一類向量矩陣的初等變換及其某些特的研究

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一類向量矩陣的初等變換及其某些特的研究一類向量矩陣的初等變換及其某些特性的研究一類向量矩陣的初等變換及其某些特性的研究數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生：王雁萍 指導(dǎo)老師：李龍摘 要：本文根據(jù)已有的實矩陣的一些重要特性，將矩陣中的某些實元素推廣到有限維向量，在此基礎(chǔ)上定義兩種向量矩陣，得出了這些向量矩陣的初等變換規(guī)律和其他某些特性，并修正了已有文獻(xiàn)中關(guān)于向量線性方程組的一些錯誤。關(guān)鍵詞：向量矩陣；初等變換；初等矩陣引言張素梅老師在文獻(xiàn)1中，定義了一種向量矩陣，研究了該向量矩陣的初等變換。李振宇老師在文獻(xiàn)2中，定義了另

2、一種向量矩陣研究該矩陣的初等變換，并得出類似于高等代數(shù)中“對于一個矩陣作初等行變換就相當(dāng)于在的左邊乘上一個相應(yīng)的初等矩陣；對作初等列變換就相當(dāng)于在的右邊乘上一個相應(yīng)的初等矩陣”的結(jié)論。本文考慮將矩陣中的某些實元素推廣到有限維向量由此定義一種新的向量矩陣，并進(jìn)一步研究該向量矩陣的初等變換規(guī)律和其他某些特性。首先給出行（列）向量矩陣和初等變換的定義，由這個定義，得到了類似于高等代數(shù)中實矩陣的初等變換的基本定理及各種運算性質(zhì)，揭示了向量矩陣的初等變換的實質(zhì)建立起了向量矩陣與數(shù)字矩陣的聯(lián)系。1 已有文獻(xiàn)中向量矩陣的定義1.1 文獻(xiàn)1中向量矩陣的定義定義 由向量空間中的向量組成的矩陣，稱作數(shù)域上的向量矩

3、陣。1.2 文獻(xiàn)2中向量矩陣的定義設(shè)變量能用變量線性地表示，即 （1）其中；分別是實數(shù)域上的維和維向量空間（或線性空間）和中的向量，。向量空間（或線性空間，簡記為）中的元素不論其本來的性質(zhì)如何，統(tǒng)稱為（實）向量。這種從變量到變量的變換稱為線性變換。線性變換（1）中的系數(shù)和向量可以構(gòu)成一個矩陣：線性方程組 （2）稱為實數(shù)域上的向量空間（或線性空間）中的向量線性方程組。其中，為上的未知向量， 為上的已知向量（常向量），。（2）式中的系數(shù)和中的常向量也可以構(gòu)成一個矩陣定義 稱為數(shù)域上的向量空間的行（或列）向量矩陣，如果中有且僅有一行（或列）為中的向量。2 向量矩陣的定義2.1 行（或列）向量矩陣的定

4、義定義1 一個矩陣有一行（或列）或幾行（或列）全是實數(shù)域上維向量空間上的向量，則稱這個矩陣為行（或列）向量矩陣。如是列向量矩陣；（其中 ，）是列向量矩陣；而（其中，）是行向量矩陣，在下文中就不特意說明了。2.2 同類向量矩陣的定義定義2 兩個矩陣的相同的行（或列）全是上的向量，則稱這兩個矩陣為同類行（或列）向量矩陣，簡稱同類向量矩陣。如與是同類向量矩陣。2.3 零向量矩陣的定義定義3 元素全為零或零向量的向量矩陣為零向量矩陣,記為。很明顯，實矩陣中的零矩陣是零向量矩陣中的一種特殊情況。3 向量矩陣中的初等變換定義4 下面三種變換稱為行（或列）向量矩陣的初等變換i變換行（或列）向量矩陣的兩行（或

5、列）；ii 將一個非零的數(shù)乘以行（或列）向量矩陣的某列（或行）；iii 將行（或列）向量矩陣的某行（或列）乘以一個數(shù)加到另一列（或行）。向量矩陣的初等變換是向量矩陣的一種最基本的運算。三種初等變換相當(dāng)于左乘上三種初等矩陣（行變換），或右乘上三種初等矩陣（列變換）。這里的初等矩陣系指現(xiàn)行高等代數(shù)課本文3中的初等矩陣，即有：定理1 設(shè)為,為行（列）向量矩陣i對行向量矩陣的某列施以某種初等變換，恰等同于用某種階初等矩陣右乘以。ii 對列向量矩陣的某列施以某種初等變換，恰等同于用某種階初等矩陣左乘以。證：僅證交換行向量矩陣中的第列與第列所得到的行向量矩陣等于用初等矩陣右乘。將與單位矩陣分塊為 其中，則

6、有可見交換行向量矩陣中的第列與第列恰等于用初等矩陣右乘。類似地可證其他變換。例1 ：4 向量矩陣中的運算性質(zhì)類似于高等代數(shù)中的矩陣的運算，向量矩陣右如下幾種基本運算性質(zhì)：4.1 向量矩陣中的加法運算 設(shè)矩陣、為同類向量矩陣，其中 性質(zhì)1 交換律：證： 類似地，有性質(zhì)2 結(jié)合律：證： 得證。性質(zhì)3 存在一個同類向量矩陣，使得,其中為零向量矩陣4.2 向量矩陣中的乘法運算性質(zhì)4 ，即向量矩陣的乘法不滿足交換率，其中，為具備高等代數(shù)力矩陣相乘條件的行（列）向量矩陣和列（行）向量矩陣。如：而性質(zhì)5 分配律：，和是同類向量矩陣。4.3 向量矩陣中的數(shù)量乘法令,為單位矩陣，即現(xiàn)行高等代數(shù)課本文3中的單位矩

7、陣，有性質(zhì)6 性質(zhì)7 性質(zhì)8 4.4 向量矩陣的轉(zhuǎn)置性質(zhì)9 證： 可見性質(zhì)9在向量矩陣中是成立的。性質(zhì)10 證： 性質(zhì)11 性質(zhì)12 證： 得證。5 向量線性方程組設(shè)變量能用變量線性地表示，即 （3）其中分別是實數(shù)域上維和維向量空間和上的向量，（）。 （4）其中（）；以上方程組（3）（4）是向量線性方程組的兩種常見形式，若方程（3）的右邊與（4）的右邊分別是零向量和零， （5）這里的0表示零向量； （6）這里表示實數(shù)零。（5）（6）為方程（3）（4）對應(yīng)的齊次方程組。若方程（3）有解， ，否則方程無意義，設(shè)是（3）的解，則=稱為（3）的解向量。顯然（3）可寫成矩陣的形式 （7）其中，若方程（4

8、）有解，否則方程無意義。顯然（4）可寫成矩陣形式 （8）其中，根據(jù)（5），（6）可以給出解向量的性質(zhì)性質(zhì)13 若，為（5）或（6）的解，則+也是（5）或（6）的解；性質(zhì)14 若為（5）或（6）的解，則也為（5）或（6）的解；性質(zhì)15 若，為（7）或（8）的解，則-為（5）或（6）的解；性質(zhì)16 若為（7）或（8）的解，為（5）或（6）的解，則+仍為（7）或（8）的解。參考文獻(xiàn)1 張素梅.兩種特殊矩陣的初等變換J.邯鄲師專學(xué)報.2002，12(03):17-182 李鎮(zhèn)雨.初等變換及其應(yīng)用J.安徽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1993,(02):18-243 王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.北京:高等教育

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10、h on Elementary Transformation and Some Properties of a kind of Vector MatrixDepartment: Mathematics and Computational Science Specialty: Mathematics and Applied MathematicsName: Wang Yanping Tutor: Li LongAbstract: Limited dimension vector matrix is studied in this paper by extending its elements from real number to limited dimension vector. Based on this concept, two kinds of vector matrix are defined and some elementary transformation rules and other characters of the vector matrix are also obta