計算機輔助設(shè)計-05-第四章

1、計算機輔助設(shè)計第四章 圖形的幾何變換 對于一個繪圖系統(tǒng)來說，不僅能用圖形基本元素的集合構(gòu)成復(fù)雜的二維靜態(tài)圖形而且可以通過三維的幾何體來定義零件的空間模型，還可以令該模型圍繞任一指定的軸旋轉(zhuǎn)，以利于從某一最有利的角度去觀察它，對它進行修改。軟件的這些功能是基于圖形變換的原理實現(xiàn)的。圖形變換是計算機繪圖的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。 引引 言言 圖形分類： 圖形變換一般是指對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變圖形變換一般是指對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形換后產(chǎn)生新的圖形 圖形變換既可以看做坐標系不動而圖形變動，變動后的圖形在坐標系中的坐標值發(fā)生變化，也可以看做圖形不動二坐標系變動，變動后，該圖形在新的坐標系下

2、具有新的坐標值。這兩種情況在本質(zhì)上是一樣的本質(zhì)上是一樣的 應(yīng)用例：鉸鏈四桿機構(gòu)的運動描述應(yīng)用例：鉸鏈四桿機構(gòu)的運動描述第四章第四章 圖形的幾何變換圖形的幾何變換 第四章第四章 圖形變換圖形變換 本本 章章 要要 點點4 41 1 圖形變換的方法圖形變換的方法 體體是由是由若干面若干面構(gòu)成的，構(gòu)成的，面面是由是由線線組成，組成，點點的運動軌的運動軌跡是跡是線線。構(gòu)成圖形的基本要素是。構(gòu)成圖形的基本要素是點點。 圖形的表示方法：圖形的表示方法：點：點： 二維（二維（x x，y y） 三維（三維（x x，y y，z z）圖形：圖形： 用用點點的集合表示。的集合表示。22211nnnyxyxyx332

3、2321nnnnzyxzyxzyx二維三維 圖形圖形可用可用點集點集表示，點集可用表示，點集可用矩陣矩陣表示。表示。 那么，那么，二維圖形的基本變換二維圖形的基本變換就可以通過就可以通過點集的變換點集的變換來實現(xiàn)。因此對來實現(xiàn)。因此對點的變換點的變換可以通過可以通過相應(yīng)的矩陣運算相應(yīng)的矩陣運算來來實現(xiàn)。實現(xiàn)。舊點（集）變換矩陣 矩陣運算新點（集） 在計算機圖形處理中，經(jīng)常需要對已生成的圖形在計算機圖形處理中，經(jīng)常需要對已生成的圖形進行進行旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)、平移平移、放大放大或或縮小縮小等幾何變換操作，以生等幾何變換操作，以生成新的圖形信息。由于點是構(gòu)成幾何形體的最基本元成新的圖形信息。由于點是構(gòu)成幾何

4、形體的最基本元素，因此，通過對構(gòu)成幾何圖形的特征點集的幾何變素，因此，通過對構(gòu)成幾何圖形的特征點集的幾何變換即可實現(xiàn)整個圖形的幾何變換。換即可實現(xiàn)整個圖形的幾何變換。 點的變換可以通過矩陣運算來實現(xiàn)，令點的變換可以通過矩陣運算來實現(xiàn)，令稱為變換矩陣。稱為變換矩陣。yxdybxcyaxdcbayx二維基本變換矩陣包括：二維基本變換矩陣包括： 比例變換比例變換 、對稱變換、對稱變換、錯切變換錯切變換、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換、平移變換平移變換、齊次坐標變換齊次坐標變換dcbaTl 比例變換比例變換變換矩陣為變換矩陣為00yxdyaxdayx)0, 0(00dadaTs原點坐標變換后坐標討討 論：論：l恒等

5、變換：恒等變換： ，變換后點的坐標不變。，變換后點的坐標不變。l等比變換：等比變換： ，當，當 時，變換后圖形等時，變換后圖形等比例放大如圖比例放大如圖6-16-1所示。當所示。當 時，變換后圖形等時，變換后圖形等比例縮小。比例縮小。 1 da1 da1 da1 daOXY圖4-2 不等比例變換OXY圖4-1 比例變換（等比例變換）l 若 變換后圖形產(chǎn)生畸變。da 如取變換矩陣為如取變換矩陣為 5 . 0002T520540104010205.00021010102020202010l 鏡射變換鏡射變換 鏡射變換即產(chǎn)生圖形的鏡像，用來計算鏡射圖形，也稱鏡射變換即產(chǎn)生圖形的鏡像，用來計算鏡射圖形

6、，也稱為為對稱變換。對稱變換。 包括包括對于坐標軸對于坐標軸、坐標原點坐標原點、4545直線直線和和任意直線任意直線的的鏡射變換。鏡射變換。1 1）對坐標軸的鏡射變換對坐標軸的鏡射變換(1)(1) 對對X X 軸的鏡射變換軸的鏡射變換yyxx*,*變換矩陣變換矩陣為：Tmx=1001yyxx*,*(2)(2) 對對Y Y 軸的鏡射變換軸的鏡射變換變換矩陣為：變換矩陣為：1001Tmy2 2）對原點的鏡射變換對原點的鏡射變換故，變換矩陣為：故，變換矩陣為：yyxx*,*yxyxyxTyx10011001Tmo圖4-3 鏡射變換OXY對Y軸鏡射原始位置對原點鏡射對X軸鏡射3 3）對對4545線的鏡

7、射變換線的鏡射變換 （2 2）對對-45-45線的鏡射變換線的鏡射變換1135cos1135sin由于 故 ： xyyx*,*則變換矩陣為 :0110TOXY圖4-4 45鏡射變換原始位置對-45線鏡射對+45線鏡射（1 1）對對+45+45線的鏡射線的鏡射由于 ，對+45線的鏡射應(yīng)有： 145sin45cosxyyx*,*則變換矩陣為 :0110T 錯切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。錯切用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。 在沿在沿X X 軸軸的錯切變換中，的錯切變換中，y y 坐標不變，坐標不變，x x 坐標有一增量。變換后坐標有一增量。變換后原來平行于原來平行于Y Y 軸的直線

8、，向軸的直線，向X X 軸方向錯切成與軸方向錯切成與X X 軸成一定的角度。軸成一定的角度。 在沿在沿Y Y 軸軸的錯切變換中，的錯切變換中，x x 坐標不變，坐標不變，y y 坐標有一增量。變換后坐標有一增量。變換后原來平行于原來平行于X X 軸的直線，向軸的直線，向Y Y 軸方向錯切成與軸方向錯切成與Y Y 軸成一定的角度。軸成一定的角度。l 錯切錯切 =*yxbxycyxyx11cbTyx=式中式中 11cbT為錯切變換矩陣，其中為錯切變換矩陣，其中c c 和和b b不同時為不同時為0 0 。 （1 1） 沿沿X X 軸向錯切軸向錯切 令錯切變換矩陣 中的b=0，且c0，其變換就是沿X軸

9、方向的錯切。即11cbT*yxyxTyxycy x 11c0當c0時，錯切沿著X 軸的正向；當c0時，錯切沿X軸負向。錯切直線與X軸的夾角為 ccyytg1例題：例題：如果設(shè)c=2 ，對圖45所示方形圖框進行錯切變換，有00010103010201201000101010100（2 2） 沿沿Y Y 軸向錯切軸向錯切 令錯切變換矩陣 中的c=0，且b0，其變換就是沿Y 軸方向的錯切。即11cbT*yxyxTyxy bx x110b當b0時，錯切沿著Y 軸的正向；當b0時，錯切沿Y 軸負向。錯切直線與Y 軸的夾角為 例題：例題：如果設(shè)b=2 ，對圖4-5所示方形圖框進行錯切變換，有bbxxtg1

10、00201030101001021000101010100a） 原始圖形 b） 沿X軸方向錯切 c） 沿Y軸方向錯切OXY（30,10） （20,10）（0,10）（0, 0）Y（20,10） （30,10）XOX（10,0）OY（10,10） （10,0）（0,10）Y圖4-5 錯切變換 注意注意: : 上面介紹的錯切變換的上面介紹的錯切變換的錯切方向錯切方向是指是指第第象限象限而言，其而言，其余象限的點的錯切方向應(yīng)作相應(yīng)的改變。余象限的點的錯切方向應(yīng)作相應(yīng)的改變。 l旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 *)*,(*),(yxpyxpcossin*sincos*yxyyxxcossinsincosT設(shè)點（x，

11、y）繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)角，則點的變換為式中，為旋轉(zhuǎn)變換矩陣。注意注意: : 圖形的旋轉(zhuǎn)是繞圖形的旋轉(zhuǎn)是繞坐標原點坐標原點旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，且角，且逆時針為正逆時針為正，順時針為負。順時針為負。 對字母T進行旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)60)l平移變換平移變換 平移是指點從一個位置移動到另一個位平移是指點從一個位置移動到另一個位置的直線移動，置的直線移動，即點即點 *)*,(*),(yxpyxp 令令X X、Y Y軸方向的平移量分別為軸方向的平移量分別為x x 和和yy，則則 xyyyxx*yxdybxcyaxdcbayx原因：原因：cycy，bxbx均非常量均非常量原有圖形能實現(xiàn)平移嗎原有圖形能實現(xiàn)平移嗎OXY

12、圖4-5 平移變換 可以將二維基本變換矩陣的形式由可以將二維基本變換矩陣的形式由2 22 2階矩陣擴充成一階矩陣擴充成一 個個3 32 2階矩陣，即階矩陣，即23mldcbaT又出現(xiàn)了一個又出現(xiàn)了一個新的問題新的問題，即二維圖形的點集矩陣是，即二維圖形的點集矩陣是n n2 2階，而變換階，而變換矩陣是矩陣是3 32 2階，二者無法相乘，不能進行圖形變換運算。階，二者無法相乘，不能進行圖形變換運算。l齊次坐標齊次坐標 在齊次坐標系中，在齊次坐標系中，n n 維空間維空間的位置矢量，用的位置矢量，用n n +1+1維矢量維矢量表示，表示，即即二維空間二維空間的位置矢量用的位置矢量用三維矢量三維矢量

13、表示。表示。yxhyxh為附加坐標，是一個為附加坐標，是一個不為零不為零的參數(shù)。的參數(shù)。 1020例如：例如： 的齊次坐標的齊次坐標 或或 等無窮組齊等無窮組齊次坐標次坐標。 1102022040 二維點的齊次坐標表示二維點的齊次坐標表示：把二維圖形的點集矩陣擴充把二維圖形的點集矩陣擴充為為n n3 3階矩陣。階矩陣。 點集矩陣點集矩陣同變換矩陣變換矩陣進行乘法運算：1yxmldcbamdybxlcyax所以得所以得平移變換矩陣平移變換矩陣為：為：ml1001Tt1yxml1001mylx對點進行平移變換為：對點進行平移變換為： 為了使二維變換矩陣具有更多的功能，可將為了使二維變換矩陣具有更多

14、的功能，可將3 32 2階變換矩陣進一階變換矩陣進一步擴充為步擴充為3 33 3階矩陣。階矩陣。smlqdcpbaT各元素的功能和各元素的功能和幾何意義各不相幾何意義各不相同，可以分割成同，可以分割成四塊四塊dcba可以實現(xiàn)圖形的比例、鏡射、錯切、旋轉(zhuǎn)等變換?？梢詫崿F(xiàn)圖形的比例、鏡射、錯切、旋轉(zhuǎn)等變換。 ml可以實現(xiàn)圖形的平移變換?？梢詫崿F(xiàn)圖形的平移變換。 Tqp可以實現(xiàn)圖形的透視變換。可以實現(xiàn)圖形的透視變換。 s可以實現(xiàn)圖形的全比例變換可以實現(xiàn)圖形的全比例變換 1.1. 繞任意點旋轉(zhuǎn)變換繞任意點旋轉(zhuǎn)變換平面圖形繞任意點平面圖形繞任意點p（xp，yp）旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)角角具體步驟：具體步驟：（1 1

15、） 將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點，變換矩陣為：將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點，變換矩陣為：1010001ppyxt1T（2 2） 將圖形繞坐標系原點旋轉(zhuǎn)將圖形繞坐標系原點旋轉(zhuǎn) 角，變換矩陣為：角，變換矩陣為：1000cossin0sincosr2T（3） 將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置，變換矩陣為：將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置，變換矩陣為：1010001ppt3yxT因此，繞任意點的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：因此，繞任意點的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：321trtTTTT1010001ppyx1000cossin0sincos1010001ppyx1)cos1 (sinsin)cos1 (0cossin0sincosppppyxyx2.2

16、. 對任意直線的鏡射變換對任意直線的鏡射變換設(shè)任意直線的方程為：設(shè)任意直線的方程為：AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0，直線在，直線在x x軸和軸和y y軸上軸上的截距分別為的截距分別為- -C C/ /A A和和- -C C/ /B B，直線，直線與與x x軸的夾角為，軸的夾角為，= =arctgarctg（- -A A/ /B B）。）。 具體步驟：具體步驟：（1 1）平移直線，沿平移直線，沿x x向?qū)⒅本€平移，使其通過原點（也可以沿向?qū)⒅本€平移，使其通過原點（也可以沿y y向向平移），其變換矩陣為：平移），其變換矩陣為：10/010001ACTAC-C /A YXO 圖46 對任

17、意直線的鏡射變換-C /B1000)cos()sin(0)sin()cos()(RT1000cossin0sincos（3 3）對于對于x x軸進行鏡射變換，其變換矩陣為：軸進行鏡射變換，其變換矩陣為：100010001)(XMT（4 4）繞原點旋轉(zhuǎn)，使直線回到原來與繞原點旋轉(zhuǎn)，使直線回到原來與x x軸成角的位置，變換矩軸成角的位置，變換矩 陣為：陣為：1000cossin0sincos)(RT（2 2）繞原點旋轉(zhuǎn)，使直線與繞原點旋轉(zhuǎn)，使直線與x x坐標軸重合（也可以與坐標軸重合（也可以與y y軸重合軸重合），變換矩陣如下：），變換矩陣如下：（5 5）平移直線，使其回到原來位置，變換矩陣為：平

18、移直線，使其回到原來位置，變換矩陣為：10/010001ACTAC 通過以上五個步驟，即可實現(xiàn)圖形對任意直線的鏡射變換。其通過以上五個步驟，即可實現(xiàn)圖形對任意直線的鏡射變換。其組合變換如下：組合變換如下：1/2sin/) 12(cos02cos2sin02sin2cos)()()(ACACTTTTTTACRXMRAC注意事項：注意事項：l組合變換組合變換是通過是通過基本變換基本變換的組合而成的，點或點集的多次變換可的組合而成的，點或點集的多次變換可以一次完成，這要比逐次進行變換效率高。以一次完成，這要比逐次進行變換效率高。 l由于矩陣的乘法不符合交換律，即：由于矩陣的乘法不符合交換律，即： A

19、 AB BB BA A ，因此，因此，組組合的順序合的順序一般是一般是不能顛倒的不能顛倒的。順序不同，則變換的結(jié)果亦不同。順序不同，則變換的結(jié)果亦不同。 O圖圖4 47 7 先平移后旋轉(zhuǎn)先平移后旋轉(zhuǎn) X X圖圖4 48 8 旋轉(zhuǎn)后平移旋轉(zhuǎn)后平移YYO12三維圖形的變換是二維圖形變換的簡單擴展，變換的原理還是把齊次坐標點(x,y,z,1)通過變換矩陣變換成新的齊次坐標點(x,y,z,1)，即 xyz 1xyz1T其中T為三維基本(齊次)變換矩陣：T 齊次變換矩陣：平移縮放旋轉(zhuǎn)錯切透視變換整體縮放比例和對稱變換s000000T0000001xyzssssx y z 1xyz1T1.1.一般情況，一

20、般情況，s sx x,s,sy y,s,sz z0 0，圖形沿三個坐標軸方向作放縮變換；，圖形沿三個坐標軸方向作放縮變換；2.2.當當s sx x=1,s=1,sy y=s=sz z=-1=-1時，圖形相對于時，圖形相對于x x軸中心對稱，其余類推軸中心對稱，其余類推; ;3.3.當當s sx x-1,s-1,sy y=s=sz z=1=1時，圖形相對于時，圖形相對于yOzyOz平面對稱，其余類推平面對稱，其余類推; ;4.4.當當s sx x=s=sy y=s=sz z=-1=-1時，圖形相對于原點中心對稱。時，圖形相對于原點中心對稱。整體縮放得到：左邊同乘 s xyz1xyzss10000

21、100T0010000ssx y z 1xyz1T平移變換 txyz1xyz1Ttx10000100T0010ttt1yz平移變換矩陣平移變換矩陣旋轉(zhuǎn)變換三維組合變換 與二維組合變換一樣，通過對三維基本變換矩陣的組合，可與二維組合變換一樣，通過對三維基本變換矩陣的組合，可以實現(xiàn)對三維物體的復(fù)雜變換。設(shè)坐標以實現(xiàn)對三維物體的復(fù)雜變換。設(shè)坐標P P經(jīng)過經(jīng)過n n次變換次變換T T1 1,T,T2 2, ,T,Tn n到到P P* *，則變換結(jié)果為，則變換結(jié)果為 P P* *=PT=PT1 1T T2 2T Tn n=PT=PT 與二維相同，組合變換時，同樣需要注意乘法的順序與二維相同，組合變換時，

22、同樣需要注意乘法的順序繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換 繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換是組合變換，變換過程比較復(fù)雜。首先，繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換是組合變換，變換過程比較復(fù)雜。首先，對物體作平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換，使得所繞之軸與某一根標準坐對物體作平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換，使得所繞之軸與某一根標準坐標軸重合。然后，繞該標準坐標軸作所需角度的旋轉(zhuǎn)。最后，標軸重合。然后，繞該標準坐標軸作所需角度的旋轉(zhuǎn)。最后，通過逆變換使所繞之軸恢復(fù)到原來位置。這個過程須由通過逆變換使所繞之軸恢復(fù)到原來位置。這個過程須由7 7個基本個基本變換的級聯(lián)才能完成。變換的級聯(lián)才能完成。 設(shè)旋轉(zhuǎn)任意軸為設(shè)旋轉(zhuǎn)任意軸為p1（ x1,y1,z1 ）, p2（ x2,y2,z2

23、 ）兩點所定義的）兩點所定義的單位矢量單位矢量(a,b,c)。旋轉(zhuǎn)角度為。旋轉(zhuǎn)角度為 （圖（圖(a) 。這。這7個基本變換是：個基本變換是： 1平移平移T(x1,y1,z1)使使p1點與原點重合點與原點重合(圖圖(b)； 2Rx()，使得軸，使得軸p1p2落入平面落入平面xoz內(nèi)內(nèi)(圖圖(c)； 3Ry()，使，使p1p2與與z軸重合軸重合(圖圖(d); 4Rz()，執(zhí)行繞，執(zhí)行繞p1p2軸的軸的角度旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)(圖圖(e)； 5Ry()，作，作3的逆變換的逆變換T3-1 ； 6Rx()，作，作2的逆變換的逆變換T2-1 ； 7T(x1,y1,z1) 作作1的逆變換的逆變換 T1-1 。 注意

24、：注意：210000cossin00sincos00001aaaa3cos0sin00100sin0cos0000111111000010000101xyz4cossin00sincos0000100001其組合變換矩陣為： T T1 T2 T3 T4 T3-1 T2-1 T1-1例：簡單幾何體的圖形變換例：簡單幾何體的圖形變換111111222222888888111111xyzxyzxyzxyzTxyzxyz 式中：T為所要進行的圖形變換矩陣 假定一六面體ABCDEFGH各點的坐標分別為（x 1, y 1, z 1）,., (x 8, y 8, z 8)，則經(jīng)過圖形變換后的坐標為：舉例舉例

25、四、平移變換四、平移變換4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制二、錯切變換二、錯切變換一、比例變換一、比例變換三、鏡像變換三、鏡像變換 三維空間點的位置向量可以用三維空間點的位置向量可以用四維四維齊次坐標齊次坐標表示：表示：x y z 1x y z 1或或x y z Hx y z H。 變換矩陣為：變換矩陣為： abcpdefqThijrlmns五、旋轉(zhuǎn)變換五、旋轉(zhuǎn)變換一、比例變換一、比例變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：改變圖形的改變圖形的X X方向比例、方向比例、Y Y方向比例、方向比例、Z Z方向比例方向比例。變換矩陣：變換矩陣：0000000000001aeTj二、錯切

26、變換二、錯切變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：變換后的平面變換后的平面圖形圖形沿沿X X軸、軸、Y Y軸或軸或Z Z軸方向軸方向傾斜傾斜。 變換矩陣：變換矩陣：1010100001bcdfThi三、鏡像變換三、鏡像變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形對坐三維圖形對坐標平面標平面XOYXOY、YOZYOZ、ZOXZOX進行進行鏡像變換。鏡像變換。 變換矩陣：變換矩陣：對對XOYXOY平面平面1000010000100001XOYT三、鏡像變換三、鏡像變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形對坐三維圖形對坐標平面標平面XOY

27、XOY、YOZYOZ、ZOXZOX進行進行鏡像變換。鏡像變換。 變換矩陣：變換矩陣：對對YOZYOZ平面平面1000010000100001YOZT三、鏡像變換三、鏡像變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形對坐三維圖形對坐標平面標平面XOYXOY、YOZYOZ、ZOXZOX進行進行鏡像變換。鏡像變換。 變換矩陣：變換矩陣：對對ZOXZOX平面平面1000010000100001ZOXT四、平移變換四、平移變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：三維圖形沿三維圖形沿X X、Y Y、Z Z軸方向移軸方向移動一定的距離。動一定的距離。變換矩陣：變換矩陣：1000010000101Tlmn五、旋轉(zhuǎn)變換五、旋轉(zhuǎn)變換舉例舉例4.3 4.3 圖形繪制圖形繪制作用：作用：變換后的點或變換后的點或平面圖形平面圖形繞坐繞坐標軸標軸旋轉(zhuǎn)一定旋轉(zhuǎn)一定角度。角度。變換矩陣：變換矩陣：繞繞X X軸逆時針軸逆時針