212222 22()2=2 ()(2) ffawgwg- W-W- W+W2212222 222()=2 ()(2) ffbgwwgW+- W- W+W現(xiàn)在學習的是第三十五頁，共43頁2212121222 22()2+=,0()(2)ffaaaawgwg- W-W-=- W+W2212211222 22

18、2()=,0()(2)ffbbbbgwwgW+- W-+=- W+W現(xiàn)在學習的是第三十六頁，共43頁12xxx=+%1122()()i ti txeabieab iW- W=+%1122(cossi n)()(cossi n)()xtit abitit ab i=W+W+W-W+%12211212()cos()si n ()si n()cosxaatbbti aatbbt=+W+-W+-W+W%現(xiàn)在學習的是第三十七頁，共43頁221222 22221222 22()2cos()(2)2()si n()(2)ffxtfftwgwggwwg- W-W=W- W+WW+- W+W- W+W%這就是非齊次方程的特解。這就是非齊次方程的特解?，F(xiàn)在學習的是第三十八頁，共43頁2222()()12ttxC eC eggwggw-+-=+三種通解：12()txeC xCg-=+2212