計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)-05-第四章

1、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)第四章 圖形的幾何變換 對(duì)于一個(gè)繪圖系統(tǒng)來(lái)說，不僅能用圖形基本元素的集合構(gòu)成復(fù)雜的二維靜態(tài)圖形而且可以通過三維的幾何體來(lái)定義零件的空間模型，還可以令該模型圍繞任一指定的軸旋轉(zhuǎn)，以利于從某一最有利的角度去觀察它，對(duì)它進(jìn)行修改。軟件的這些功能是基于圖形變換的原理實(shí)現(xiàn)的。圖形變換是計(jì)算機(jī)繪圖的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。 引引 言言 圖形分類： 圖形變換一般是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變圖形變換一般是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形換后產(chǎn)生新的圖形 圖形變換既可以看做坐標(biāo)系不動(dòng)而圖形變動(dòng)，變動(dòng)后的圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值發(fā)生變化，也可以看做圖形不動(dòng)二坐標(biāo)系變動(dòng)，變動(dòng)后，該圖形在新的坐標(biāo)系下

2、具有新的坐標(biāo)值。這兩種情況在本質(zhì)上是一樣的本質(zhì)上是一樣的 應(yīng)用例：鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)描述應(yīng)用例：鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)描述第四章第四章 圖形的幾何變換圖形的幾何變換 第四章第四章 圖形變換圖形變換 本本 章章 要要 點(diǎn)點(diǎn)4 41 1 圖形變換的方法圖形變換的方法 體體是由是由若干面若干面構(gòu)成的，構(gòu)成的，面面是由是由線線組成，組成，點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌的運(yùn)動(dòng)軌跡是跡是線線。構(gòu)成圖形的基本要素是。構(gòu)成圖形的基本要素是點(diǎn)點(diǎn)。 圖形的表示方法：圖形的表示方法：點(diǎn)：點(diǎn)： 二維（二維（x x，y y） 三維（三維（x x，y y，z z）圖形：圖形： 用用點(diǎn)點(diǎn)的集合表示。的集合表示。22211nnnyxyxyx332

3、2321nnnnzyxzyxzyx二維三維 圖形圖形可用可用點(diǎn)集點(diǎn)集表示，點(diǎn)集可用表示，點(diǎn)集可用矩陣矩陣表示。表示。 那么，那么，二維圖形的基本變換二維圖形的基本變換就可以通過就可以通過點(diǎn)集的變換點(diǎn)集的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此對(duì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此對(duì)點(diǎn)的變換點(diǎn)的變換可以通過可以通過相應(yīng)的矩陣運(yùn)算相應(yīng)的矩陣運(yùn)算來(lái)來(lái)實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)。舊點(diǎn)（集）變換矩陣 矩陣運(yùn)算新點(diǎn)（集） 在計(jì)算機(jī)圖形處理中，經(jīng)常需要對(duì)已生成的圖形在計(jì)算機(jī)圖形處理中，經(jīng)常需要對(duì)已生成的圖形進(jìn)行進(jìn)行旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)、平移平移、放大放大或或縮小縮小等幾何變換操作，以生等幾何變換操作，以生成新的圖形信息。由于點(diǎn)是構(gòu)成幾何形體的最基本元成新的圖形信息。由于點(diǎn)是構(gòu)成幾何

4、形體的最基本元素，因此，通過對(duì)構(gòu)成幾何圖形的特征點(diǎn)集的幾何變素，因此，通過對(duì)構(gòu)成幾何圖形的特征點(diǎn)集的幾何變換即可實(shí)現(xiàn)整個(gè)圖形的幾何變換。換即可實(shí)現(xiàn)整個(gè)圖形的幾何變換。 點(diǎn)的變換可以通過矩陣運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，令點(diǎn)的變換可以通過矩陣運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，令稱為變換矩陣。稱為變換矩陣。yxdybxcyaxdcbayx二維基本變換矩陣包括：二維基本變換矩陣包括： 比例變換比例變換 、對(duì)稱變換、對(duì)稱變換、錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換、平移變換平移變換、齊次坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變換dcbaTl 比例變換比例變換變換矩陣為變換矩陣為00yxdyaxdayx)0, 0(00dadaTs原點(diǎn)坐標(biāo)變換后坐標(biāo)討討 論：論：l恒等

5、變換：恒等變換： ，變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。，變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。l等比變換：等比變換： ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，變換后圖形等時(shí)，變換后圖形等比例放大如圖比例放大如圖6-16-1所示。當(dāng)所示。當(dāng) 時(shí)，變換后圖形等時(shí)，變換后圖形等比例縮小。比例縮小。 1 da1 da1 da1 daOXY圖4-2 不等比例變換OXY圖4-1 比例變換（等比例變換）l 若 變換后圖形產(chǎn)生畸變。da 如取變換矩陣為如取變換矩陣為 5 . 0002T520540104010205.00021010102020202010l 鏡射變換鏡射變換 鏡射變換即產(chǎn)生圖形的鏡像，用來(lái)計(jì)算鏡射圖形，也稱鏡射變換即產(chǎn)生圖形的鏡像，用來(lái)計(jì)算鏡射圖形

6、，也稱為為對(duì)稱變換。對(duì)稱變換。 包括包括對(duì)于坐標(biāo)軸對(duì)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)、4545直線直線和和任意直線任意直線的的鏡射變換。鏡射變換。1 1）對(duì)坐標(biāo)軸的鏡射變換對(duì)坐標(biāo)軸的鏡射變換(1)(1) 對(duì)對(duì)X X 軸的鏡射變換軸的鏡射變換yyxx*,*變換矩陣變換矩陣為：Tmx=1001yyxx*,*(2)(2) 對(duì)對(duì)Y Y 軸的鏡射變換軸的鏡射變換變換矩陣為：變換矩陣為：1001Tmy2 2）對(duì)原點(diǎn)的鏡射變換對(duì)原點(diǎn)的鏡射變換故，變換矩陣為：故，變換矩陣為：yyxx*,*yxyxyxTyx10011001Tmo圖4-3 鏡射變換OXY對(duì)Y軸鏡射原始位置對(duì)原點(diǎn)鏡射對(duì)X軸鏡射3 3）對(duì)對(duì)4545線的鏡

7、射變換線的鏡射變換 （2 2）對(duì)對(duì)-45-45線的鏡射變換線的鏡射變換1135cos1135sin由于 故 ： xyyx*,*則變換矩陣為 :0110TOXY圖4-4 45鏡射變換原始位置對(duì)-45線鏡射對(duì)+45線鏡射（1 1）對(duì)對(duì)+45+45線的鏡射線的鏡射由于 ，對(duì)+45線的鏡射應(yīng)有： 145sin45cosxyyx*,*則變換矩陣為 :0110T 錯(cuò)切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。錯(cuò)切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。 在沿在沿X X 軸軸的錯(cuò)切變換中，的錯(cuò)切變換中，y y 坐標(biāo)不變，坐標(biāo)不變，x x 坐標(biāo)有一增量。變換后坐標(biāo)有一增量。變換后原來(lái)平行于原來(lái)平行于Y Y 軸的直線

8、，向軸的直線，向X X 軸方向錯(cuò)切成與軸方向錯(cuò)切成與X X 軸成一定的角度。軸成一定的角度。 在沿在沿Y Y 軸軸的錯(cuò)切變換中，的錯(cuò)切變換中，x x 坐標(biāo)不變，坐標(biāo)不變，y y 坐標(biāo)有一增量。變換后坐標(biāo)有一增量。變換后原來(lái)平行于原來(lái)平行于X X 軸的直線，向軸的直線，向Y Y 軸方向錯(cuò)切成與軸方向錯(cuò)切成與Y Y 軸成一定的角度。軸成一定的角度。l 錯(cuò)切錯(cuò)切 =*yxbxycyxyx11cbTyx=式中式中 11cbT為錯(cuò)切變換矩陣，其中為錯(cuò)切變換矩陣，其中c c 和和b b不同時(shí)為不同時(shí)為0 0 。 （1 1） 沿沿X X 軸向錯(cuò)切軸向錯(cuò)切 令錯(cuò)切變換矩陣 中的b=0，且c0，其變換就是沿X軸

9、方向的錯(cuò)切。即11cbT*yxyxTyxycy x 11c0當(dāng)c0時(shí)，錯(cuò)切沿著X 軸的正向；當(dāng)c0時(shí)，錯(cuò)切沿X軸負(fù)向。錯(cuò)切直線與X軸的夾角為 ccyytg1例題：例題：如果設(shè)c=2 ，對(duì)圖45所示方形圖框進(jìn)行錯(cuò)切變換，有00010103010201201000101010100（2 2） 沿沿Y Y 軸向錯(cuò)切軸向錯(cuò)切 令錯(cuò)切變換矩陣 中的c=0，且b0，其變換就是沿Y 軸方向的錯(cuò)切。即11cbT*yxyxTyxy bx x110b當(dāng)b0時(shí)，錯(cuò)切沿著Y 軸的正向；當(dāng)b0時(shí)，錯(cuò)切沿Y 軸負(fù)向。錯(cuò)切直線與Y 軸的夾角為 例題：例題：如果設(shè)b=2 ，對(duì)圖4-5所示方形圖框進(jìn)行錯(cuò)切變換，有bbxxtg1

10、00201030101001021000101010100a） 原始圖形 b） 沿X軸方向錯(cuò)切 c） 沿Y軸方向錯(cuò)切OXY（30,10） （20,10）（0,10）（0, 0）Y（20,10） （30,10）XOX（10,0）OY（10,10） （10,0）（0,10）Y圖4-5 錯(cuò)切變換 注意注意: : 上面介紹的錯(cuò)切變換的上面介紹的錯(cuò)切變換的錯(cuò)切方向錯(cuò)切方向是指是指第第象限象限而言，其而言，其余象限的點(diǎn)的錯(cuò)切方向應(yīng)作相應(yīng)的改變。余象限的點(diǎn)的錯(cuò)切方向應(yīng)作相應(yīng)的改變。 l旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 *)*,(*),(yxpyxpcossin*sincos*yxyyxxcossinsincosT設(shè)點(diǎn)（x，

11、y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，則點(diǎn)的變換為式中，為旋轉(zhuǎn)變換矩陣。注意注意: : 圖形的旋轉(zhuǎn)是繞圖形的旋轉(zhuǎn)是繞坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，且角，且逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。順時(shí)針為負(fù)。 對(duì)字母T進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)60)l平移變換平移變換 平移是指點(diǎn)從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位平移是指點(diǎn)從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置的直線移動(dòng)，置的直線移動(dòng)，即點(diǎn)即點(diǎn) *)*,(*),(yxpyxp 令令X X、Y Y軸方向的平移量分別為軸方向的平移量分別為x x 和和yy，則則 xyyyxx*yxdybxcyaxdcbayx原因：原因：cycy，bxbx均非常量均非常量原有圖形能實(shí)現(xiàn)平移嗎原有圖形能實(shí)現(xiàn)平移嗎OXY

12、圖4-5 平移變換 可以將二維基本變換矩陣的形式由可以將二維基本變換矩陣的形式由2 22 2階矩陣擴(kuò)充成一階矩陣擴(kuò)充成一 個(gè)個(gè)3 32 2階矩陣，即階矩陣，即23mldcbaT又出現(xiàn)了一個(gè)又出現(xiàn)了一個(gè)新的問題新的問題，即二維圖形的點(diǎn)集矩陣是，即二維圖形的點(diǎn)集矩陣是n n2 2階，而變換階，而變換矩陣是矩陣是3 32 2階，二者無(wú)法相乘，不能進(jìn)行圖形變換運(yùn)算。階，二者無(wú)法相乘，不能進(jìn)行圖形變換運(yùn)算。l齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo) 在齊次坐標(biāo)系中，在齊次坐標(biāo)系中，n n 維空間維空間的位置矢量，用的位置矢量，用n n +1+1維矢量維矢量表示，表示，即即二維空間二維空間的位置矢量用的位置矢量用三維矢量三維矢量

13、表示。表示。yxhyxh為附加坐標(biāo)，是一個(gè)為附加坐標(biāo)，是一個(gè)不為零不為零的參數(shù)。的參數(shù)。 1020例如：例如： 的齊次坐標(biāo)的齊次坐標(biāo) 或或 等無(wú)窮組齊等無(wú)窮組齊次坐標(biāo)次坐標(biāo)。 1102022040 二維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示二維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示：把二維圖形的點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充把二維圖形的點(diǎn)集矩陣擴(kuò)充為為n n3 3階矩陣。階矩陣。 點(diǎn)集矩陣點(diǎn)集矩陣同變換矩陣變換矩陣進(jìn)行乘法運(yùn)算：1yxmldcbamdybxlcyax所以得所以得平移變換矩陣平移變換矩陣為：為：ml1001Tt1yxml1001mylx對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換為：對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換為： 為了使二維變換矩陣具有更多的功能，可將為了使二維變換矩陣具有更多

14、的功能，可將3 32 2階變換矩陣進(jìn)一階變換矩陣進(jìn)一步擴(kuò)充為步擴(kuò)充為3 33 3階矩陣。階矩陣。smlqdcpbaT各元素的功能和各元素的功能和幾何意義各不相幾何意義各不相同，可以分割成同，可以分割成四塊四塊dcba可以實(shí)現(xiàn)圖形的比例、鏡射、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等變換?？梢詫?shí)現(xiàn)圖形的比例、鏡射、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等變換。 ml可以實(shí)現(xiàn)圖形的平移變換?？梢詫?shí)現(xiàn)圖形的平移變換。 Tqp可以實(shí)現(xiàn)圖形的透視變換?？梢詫?shí)現(xiàn)圖形的透視變換。 s可以實(shí)現(xiàn)圖形的全比例變換可以實(shí)現(xiàn)圖形的全比例變換 1.1. 繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換平面圖形繞任意點(diǎn)平面圖形繞任意點(diǎn)p（xp，yp）旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)角角具體步驟：具體步驟：（1 1

15、） 將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點(diǎn)，變換矩陣為：將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點(diǎn)，變換矩陣為：1010001ppyxt1T（2 2） 將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 角，變換矩陣為：角，變換矩陣為：1000cossin0sincosr2T（3） 將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來(lái)位置，變換矩陣為：將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來(lái)位置，變換矩陣為：1010001ppt3yxT因此，繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：因此，繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：321trtTTTT1010001ppyx1000cossin0sincos1010001ppyx1)cos1 (sinsin)cos1 (0cossin0sincosppppyxyx2.2

16、. 對(duì)任意直線的鏡射變換對(duì)任意直線的鏡射變換設(shè)任意直線的方程為：設(shè)任意直線的方程為：AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0，直線在，直線在x x軸和軸和y y軸上軸上的截距分別為的截距分別為- -C C/ /A A和和- -C C/ /B B，直線，直線與與x x軸的夾角為，軸的夾角為，= =arctgarctg（- -A A/ /B B）。）。 具體步驟：具體步驟：（1 1）平移直線，沿平移直線，沿x x向?qū)⒅本€平移，使其通過原點(diǎn)（也可以沿向?qū)⒅本€平移，使其通過原點(diǎn)（也可以沿y y向向平移），其變換矩陣為：平移），其變換矩陣為：10/010001ACTAC-C /A YXO 圖46 對(duì)任

17、意直線的鏡射變換-C /B1000)cos()sin(0)sin()cos()(RT1000cossin0sincos（3 3）對(duì)于對(duì)于x x軸進(jìn)行鏡射變換，其變換矩陣為：軸進(jìn)行鏡射變換，其變換矩陣為：100010001)(XMT（4 4）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線回到原來(lái)與繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線回到原來(lái)與x x軸成角的位置，變換矩軸成角的位置，變換矩 陣為：陣為：1000cossin0sincos)(RT（2 2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線與繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線與x x坐標(biāo)軸重合（也可以與坐標(biāo)軸重合（也可以與y y軸重合軸重合），變換矩陣如下：），變換矩陣如下：（5 5）平移直線，使其回到原來(lái)位置，變換矩陣為：平

18、移直線，使其回到原來(lái)位置，變換矩陣為：10/010001ACTAC 通過以上五個(gè)步驟，即可實(shí)現(xiàn)圖形對(duì)任意直線的鏡射變換。其通過以上五個(gè)步驟，即可實(shí)現(xiàn)圖形對(duì)任意直線的鏡射變換。其組合變換如下：組合變換如下：1/2sin/) 12(cos02cos2sin02sin2cos)()()(ACACTTTTTTACRXMRAC注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：l組合變換組合變換是通過是通過基本變換基本變換的組合而成的，點(diǎn)或點(diǎn)集的多次變換可的組合而成的，點(diǎn)或點(diǎn)集的多次變換可以一次完成，這要比逐次進(jìn)行變換效率高。以一次完成，這要比逐次進(jìn)行變換效率高。 l由于矩陣的乘法不符合交換律，即：由于矩陣的乘法不符合交換律，即： A

19、 AB BB BA A ，因此，因此，組組合的順序合的順序一般是一般是不能顛倒的不能顛倒的。順序不同，則變換的結(jié)果亦不同。順序不同，則變換的結(jié)果亦不同。 O圖圖4 47 7 先平移后旋轉(zhuǎn)先平移后旋轉(zhuǎn) X X圖圖4 48 8 旋轉(zhuǎn)后平移旋轉(zhuǎn)后平移YYO12三維圖形的變換是二維圖形變換的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，變換的原理還是把齊次坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z,1)通過變換矩陣變換成新的齊次坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z,1)，即 xyz 1xyz1T其中T為三維基本(齊次)變換矩陣：T 齊次變換矩陣：平移縮放旋轉(zhuǎn)錯(cuò)切透視變換整體縮放比例和對(duì)稱變換s000000T0000001xyzssssx y z 1xyz1T1.1.一般情況，一

20、般情況，s sx x,s,sy y,s,sz z0 0，圖形沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向作放縮變換；，圖形沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向作放縮變換；2.2.當(dāng)當(dāng)s sx x=1,s=1,sy y=s=sz z=-1=-1時(shí)，圖形相對(duì)于時(shí)，圖形相對(duì)于x x軸中心對(duì)稱，其余類推軸中心對(duì)稱，其余類推; ;3.3.當(dāng)當(dāng)s sx x-1,s-1,sy y=s=sz z=1=1時(shí)，圖形相對(duì)于時(shí)，圖形相對(duì)于yOzyOz平面對(duì)稱，其余類推平面對(duì)稱，其余類推; ;4.4.當(dāng)當(dāng)s sx x=s=sy y=s=sz z=-1=-1時(shí)，圖形相對(duì)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。時(shí)，圖形相對(duì)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。整體縮放得到：左邊同乘 s xyz1xyzss10000

21、100T0010000ssx y z 1xyz1T平移變換 txyz1xyz1Ttx10000100T0010ttt1yz平移變換矩陣平移變換矩陣旋轉(zhuǎn)變換三維組合變換 與二維組合變換一樣，通過對(duì)三維基本變換矩陣的組合，可與二維組合變換一樣，通過對(duì)三維基本變換矩陣的組合，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)三維物體的復(fù)雜變換。設(shè)坐標(biāo)以實(shí)現(xiàn)對(duì)三維物體的復(fù)雜變換。設(shè)坐標(biāo)P P經(jīng)過經(jīng)過n n次變換次變換T T1 1,T,T2 2, ,T,Tn n到到P P* *，則變換結(jié)果為，則變換結(jié)果為 P P* *=PT=PT1 1T T2 2T Tn n=PT=PT 與二維相同，組合變換時(shí)，同樣需要注意乘法的順序與二維相同，組合變換時(shí)，

22、同樣需要注意乘法的順序繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換 繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換是組合變換，變換過程比較復(fù)雜。首先，繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換是組合變換，變換過程比較復(fù)雜。首先，對(duì)物體作平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換，使得所繞之軸與某一根標(biāo)準(zhǔn)坐對(duì)物體作平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換，使得所繞之軸與某一根標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸重合。然后，繞該標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸作所需角度的旋轉(zhuǎn)。最后，標(biāo)軸重合。然后，繞該標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸作所需角度的旋轉(zhuǎn)。最后，通過逆變換使所繞之軸恢復(fù)到原來(lái)位置。這個(gè)過程須由通過逆變換使所繞之軸恢復(fù)到原來(lái)位置。這個(gè)過程須由7 7個(gè)基本個(gè)基本變換的級(jí)聯(lián)才能完成。變換的級(jí)聯(lián)才能完成。 設(shè)旋轉(zhuǎn)任意軸為設(shè)旋轉(zhuǎn)任意軸為p1（ x1,y1,z1 ）, p2（ x2,y2,z2

23、 ）兩點(diǎn)所定義的）兩點(diǎn)所定義的單位矢量單位矢量(a,b,c)。旋轉(zhuǎn)角度為。旋轉(zhuǎn)角度為 （圖（圖(a) 。這。這7個(gè)基本變換是：個(gè)基本變換是： 1平移平移T(x1,y1,z1)使使p1點(diǎn)與原點(diǎn)重合點(diǎn)與原點(diǎn)重合(圖圖(b)； 2Rx()，使得軸，使得軸p1p2落入平面落入平面xoz內(nèi)內(nèi)(圖圖(c)； 3Ry()，使，使p1p2與與z軸重合軸重合(圖圖(d); 4Rz()，執(zhí)行繞，執(zhí)行繞p1p2軸的軸的角度旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)(圖圖(e)； 5Ry()，作，作3的逆變換的逆變換T3-1 ； 6Rx()，作，作2的逆變換的逆變換T2-1 ； 7T(x1,y1,z1) 作作1的逆變換的逆變換 T1-1 。 注意

24、：注意：210000cossin00sincos00001aaaa3cos0sin00100sin0cos0000111111000010000101xyz4cossin00sincos0000100001其組合變換矩陣為： T T1 T2 T3 T4 T3-1 T2-1 T1-1例：簡(jiǎn)單幾何體的圖形變換例：簡(jiǎn)單幾何體的圖形變換111111222222888888111111xyzxyzxyzxyzTxyzxyz 式中：T為所要進(jìn)行的圖形變換矩陣 假定一六面體ABCDEFGH各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x 1, y 1, z 1）,., (x 8, y 8, z 8)，則經(jīng)過圖形變換后的坐標(biāo)為：舉例舉例

25、四、平移變換四、平移變換4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制二、錯(cuò)切變換二、錯(cuò)切變換一、比例變換一、比例變換三、鏡像變換三、鏡像變換 三維空間點(diǎn)的位置向量可以用三維空間點(diǎn)的位置向量可以用四維四維齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)表示：表示：x y z 1x y z 1或或x y z Hx y z H。 變換矩陣為：變換矩陣為： abcpdefqThijrlmns五、旋轉(zhuǎn)變換五、旋轉(zhuǎn)變換一、比例變換一、比例變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：改變圖形的改變圖形的X X方向比例、方向比例、Y Y方向比例、方向比例、Z Z方向比例方向比例。變換矩陣：變換矩陣：0000000000001aeTj二、錯(cuò)切

26、變換二、錯(cuò)切變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：變換后的平面變換后的平面圖形圖形沿沿X X軸、軸、Y Y軸或軸或Z Z軸方向軸方向傾斜傾斜。 變換矩陣：變換矩陣：1010100001bcdfThi三、鏡像變換三、鏡像變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形對(duì)坐三維圖形對(duì)坐標(biāo)平面標(biāo)平面XOYXOY、YOZYOZ、ZOXZOX進(jìn)行進(jìn)行鏡像變換。鏡像變換。 變換矩陣：變換矩陣：對(duì)對(duì)XOYXOY平面平面1000010000100001XOYT三、鏡像變換三、鏡像變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形對(duì)坐三維圖形對(duì)坐標(biāo)平面標(biāo)平面XOY

27、XOY、YOZYOZ、ZOXZOX進(jìn)行進(jìn)行鏡像變換。鏡像變換。 變換矩陣：變換矩陣：對(duì)對(duì)YOZYOZ平面平面1000010000100001YOZT三、鏡像變換三、鏡像變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形對(duì)坐三維圖形對(duì)坐標(biāo)平面標(biāo)平面XOYXOY、YOZYOZ、ZOXZOX進(jìn)行進(jìn)行鏡像變換。鏡像變換。 變換矩陣：變換矩陣：對(duì)對(duì)ZOXZOX平面平面1000010000100001ZOXT四、平移變換四、平移變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形沿三維圖形沿X X、Y Y、Z Z軸方向移軸方向移動(dòng)一定的距離。動(dòng)一定的距離。變換矩陣：變換矩陣：1000010000101Tlmn五、旋轉(zhuǎn)變換五、旋轉(zhuǎn)變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：變換后的點(diǎn)或變換后的點(diǎn)或平面圖形平面圖形繞坐繞坐標(biāo)軸標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一定旋轉(zhuǎn)一定角度。角度。變換矩陣：變換矩陣：繞繞X X軸逆時(shí)針軸逆時(shí)針