高中不等式所有知識及典型例題超全

1、一.不等式的性質(zhì)：二.不等式大小比較的常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商（常用于分數(shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6 .利用函數(shù)的單調(diào)性；7.尋找中間量或放縮法；8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基 本的方法。三.重要不等式221. （1）若 a,b R,則 a2 b2 2ab（2）若 a,b R,則 ab -一b-（當且僅當 a b 時取“二”）22. （1）若 a,b R*,則 a-b vab （2） 若 a,b R* ,則 a b 2v'ab （當且僅當 a b時取"二”） 2

2、2若a,b R*,則abab(當且僅當a b時取"二”)2，一 一 1 3. 若x 0,則x 1 2 （當且僅當x 1時取“=”）； x一， 1,一 .一“若x 0,則x 2 （當且僅當x 1時取“二”）b時取“=”)x若x 0,則x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （當且僅當axxx若ab 0,則a b b a2 （當且僅當a b時取"二”）若ab 0 ,則a - 2即a b b a b a4.若 a,b R,則(a_b)22+a+b+c 3R ) ； abc <( n ) (a,b,c_ +R)a<2aba+ba+b 2<b.(0<a <

3、b)2或q - -2 （當且僅當a b時取"二”） b a2.2b_ （當且僅當a b時取"二”）2注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求 它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣 泛的應(yīng)用.+b3+c3> 3abc (a,b,cR+) , a+b+c > VObc (當且僅當 a=b=c 時取等號)；31 . _+一6. n (a1+&+an)>n/aia2Lan

4、 (a i R ,i=1,2, ，n),當且僅當a1=&=an 取等方;一,、2 . 22a+b、2 .變式：a +b+c > ab+bc+ca; ab < (-y ) (a,b7.濃度不等式:b n<anb < b+m,a>b>n>0,m>0; a a+m應(yīng)用一：求最值1例1：求下列函數(shù)的值域(1) y = 3x +2x>1(2) y=x+1 x解題技巧:技巧一：湊項 例1：已知x -,求函數(shù)y 4x 2的最大值。44x 5評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當時，求y x(8 2x)的

5、最大值。技巧三：分離 例3.求y -一70(x1)的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令 t=x+1,化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4 廣-t 5tt當，即t二時,9 (當t=2即x=1時取f (x) x a的單x調(diào)性。例：求函數(shù)yx2 4的值域。解：令.x2 4t(tX25一不x2 41x241t -(t 2)1 -解得t t1不在區(qū)間2,故等號不成立，考慮單調(diào)性。1 .、因為y t -在區(qū)I可t1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間 2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函

6、數(shù)所以，所求函數(shù)的值域為2.已知0 x 1,求函數(shù)y x(1 x)的最大值.；3. 0|,求函數(shù)y Jx(2 3x)的最大值.條件求最值1.若實數(shù)滿足a b 2 ,則3a 3b的最小值是分析:和”到“積”是一個縮小的過程，而且 3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解：3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3b > 2V3a 3b 23ab 6當3a 3b時等號成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當a b 1時，3a 3b的最小值是6.11 ,變式：右log4x 10g4y 2,求一 一的最小值.并求x, y的值x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件

7、的一致性， 否則就會出錯1 9.2:已知x 0, y 0,且 1,求x y的取小值。 x y2技巧七、已知x, y為正實數(shù)，且x 2+y2 =1,求x1 + y 2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab<1同時還應(yīng)化間1+y 中y刖面的系數(shù)為2 ,= x"2號2x/2 +y2卜面將x,2分別看成兩個因式:2x 2+y22J2 +y2241 一 一，技巧八：已知a, b為正頭數(shù)，2b+ab+a=30,求函數(shù)y=0b的取小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題 ，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是

8、可行的；二是直接用基本 不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式， 又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式 放縮后，再通過解不等式的途徑進行。30 2ba=b+ 1ab=302bb+ 12 b 2+30bb+ 1由 a>0 得，0Vb<15人. . 一 , 一 2t令 t = b+1, 1<t < 16, ab=2.+ 34t 31-t-16、，=2 (t ) +34t16+T=8法二:. >/a 03V2 , ab< 18,1 -y>wab< 18y>!當且僅當t=4,即b = 3, a=6時，等號成立。18由已知得：3

9、0 ab = a+ 2b . a+2b>2/2 ab30 -ab>2)2 ab u=Vab"則 u2+2啦 u3000, -5/2 <u<32點評：本題考查不等式Tab (a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式ab a 2b 30(a,b R)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式 U 師(a,b R ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍. 2變式：1.已知a>0, b>0, ab(a+b) = 1,求a+b的最小值。2 .若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、

10、取平方5、已知x, y為正實數(shù)，3x + 2y=10,求函數(shù) W啊 +2y的最值.a+ b a 2+ b 2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，,本題很簡單圾 + 歷 N(V3X ) 2+(V2y ) 2 :V2 3x + 2y =2/解法二：條件與結(jié)論均為和的形式， 設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W 0, W= 3x + 2y+2V3X V2y =10+2V3XV2y010+ (啊)2 -(V2y ) 2 =10+(3x + 2y)二20W 20 =2 乖應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式b2. 22,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a

11、b c ab bc ca1)正數(shù) a, b, c滿足 a+b+c=1,求證：(1 a)(1 b)(1 -c) >8abc111例 6:已知 a、b、c R,且 a b c 1。求證：一 1 一 1 一 18abc分析：不等式右邊數(shù)字 8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又1 1 L_a b_c 2 bc,可由此變形入手。 a a a a解：Q a、b、c R , a b c 1。11 a-1 a ab c 2 bc1 d 2 ac 12、ab。同理1 , - 1 a ab b c c1 一，一b c -時取等號。3上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1 d 1

12、 d 1 d 2 bc 2 ac 2 .ab o 人口內(nèi)人-1 - 1 - 1gg 8。當且僅當 aa b c a b c應(yīng)用三：基本不等式與包成立問題19例：已知x 0,y 0且1 9 1,求使不等式x y m包成立的實數(shù)m的取值范圍 x y19, x y 9x 9y ,10 y 9x ,解：令 x y k, x 0, y 0, 1 ,L r 1.上1x ykx kyk kx ky，10_3_1 20 k 16 , m ,16 k k應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：1 a b、例：右 a b 1,P ,;lga lgb,Q (Iga 1g b), R lg(),則 P,Q,R 的大小關(guān)系

13、是 2 21 分析：a b 1 . . 1g a 0,1g b 0 Q 一 (1ga 1g b) Jlga 1g b p2a b1 .R 1g() 1gMab - 1g ab Q R>Q22四.不等式的解法.1. 一元一次不等式的解法。2. 一元二次不等式的解法3 .簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：(1)分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；(2)將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上， 從最大根的右上方 依次通過每一點畫曲線；并注意 奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫 出不等式的解集。如(1)解不等式(x 1)(x 2)2 0。(答

14、：xx 1或 x2)；(2)不等式(x 2)Jx2 2x 3 0的解集是(答：x|x 3或 x1)；(3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x) 0的解集為x|1 x 2, g(x) 0的解集 為，則不等式f (x)gg(x) 0的解集為(答：(，1)U2,);(答：嗯)0,再通分并將分子分母分(4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2 9x a 0 (解集非空)的每一個x的值至少滿足不等式 x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是.4 .分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分

15、式不等式時，一般不能去分母，但分母包為正或恒為負時可去分母。如(1)解不等式25 x 1x 2x 3(答：(1,1)U(2,3);(2)關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為(1,),則關(guān)于x的不等式axb 0的解集為x 2(答：(,1) (2,)5 .指數(shù)和對數(shù)不等式。6 .絕對值不等式的解法：(1)含絕對值的不等式|x| <a與|x| >a的解集(2) |ax+b| 0c(c >0)和|ax+b| 力c(c >0)型不等式的解法|ax+b| < c-c < ax+b& c;| ax+b| >c ax+b1c 或 ax+b0 -c.(3) |x-

16、a|+|x-b|>c(c >0)和|x-a|+|x-b|<c(c >0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想； 方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例 1:解下列不等式：(1).x2 2x x(2). -3< - <2x【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等價于x2-2x>x或x2-2x<-x解彳X> x>3或x<0或0<x<1原不等式的解集為 x | x<0或0<

17、;x<1或x>3 解法2 (數(shù)形結(jié)合法)作出示意圖，易觀察原不等式的解集為x | x<0或0<x<1或x>3 第(1)題圖第(2)題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且容易解答錯誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)1 1圖象，則解集為x|x 1或x<-1，結(jié)果一目了然。2 3例2:解不等式：|x| 1x-【解析】作出函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)g(x)= x的圖象，易知解集為(一，。)1, 十 )解不等式.|x 1|例3:|x1|g(x)|x 1| |x 1|2(x1)2x( 1 x 1)2(x 1)【解法11令33人 h(x) ,)令 2 ,分別作出

18、函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，知原不等式的解集為 43t |x 1| 一 |x 1|【解法2】原不等式等價于 23g(x) |x 1|,h(x) |x 1| -2(314 4分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，易求出g (x)和h (x)的圖象的交點坐標為一 一|x 1|所以不等式|x11 3的解集為3,3|x 1| |x 1|【解法3】 由2的幾何意義可設(shè)F 1(-1, 0) , F 2 ( 1 , 0) , M (x, y),3MF1 MF2 若2 ,可知M的軌跡是以F 1、F 2為焦點的雙曲線的右支，其中右頂點為(,0),由雙曲線的圖象和| x+1 | | x-1 |知x>.7.

19、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別 說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如22(1)右loga 1 ,則a的取值沱圍是(答：a 1或0 a 一)；332(2)解不等式-aJ x(a R)ax 11 、-1、(答：a 0時，x|x 0； a 0時，x|x 或x 0; a 0 時，x| x 0或 x 0) aa提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的

20、不等式ax b 0的解集為(，1),則不等式0的解集為(答：(1,2) ax b五.絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實數(shù)，則|a+b| <|a|+|b|,當且僅當ab0時，等號成立。注：(1)絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當，不共線時，|+| <|+| ,它的幾何意 義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。(2)不等式|a|-|b|< |a ± b| < |a|+|b|中“二”成立的條件分別是：不等式|a|-|b| < |a+b|< |a|+|b| ，在側(cè)“二”成立的條件是ab>0,左側(cè)“二”成立的條件是at><0且|a|

21、> |b|;不等式|a|-|b|< |a-b| < |a|+|b| ,右側(cè)“二”成立的條件是ab< 0,左側(cè)“二”成立的條件是ab>0且|a|引b| 。定理2：如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c| < |a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)時，等號成立。例1.已知 0, x a , y b ,求證2x 3y 2a 3b 5 .例2.(1)求函數(shù)y x 3 x 1的最大和最小值；(2)設(shè) a R,函數(shù) f x ax2 x a( 1 x 1).的最大值例3.兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20

22、km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處六.柯西不等式等號當且僅當或時成立（k為常數(shù)，）類型一：利用柯西不等式求最值1 .求函數(shù)的最大值一：.且，函數(shù)的定義域為，且，即時函數(shù)取最大值，最大值為二：且，函數(shù)的定義域為由，得即，解得.時函數(shù)取最大值，最大值為.當函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解類型二：利用柯西不等式證明不等式2 .設(shè)、為正數(shù)且各不相等，求證：又、各不相等，故等號不能成立類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6. ABC的三邊長為a、b、c,其外接圓半徑為 R,求證:

23、證明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左邊=七.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過).lg blg c;分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與 1的大小，然后作出結(jié)論1111111常用的放縮技巧有：二)n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 nk 1 k = =k . k 1,k 1.k 2 <k.k 1 Jk如(1)已知 a b c,求證：a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 ;(2)已知 a,b,c R,求證：a2b2 b2c2 c2a2abc(a b c);(3)已知 a,b,x,y R,且1,x y ,求證：一; a bx a y b(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lgab lgbc lg-ca lga 222(5)已知 a,b,c R,求證：a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c);(6)若n N* ,求證：T(n121 (n 1) Vn21 n；已知|a| |b|,求證：|a| |b| |a| |b|;|a b| |a b|111(8)求證：1FFLF2。2232n2八.不等式的包成立，能成立，恰成立等問題：不等式包成立問題的常規(guī)處理方式(常應(yīng)用函數(shù)方 程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住