正弦定理(省參賽獲獎(jiǎng)?wù)n件)

1、正弦定理ABC3C2C1CBC的長(zhǎng)度與角A的大小有關(guān)嗎?三角形中角A與它的對(duì)邊BC的長(zhǎng)度是否存在定量關(guān)系?在RtABC中,各角與其對(duì)邊的關(guān)系:caA sincbB sin1sinC不難得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有這樣的關(guān)系嗎?AcbaCB正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即(1) 若直角三角形,已證得結(jié)論成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB圖1過(guò)點(diǎn)A作ADBC于

2、D,此時(shí)有證法1:(2)若三角形是銳角三角形, 如圖1,由(1)(2)(3)知，結(jié)論成立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3) 若三角形是鈍角三角形,且角C是鈍角如圖2, 此時(shí)也有cADB sin交BC延長(zhǎng)線于D,過(guò)點(diǎn)A作ADBC，CAcbB圖2AasinBbsinCcsin（2R為為ABC外接圓直徑）外接圓直徑）2R思考求證:證明：證明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圓O,過(guò)B作直徑BC/,連AC/,AcbCBDa向量法證法2:利用向量的

3、數(shù)量積，產(chǎn)生邊的長(zhǎng)與內(nèi)角的三角函數(shù)的關(guān)系來(lái)證明.證明：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21證法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問(wèn)題： 已知兩角和一邊，求其他角和邊. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角.CcBbAasinsinsin定理的應(yīng)用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精確到0.01

4、）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知兩角和任意邊，已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.23在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434 3233ba練習(xí)例 2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和邊c已知兩邊和其中一邊已知兩邊和其中一邊的對(duì)角的對(duì)角,求其他邊和角求其他

5、邊和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120當(dāng) 時(shí)60C=90.32cC=30.16sinsinACac316當(dāng)120時(shí)B16300ABC16316變式: a=30, b=26, A=30求角B，C和邊c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70, 或180025.70=154.30由于154.30 +3001800故B只有一解（如圖）C=124.30,57.49sinsinACac變式: a=30, b=26, A=30求角B，C和邊c300ABC2630解：

6、由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,57.49sinsinACaca b A B ,三角形中大邊對(duì)大角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和求其他邊和角角1.根據(jù)下列條件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.練習(xí)注：三角形中角的正弦值小于時(shí)，角可能有兩解無(wú)解課堂小結(jié)（1）三角形常用公式：（2）正弦定理應(yīng)用范圍： 已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。(注意解的情況)正弦定理：ABC

7、111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R已知兩邊和其中一邊的對(duì)角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其求其他邊和角時(shí)他邊和角時(shí),三角形三角形什么情況下有什么情況下有一解一解,二解二解,無(wú)解無(wú)解?課后思考課后思考 推以下結(jié)論：(1)a:：b：c=sinA：sinB：sinCACababsinA無(wú)解無(wú)解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 兩解兩解BB1B2BACbaab一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解正弦定理的綜合應(yīng)用正弦定理的綜合應(yīng)用221.tantan,.ABCaBbAABC在中，已知試判斷的形狀1.3,3

8、3,30 ,.ABCbcBABC在中，已知試判斷的形狀21.( cos)cos0,.xbA xaBa bABCABa bABC已知方程的兩根 之積等于兩根之和，且為的邊， ， 為的對(duì)角，試判斷的形狀1., ,sinsinsin.ABCa b cABCaabcb cBCAABC在中，為邊長(zhǎng)， ， ， 為所對(duì)的角，若試判斷的形狀2222222.0.coscoscoscoscoscosABCabbccaABBCCA在中，求證：2.(sinsin)(sinsin)(sinsin)0.ABCaBCbCAcAB在中，求證： 3.12057,.ABCAABBCABCS在中，若，求的面積3.sin()sins

9、in.ABCCABPABAPCBPCPCPBPA一條直線上有三點(diǎn) ， ， ，點(diǎn) 在 ，之間,點(diǎn) 是直線之外一點(diǎn)，設(shè)，求證：CBAP3.,3,3.4 3sin()3.4 3sin()336.6sin()3.6sin()336ABCABCABCABBBCBDB中，則的周長(zhǎng)為4.ABCADBACABBDACDC在中，是的平分線， 用正弦定理證明：ACBD1.(1)sinsin.(2)sinsin.ABCABAB判斷正誤：若，則；反之也成立在中，若，則； 反之也成立352.sincos,513sin.ABCABC在中，已知，求.6563)sin(sin.54cos,sinsinsinsin,53sin

10、.1312sin), 0(,135cosBACAABAbaBbAaBAABBB只能為銳角，可知由正弦定理又解：.sin,1312sin,54cosCBAABC求中，已知變：在.65336563sin.6533)sin(sin135cos)2(.6563)sin(sin135cos) 1 (.135cos,sinsin,1312sin53sin), 0(,54cos或時(shí)，時(shí)，角，可以為銳角也可以為鈍又解：CBACBBACBBBBAbaBABAAA3., ,2 cos(60).oABCABCa b cbcaCA在中，設(shè)所對(duì)的邊分別為，若，求.120150302103030.21)30sin(1co

11、ssin30sinsinsin)cossin3(cossin3cossinsinsincoscossin)sin(sin)sin60sincos60(cossin2sinsin000000000AAAAAACCCAACACACCACACABCCACB又即略解：由正弦定理得2214.().4ABCSbcABC已知的面積，試確定的形狀.20sin10)sin1 (21, 0)(410)sin1 (21)(41sin21)(412222為等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題例例1、如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高、如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高AB

12、，從與煙囪底部在，從與煙囪底部在同一水平直線上的同一水平直線上的C、D兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別是兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別是和4560，CD間的距離是間的距離是12m.已知測(cè)角儀器高已知測(cè)角儀器高1.5m,求煙囪的高。求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個(gè)圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想實(shí)例講解實(shí)例講解AA1BCDC1D1分析：分析：如圖，因?yàn)锳B=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正

13、弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：煙囪的高為 29.9m.ABCDE6520352.3520100065 ,(1 ).ABDDBCm例 某登山隊(duì)在山腳 處測(cè)得山頂 的仰角為 ，沿傾斜角為的斜坡前進(jìn)米 后到達(dá) 處，又測(cè)得 處的仰角為求山的高度精確到ABCDE652035BEDC2.57,1.89,2.01,45 ,120 ,.BCcm CDcmBEcm BC某地出土一塊玉佩（如圖），其中一角破損，現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)；為了復(fù)原，計(jì)算原另兩邊的長(zhǎng)BEDCA 解斜三角形的問(wèn)題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象解斜三角形的問(wèn)題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出出一個(gè)或幾個(gè)三角形一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出所要求的量，然后通過(guò)解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解。從而得到實(shí)際問(wèn)題的解。 在這個(gè)過(guò)程中，貫穿了在這個(gè)過(guò)程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的思想。這種思想即是從實(shí)際的思想。這種思想即是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問(wèn)題的解。然后通過(guò)推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問(wèn)題的解。本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié):正弦定理的