【三維設(shè)計(jì)】（新課標(biāo)）2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何精品講義 理（含解析）

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善?！救S設(shè)計(jì)】（新課標(biāo)）2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何精品講義 理（含解析）【三維設(shè)計(jì)】（新課標(biāo)）2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何精品講義 理（含解析）第八章解析幾何第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程基礎(chǔ)盤(pán)查一直線的傾斜角與斜率(一)循綱憶知1在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素(定點(diǎn)、斜率、傾斜角)2理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(2)過(guò)點(diǎn)M(a，

2、b)，N(b，a)(ab)的直線的傾斜角是45°()(3)傾斜角越大，斜率越大()答案：(1)×(2)×(3)×2(人教A版教材習(xí)題改編)若過(guò)兩點(diǎn)A(m,6)，B(1,3m)的直線的斜率為12，則m_.答案：23直線xcos y20的傾斜角的范圍是_解析：設(shè)直線的傾斜角為，依題意知，kcos ；cos 1,1，k，即tan .又0，)，.答案：基礎(chǔ)盤(pán)查二直線的方程(一)循綱憶知掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程yy0

3、k(xx0)表示()(2)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(3)直線的截距即是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離()(4)若直線在x軸，y軸上的截距分別為m，n，則方程可記為1()答案：(1)×(2)(3)×(4)×2(人教A版教材習(xí)題改編)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為_(kāi)答案：x13y503過(guò)點(diǎn)M(3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_(kāi)解析：若直線過(guò)原點(diǎn)，則k，所以yx，即4x3y0.若直線不過(guò)原點(diǎn)

4、，設(shè)直線方程為1，即xya.則a3(4)1，所以直線的方程為xy10.答案：4x3y0或xy10|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)1直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做直線的傾斜角(2)范圍：0，)2直線的斜率(1)定義：當(dāng)直線l的傾斜角時(shí)，其傾斜角的正切值tan 叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫(xiě)字母k表示，即ktan .(2)范圍：全體實(shí)數(shù)R.(3)斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為kP1P2.提醒(1)任意一條直線都有傾斜角，但只有與x軸不垂直的直線才有斜率(2)0時(shí)k0；是銳角時(shí)k>0；是鈍角時(shí)k<

5、;0.(3)已知傾斜角的范圍，求斜率k的范圍時(shí)注意下列圖象的應(yīng)用：當(dāng)ktan ，時(shí)的圖象如圖：題組練透1若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2y1)，B(2，3)的直線的傾斜角為，則y等于()A1B3C0 D2解析：選B由ktan 1.得42y2，y3.2(2015·常州模擬)若ab<0，則過(guò)點(diǎn)P與Q的直線PQ的傾斜角的取值范圍是_解析：kPQ<0，又傾斜角的取值范圍為0，)，故直線PQ的傾斜角的取值范圍為.答案：3(2015·沈陽(yáng)聯(lián)考)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(1，1)和Q(2,2)，若直線l：xmym0與線段PQ有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：如圖所示，直線l：x

6、mym0過(guò)定點(diǎn)A(0，1)，當(dāng)m0時(shí)，kQA，kPA2，kl.2或.解得0<m或m<0；當(dāng)m0時(shí)，直線l的方程為x0，與線段PQ有交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為m.答案：類題通法1求傾斜角的取值范圍的一般步驟：(1)求出斜率ktan 的取值范圍；(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角的取值范圍2求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)1點(diǎn)斜式過(guò)點(diǎn)(x0，y0)，斜率為k的直線方程為yy0k(xx0)局限性：不含垂直于x軸的直線2斜截式斜率為k，縱截距為b的直線方程為ykxb.局限性：不含垂直于x軸的直線3兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，

7、y2)(x1x2，y1y2)的直線方程為.局限性：不含垂直于坐標(biāo)軸的直線4截距式在x軸、y軸上的截距分別為a，b(a0，b0)的直線方程為1.局限性：不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線5一般式AxByC0(A2B20)提醒當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，則方程為ykxb；當(dāng)不確定直線的斜率是否存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為kyxb0.典題例析已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過(guò)B(2,1)和C(2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為，即x

8、2y40.(2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過(guò)點(diǎn)A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為1，即2x3y60.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k22.由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.類題通法1在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件2對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用演練沖關(guān)求直線過(guò)點(diǎn)(5,10)且到原點(diǎn)的距離為5的直線方程解：當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50，適合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則所求直

9、線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.|(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)多角探明)多角探明直線方程的綜合應(yīng)用是?？純?nèi)容之一，它與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式相結(jié)合，命題多為客觀題，歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)與基本不等式相結(jié)合的最值問(wèn)題；(2)與導(dǎo)數(shù)幾何意義相結(jié)合的問(wèn)題.角度一：與基本不等式相結(jié)合的最值問(wèn)題1已知直線l過(guò)點(diǎn)M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)求：(1)當(dāng)|OA|OB|取得最小值時(shí)，直線l的方程；(2)當(dāng)|MA|2|MB|2取得最小值時(shí)，直線l

10、的方程解：(1)設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)設(shè)直線l的方程為1，則1，所以|OA|OB|ab(ab) 2224，當(dāng)且僅當(dāng)“ab2”時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為xy20.(2)設(shè)直線l的斜率為k，則k0，直線l的方程為y1k(x1)，則A，B(0,1k), 所以|MA|2|MB|221212(11k)22k2224，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時(shí)，|MA|2|MB|2取得最小值4，此時(shí)直線l的方程為xy20.角度二：與導(dǎo)數(shù)幾何意義相結(jié)合的問(wèn)題2已知曲線y，則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為_(kāi)解析：y，因?yàn)閑x>0，所以ex22(當(dāng)且僅當(dāng)ex，即x0時(shí)取等號(hào))

11、，所以ex24，故y(當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào))所以當(dāng)x0時(shí)，曲線的切線斜率取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的方程為y(x0)，即x4y20.該切線在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S×2×.答案：類題通法1含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過(guò)定點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動(dòng)中有定”2求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值一、選擇題1直線l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A.B.C D解析：選A設(shè)直線l的斜率為k，則k.2在

12、等腰三角形AOB中，AOAB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：選D因?yàn)锳OAB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kABkOA3，所以直線AB的點(diǎn)斜式方程為：y33(x1)3已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1 B1C2或1 D2或1解析：選D由題意可知a0.當(dāng)x0時(shí)，ya2.當(dāng)y0時(shí)，x.a2，解得a2或a1.4兩條直線l1：1和l2：1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是()解析：選A取特殊值法或排除法，可知A正確5(2015

13、3;哈爾濱模擬)函數(shù)yasin xbcos x的一條對(duì)稱軸為x，則直線l：axbyc0的傾斜角為()A45° B60°C120° D135°解析：選D由函數(shù)yf(x)asin xbcos x的一條對(duì)稱軸為x知，f(0)f，即ba，直線l的斜率為1，傾斜角為135°.6(2014·安徽高考)過(guò)點(diǎn)P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D法一：如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.由題意知OP2，OA1，則sin ，所以30°，BPA60°.故直線

14、l的傾斜角的取值范圍是.選D.法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為yk(x)1，則由直線和圓有公共點(diǎn)知1，解得0k.故直線l的傾斜角的取值范圍是.二、填空題7若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為_(kāi)解析：根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為1，又C(2，2)在該直線上，故1，所以2(ab)ab.又ab>0，故a<0，b<0.根據(jù)基本不等式ab2(ab)4，從而0(舍去)或4，故ab16，當(dāng)且僅當(dāng)ab4時(shí)取等號(hào)即ab的最小值為16.答案：168設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是_解析：b

15、為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y2xb過(guò)點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值b的取值范圍是2,2答案：2,29若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_解析：ktan ，k<0或k1.答案：，0)10一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_(kāi)解：設(shè)直線的斜率為k(k0)，則直線方程為y2k(x2)，由x0知y2k2.由y0知x.由|2k2|1.得k或k2.故直線方程為x2y20或2xy20.答案：x2y20或2xy20三、解答題11已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，

16、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求當(dāng)·取得最小值時(shí)，直線l的方程解：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a0，b0，直線l的方程為1，所以1.故··(a2，1)·(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為xy30.12.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線yx上時(shí)，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB

17、：yx.設(shè)A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點(diǎn)C，由點(diǎn)C在直線yx上，且A，P，B三點(diǎn)共線得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)盤(pán)查一兩直線平行與垂直(一)循綱憶知能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1k2l1l2()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1()(3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A

18、1A2B1B20()答案：(1)×(2)×(3)2(人教B版教材習(xí)題改編)過(guò)點(diǎn)(1,2)與直線2xy100垂直的直線方程為_(kāi)答案：x2y30基礎(chǔ)盤(pán)查二兩直線的交點(diǎn)(一)循綱憶知能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，當(dāng)k1k2時(shí)，l1與l2相交()(2)過(guò)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)()答案：(1)(2)×2(人教A版教材習(xí)題改編)經(jīng)過(guò)兩直線2xy80與x2y10的交點(diǎn)，且平行于直線4x3y70的直線方程為_(kāi)答

19、案：4x3y60基礎(chǔ)盤(pán)查三距離公式(一)循綱憶知掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為()(2)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離()(3)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上()答案：(1)×(2)(3)2(北師大版教材習(xí)題改編)兩平行直線l1，l2分別過(guò)A(1,0)，B(0,5)，若l1與l2的距離為5，則l1與l2的方程分別為l1：_，l2：_.答案：y0或5x12y50y5或5x12y600|(基礎(chǔ)送分型

20、考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)1判定兩直線平行的方法(1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2，且b1b2，則兩直線平行；若斜率都不存在，還要判定是否重合(2)直接用以下方法，可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論：設(shè)直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10.2判定兩直線垂直的方法(1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k21，則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則兩直線也垂直(2)直接用以下方法，可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論：設(shè)直線l1：A1xB1yC10，l2：A

21、2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.3求兩條直線的交點(diǎn)對(duì)于直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它們的交點(diǎn)可由求解題組練透1(2015·北京海淀區(qū)期末)已知直線l1：x2y10與直線l2：mxy0平行，則實(shí)數(shù)m的取值為()AB.C2 D2解析：選A因?yàn)橹本€l1：x2y10與直線l2：mxy0平行，所以0，解得m，故選A.2(2015·浙江名校聯(lián)考)已知直線l1：x(a2)y20，l2：(a2)xay10，則“a1”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A若a1，則l1：x3y20，l2：3

22、xy10，顯然兩條直線垂直；若l1l2，則(a2)a(a2)0，a1或a2，因此，“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件，故選A.3(2015·浙江溫州十校聯(lián)考)過(guò)兩直線2xy50和xy20的交點(diǎn)且與直線3xy10平行的直線方程為_(kāi)解析： 聯(lián)立得交點(diǎn)P(1，3)設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與直線3xy10平行的直線方程為3xym0，則3×13m0，解得m0.答案：3xy0類題通法1充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本類題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1·k21.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意2兩

23、直線交點(diǎn)的求法求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)3常見(jiàn)的三大直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)(3)過(guò)直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)1兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|.2點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.3兩平

24、行直線間的距離公式兩條平行直線AxByC10與AxByC20間的距離為d.提醒在解題過(guò)程中，易忽略點(diǎn)到直線與兩平行直線間的距離公式中要求直線方程必須是一般式，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)解特別是兩平行直線間的距離公式中，兩直線方程的一般式中的x，y的系數(shù)要對(duì)應(yīng)相等典題例析已知點(diǎn)P(2，1)(1)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程(2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)過(guò)點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，顯然，過(guò)P(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)l的斜率不存在

25、，其方程為x2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此時(shí)l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.(2)作圖可得過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過(guò)點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直線方程的點(diǎn)斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直線2xy50是過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為.(3)由(2)可知，過(guò)點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過(guò)的直線，因此不存在過(guò)點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線類題通法解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮

26、待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在演練沖關(guān)已知l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1,1)，B(0，1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，則直線l1的方程是_解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大因?yàn)锳(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以兩平行直線的斜率為k，所以直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y30|(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)多角探明)必備知識(shí)1中心對(duì)稱(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：若點(diǎn)M(x1，y1)與N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題的主要解法：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的

27、兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1l2，由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程2軸對(duì)稱(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，且連接P1P2的直線垂直于對(duì)稱軸l，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中A0，x1x2)特別地，若直線l：AxByC0滿足|A|B|，則P1(x1，y1)與P2(x2，y2)坐標(biāo)關(guān)系為(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行多角探明對(duì)稱問(wèn)題是高考?？?/p>

28、內(nèi)容之一，也是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的一種常見(jiàn)題型歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱；(3)線關(guān)于線對(duì)稱；(4)對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用.角度一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱1過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程解：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,82a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x4y40.角度二：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱2已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)，求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)解：設(shè)A

29、(x，y)，再由已知得解得故A.角度三：線關(guān)于線對(duì)稱3在角度二的條件下，求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程解：在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M必在直線m上設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M(a，b)，則得M.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.角度四：對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用4已知光線從A(4，2)點(diǎn)射出，到直線yx上的B點(diǎn)后被直線yx反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)D(1,6)，求BC所在的直線方程解：作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為A，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，

30、則易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為，即10x3y80.類題通法對(duì)稱問(wèn)題的解題策略解決中心對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題，在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解一、選擇題1與直線3x4y50關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為()A3x4y50B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：選A與直線3x4y50關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程是3x4(y)50，即3x4

31、y50.2已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(1,2)，B(3,1)到直線l的距離分別是，則滿足條件的直線l的條數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C由題知滿足題意的直線l在線段AB兩側(cè)各有1條，又因?yàn)閨AB| ，所以還有1條為過(guò)線段AB上的一點(diǎn)且與AB垂直的直線，故共3條3(2015·廣元模擬)若直線l1：x2ym0(m>0)與直線l2：xny30之間的距離是，則mn()A0 B1C1 D2解析：選A直線l1：x2ym0(m>0)與直線l2：xny30之間的距離為，n2，m2(負(fù)值舍去)mn0.4(2015·濟(jì)南模擬)“m3”是“直線l1：2(m1)x(m3)y75m0與直線l

32、2：(m3)x2y50垂直”的()A. 充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要條件. 5(2015·云南統(tǒng)考)已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且AB線段的中點(diǎn)為P，則線段AB的長(zhǎng)為()A11 B10C9 D8解析：選B依題意，a2，P(0,5)，設(shè)A(x,2x)，B(2y，y)，故則A(4,8)，B(4,2)，|AB|10.6已知曲線1與直線y2xm有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是()A(，4)(4，) B(4,4)C(，3)(3，)

33、D(3,3)解析：選A曲線1的草圖如圖所示由該曲線與直線y2xm有兩個(gè)交點(diǎn)，可得m>4或m<4.二、填空題7(2015·重慶檢測(cè))已知直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，則直線l1與l2的距離為_(kāi)解析：直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，即3x4y0，直線l1與l2的距離為.答案：8(2015·河北秦皇島檢測(cè))直線l1：y2x3關(guān)于直線l：yx1對(duì)稱的直線l2的方程為_(kāi)解析：由解得直線l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，可設(shè)直線l2的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.在直線l上任取一點(diǎn)(1,2)，由題設(shè)知點(diǎn)(1,

34、2)到直線l1，l2的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得k(k2舍去)，直線l2的方程為x2y0.答案：x2y09若在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)過(guò)點(diǎn)P(1，)，且與原點(diǎn)的距離為d的直線有兩條，則d的取值范圍為_(kāi)解析：因?yàn)樵c(diǎn)到點(diǎn)P的距離為2，所以過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離都不大于2，故d(0,2)答案：(0,2)10如圖，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點(diǎn))，則直線FD的斜率的取值范圍為_(kāi)解析：從特殊位置考慮如圖，點(diǎn)A(2,0)關(guān)于直線BC：xy2的對(duì)稱點(diǎn)為A1(2,4)，kA1F

35、4.又點(diǎn)E(1,0)關(guān)于直線AC：yx2的對(duì)稱點(diǎn)為E1(2，1)，點(diǎn)E1(2,1)關(guān)于直線BC：xy2的對(duì)稱點(diǎn)為E2(1,4)，此時(shí)直線E2F的斜率不存在，kFD>kA1F，即kFD(4，)答案：(4，)三、解答題11已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值：(1)l1l2，且l1過(guò)點(diǎn)(3，1)；(2)l1l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等解：(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，則1a0，a1.l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1過(guò)點(diǎn)(3，1)，3a40，即a(矛盾)此種情況不存在，k20.即k1，k2都存在

36、，k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1過(guò)點(diǎn)(3，1)，3ab40.由聯(lián)立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1l2，l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b，聯(lián)立，解得或a2，b2或a，b2.12(2015·東營(yíng)模擬)設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(aR)(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)若a>1，直線l與x、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OMN面積取最小值時(shí)，直線l的方程解：(1)當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截

37、距都為0，此時(shí)a20，解得a2，此時(shí)直線l的方程為xy0，即xy0；當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即a2且a1時(shí)，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可得2a，解得a0，此時(shí)直線l的方程為xy20.所以直線l的方程為xy0或xy20.(2)由直線方程可得M，N(0,2a)，因?yàn)閍>1，所以SOMN××(2a)××2，當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a0時(shí)等號(hào)成立此時(shí)直線l的方程為xy20.第三節(jié)圓的方程基礎(chǔ)盤(pán)查一圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(一)循綱憶知1掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)確定圓的幾何要素是圓心與

38、半徑()(2)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF>0()答案：(1)(2)(3)2(人教A版教材例題改編)已知圓心為C的圓過(guò)點(diǎn)A(1,1)，B(2，2)且圓心C在直線l：xy10上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案：(x3)2(y2)2253. (2015·金華十校聯(lián)考)已知圓C的半徑為1，圓心在第一象限，與y軸相切，與x軸相交于點(diǎn)A、B，且AB，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：依題可設(shè)圓C：(x1)2(yb)21(b0)，且2b

39、21，可解得b，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)221.答案：(x1)221基礎(chǔ)盤(pán)查二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(一)循綱憶知了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外)(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F>0()(2)已知圓的方程為x2y22y0，過(guò)點(diǎn)A(1,2)作該圓的切線只有一條()答案：(1)(2)×2若點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，所以(1a)2(1a)2<4.即a2<1，故1<a<1.答案：(1

40、,1)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，其中(a，b)為圓心，r為半徑2圓的一般方程x2y2DxEyF0.當(dāng)D2E24F>0時(shí)表示圓，其中為圓心，為半徑提醒方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件：題組練透1(2015·濰坊一模)若圓C經(jīng)過(guò)(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸相切，則圓C的方程為()A(x2)2(y±2)23B(x2)2(y±)23C(x2)2(y±2)24 D(x2)2(y±)24解析：選D因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，所以圓心在直線x2上，又圓與y軸相切，所

41、以半徑r2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(12)2b24，b23，b±，選D.2(2015·溫州十校聯(lián)考)已知拋物線C1：x22y的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓C2交C1于A，B兩點(diǎn)，交C1的準(zhǔn)線于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則圓C2的方程為()A.x223 Bx224Cx2(y1)212 Dx2(y1)216解析：選B如圖，連接AC，BD，由拋物線的定義與性質(zhì)可知圓心坐標(biāo)為F，而|FA|AD|FB|為圓的半徑r，于是A，而A在拋物線上，故22，r2，故選B.3圓C通過(guò)不同的三點(diǎn)P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，則圓C的方程為_(kāi)解析

42、：設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0，則k,2為x2DxF0的兩根，k2D,2kF，即D(k2)，F(xiàn)2k，又圓過(guò)R(0,1)，故1EF0.E2k1.故所求圓的方程為x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圓心坐標(biāo)為.圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，kCP1，k3.D1，E5，F(xiàn)6.所求圓C的方程為x2y2x5y60.答案：x2y2x5y60類題通法解題時(shí)選擇設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程的一般原則是：如果由已知條件易得圓心坐標(biāo)、半徑或可用圓心坐標(biāo)、半徑列方程，則通常選擇設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，否則選擇設(shè)圓的一般方程|(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)多角探明)必備知識(shí)1與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值(1)記O為圓心，圓外一點(diǎn)A到圓上距離最

43、小為|AO|r，最大為|AO|r；(2)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為圓的直徑，最短為以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；(3)記圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最大距離為dr，最小距離為dr；(4)過(guò)兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓2與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)的最值(1)形如形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；(2)形如taxby形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題多角探明與圓有關(guān)的最值問(wèn)題也是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)斜率型

44、最值問(wèn)題；(2)截距型最值問(wèn)題；(3)距離型最值問(wèn)題；(4)利用對(duì)稱性求最值、范圍等；(5)建立目標(biāo)函數(shù)求最值問(wèn)題.角度一：斜率型最值問(wèn)題1已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.求的最大值和最小值解：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.如圖所示，當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí) ，解得k±.所以的最大值為，最小值為.角度二：截距型最值問(wèn)題2在角度一條件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，

45、此時(shí) ，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.角度三：距離型最值問(wèn)題3在角度一條件下求x2y2的最大值和最小值解：如圖所示，x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是274.角度四：利用對(duì)稱性求范圍4(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓 O：x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45°，則x0的取值范圍是()A1,1 B.C， D. 解析：選A當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，圓上存在點(diǎn)N(1,0)，使得OMN

46、45°，所以x01符合題意，故排除B，D；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，1)時(shí)，OM，過(guò)點(diǎn)M作圓O的一條切線MN，連接ON，則在RtOMN中，sinOMN<，則OMN<45°，故此時(shí)在圓O上不存在點(diǎn)N，使得OMN45°，即x0不符合題意，排除C，故選A.角度五：建立目標(biāo)函數(shù)求最值問(wèn)題5設(shè)圓x2y22的切線l與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線l的方程為_(kāi)解析：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(a,0)，B(0，b)(a，b>0)，則直線AB的方程為1，即bxayab0，因?yàn)橹本€AB和圓相切，所以圓心到直線AB的距離d，即2(a2b2)

47、(ab)24ab，所以ab4, 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，又|AB|2，所以|AB|的最小值為2，此時(shí)ab，即ab2，切線l的方程為1，即xy20.答案：xy20類題通法求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的兩大規(guī)律1借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解2建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)1求動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有時(shí)需要先由條件判斷軌

48、跡圖形，再由圖形求方程2常用求法：(1)定義法(2)相關(guān)點(diǎn)代入法提醒“軌跡”與“軌跡方程”的區(qū)別：“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍典題例析已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N

49、(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.類題通法求與圓有關(guān)的軌跡方程時(shí)，常用以下方法(1)直接法：根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程；(2)定義法：根據(jù)圓的定義寫(xiě)出方程；(3)幾何法：利用圓的性質(zhì)列方程；(4)代入法：找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式演練沖關(guān)設(shè)定點(diǎn)M(3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡解：如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)