初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、按定義求導(dǎo)數(shù)一、按定義求導(dǎo)數(shù)三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則二、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)八、高階導(dǎo)數(shù)八、高階導(dǎo)數(shù)第1頁/共39頁一、按定義求導(dǎo)數(shù)一、按定義求導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )(),0f xC Cy 設(shè)函數(shù)為常數(shù)則00 lim0 xyyxx 即2冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(),nyxn設(shè)函數(shù)為正整數(shù) 由二項(xiàng)式定理有212(1)()()(

2、)2!nnnnnn nyxxxnxxxxx . 0)(常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零 C所所以以第2頁/共39頁12100(1) limlim()()2!nnnxxyn nnxxxxx 1nnx3. 3. 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)sin ,sin()sinyxyxxx 設(shè)函數(shù)則00sin2 limlim cos()cos22xxxyxxxxx .)(1nnnxx即即 xxsin)(cos即即同理同理 xxcos)(sin2cos()sin22xxx=第3頁/共39頁4對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)log(01),ayx aa設(shè)函數(shù)且則log ()loglog (1)aaax

3、yxxxx 00011 limlimlog (1)log lim(1)11 loglnxxxxaaxxxayxxxxxxxexxa axxaln1)(log即即特別地，特別地，ae時(shí)時(shí)xx1)(ln第4頁/共39頁并且并且處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零差、積、商差、積、商則它們的和、則它們的和、處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1 (2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則二、函數(shù)四

4、則運(yùn)算的求導(dǎo)法則第5頁/共39頁證證(1)(1)( )( )( )f xu xv x設(shè)0()( )( )limxf xxf xfxx 0 ()() ( )( )limxu xxv xxu xv xx 0 ()( ) ()( )limxu xxu xv xxv xx ( )( )u xv x第6頁/共39頁證證(3)(3)( )( ), ( ( )0),( )u xf xv xv x設(shè)0()( )( )limxf xxf xfxx 0() ( )( ) ()lim() ( )xu xx v xu x v xxv xx v xx 0()( )()( )limxu xxu xv xxv xx 第7頁

5、/共39頁0 ()( ) ( )( ) ()( )lim() ( )xu xxu x v xu x v xxv xv xx v xx 0()( )()( )( )( )lim() ( )xu xxu xv xxv xv xu xxxv xx v x 2( ) ( )( ) ( ) ( )u x v xu x v xv x第8頁/共39頁推論推論nnuuuuuu 2121)() 1 (nnnnuuuuuuuuuuuu 21212121)()3(2)()CuCu()C為任意常數(shù)第9頁/共39頁2lnsinxxy例例2-5 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y1cos2xxxxxyln)102(24例例2-6

6、 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y42421(210) ln(210)yxxxxxx解解解解(sinln2)()(sin )(ln2)yxxxx42421()(2)(10) ln(210)xxxxxx3310(44 )ln2xxxxxx23104 (1)ln2x xxxxx第10頁/共39頁解解sin(tan )()cosxyxx2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx例例2-7 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求ytanyx222cossincosxxx221seccosxx.csc)(cot2xx 同理可得同理可得.sec)(tan2xx即即第11頁/共39頁解解1(sec )()cos

7、yxx2(cos )cosxxsec tan .xx2sincosxx.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得xxxtansec)(sec即即例例2-8 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求ysecyx第12頁/共39頁例例2-9 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y2lnsinxyxxx解解2ln(sin)xyxxx2ln(sin )()xxxx222(ln )( ) ln() sin(sin )x xxxxxxxx221ln2 sincosxxxxxxxx221 ln2 sincosxxxxxx第13頁/共39頁三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理2-1 ( )( )0,( ),1 ( ).

8、( )yxxyIyyf xIfxy如果函數(shù)在某區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且那末它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間 內(nèi)也可導(dǎo)且有即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)數(shù). .第14頁/共39頁( )yf x由的單調(diào)性可知0,y 于是有于是有1,yxxy( ),f x連續(xù)0(0),yx ( )0y又知0( )limxyfxx 01limyxy 1( )y證明證明,xxI任取xx給 以增量(0,)xxxxI 1( ).( )fxy即即第15頁/共39頁.xya求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例2-10解解 log,log(0,),xyyaayaxx與互為反函數(shù)在上單調(diào)可導(dǎo) 且1(log)0lnayy

9、a (,),xya 所以它的反函數(shù)在上也可導(dǎo) 且1()lnln(log)xxaayaaay 即即aaaxxln)(特別地特別地,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),aexxee )(第16頁/共39頁解解sin(,),22yxyI 在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(sin )cos0,yy 且( 1,1)xI 在內(nèi)有1(arcsin )(sin )xy 1cos y211 sin y21.1x.11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arcarcsin.yx求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例2-11即即)(arcsin x.112x 第17頁/共39頁四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理

10、2-2為為且其導(dǎo)數(shù)且其導(dǎo)數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)在在而而處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(,)(,)( xxfyuxufyxxu 即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)，等于因變量對(duì)中間變量因變量對(duì)自變量求導(dǎo)，等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)求導(dǎo)，乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鎖鏈法則鎖鏈法則) ) )()()(xufxf或或dxdududydxdy0( )(lim0)uyf uu 故( )yf uuu 則證明證明( ),yf uu由在點(diǎn) 可導(dǎo)則有則有0lim( )xyf ux 第18頁/共39頁0limxyx 0lim( )xuuf uxx

11、 000( ) limlimlimxxxuuf uxx ( )( ).fux推推廣廣( ),( ),( ),yf uuvvx設(shè)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為( )yfx .dxdvdvdududydxdy)()()(xvufy或或第19頁/共39頁解解43,sin ,yuuxx令則43() (sin )dy duyuxxdu dx324(3cos )uxx3324(sin ) (3cos )xxxx解解2ln ,cos ,yu uv vx令則例例2-12 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y34(sin )yxx例例2-13 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y2lncosyx第20頁/共39頁2(ln

12、) (cos ) ()dy du dvyuvxdu dv dx221( sin) (2 )2 tanxxxxu 例例2-14 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y3212yx 比較熟練后比較熟練后,中間變量不必寫出來中間變量不必寫出來,直接按鎖鏈法則對(duì)直接按鎖鏈法則對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).解解12222331(1 2) (1 2)(1 2)3yxxx2231(1 2)( 4 )3xx22343 (1 2)xx第21頁/共39頁 例例2-15 證明冪函數(shù)的求導(dǎo)公式證明冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 對(duì)任意實(shí)對(duì)任意實(shí)數(shù)指數(shù)數(shù)指數(shù) 成立成立.1()aaxax a證明證明 將將 化為化為 ,則則ayxlnaxyelnln

13、()( ln )axaxyeeaxln11axaaaexaxaxx例如例如,112211()()22xxxx12211( )()xxxx 第22頁/共39頁例例2-16 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求ysinxyxsin lnsin ln()(sin ln )xxxxyeexx解解 為冪指函數(shù)為冪指函數(shù), 將其將其化為化為 ,則則sin lnxxyesinxyxsin(sin ) lnsin (ln ) xxxxxxsinsin(cos ln)xxxxxx例例2-17 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求ysin2 lnsinyxx解解(sin2 lnsin )yxx(sin2 ) lnsinsin2 (lns

14、in )xxxx第23頁/共39頁1(cos2 ) 2 lnsinsin2cossinxxxxx 22cos2 lnsin2cosxxx解解00()()ktktdNN eN ektdt00()ktktN ekkN e 由上可知由上可知 ,這表明碘的減少速率與它當(dāng)時(shí)所這表明碘的減少速率與它當(dāng)時(shí)所dNkNdt 存在的量成正比存在的量成正比. 例例2-18 放射性同位素碘放射性同位素碘 廣泛用來研究甲狀腺的功能廣泛用來研究甲狀腺的功能.現(xiàn)將含量為現(xiàn)將含量為 的碘的碘 通過靜脈推入病人的血液中通過靜脈推入病人的血液中,血液中血液中 時(shí)刻碘的含量為時(shí)刻碘的含量為 (其中其中 為正常數(shù)為正常數(shù)),試求血試

15、求血131I131I0Nt0ktNN edNdt液中碘的減少速率液中碘的減少速率 .k第24頁/共39頁解解1()2yxxxxxx11(1() )22xxxxxxx111(1(1)222xxxxxx224218xx xxxxxxx x.yxxx求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例2-19第25頁/共39頁五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果聯(lián)系兩個(gè)變量如果聯(lián)系兩個(gè)變量 和和 的函數(shù)式是由方程的函數(shù)式是由方程 來確定的，這樣的函數(shù)稱為來確定的，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù).( ,)0F x y yx( ).yf x形式稱為顯函數(shù)( , )0F x y ( )yf x隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化例如例如310 x

16、y 31yx（顯化）（顯化）543sin51yxyx（不能顯化）（不能顯化）問題問題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? 直接從方程直接從方程 兩邊來求導(dǎo)兩邊來求導(dǎo),稱為隱函數(shù)的稱為隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則.( ,)0F x y 第26頁/共39頁y22220 xyyab解得解得22b xya y 解解 方程兩邊分別關(guān)于方程兩邊分別關(guān)于 求導(dǎo)求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運(yùn)算法則有和四則運(yùn)算法則有x 例例2-20 已知函數(shù)已知函數(shù) 是由橢圓方程是由橢圓方程 所確定所確定的的,求求 y22221xyab第27頁/共39頁 例例2-21 已知函數(shù)

17、已知函數(shù) 是由方程是由方程 確定的確定的.求求 和和y0 xy 解解 方程兩邊分別關(guān)于方程兩邊分別關(guān)于 求導(dǎo)求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運(yùn)算法則有和四則運(yùn)算法則有xye yyxy解得解得yyyex 0,1.xy當(dāng)時(shí) 從原方程解得1001xxyyyyeex所以所以yyexye第28頁/共39頁 例例2-22 設(shè)生物群體總數(shù)的生長(zhǎng)規(guī)律為設(shè)生物群體總數(shù)的生長(zhǎng)規(guī)律為 011rtlxxle其中其中 均為常數(shù)均為常數(shù),且且 .試求生長(zhǎng)率試求生長(zhǎng)率0, ,l r x0l ( ).x t解解 將將 寫成如下形式寫成如下形式011rtlxxle0(1)0rtxlexxl兩邊對(duì)兩邊對(duì) 求導(dǎo)得求

18、導(dǎo)得t01rtrtrtrtrlexrlexlexxxle整理得整理得020(1)() ()(1)(1)rtrtx rll erxrkx xklexl第29頁/共39頁六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 方法方法: 先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :( )( ).v xu x多個(gè)函數(shù)相乘除和冪指函數(shù)的情形解解 兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得1lnln(1) ln(2) ln(3) ln(4)3yxxxx兩邊對(duì)兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得x例例2-23 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y3(1)(2)(3)(4)xxyxx第

19、30頁/共39頁111111()31234yyxxxx 31(1)(2)1111()3(3)(4)1234xxyxxxxxx所以所以解解 兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得lnsinlntanyxxx上式兩邊對(duì) 求導(dǎo)得211cos lntansinsectanyxxxxyx sin(tan )xyx例例2-24 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y(cos lntansec )yyxxxsin(tan )(cos lntansec )xxxxx第31頁/共39頁2()0(sin)cos(tan)sec(sec)sectanCxxxxxxx 1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式12()(cos )s

20、in(cot)csc(csc )csccotxxxxxxxxx ()ln1(log)lnxxaaaaxxa ()1(ln )xxeexx 七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第32頁/共39頁221(arcsin)11(arctan)1xxxx 221(arccos )11(cot )1xxarcxx2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 )()()(xufxfx或或dxdududydxdy3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( ),( )yf u ux設(shè)設(shè)可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則( ),( )uu x vv x(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()uvuv()cu

21、cu(c是常數(shù)）()uvu vuv2.uu vuvvv第33頁/共39頁八、高階導(dǎo)數(shù)八、高階導(dǎo)數(shù)即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù),)()(xxfxf0()( )( )limxfxxfxfxx ,( )( ).fxf xx存在 則稱為函數(shù)在點(diǎn) 處的二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), .)(,),(4444)4()4(dxxfddxydyxf二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.)(,),(3333dxxfddxydyxf 記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(, nxfnxf第34頁/共39頁.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以