初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2 、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3 、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫 中垂線）；3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4 、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5 、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這

2、兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二 點(diǎn)C在圓內(nèi);二 點(diǎn)B在圓上;二 點(diǎn)A在圓外;二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 二2、點(diǎn)在圓上 二3、點(diǎn)在圓外二三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離2、直線與圓相切=d r = 無交點(diǎn)；=d = r = 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交=d r = 有兩個(gè)交點(diǎn);四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）二外切（圖2）二相交（圖3）二內(nèi)切（圖4）二內(nèi)含（圖5）二無交點(diǎn) 一有一個(gè)交點(diǎn)一有兩個(gè)交點(diǎn)一有一個(gè)交點(diǎn)一無交點(diǎn) 一d R r ;d=Rr;R - r ： d ： R r ;d=R-r；d:R-r；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1

3、： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即:AB是直徑 AB _L CD CE = DE 弧BC =弧BD 弧AC =弧ADAB中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。中，.AB / CD弧 AC =弧 BD六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定

4、理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論，即： /AOB =/DOE; AB = DE;OC =OF ;弧BA =弧BD七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：: NAOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角. AOB = 2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。患矗涸?。中，/C、/D都是所對(duì)的圓周角 . C -D推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在。中，.AB是直徑或./C=90!i /C = 90*

5、AB 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是 直角三角形。即：在 ABC 中，.OC=OA = OB， ABC是直角三角形或 /C=90注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一 半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在。O中， .四邊形 ABCD是內(nèi)接四邊形 . . C BAD =180 BD =180.DAE =./C九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：: MN _LOA且

6、MN過半徑OA外端 MN是。O的切線(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理： 即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長定理 切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：: PA、PB是的兩條切線PA = PBPO平分NBPAH一、圓哥定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P,PA PB = PC PD(2)推論：如果弦與

7、直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在。中，直徑 AB1CD , CE2 =AE BE(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切 線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 即：在。中，.PA是切線，PB是割線PA2 = PC PB(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等(如上圖) 即：在。中，PB、PE是割線 PC PB = PD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓 的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB o即：01、o O2相交于A、B兩點(diǎn)O1O2垂直平分AB十三

8、、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：(1)公切線長： Rt幻Q2C 中，AB2 =CO12 = JO1O22 _CO22 ；(2)外公切線長： CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1)正三角形在O O中4 ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtABOD中進(jìn)行:OD : BD :OB =1:而:2 ；(2)正四邊形同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在 RtAOAE中進(jìn)行,OE : AE :OA=1:1:展:(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在R3OAB 中進(jìn)行，AB:OB:OA = 1: 73:2.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：(1)弧長公式：i=nLR；1

9、8024(2)扇形面積公式：S=n-R-lR3602n :圓心角 R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 l :扇形弧長 S :扇形面積2、圓柱：(1)圓柱側(cè)面展開圖Sa = Stt 2s底=2二0 2二 r22(2)圓枉的體積：V =nr haD D1母線長B底面圓周長C1(3)圓錐側(cè)面展開圖(1)Sa = Stt + S =71 Rr + 71 r212(2)圓錐的體積： V = nr h二.中考聚焦:3圓這一章知識(shí)在中考試題中所占的分?jǐn)?shù)比例大約如下表:內(nèi)容圓的有美性質(zhì)直線和圓的八/位直大系圓與圓的位置 關(guān)系正多邊形和圓所占分?jǐn)?shù)百分比5% 15%8% 16%3% 12%2% 8%圓的知識(shí)在中考中所占的比

10、例大，題型多，常見的有填空題、選擇題、計(jì)算題或證明題,近年還出現(xiàn)了一些圓的應(yīng)用題及開放型問題、設(shè)計(jì)型問題，中考的壓軸題都綜合了圓的知識(shí)。圓中考試題集錦、選擇題1.（北京市西城區(qū)）如圖,BC是。O的直徑,P是CB延長線上一點(diǎn)，PA切。O于點(diǎn) A,如果 PA= J3, PB= 1,那么/APC?于（）（切割線定理）(A) 15(B) 30(C) 45(口 602.（北京市西城區(qū)）如果圓柱的高為20厘米,1底面半徑是高的 ,那么這個(gè)圓柱4的側(cè)面積是（）（圓柱展開圖）（A） 100兀平方厘米（B） 200兀平方厘米（C） 500兀平方厘米（D） 200平方厘米3.（北京市西城區(qū)）“圓材埋壁”是我國古代

11、著名的數(shù)學(xué)菱九章算術(shù)中的一個(gè)問題,“今在圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“如圖,CD為。的直徑，弦 AB CD垂足為E, CE= 1寸，AB= 10寸，求直徑CD的長”.（）（垂徑定理）25(A) 25 寸2(B) 13 寸(C) 25 寸(D) 26 寸4.（北京市朝陽區(qū)）已知：如圖，OO半徑為5PC切。O于點(diǎn)C, PO。于點(diǎn)A PA= 4,那么PC的長等于）（切線的性質(zhì)）(A) 6(B) 25(C) 2 10(D) 2 . 145.（北京市朝陽區(qū)）如果圓錐的側(cè)面積為20兀平方厘米，它的母線長為5厘米，那么此圓錐的底面半徑的長等于）

12、（圓錐的展開圖）（A） 2厘米（B） 2引萬厘米(04厘米(D) 8厘米米，則這兩圓的圓心距為（）（公共弦定理）17厘6.（天津市）相交兩圓的公共弦長為16厘米，若兩圓的半徑長分別為10厘米和(A) 7厘米(B)16厘米CO 21厘米(D) 27厘米7.（沈陽市）如圖,PA切。O于點(diǎn) A PBOO O的割線且過圓心,PA= 4, PB= 2,則）（切割線定理）(A) 3(B)(C) 6(D) 88.（甘肅?。┤鐖D,AB是。的直徑，/ C= 30；則/ ABD=（圓周角）(A) 30(B) 40(C) 50(D) 609.（甘肅省）弧長為6兀的弧所對(duì)的圓心角為60 :則弧所在的圓的半徑為（）（弧

13、長公司）(A) 6(B)6 . 2(C) 12(D) 1810 .（寧夏回族自治區(qū)） 已知圓的內(nèi)接正六邊形的周長為18,那么圓的面積為（）（內(nèi)接正多邊行的計(jì)算）（A） 18 %（B） 9Tt（C） 6兀（D） 3兀11 .（安徽?。┮阎獔A錐的底面半徑是3,高是4,則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的面積是（）（圓錐展開圖）(A) 12 兀(B) 15兀(C) 30%(D)24 兀12 .（安微?。┮阎的直徑AB與弦AC的夾角為30；過C點(diǎn)的切線PC與AB延長線交P. PC= 5,則。O的半徑為（）（切線的性質(zhì)）(B)(Q 10(D) 513 .（福州市）如圖：PA切。O于點(diǎn) A PBC是。的一條割線，有 PA=3 22 , PB= BC那么BC的長是（）（切割線定理）(A) 3(B) 3亞(C) 1( B) r 2(C) 2 r3(D) 1r5、解答題:1 .（河北?。┮阎喝鐖D， BC是。0的直徑，AC切。0于點(diǎn)C, AB交。O于點(diǎn)D,若AD： DB=2 ： 3, AC= 10,求 sin B的值.2 .（寧夏回族自治區(qū)）如圖，在兩個(gè)半圓中，大圓的弦MN與小圓相切，D為切點(diǎn)，且 MN/AB, MN= a, ON CD分別