2020屆四川省達(dá)州市高三第一次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020屆四川省達(dá)州市高三第一次診斷性測(cè)試試題數(shù)學(xué)(理)一、單選題1 .設(shè)集合 A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ，則 AI B ()A. -1,0,1,2B. 0,1,2C. 0,1D. x 1 x 2,或 x 3【答案】B【解析】直接根據(jù)交集的概念進(jìn)行運(yùn)算即可【詳解】因?yàn)?A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ,所以 AI B 0,1,2.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2 .若向量a 4,2 , b 6,k ,則a/b的充要條件是()A. k 12B. k 12C. k 3D. k 3【答案】D【解析】直接根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可得到【詳解】因

2、為向量a4,2 , b 6,k ,所以 a/b4k 2 6 0k 3.故選:D,【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線的坐標(biāo)表示，充要條件，屬于基礎(chǔ)題.向量共線的坐標(biāo)表示應(yīng)該熟練掌握.3 .在30名運(yùn)動(dòng)員和6名教練員中用分層抽樣的方法共抽取n人參加新聞發(fā)布會(huì)，若抽取的n人中教練員只有1人，則n ()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】先求得抽樣比，再用總體中教練員人數(shù)乘以抽樣比得樣本中教練員人數(shù)列方程可解得.【詳解】依題意可得抽樣比為,30 6 36所以有6三1,解得n 6.36故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，利用抽樣比解決是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4 .己知直線a, b, l ,平面 ，

3、下列結(jié)論中正確的是（）A.若 a, b ,l a, l b,貝 Ul B.若 a ,b/a,則 b/C.若,a ，則 ad.若 / , l ，則 l【答案】D【解析】根據(jù)直線與平面垂直 ，直線與平面平行，平面與平面平行和垂直的的判定，性質(zhì)逐個(gè)分析可得答案.【詳解】對(duì)于A,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，還差直線a與直線b相交這個(gè)條件，故A不正確；對(duì)于B ,直線b也有可能在平面內(nèi)，故B不正確；對(duì)于C ,直線a可能在平面內(nèi)，可能與平面平行，可能與平面相交但不垂直；故C不正確；對(duì)于D ,在平面內(nèi)取兩條相交直線 m,n,則l m,ln,過(guò)m,n分別作平面與平面相交于m,n,則m/m,n/n ,且m,n必

4、相交，所以l m,l n,所以l ，故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行，垂直，平面與平面平行，垂直的判定，性質(zhì)，熟練掌握線面，面面平行與垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5 .若 a 0.30.2, b 10g 0.1 2, c 0.3 0.1 ,則 a , b, c 的大小關(guān)系為（）A. cabB. b a cC. a c bD. b c a【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得 b 0,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y 0.3x的單調(diào)性可得c a 0,由此可得答案.【詳解】因?yàn)?0 0.1 1,21,所以 b logo.i2 0,因?yàn)? 0.3 1,所以指數(shù)函數(shù)y 0.3x為遞減函數(shù)，又

5、-0.10.2,所以 0.3 0.10.30.20,即 c a 0,綜上所述，c a b.故選:A本題考查了利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題6 一， 1 一一 6 .二項(xiàng)式 x 1 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是()A. 20B. 120C. 15D. 30【答案】A【解析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式后 ，令x=0，解得r 3,再根據(jù)通項(xiàng)公式可求得常數(shù) 項(xiàng).【詳解】6因?yàn)槎?xiàng)式 X - 的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr 1 C6x6 r (1)r c6x6 2rxx(r 0,123,4,5,6)令6 2r 0,解得r 3, 6 o 6 5 4所以二項(xiàng)式 x - 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 C63

6、20.x3 2 1故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)題.,利用通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)7.已知直線yx 3與圓x2 y2 2x 2y 0相交于A, B兩點(diǎn)，則AB (A. _rB. 3C. 6D. 2【答案】C【解析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)和半徑 ，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理可求得答案.【詳解】由X2 y2 2x 2y 0得（x 1）2 （y 1）2 2 ,所以圓心為（1,1）,半徑為J2，由 y x3 得 x y 3 0,由圓心到直線的距離公式得|1二*| -y，由勾股定理可得 幽 2）2 （ 2）2 _6, 2122所以|AB| 6 .

7、故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑，點(diǎn)到直線的距離公式，圓中的勾股定理，利用圓中的勾股定理是解題關(guān)鍵 .8.斗拱是中國(guó)古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一，并為中國(guó)所特有，圖一圖二是斗拱實(shí)物圖，圖三是斗拱構(gòu)件之一的 “斗”的幾何體，本圖中的斗是由棱臺(tái)與長(zhǎng)方體形凹槽 （長(zhǎng) 方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體） 組成.若棱臺(tái)兩底面面積分別是 400cm2, 900cm2,高為9cm, 長(zhǎng)方體形凹槽的體積為 4300cm3,斗的密度是0.70g / cm3 .那么這個(gè)斗的質(zhì)量是（） 注：臺(tái)體體積公式是 V 1 S SS S h.3【答案】C【解析】根據(jù)臺(tái)體的體積公式求得臺(tái)體體積，再加上長(zhǎng)方體形凹槽的

8、體積得這個(gè)斗的體積,然后乘以這個(gè)斗的密度可得這個(gè)斗的質(zhì)量.【詳解】1 一根據(jù)棱臺(tái)的體積公式可得棱臺(tái)的體積為(400 400 900 900) 9 5700 cm3 ,3所以這個(gè)斗的質(zhì)量為 5700 4300 10000 cm3,所以這個(gè)斗的質(zhì)量為 10000 0.70 7000 g.故選:C.【點(diǎn)睛】9.若實(shí)數(shù)xxy滿足yx本題考查了棱臺(tái)的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.0,1, ，則2x y的最大值為()5y 1 0.A. 2B.C. 7D. 9【解析】作出可行域，根據(jù)斜率關(guān)系找到最優(yōu)解，代入最優(yōu)解的坐標(biāo)可得答案作出可行域如圖所示將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式為 y 2x z,x 5y 1 0,由圖可知最優(yōu)解為

9、 M,聯(lián)立，得x 4,yy 1所以 M(4, 1),將 x 4, y1 代入 z 2x y,得 Zmin2 4 ( 1) 9.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用線性規(guī)劃求最值,根據(jù)斜率找到最優(yōu)解是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.1210.已知函數(shù)f x -ax 2ax In x在區(qū)間0,2上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（）A.0,1B. 0,C. 1,D.1,1【解析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 f（x） 0,即a一在區(qū)間（0, 2x）上恒成立，再根據(jù) 0可得答案.x2 2x【詳解】12因?yàn)?f x ax 2ax In x, 2,1所以 f (x) ax 2a , x1 2因?yàn)楹瘮?shù)f x -ax 2ax In x在區(qū)

10、間 0,上為增函數(shù)，2_1 _1所以ax 2a 0,即a2在區(qū)間(0,)上恒成立，xx 2x因?yàn)閥 x2 2x (x 1)2 1在(0,)上遞增，21所以x2 2x 0,所以 -0,x2 2x所以a 0.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考查了不等式恒成立問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想，屬于中檔題11 .已知A是雙曲線D : x2351右支上一點(diǎn)，B、 C分別是雙曲線 D的左、右焦一一 sin2B點(diǎn)。記 ABC的內(nèi)角為A, B, C,當(dāng)AC 8時(shí)，s（）sin AA. 1B. 、2C. .3D. 2【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線方程，AC| 8以及雙曲線的定義可求出三角形ABC的三邊

11、長(zhǎng)，然后在三角形ABC中由余弦定理求出 cosB,最后利用二倍角正弦公式和正弦定理可求得答案.2由X2工1得a351,b 735，所以 cJT5 6,所以 BC 12所以AB AC 2a2 ,所以ABAC10,所以cosBAB2BC2 AC2100144 642 AB AC2 1012所以sin2B sin A2sin BcosBsin A2AC cosBBc故選:A本題考查了由雙曲線方程求a,b,c,考查了雙曲線的定義，考查了余弦定理，考查了正弦定理角化邊，屬于中檔題.12.過(guò)拋物線C： y2 4x焦點(diǎn)的直線交該拋物線 C于點(diǎn)A, B,與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P ,如圖所示，則urnPAuuB

12、的最小值是(A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】C【解析】設(shè)直線 AB的方程為y k(x 1)與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及向量的 數(shù)量積坐標(biāo)表示求得PA Pb ,再根據(jù)基本不等式可求得最小值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn) F(1,0),所以設(shè)直線AB的方程為y k(x 1), A(xi,y) Bd*)，則P( 1, 2k),將y k(x 1)代入到y(tǒng)22 2224x,整理得 kx (2k4)x k 0,_ 22k 4 c 4x22 22 , x1x2kkk2k1所以yy2k(x1 1) k(x2 1) k(x1 x2) 2ky1y2、4% 4x216印2164,uuu uur所以

13、PA PB (x 1,y1 2k) (x2 1, y2 2k)區(qū) 1)(x2 1) (y1 2k)(y2 2k)2xx2 x x2 1 y1y2 2k(y y?) 4k4421 2萬(wàn)14 2k4k2k2k4k2 8 2.1-42 4k2 8 8 8 16,當(dāng)且僅當(dāng) 二 4k2,即 k1 時(shí)取得等k. kk2號(hào).故選:C本題考查了直線與拋物線相交,韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題二、填空題13.己知隨機(jī)變量y與x有相關(guān)關(guān)系? 2x 1,當(dāng)x 3時(shí)，y的預(yù)報(bào)值為【答案】7【解析】將x 3代入到？ 2x 1,即可得到答案.【詳解】在？ 2x 1 中，由 x 3得 y 2

14、 3 1 7.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸分析，本題屬于基礎(chǔ)題.14 .復(fù)數(shù)的實(shí)部為.2 i【答案】65【解析】利用復(fù)數(shù)的乘除法計(jì)算可得答案【詳解】因?yàn)?33(2 i) 32 i (2 i)(2 i) 4 16 3.i,5 5所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為-.2 i5故答案為：6.5【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題15.已知函數(shù)f x 2sin x0,0 圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離2為一，且f 一2 ,則f 2128【解析】根據(jù)相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為再計(jì)算可得答案.【詳解】一,求出周期，可得，根據(jù)f 2,可得212因?yàn)楹瘮?shù)f x 2sin x0,0 一圖象的相鄰兩條對(duì)稱

15、軸的距離為22所以周期T 2 -，所以22T2,所以 f(x) 2sin(2 x ),2,得2sin(2 一 122,得 sin(-) 1,一,所以 -,所以 f(x) 2sin(2 x23所以 f(一) 2sin(2 )88 32(sin cos4cos-sin-) 2(11 1 11 B 工 34322222故答案為：.2 .62【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱軸，周期，兩角和的正弦公式，屬于中檔題.16 . f x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，對(duì) x R,都有f x 4時(shí)，f x2x 1,0 x10g2 x 1,11,9 f 212【答案】,24,再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)和周期可求得答案【解析】先由已知

16、等式和偶函數(shù)推出周期為因?yàn)閒 x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f x 4 f x f(x),所以周期T 4,19911所以 f( 2)f(-)f(4 2) f(-) 22 12 1,f (21) f (4 5 1) f (1) log21 1 1,9L所以 f - f 212 1 1、, 2 .故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，利用周期將自變量轉(zhuǎn)化為已知范圍后，利用分段函數(shù) 解析式求值是解題關(guān)鍵，本題屬于中檔題.三、解答題17 .如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，PD 底面ABCD ,點(diǎn)E 是PC的中點(diǎn).(1)求證：PA/平而EDB ;(2)若PD AD 2,

17、求二而角C ED B的余弦值.【答案】(1)詳見解析；(2)1.【解析】(1)連接AC與BD相交于F ,連接EF，利用中位線證EF/PA,再根據(jù)判定定理證明PA/平而EDB;(2)以D為原點(diǎn)，DUU，品，DP分別為x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D xyz .再根據(jù)法向量可求得結(jié)果 【詳解】(1)證明：連接 AC與BD相交于F ,連接EF .Q底面ABCD是正方形,F為AC中點(diǎn)，又E是PC的中點(diǎn),EF /PA ,Q PA 平面 EDB , EF 平面 EDB ,PA/平面 EDB .(2)解：以D為原點(diǎn),uuuDA，uuirDC，y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D xyz.Q P

18、D AD 2,D 0,0,0E 0,1,1B 2,2,0r取平面CED的一個(gè)法向量n11,0,0 .r設(shè)平面EDB的一個(gè)法向量為n2x,y,z .uuruuur由 DE 0,1,1 , DB 2,2,0 得y z 0,2x 2y 0,r不妨令z 1,解得x 1, y 1 ,即n21, 1,1 ,r rr r n1n21 1.3cos n1, n2-r r- 2 二.n1 n2| 1 i 121123二面角C ED B的余弦值為叵3【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行的判定定理，找線線平行是解題關(guān)鍵，考查了向量法求二面角，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量求解是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.18 .我國(guó)已進(jìn)入新時(shí)代中國(guó)

19、特色社會(huì)主義時(shí)期，人民生活水平不斷提高，某市隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了城區(qū)若干戶市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量(記為P元)的情況,并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖.ur(1)根據(jù)頻率分布直方圖估算P的平均值P ；(2)視樣本中的頻率為概率，現(xiàn)從該市所有住戶中隨機(jī)抽取3次，每次抽取1戶，每次抽取相互獨(dú)立，設(shè) 為抽出3戶中P值不低于65元的戶數(shù)，求 的分布列和期望 E .【答案】(1) 48； (2)詳見解析.【解析】(1)利用每個(gè)矩形的面積乘以該段的中點(diǎn)值，再相加即可得到；(2)分析可知B 3,0.1，利用二項(xiàng)分布的分布列和期望可得.【詳解】解：(1) P 30 0.014 40 0.026

20、50 0.036 60 0.014 70 0.0110 48(2)由已知，三次隨機(jī)抽取為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次抽取到十月人均生活支出增加不低于65元的的概率為0.1,則 B 3,0.1 , P iC； 0.1i 0.93 i i 012 ,3 .P 00.729, P 10.243, P 20.027, P 30.001.E的分布列為0123P0.7290.2430.0270.001E 3 0.1 0.3.本題考查了利用頻率分布直方圖求平均值考查了二項(xiàng)分布的分布列和期望，屬于中檔n2 n n N【答案】(1)詳見解析；(2) sn2n 119.己知數(shù)列 an滿足a1 1, nan 1 2 n

21、 1 an(1)求證：數(shù)列包1為等比數(shù)歹U： n(2)求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn.a一“【解析】(1)在已知等式兩邊同除以n n 1，然后變形為1An 1(2)得到ann 2n n后，利用分組求和，錯(cuò)位相減法可求得Sn解：（1）由 nan 1 2 n 1 an2n n兩邊同除以n n 1得an 1anan1 212 2n 1Q a1 1 2 01，an 1 0 , nan 1 i2,亙1 na數(shù)列 -n 1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 n(2)由(1)有 an 1 2n, nn an n 2 n.Sn 1 21 2 22 L n 2n 1 2 3 L n1 21 2 22 L2n令 Tn

22、1 212 22 L n 2n ,2Tn 1 22 2 23 3 24 Ln 2n 1Tn2 22 23 L2 1 2n1 2n 2n 11 n 2n 1 2,n 1Tnn 1 22.Sn本題考查了利用定義證明等比數(shù)列，考查了分組求和,考查了錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔220.已知橢圓C : x-2 -2-yy 1 a b 0 過(guò)點(diǎn) A b2F2 c,0 c 0為焦點(diǎn),橢圓C的離心率為2(1)求實(shí)數(shù)c的值;(2)過(guò)左焦點(diǎn)E的直線l與橢圓C相交于B、D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)橢圓 C上是否存在點(diǎn)P,使線段BD和線段OP相互平分？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)，若不存在, 說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?） 1; （2

23、）存在p使線段BD和OP相互平分，其坐標(biāo)為【解析】（1）根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率以及c2a2 b2,列方程組可得答案；（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意，設(shè)出直線BD的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段BD和線段OP相互平分，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程即可得到答案【詳解】2解：（1） Q橢圓方程為x2 ay- 1 (a b 0)過(guò)點(diǎn) A 1, ， b221121 .a2bQ F1c,0 , F2 c,00為橢圓C的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為c , c2a2 b2.解得 a 亞，b 1,a 2c 1.2(2)由(1)有橢圓C的方程為x- y2 1 , F11,0假設(shè)存在點(diǎn)P滿足

24、題意，且BD和OP相交于點(diǎn)Q x0,y0則 P(2x0,2y0), xx x2y y2F、y當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，不滿足題意.設(shè)直線l的方程為xtyA X,%B X2,y2 .x ty 1聯(lián)立y2 1得t2y2 2ty0,y1y22t2 t212 t2 .ty。1t22 t222 12 t228將 P(2x0,2y0)代入,y2 1有 224t221t2、2解得 tJ2，p1,5-，或 p 1,故存在P使線段BD和OP相互平分，其坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題 ，抓住OP與BD共中點(diǎn)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.21 .已知f(1)當(dāng) m2時(shí)，求函數(shù)f x在點(diǎn)0,

25、 f 0處的切線方程;(2)若函數(shù)f x在區(qū)間 1,0上有極小值點(diǎn)，且總存在實(shí)數(shù)m ,使函數(shù)X的極2m小值與2 am互為相反數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2【答案】(1) x y 2 0； (2)-,ee .2 2e 2【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值和極小值點(diǎn)m 1，由1 m 1 0, 01.,根2m據(jù)極小值與 可口互為相反數(shù)可得 2 a2 a 1 e2memem2e,再構(gòu)造函數(shù)求解：(1)所以,2meme2時(shí),函數(shù)Zen L 過(guò)得值域即可得到答案.x在點(diǎn)0,f0處的切線方程為y 2(2),m時(shí)，f0, x m 1, 時(shí)，f x

26、0,ex得函數(shù)f x在區(qū)間,m 1上單調(diào)遞減，在區(qū)間 m 1,單調(diào)遞增,函數(shù)f x的極小值點(diǎn)為m 1.由已知 1 m 1 0,0 m 1.m 1f x極小 f m 1 e2m故在區(qū)間 0,1上存在m ,使得由1 0 .2 a 1 e2m mc e 2e2a 0 m 1me m2m me 2em / 2mme 1 e 2 1 me當(dāng) 0 m 1 時(shí)，g m m2 0,em me2 2e e 1 函數(shù)g m在區(qū)間0,1上遞增,當(dāng)0 m 1時(shí)，g 01e2 2e一 a 22e 2所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1 e2 2e2, 2e 2本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解決問(wèn)題是關(guān)鍵，屬于中檔題.22.在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá) 對(duì)