2013年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)(考試時(shí)間 120 分鐘滿(mǎn)分 150 分)本試卷分為選擇題(共 40 分)和非選擇題(共 110 分)兩部分第一部分(選擇題共 40 分)、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1D.-i2則下列判斷正確的是(5)若直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(6)“”是“關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切巍钡腁.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(7)某個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為A.B.C.D.8數(shù)學(xué)

2、學(xué)科測(cè)試(文史類(lèi))2013.4(1)i 為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的虛部是1i(2)若集合 MA.(3,B.1,3)(3)已知向量OA3, 4,OB6,2x1OC，則M門(mén)NC.1,3)2m,mD.(2,11若AB/OC，則實(shí)數(shù)m的值為1A.-5C.(4)已知命題命題sinxcosx迂.A.p是假命題 B.是假命題是真命題D.是真命題1A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)第二部分(非選擇題共110分):、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.把答案填在答題卡上.(9)以雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果(11)在等比數(shù)列中，貝Ua

3、3(12) 在ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足b7asinB,則sinA若B60，則sinC(13)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x2)f(x).當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x.若在區(qū)間2,2上方程axaf(x)0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(14) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是半圓x24xy20(2x4)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在線(xiàn)段OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上當(dāng)OAOC20時(shí)，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程(15)(本小題滿(mǎn)分 13 分)(8)已知函數(shù)若，使，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)“生

4、成點(diǎn)”函數(shù)的“生成點(diǎn)”共有5 項(xiàng)和等，若已知函數(shù)f(x)3sinxsin2-(0)的最小正周期為222(I)求的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(n)當(dāng)x0,才時(shí)，求函數(shù)f(x)的取值范圍.(16)(本小題滿(mǎn)分 13 分)國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:空氣質(zhì)量指數(shù) 0-5051-100101-150151-200201-300300 以上空氣質(zhì)量等級(jí) 1 級(jí)優(yōu) 2 級(jí)良 3 級(jí)輕度污染 4 級(jí)中度污染 5 級(jí)重度污染 6 級(jí)嚴(yán)重污染莖葉圖表示如下:甲城市乙城市92431735585786|10(I)試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，判斷甲、乙兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差的大小

5、關(guān)系(只需寫(xiě)出結(jié)果)；(n)試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為 2 級(jí)良的概率；(川)分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，試求這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率.21222(注:s(X1x)(X2x)(Xnx)，其中x為數(shù)據(jù)x!,X2,xn的平均數(shù).)n(17)(本小題滿(mǎn)分 14 分)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC,PAAD2四邊形ABCD滿(mǎn)足BC用AD,ABAD,ABBC1E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)棱PC上的任意-一占八、(I)若F為PC的中點(diǎn)，求證：EF”平面PAD;(n)求證：平面AFD平面PAB；(川)是否存在點(diǎn)F，使得直線(xiàn)AF與平

6、面PCD垂直？若存在,寫(xiě)出證明過(guò)程并求出線(xiàn)段PF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(18)(本小題滿(mǎn)分 13 分)由全國(guó)重點(diǎn)城市環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)獲得2 月份某五天甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)用FE已知函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx，其中aR.(i)若曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線(xiàn)的斜率為1，求a的值；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(19)(本小題滿(mǎn)分 14 分)22f3已知橢圓c:篤爲(wèi)1ab0過(guò)點(diǎn)A(2,0),離心率為.ab2(i)求橢圓C的方程；(n)過(guò)點(diǎn)B(1,0)且斜率為k(k0)的直線(xiàn)l與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn)，直線(xiàn)AE,AF分別交直線(xiàn)x3于M,N兩點(diǎn)，線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為P.記直

7、線(xiàn)PB的斜率為k，求證：kk為定值(20)(本小題滿(mǎn)分 13 分)由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意順序組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)組，記為(xx2，x10)，設(shè)10S()|2Xk3Xk1|，其中Xu為.k1(i)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)，求S()的值；(n)求證：S()55；(川)求S()的最大值.(注：對(duì)任意a,bR,|ab|abab都成立.)北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測(cè)試答案(文史類(lèi))2013.4、選擇題題號(hào)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案ACBDDADB、填空題:題號(hào)(9)(10)(11)(12)(13)(14)答案2小

8、y8x202；101137140,15,5(注：兩空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分)三、解答題:(15)(本小題滿(mǎn)分 13 分),3.1cosx1sinx222遼sinx丄cosx22sin(x6).因?yàn)閒(x)最小正周期為，所以2.于是f(x)sin(2x-).6由2k22x62k2，kZ，得k3xk6.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k,k,kZ8 分36(n)因?yàn)閤0,，所以2x-,10 分26 66貝V1sin(2x-)1.12 分所以f(x)在0,上的取值范圍是212,1.13 分(16)(本小題滿(mǎn)分 13 分)解：(I)甲城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差大于乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差

9、3 分3(H)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級(jí)為 2 級(jí)良的頻率為-,53則估計(jì)甲城市某一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為 2 級(jí)良的概率為3.6 分，5(川)設(shè)事件 A:從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量等級(jí)相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有25個(gè)結(jié)果，分別記為:(29, 43),(29, 41),(29, 55),( 29, 58)(29,78)(53, 43),(53, 41),(53, 55),( 53, 58),(53,78),(57, 43),(57, 41),(57, 55),( 57, 58),(57,78),(7

10、5, 43),(75, 41),(75, 55),(75, 58),(75,78),(106,43)(10( 6,41),(1(06,55)(106, 58),(:106,78)其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的包括同為 1 級(jí)優(yōu)的為甲 29,乙 41,乙 43,同為 2 級(jí)良的為甲 53,甲 57,甲 75,乙 55,乙 58,乙 78.則空氣質(zhì)量等級(jí)相同的為：(29,41),(29,43),解：(I)f(X)(53,55),(53,58),(57,55),(57,58),(75,55),(75,58),11則P(A)25(53,78),(57,78),75,78).共 11 個(gè)結(jié)果.（18

11、）（本小題滿(mǎn)分 13 分）解：（I）由f（x）x2（a2）xaInx可知，函數(shù)定義域?yàn)閤aa且f(x)2x(a2)由題意，f(2)4(a2)1,11所以這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率為25（17）（本小題滿(mǎn)分 14 分）證明：（1）因?yàn)镋,F分別為側(cè)棱PB,PC的中點(diǎn),所以EF/BC.因?yàn)锽C/AD，所以EF/AD.而EF平面PAD,AD平面PAD，所以EF/平面PAD.（n）因?yàn)槠矫鍭BCD平面PAC,平面ABCDD平面PACAC,且PAAC,PA平面PAC.所以PA平面ABCD，又AD平面ABCD，所以PAAD又因?yàn)锳BAD,PAClABA，所以AD平面PAB,而AD平面AFD,所以平面

12、AFD平面PAB（川）存在點(diǎn)F，使得直線(xiàn)AF與平面PCD垂直.在棱PC上顯然存在點(diǎn)F,使得AFPC.由已知，ABAD,BCAD,ABBC1,AD由平面幾何知識(shí)可得CDAC由（n）知，PA平面ABCD，所以PACD,因?yàn)镻AP1ACA，所以CD平面PAC而AF平面PAC，所以CD又因?yàn)镃DP1PCC,所以AFAF平面PCD.在PAC中，PA2,AC2,PAC90,可求得，PC.6,PF衛(wèi)3可見(jiàn)直線(xiàn)AF與平面PCD能夠垂直，此時(shí)線(xiàn)段PF的長(zhǎng)為2、6314 分13 分4 分A#1號(hào)DCx2解得a2.4 分(n)f(x)2x(a2)a(2xa)(x1)(x0).xxa令f(x)0,得為1,X2-.(1

13、)當(dāng)a0時(shí)，-0，令f(x)0，得x1;令f(x)0，得0 x1.2則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,).aa(2)當(dāng)01,即0a2時(shí)，令f(X)0，得0 x或x1.貝U函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,?)，(1,).2令f(x)0，得ax1.2a貝y函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(旦，1).2ra(3)當(dāng)-1，即a2時(shí)，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,).aa(4) 當(dāng)-1，即a2時(shí)，令f(x)0，得0 x1或x2,貝U函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(-,).2令f(x)0，得1x-.2a則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,_).1

14、3 分2(19)(本小題滿(mǎn)分 14 分)2.22abc,解：(i)依題得c乜，解得a24,b21.a2a2.2所以橢圓C的方程為x2彳y1.4分4(n)根據(jù)已知可設(shè)直線(xiàn)I的方程為yk(x1).,yk(x1),+2222由22得(4k1)x8kx4k40.x4y40(川)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍與3倍共20個(gè)數(shù)如下:20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大數(shù)之和與最小數(shù)之和的差為20372131，所以S()131,設(shè)E(xi,yi),Fg,y2),則捲沁8k24k21，XlX24k244k21直線(xiàn)AE,AF的方程分別為：y丿一(x2),y(x2),x-i2x22令x3，則M(3,-),N(3,),所以P(3,-(紅)x12x222x12x22所以kkkk(X11)(X22)k(X21)(X12)4(x,2)(X22)2k2x1x23(%x2)44x1x22(x1x2)48k2824k216k244k2144k2416k216k244k21k24144k24.14 分(20)(本小題滿(mǎn)分 13 分)10解：(I)S()12xk3xk1176543