通原第3章隨機(jī)過(guò)程

1、 樊昌信 曹麗娜 編著 隨 機(jī) 過(guò) 程 隨機(jī)過(guò)程的基本概念平穩(wěn)、高斯、窄帶過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性正弦波加窄帶高斯過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)高斯白噪聲和帶限白噪聲 本章內(nèi)容 隨機(jī)過(guò)程 de 基本概念t tt t1 1t t2 2n 定義定義：n 屬性屬性：n 特性描述特性描述：何謂隨機(jī)過(guò)程？n 一維分布函數(shù)11111() ( )F xtPtx，1111111()()F xtf xtx，一維概率密度函數(shù)3.1.1 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)n 二維分布函數(shù)二維概率密度函數(shù))(),(2121221212122ttxxfxxttxxF，；，；，221121212)()()(xtxtPttxxF，；，-描述孤立

2、時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性n n 維分布函數(shù)n 維概率密度函數(shù) 1( )( , )Etxf x t dxa t22( )( )tEt-擺動(dòng)中心n 方差-偏離程度當(dāng)當(dāng) a(t)=0 時(shí)：時(shí)： - t 的確定函數(shù)n 均值-描述隨機(jī)過(guò)程的主要特性3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 為常數(shù)或確知信號(hào)為常數(shù)或確知信號(hào)則則統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，、如如)(,)()(,)()(tktEtktktEtEtktktEtEtEttEtttEtEtEtttEnn 2121212121期望的性質(zhì)期望的性質(zhì)方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 為常數(shù)或確知信號(hào)為常數(shù)或確知信號(hào)則則統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，、如果如果tktDtktktDtDtktDtDtDttD

3、tt 2212121,令 ， 則有：1211( , )( ,)R t tR t tn 互相關(guān)函數(shù)n 自相關(guān)函數(shù)-同一過(guò)程的關(guān)聯(lián)程度21-tt-兩個(gè)過(guò)程的關(guān)聯(lián)程度3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 n 狹義平穩(wěn)u 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 一維分布則與時(shí)間一維分布則與時(shí)間t t 無(wú)關(guān)：無(wú)關(guān)： 二維分布只與間隔二維分布只與間隔有關(guān)：有關(guān)：n 廣義平穩(wěn)u 均值與時(shí)間均值與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān): :u 相關(guān)函數(shù)僅與相關(guān)函數(shù)僅與 有關(guān)有關(guān): :11111( , )()f x tf x21212212( ,; , )( ,; )fx x t tfx x注意注意：3.2.1 定義

4、設(shè)設(shè)x(t) 是平穩(wěn)過(guò)程的任一個(gè)實(shí)現(xiàn)，是平穩(wěn)過(guò)程的任一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間平均值為：它的時(shí)間平均值為：/2/2/2/21( )lim( )1( )lim( ) ()TTTTTTax tx t dtTRx t x tdtT遍歷遍歷注意注意：意義意義：含義含義：3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）( )( ( ) ()REtt2(0)( )REtS22( ) ( )REta ( )()RR2(0)( )RR ( )(0)RR2 ( )() 0 2 (0)2 ( )0EttRR2( )lim ( ) () ( ) () ( )REttEt EtEt -平均功

5、率平均功率-直流功率直流功率-交流功率（方差）交流功率（方差）-偶函數(shù)偶函數(shù)-上上 界界n 重要性質(zhì)：3.2.3 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)n 樣本的功率譜：統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均2( )( )li)m(xTTE XPfPfTfE2( )m( )lixTTPXfTfn 過(guò)程的功率譜-截短函數(shù)截短函數(shù)3.2.4 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度（PSD）)()(PR0)(P)()(PP 當(dāng) =0時(shí)，有平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換：維納-辛欽定理 PSD 性質(zhì)：u偶函數(shù)： u非負(fù)性： l 自相關(guān)函數(shù)的意義自相關(guān)函數(shù)的意義？作用作用？ l 功率譜密度的意義功率譜密度的意義？作用作用？解題思路：第1步：判

6、斷 是否平穩(wěn)，即求其統(tǒng)計(jì)平均值 若均值為常數(shù)，且自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間 間隔 有關(guān)， 則 是廣義平穩(wěn)的。第2步：求 的時(shí)間平均值)(t第3步：比較 統(tǒng)計(jì)平均值 和 時(shí)間平均值)(t)(t參見(jiàn)教材41頁(yè)解題過(guò)程：例例3.3 高斯隨機(jī)過(guò)程 （1）若廣義平穩(wěn)，則狹義平穩(wěn)； （2）若互不相關(guān)，則統(tǒng)計(jì)獨(dú)立； （3）若干個(gè)高斯過(guò)程的代數(shù)和仍是高斯型； （4）高斯過(guò)程線性變換高斯過(guò)程。3.3.1 定義3.3.2 重要性質(zhì)( ) t1( )( )2aaf x dxf x dx( )1f x dx關(guān)于直線關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱對(duì)稱性質(zhì)：性質(zhì)：-集中程度集中程度a-分布中心分布中心n 一維概率密度函數(shù)記為記為(a ，

7、2) 3.3.3 高斯隨機(jī)變量1)(erf0)0(erfu誤差函數(shù)誤差函數(shù)n 正態(tài)分布函數(shù)函數(shù)u補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)0)(erfc1)0(erfc利用誤差函數(shù)，可將利用誤差函數(shù)，可將F(x)表示為：表示為：11222( )1122xaerfxaF xxaerfcxa，)()(xerfxerf( )1( )cerfxerf x )(2)(xerfcxerfc意義：3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 通過(guò)線性系統(tǒng)輸入有界且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，有 o( ) t( )iti ( )Etao( )(0)Eta Hi( )P f2oi( )( )( )P fH fP fii( )( )RP foo( )( )RP f 是

8、線性系統(tǒng)的直流增益； 2( )H f0)()0(dtthHo( ) t( )it平穩(wěn)、高斯平穩(wěn)、高斯平穩(wěn)、高斯平穩(wěn)、高斯常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)是功率增益3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶系統(tǒng)的隨機(jī)信號(hào)或噪聲0ccfffn 窄帶條件：n 示意圖： 可視為包絡(luò)緩慢變化 的正弦波n 表達(dá)式：( )cos,( )( )(0)cttaa ttt包絡(luò)相位形式包絡(luò)相位形式( )( )( )cossincsccttttt同相正交形式同相正交形式隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)相位隨機(jī)相位同相分量同相分量正交分量正交分量n 兩者關(guān)系：n 統(tǒng)計(jì)特性：3.5.1 同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性( )( )( )cossincsccttttt根據(jù)

9、上式和窄帶過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，可推出： 均值均值 0 0、方差方差 的的平穩(wěn)平穩(wěn)高斯高斯窄帶窄帶過(guò)程過(guò)程 ，它的，它的 2平穩(wěn)、高斯正交分量同相分量同樣也是)()(ttsc222cs0)0(SCR并且并且 互不相關(guān)互不相關(guān)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立高斯高斯均值均值 0 0平均功率相同平均功率相同結(jié)論1且且 均值為均值為0 0，方差也相同：，方差也相同：按照推導(dǎo)思路：借助結(jié)論1,根據(jù)關(guān)系：3.5.2 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性推出結(jié)論2： 均值均值0 0 、方差方差 的的平穩(wěn)平穩(wěn)高斯高斯窄帶窄帶過(guò)程過(guò)程 ，它的，它的u包絡(luò)瑞利分布：包絡(luò)瑞利分布： u相位均勻分布：相位均勻分布： 且且 2 -統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立結(jié)論2

10、3.6 正弦波加窄帶高斯過(guò)程窄帶高斯噪聲 ( 0, )n合成信號(hào)：cos( )( )cz ttt( )cos( )sinccscn ttn tt( )cos()(crAtn tt( )cos( )sinccScz ttztt關(guān)心-z(t) 的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性:2常數(shù) 隨機(jī)相位在(0，2)上均勻分布在在給定給定條件下，利用條件下，利用3.5.2節(jié)節(jié)的推導(dǎo)方法和的推導(dǎo)方法和結(jié)論結(jié)論2。n分析思路：n推導(dǎo)結(jié)果： 討論：討論：萊斯萊斯分布分布注：注：u f()不再服從均勻分布不再服從均勻分布3.7 高斯白噪聲 和 帶限白噪聲白噪聲僅在 =0（同一時(shí)刻）時(shí)才相關(guān)。1. 白噪聲理想的寬帶過(guò)程其功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)：0( )( )2nR 0( )2nPn0 -常數(shù) (W/Hz)2. 高斯白噪聲-指概率分布服從高斯分布的白噪聲。高斯白噪聲高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 3. 帶限白噪聲-白噪聲通過(guò)帶寬有限的信道或?yàn)V波器的情形。常見(jiàn)形式：常見(jiàn)形式：0