鄭州大學(xué)流體力學(xué)第7章理想流體多維流動(dòng)基礎(chǔ)ppt課件

1、第第 7 7 章章理想流體多維流動(dòng)根底理想流體多維流動(dòng)根底l在許多工程實(shí)踐問題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在許多工程實(shí)踐問題中，流動(dòng)參數(shù)不僅在流動(dòng)方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上也要發(fā)生變化。l要研討此類問題，就要用多維流動(dòng)的分析方法。要研討此類問題，就要用多維流動(dòng)的分析方法。l本章主要討論理想流體多維流動(dòng)的根本規(guī)律，為處理工程實(shí)踐中類似本章主要討論理想流體多維流動(dòng)的根本規(guī)律，為處理工程實(shí)踐中類似的問題提供實(shí)際根據(jù)，也為進(jìn)一步研討粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的的問題提供實(shí)際根據(jù)，也為進(jìn)一步研討粘性流體多維流動(dòng)奠定必要的根底。根底。

2、 l本章內(nèi)容本章內(nèi)容l7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程 l7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 l7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程程 l7.4 起始條件起始條件 邊境條件邊境條件 l7.5 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分程的積分 l7.6 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通渦通量量l7.7 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定斯托克斯定理理l7.8 湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲亥姆霍茲定理定理 7.9 二維渦流二維渦流 7.10 速度勢速度勢 流函數(shù)流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)7.11 簡單的平面勢流簡單的平面勢流 7.12 簡單平面勢流的疊加簡單平面勢流的疊加 7.

3、13 均勻等速流繞過圓柱體均勻等速流繞過圓柱體的平面流動(dòng)的平面流動(dòng)7.14 均勻等速流繞過圓柱體均勻等速流繞過圓柱體有環(huán)流的平面流動(dòng)有環(huán)流的平面流動(dòng)7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是延續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是延續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。恒定律。對于一定的控制體，必需滿足對于一定的控制體，必需滿足它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時(shí)它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時(shí)間的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過控制體的流體質(zhì)量的凈通間的變化率等于單位時(shí)間

4、內(nèi)經(jīng)過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。量。 0nCVCSdVv dAt 7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程程在流場中取出微元六面體在流場中取出微元六面體ABCDEFGABCDEFG微元六面體中心點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速微元六面體中心點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度為度為vxvx、vyvy、vzvz密度為密度為和和x x軸垂直的兩個(gè)平面上的速度和密軸垂直的兩個(gè)平面上的速度和密度度2dxx 2dxx 2xxv dxvx 2xxv dxvx 2222xxxxvvdxdxvvxxdxdxxx7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程直角坐標(biāo)

5、系中微分方式的延續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程在在x x方向上，方向上，dtdt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過左面流入時(shí)間內(nèi)經(jīng)過左面流入的流體質(zhì)量為：的流體質(zhì)量為：dtdt時(shí)間經(jīng)過右面流出的流體質(zhì)量為：時(shí)間經(jīng)過右面流出的流體質(zhì)量為：那么那么dtdt時(shí)間內(nèi)沿時(shí)間內(nèi)沿x x軸經(jīng)過微元體外表軸經(jīng)過微元體外表的質(zhì)量凈通量為的質(zhì)量凈通量為2dxt 2dxt 2xxv dxvt 2xxv dxvt ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d()d d d dxxxvxvxy z tvx y z txxx 7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)

6、方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程在在x x方向上，方向上，dtdt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元體外表的質(zhì)量凈通量為：時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元體外表的質(zhì)量凈通量為：同理可得，在同理可得，在dtdt時(shí)間內(nèi)沿時(shí)間內(nèi)沿y y軸和軸和z z軸方向流體質(zhì)量的凈通量分軸方向流體質(zhì)量的凈通量分別為：別為：在在dtdt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為ddd d d()d d d dxxxvxvxy z tvx y z txxx ()d d d d()d d d dyzvx y z tvx y z tyz d d d dyzxvvvx y z txyz 7.

7、1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程在在dtdt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為開場瞬時(shí)流體的密度為開場瞬時(shí)流體的密度為，經(jīng)過，經(jīng)過dtdt時(shí)間后的密度為時(shí)間后的密度為在在dtdt時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為 d d d dyzxvvvx y z txyz ttttzyxd)d,( tzyxtzyxzyxttddddddddddd nCSv dA CVdVt 7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程直

8、角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程延續(xù)性方程表示了單位時(shí)間控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流延續(xù)性方程表示了單位時(shí)間控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體外表上的凈通量。體在控制體外表上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。 d d d dd d d d0yzxvvvx y z tx y z ttxyz 0yzxvvvtxyz 可緊縮流體非定常三維流動(dòng)的延續(xù)性方程可緊縮流體非定常三維流動(dòng)的延續(xù)性方程 0vt 7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程直角坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程直角坐標(biāo)系

9、中微分方式的延續(xù)性方程定常定常不可緊縮定常不可緊縮定常物理意義：在同一時(shí)間內(nèi)經(jīng)過流場中任一封鎖外表的體積流物理意義：在同一時(shí)間內(nèi)經(jīng)過流場中任一封鎖外表的體積流量等于零，也就是說，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流量等于零，也就是說，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。出的體積流量相等。 0yzxvvvtxyz 0t 0yzxvvvxyz const 0yzxvvvxyz 0vt 0v 0v 7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程柱坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程柱坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程定常定常不可緊縮定常不可緊縮定常11()()()0rzrvvvtrrrz 10zrrv

10、vvvrrzr 11()()()0rzrvvvrrrz 7.1 7.1 微分方式的延續(xù)方程微分方式的延續(xù)方程球坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程球坐標(biāo)系中微分方式的延續(xù)性方程定常定常不可緊縮定常不可緊縮定常22()(sin )()1110sinsinrvvv rtrrrr cot2110sinrrvvvvvrrrrr 22()(sin )()1110sinsinrvvv rrrrr 【例】知不可緊縮流體運(yùn)動(dòng)速度【例】知不可緊縮流體運(yùn)動(dòng)速度v在在x，y兩個(gè)軸方向的分量兩個(gè)軸方向的分量為為vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在。且在z=0處，有處，有vz=0。試求。試求z軸軸方向的速度分量方向的速度分

11、量vz。 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有挪動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但象剛體那樣可以有挪動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。普通情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為挪動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形普通情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為挪動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析在流場中任取一微元平行六面體在流場中任取一微元平行六面體邊長分別為邊長分別為dxd

12、x、dydy、dzdz。t t瞬時(shí)瞬時(shí)A A點(diǎn)沿三個(gè)坐標(biāo)軸的速度分量點(diǎn)沿三個(gè)坐標(biāo)軸的速度分量為為vxvx、vyvy、vzvz。頂點(diǎn)頂點(diǎn)M M速度分量可按照泰勒級數(shù)展開，速度分量可按照泰勒級數(shù)展開，略去二階以上無窮小項(xiàng)求得。略去二階以上無窮小項(xiàng)求得。7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析( , , )( , , )( , , )( , , )Axyzvx y zvx y z ivx y z jvx y z k (,)(,)(,)(,)Mxyzvxx yy zzvxx yy zz ivxx yy zz jvxx yy zz k xxxMxxyyzMyyzzzMzzvvvvvxyzxyzv

13、vvvvxyzxyzvvvvvxyzxyz 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析xxxMxxvzvyvvxxyvz 11212122xxMxxxxxvvzzvvvvzzxyyvyyx 11112222zzyyvvyyvvzxxxx 1122xxzxxxyMvyvvvxyvzxzvxxv 1122xyxzvyvvxvzxyz 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析1122112211221122yzxxyyzyzxxyyMxxMyyyzxxxvvvvxyzxvvvvvvvxyzxvvvvxvxvvvyzxyyzyyzvyzvyyzxxvz 21212121zMzyzzxyz

14、zzxvvvvzxyzxvvvzxvvvvzxyzyzyx 線速度線速度xyzvvv線變形速率線變形速率xxyyzzvxvyvz 剪切變形速率剪切變形速率121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析在普通情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：在普通情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)線速度線速度繞經(jīng)過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)繞經(jīng)過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)微團(tuán)本身的變

15、形運(yùn)動(dòng)線變形速率、剪切變形速率線變形速率、剪切變形速率()()()()()()MxxxzyyzMyyyxzzxMzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析oxyoxy坐標(biāo)面內(nèi)，坐標(biāo)面內(nèi)，t t時(shí)辰矩形時(shí)辰矩形ABCDABCD的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析平移運(yùn)動(dòng)平移運(yùn)動(dòng)矩形矩形ABCDABCD各角點(diǎn)具有一樣的速各角點(diǎn)具有一樣的速度分量度分量vxvx、vyvy。導(dǎo)致矩形。導(dǎo)致矩形ABCDABCD平

16、移平移vxt, vxt, 上移上移vyt, vyt, ABCDABCD的外形不變。的外形不變。xvt yvt xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析線變形運(yùn)動(dòng)線變形運(yùn)動(dòng)x x方向的速度差方向的速度差y y方向的速度差方向的速度差A(yù)BAB、DCDC在在tt時(shí)間內(nèi)伸長時(shí)間內(nèi)伸長ADAD、BCBC在在tt時(shí)間內(nèi)縮短時(shí)間內(nèi)縮短xxBxAxCxDxvvvvxvvxxx yyDyAyCyByvvvvyvvyyyxvx tx yvy ty xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvv

17、xyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvx tx yvy ty x y 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析線變形運(yùn)動(dòng)線變形運(yùn)動(dòng)定義：單位時(shí)間內(nèi)單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體定義：單位時(shí)間內(nèi)單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體微團(tuán)的線變形速率。微團(tuán)的線變形速率。沿沿x x軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為沿沿y y軸、軸、z z軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為 xxxvvx tx txx yyvy zzvz xvx tx yvy ty x y 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析線變形運(yùn)動(dòng)線變形運(yùn)動(dòng)對于不可緊縮流體，上式等于零，是

18、不可緊縮流體的延續(xù)性對于不可緊縮流體，上式等于零，是不可緊縮流體的延續(xù)性方程，闡明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中體積不變。方程，闡明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中體積不變。三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的本質(zhì)是流體微團(tuán)體積在三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的本質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí)間的相對變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。單位時(shí)間的相對變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。不可緊縮流體的延續(xù)性方程也是流體不可緊縮的條件。不可緊縮流體的延續(xù)性方程也是流體不可緊縮的條件。yzxxyzvvvxyz 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析角變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng)DxBxByAyyyyyxxAxCxyyCyDyvvvvvvvvv

19、vxvvxxxtanyyvvx txtxx tanxxvvy tytyy xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvy ty yvx tx x y 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析角變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng)角變形速度：兩正交微元流體邊的角變形速度：兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量剪切變形速率剪切變形速率該夾角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)該夾角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)的變化的變化角變形速度的平均值角變形速度的平均值12yxzvvxy 12yzxvvyz 12zxyvvzx yxvvtxy

20、 xvy ty yvx tx x y 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 流體微團(tuán)只發(fā)生角變形流體微團(tuán)只發(fā)生角變形 流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形 流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) xvy ty yvx tx x y 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角速度：單位時(shí)間角平分線的旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)角速度：單位時(shí)間角平分線的旋轉(zhuǎn)量角平分線的旋轉(zhuǎn)量角平分線的旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度單位時(shí)間二直角邊旋轉(zhuǎn)角速度代數(shù)和的平均值單位時(shí)間二直角邊旋轉(zhuǎn)角速度代數(shù)和的

21、平均值12yxzvvxy 11142222yxzvvtxy 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度111222yyzzxxxyzvvvvvvyzzxxy 222xyz 12xyzijkv 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析111222111222yzxxyzyyzzxxxyzyyzzxxxyzvvvxyzvvvvvvyzzxxyvvvvvvyzzxxy ()()()()()()MxxxzyyzMyyyxzzxMzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析亥姆霍茲速度分解定理

22、亥姆霍茲速度分解定理 在普通情況下微小流體質(zhì)團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為三部分：在普通情況下微小流體質(zhì)團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為三部分：1 1隨質(zhì)團(tuán)中某點(diǎn)基點(diǎn)一同前進(jìn)的平移運(yùn)動(dòng)；隨質(zhì)團(tuán)中某點(diǎn)基點(diǎn)一同前進(jìn)的平移運(yùn)動(dòng)；2 2繞該點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；繞該點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；3 3含有線變形和角變形的變形運(yùn)動(dòng)。含有線變形和角變形的變形運(yùn)動(dòng)。微小流體質(zhì)團(tuán)的維長趨于零的極限是流體微團(tuán)微小流體質(zhì)團(tuán)的維長趨于零的極限是流體微團(tuán)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解定理流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解定理7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析亥姆霍茲速度分解定理對于流膂力學(xué)的開展有深遠(yuǎn)的影響：亥姆霍茲速度分解定理對于流膂力學(xué)的開展有深遠(yuǎn)的影響：由于把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從普通

23、運(yùn)動(dòng)中分別出來，才使我們有能夠把由于把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從普通運(yùn)動(dòng)中分別出來，才使我們有能夠把運(yùn)動(dòng)分成無旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)分成無旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)；正是由于把流體的變形運(yùn)動(dòng)從普通運(yùn)動(dòng)中分別出來，才使我正是由于把流體的變形運(yùn)動(dòng)從普通運(yùn)動(dòng)中分別出來，才使我們有能夠?qū)⒘黧w變形速度與流體應(yīng)力聯(lián)絡(luò)起來，這對于粘們有能夠?qū)⒘黧w變形速度與流體應(yīng)力聯(lián)絡(luò)起來，這對于粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研討有艱苦的影響。性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研討有艱苦的影響。7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析根據(jù)流體微團(tuán)能否旋轉(zhuǎn)可將流體的流動(dòng)分為兩大類根據(jù)流體微團(tuán)能否旋轉(zhuǎn)可將流體的流動(dòng)分為兩大類有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)流體在流動(dòng)中，假設(shè)流場中有假設(shè)干處流

24、體微團(tuán)具有繞經(jīng)過流體在流動(dòng)中，假設(shè)流場中有假設(shè)干處流體微團(tuán)具有繞經(jīng)過其本身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，那么稱為有旋流動(dòng)。其本身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，那么稱為有旋流動(dòng)。流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零數(shù)學(xué)條件流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零數(shù)學(xué)條件無旋流動(dòng)無旋流動(dòng) 假設(shè)在整個(gè)流場中各處的流體微團(tuán)均不繞本身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)假設(shè)在整個(gè)流場中各處的流體微團(tuán)均不繞本身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，那么稱為無旋流動(dòng)。動(dòng)，那么稱為無旋流動(dòng)。流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零數(shù)學(xué)條件流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零數(shù)學(xué)條件102v 102v 7.2 7.2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)需求指出的是，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身能否需求指出的

25、是，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身能否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決議，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決議，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。 102v 0 0 xyz 0v yyzzxxvvvvvvyzzxxy【例】給定直角坐標(biāo)系中速度場【例】給定直角坐標(biāo)系中速度場vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各變形速度，并判別流場能否為不可緊縮流場。求各變形速度，并判別流場能否為不可緊縮流場。【例】給定兩個(gè)流場：【例】給定兩個(gè)流場： 1vx=-y，vy=x；vz=0； 2vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。 求這兩個(gè)流場的跡線和旋轉(zhuǎn)角速度。求這兩個(gè)流場的跡線和

26、旋轉(zhuǎn)角速度。7.3 7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程 7.3 7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研討流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要實(shí)際根底。理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研討流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要實(shí)際根底。可以用牛頓第二定律加以推導(dǎo)。可以用牛頓第二定律加以推導(dǎo)。在流場中取一平行六面體在流場中取一平行六面體邊長分別為邊長分別為dxdx，dydy，dz dz 中心點(diǎn)為中心點(diǎn)為A(x,y,z)A(x,y,z)中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p=p(x,y,z)p=p(x,y,z)密度為密度為=(x,y,z)=(x,y,z)因研討的對象為理想流體，作用于六個(gè)面上的外表力只需壓因

27、研討的對象為理想流體，作用于六個(gè)面上的外表力只需壓力力作用于微元體上的單位質(zhì)量力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為作用于微元體上的單位質(zhì)量力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為fxfx，fyfy，fz fz zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf7.3 7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程微元體在質(zhì)量力和外表力的作用下產(chǎn)生的加速度，根據(jù)牛頓微元體在質(zhì)量力和外表力的作用下產(chǎn)生的加速度，根據(jù)牛頓第二定律第二定律 ：xxdvFmdt ()()22xxp dxp dxfdxdydzpdydzpdydzxxdvdxdydzdt zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf1xxdvpfxdt 1dv

28、fpdt 11yyzzdvpfydtdvpfzdt 7.3 7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式。理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式。表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、外表力和慣性力相表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、外表力和慣性力相平衡：在流場的某點(diǎn)，單位質(zhì)量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣扰c遷移平衡：在流場的某點(diǎn)，單位質(zhì)量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣扰c遷移加速度之和等于作用在它上面的重力與壓力之和。加速度之和等于作用在它上面的重力與壓力之和。該式推導(dǎo)過程中對流體的緊縮性沒加限制，故可適用于理想該式推導(dǎo)過程中對流體的緊縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和

29、不可緊縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。的可壓流體和不可緊縮流體，適用于有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。 111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzvvvvpfvvvxtxyzvvvvpfvvvytyyzvvvvpfvvvztxyz 1()vfpvvt 7.3 7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程柱坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式柱坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式球坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式球坐標(biāo)系中的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式2111rrrrrzrrzzzzzrzzvvvvvpvvvftrrzrrvvvvvpvvftrrzrvvvvvpvvftrrzz 2221sincot1sincot1si

30、nsinrrrrrrrrrrvvvvvvvvpvftrrrrrvvvvvvvv vpvftrrrrrrvvvvvv vv vvpvftrrrrrr 7.3 7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程蘭姆方程可直接從微分方程中斷定流動(dòng)能否有旋蘭姆方程可直接從微分方程中斷定流動(dòng)能否有旋1xxxxxyzxvvvvpvvvftxyzx 1zzxxxxyxyzzxyyvvvvpvvvftxyvvvvvvzxxxxx i j k 2122vvvfpt 212()2xyzzyxvvpvvftxx 212()2yzxxzyvvpvvftyy 212()2zxyyxzvvpvvftzz 7.3 7.3 理

31、想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程蘭姆方程蘭姆方程質(zhì)量力有勢質(zhì)量力有勢正壓流場正壓流場 222xFyzzyvvPvvxt xyzfffxyz 111FFFPPPpppxxyyzz 2122xyzzyxvvpvvftxx /FPdp 壓強(qiáng)函數(shù)壓強(qiáng)函數(shù)7.3 7.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程蘭姆方程蘭姆方程 222222222xFyzzyyFzxxzzFxyyxvvPvvxtvvPvvytvvPvvzt 222FvvPvt 7.4 7.4 起始條件起始條件 邊境條件邊境條件 7.4 7.4 起始條件起始條件 邊境條件邊境條件對于不可緊縮理想流體，未知量有對于不可緊縮理想流體，未

32、知量有vxvx、vyvy、vzvz、p p四個(gè)，除四個(gè)，除三個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程外，還有延續(xù)方程，聯(lián)立可以求解；三個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程外，還有延續(xù)方程，聯(lián)立可以求解；對于正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)變化，多了未知量對于正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)變化，多了未知量，需，需補(bǔ)充物態(tài)方程，方可求解；補(bǔ)充物態(tài)方程，方可求解；對于非正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)和溫度變化，又多了未對于非正壓的理想流體，密度隨壓強(qiáng)和溫度變化，又多了未知量知量T T，還需補(bǔ)充能量方程，才干求解；，還需補(bǔ)充能量方程，才干求解；滿足根本方程的解有無窮多，要得到給定流動(dòng)確實(shí)定解，必滿足根本方程的解有無窮多，要得到給定流動(dòng)確實(shí)定解，必需給出它的定解條

33、件，包括起始條件和邊境條件。需給出它的定解條件，包括起始條件和邊境條件。7.4.1 7.4.1 起始條件起始條件方程組的解在起始瞬時(shí)方程組的解在起始瞬時(shí)t=0t=0應(yīng)滿足的條件，是起始瞬時(shí)應(yīng)滿足的條件，是起始瞬時(shí)流動(dòng)參數(shù)在流場中的分布規(guī)律，即流動(dòng)參數(shù)在流場中的分布規(guī)律，即起始條件是研討非定常流動(dòng)必不可少的定解條件，但在研討起始條件是研討非定常流動(dòng)必不可少的定解條件，但在研討定常流動(dòng)時(shí)，可以不用給出。定常流動(dòng)時(shí)，可以不用給出。( , )( , )( , )( , )( , )( , )xxyyzzvvx y zvvx y zvvx y zpp x y zx y zTT x y z 7.4.2 7

34、.4.2 邊境條件邊境條件方程組的解在流場邊境上應(yīng)滿足的條件。方程組的解在流場邊境上應(yīng)滿足的條件。邊境條件可以是固體的，也可以是流體的；可以是運(yùn)動(dòng)學(xué)的、邊境條件可以是固體的，也可以是流體的；可以是運(yùn)動(dòng)學(xué)的、動(dòng)力學(xué)的，也可以是熱力學(xué)的。動(dòng)力學(xué)的，也可以是熱力學(xué)的。7.4.2 7.4.2 邊境條件邊境條件固體壁面固體壁面理想流體沿固體壁面流動(dòng)時(shí)，既不能穿過它，也不能脫離它理想流體沿固體壁面流動(dòng)時(shí)，既不能穿過它，也不能脫離它構(gòu)成空隙，壁面上流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度構(gòu)成空隙，壁面上流體質(zhì)點(diǎn)的法向速度vlnvln應(yīng)等于對應(yīng)點(diǎn)應(yīng)等于對應(yīng)點(diǎn)上壁面的法向速度上壁面的法向速度vbnvbn，即，即vln=vbnvln=

35、vbn。假設(shè)壁面靜止不動(dòng)，那么假設(shè)壁面靜止不動(dòng)，那么vln=0vln=0。流體與固壁的相互作用力也必沿壁面的法線方向。流體與固壁的相互作用力也必沿壁面的法線方向。7.4.2 7.4.2 邊境條件邊境條件流體交界面流體交界面假設(shè)在交界面上兩種流體互不浸透，它們在同一點(diǎn)上的法向假設(shè)在交界面上兩種流體互不浸透，它們在同一點(diǎn)上的法向速度應(yīng)相等，通常兩側(cè)的溫度也是延續(xù)的，即速度應(yīng)相等，通常兩側(cè)的溫度也是延續(xù)的，即v1n=v2nv1n=v2n，T1=T2T1=T2假設(shè)交界面是曲面，曲面兩側(cè)的壓強(qiáng)應(yīng)滿足假設(shè)交界面是曲面，曲面兩側(cè)的壓強(qiáng)應(yīng)滿足p1-p1-p2=(1/R1+1/R2)p2=(1/R1+1/R2)

36、假設(shè)交界面是平面，假設(shè)交界面是平面，R1=R2R1=R2，那么，那么p1=p2p1=p2假設(shè)交界面是自在外表，那么假設(shè)交界面是自在外表，那么p=pambp=pamb假設(shè)自在外表上是大氣，那么假設(shè)自在外表上是大氣，那么p=pap=pa7.4.2 7.4.2 邊境條件邊境條件無窮遠(yuǎn)處無窮遠(yuǎn)處普通給定該處流體的流速普通給定該處流體的流速vv、壓強(qiáng)、壓強(qiáng)p p 和密度和密度 。流道進(jìn)出口處流道進(jìn)出口處此處的條件需視詳細(xì)情況而定，普通給出該處截面上的速度此處的條件需視詳細(xì)情況而定，普通給出該處截面上的速度分布。分布。7.5 7.5 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分7.5.1 7.5.

37、1 歐拉積分歐拉積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)在流場中任取一有向微元線段在流場中任取一有向微元線段222020202FFFvPxvPyvPz 222222222xFyzzyyFzxxzzFxyyxvvPvvxtvvPvvytvvPvvzt dx dy dz dldxidyjdzk 7.5.1 7.5.1 歐拉積分歐拉積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能單位質(zhì)量流體的動(dòng)能v2/2v2/2、質(zhì)量力位勢能、質(zhì)量力位勢能、壓強(qiáng)勢能、壓強(qiáng)勢能PF

38、PF之和在流場中堅(jiān)持不變。之和在流場中堅(jiān)持不變。2220222FFFvvvPdxPdyPdzxyz202FvdP 22FvPC 7.5.2 7.5.2 伯努利積分伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。流線與跡線重合流線與跡線重合在流場中沿流線取一有向微元線段在流場中沿流線取一有向微元線段在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為 222222222FyzzyFzxxzFxyyxvPvvxvPvvyvPvvz dldxidyjdzk 222222222FyzzyFzxyxxzFxyxzyv dtvvPvvxvPvv

39、yvPvvzdxdydzdtv dt xyzv dtvdxdydtdtzdv 7.5.2 7.5.2 伯努利積分伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)時(shí)，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能單位質(zhì)量流體的動(dòng)能v2/2v2/2、質(zhì)量力位勢能、質(zhì)量力位勢能、壓強(qiáng)勢能、壓強(qiáng)勢能PFPF之和沿同一流線堅(jiān)持不變。之和沿同一流線堅(jiān)持不變。普通情況下，沿不同流線，積分常數(shù)值不一樣。普通情況下，沿不同流線，積分常數(shù)值不一樣。 222222222FyzzyxF

40、zxxzyFxyyxzvPdxvvv dtxvPdyvvv dtyvPdzvvv dtz 202FvdP 22FvPC 7.5.2 7.5.2 伯努利積分伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。 v2/2+PF=C v2/2+PF=C不可緊縮重力流體，假設(shè)取坐標(biāo)軸不可緊縮重力流體，假設(shè)取坐標(biāo)軸z z方向向上：方向向上： =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=C =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=C假設(shè)流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位勢能、壓強(qiáng)勢能之假設(shè)流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位勢能、壓強(qiáng)勢能之和在流場中堅(jiān)持

41、不變；和在流場中堅(jiān)持不變；假設(shè)流動(dòng)有旋，這三項(xiàng)之和沿同一流線堅(jiān)持不變。假設(shè)流動(dòng)有旋，這三項(xiàng)之和沿同一流線堅(jiān)持不變。7.5.2 7.5.2 伯努利積分伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動(dòng)。 v2/2+PF=C v2/2+PF=C對于完全氣體的絕熱流動(dòng)，質(zhì)量力的作用可忽略不計(jì)：對于完全氣體的絕熱流動(dòng)，質(zhì)量力的作用可忽略不計(jì)：非粘性完全氣體一維定常絕熱流動(dòng)的能量方程。假設(shè)流動(dòng)無非粘性完全氣體一維定常絕熱流動(dòng)的能量方程。假設(shè)流動(dòng)無旋，單位質(zhì)量氣體的動(dòng)能、壓強(qiáng)勢能之和在流場中堅(jiān)持不旋，單位質(zhì)量氣體的動(dòng)能、壓強(qiáng)勢能之和在流場中堅(jiān)持不變

42、；假設(shè)流動(dòng)有旋，這二項(xiàng)之和沿同一流線堅(jiān)持不變。變；假設(shè)流動(dòng)有旋，這二項(xiàng)之和沿同一流線堅(jiān)持不變。1/C p 1 1/1/111/1FdpppPC pC 221vpC 7.5.3 7.5.3 非定常流動(dòng)沿流線的積分非定常流動(dòng)沿流線的積分沿流線取一有向微元線段沿流線取一有向微元線段 222222222xFyzzyyFzxxzyFxyyxvvPvvxtvvPvvytvvPvvzt /dlvdl v /xyzdxv dl vdyv dl vdzv dl v 222222222xFyzzyyFzxxzzFyzxyxyxvvPvvxtvvPvvytvvPdxdydzvdvvztlvvdlvvdlv 202F

43、vvdPdlt 7.5.3 7.5.3 非定常流動(dòng)沿流線的積分非定常流動(dòng)沿流線的積分不可緊縮重力流體不可緊縮重力流體非粘性不可緊縮重力流體非定常流動(dòng)的能量方程。非粘性不可緊縮重力流體非定常流動(dòng)的能量方程。即沿流線流體在即沿流線流體在1 1點(diǎn)處的總機(jī)械能等于在點(diǎn)處的總機(jī)械能等于在2 2點(diǎn)處的總機(jī)械能加點(diǎn)處的總機(jī)械能加上流動(dòng)的非定常所需求的能量。上流動(dòng)的非定常所需求的能量。202FvvdPdlt gz /FPp 212211221222LLvpvpvgzgzdlt 【例【例7-1】如下圖為程度放置、間隙為】如下圖為程度放置、間隙為、半徑為、半徑為r2的二圓盤，水由上圓的二圓盤，水由上圓盤中央半徑為

44、盤中央半徑為r1的小管以速度的小管以速度v1定常地流入，假設(shè)不計(jì)水流入的動(dòng)量，定常地流入，假設(shè)不計(jì)水流入的動(dòng)量，試求圓盤間水的壓強(qiáng)沿徑向的分布規(guī)律。試求圓盤間水的壓強(qiáng)沿徑向的分布規(guī)律?！纠纠?-27-2】如下圖為盛有液體的等截面】如下圖為盛有液體的等截面U U型管，兩端通大氣，管內(nèi)液柱總型管，兩端通大氣，管內(nèi)液柱總長為長為l l。假設(shè)起始時(shí)辰液體兩端自在面的高差為。假設(shè)起始時(shí)辰液體兩端自在面的高差為h h，之后液柱將在管中，之后液柱將在管中振蕩，其振蕩規(guī)律如何？振蕩，其振蕩規(guī)律如何？7.6 7.6 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量 7.6 7.6 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通

45、量渦通量 自然界中流體的流動(dòng)絕大多數(shù)是有旋的自然界中流體的流動(dòng)絕大多數(shù)是有旋的大氣中的旋風(fēng)、龍卷風(fēng)，橋墩后的渦旋區(qū)；大氣中的旋風(fēng)、龍卷風(fēng)，橋墩后的渦旋區(qū)；行進(jìn)中的船舶后的尾渦區(qū)；行進(jìn)中的船舶后的尾渦區(qū)；充溢微小渦旋的紊流流動(dòng)；充溢微小渦旋的紊流流動(dòng)；物體外表充溢微小渦旋的邊境層流動(dòng)；物體外表充溢微小渦旋的邊境層流動(dòng)；葉輪機(jī)械內(nèi)流體的渦旋運(yùn)動(dòng)。葉輪機(jī)械內(nèi)流體的渦旋運(yùn)動(dòng)。7.6 7.6 渦線渦線 渦管渦管 渦束渦束 渦通量渦通量 流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的矢量表示流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的矢量表示更普遍地用渦量來描畫流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)更普遍地用渦量來描畫流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)渦量的定義渦量的定義充溢渦量的流場稱為

46、渦量場充溢渦量的流場稱為渦量場12v 2vrotv yyzzxxxyzvvvvvvyzzxxy 7.6.1 7.6.1 渦線渦線在給定瞬時(shí)處處與渦量矢量相切的曲線。在給定瞬時(shí)處處與渦量矢量相切的曲線。沿該線各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。沿該線各流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。渦線方程渦線方程 非定常流動(dòng)，渦線的外形和位置是隨時(shí)間變化的，積分渦線非定常流動(dòng)，渦線的外形和位置是隨時(shí)間變化的，積分渦線微分方程時(shí)，微分方程時(shí)，t t作為參變量；作為參變量；定常流動(dòng)，渦線的外形和位置堅(jiān)持不變，渦線微分方程中沒定常流動(dòng)，渦線的外形和位置堅(jiān)持不變，渦線微分方程中沒有時(shí)間變量有時(shí)間變量t t。( , , , )( , ,

47、 , )( , , , )xyzdxdydzx y z tx y z tx y z t7.6.2 7.6.2 渦管渦管 渦束渦束給定瞬時(shí)在渦量場中取一不是渦線的封鎖曲線，經(jīng)過封鎖曲給定瞬時(shí)在渦量場中取一不是渦線的封鎖曲線，經(jīng)過封鎖曲線的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線構(gòu)成的管狀外表稱為渦管；線的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線構(gòu)成的管狀外表稱為渦管；截面無限小的渦管稱為微元渦管；截面無限小的渦管稱為微元渦管；渦管中充溢著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束；渦管中充溢著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束；微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。7.6.3 7.6.3 渦通量渦通量 在渦量場中取一微元

48、面積在渦量場中取一微元面積dAdA，其上流體微團(tuán)的渦量為，其上流體微團(tuán)的渦量為，那么經(jīng)過微元面積的渦通量為那么經(jīng)過微元面積的渦通量為經(jīng)過面經(jīng)過面A A的渦通量的渦通量渦通量又稱渦旋強(qiáng)度，假設(shè)面渦通量又稱渦旋強(qiáng)度，假設(shè)面A A是渦管的截面，那么稱是渦管的截面，那么稱J J為為渦管強(qiáng)度。渦管強(qiáng)度。AJdA dJdA 7.7 7.7 速度環(huán)量速度環(huán)量 斯托克斯定理斯托克斯定理 7.7.1 7.7.1 速度環(huán)量速度環(huán)量在流場的某封鎖周線上，流體的速度矢量與該線微元有向線在流場的某封鎖周線上，流體的速度矢量與該線微元有向線段的標(biāo)積沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號段的標(biāo)積沿周線的線積分，定義為速度環(huán)

49、量，用符號表表示示速度環(huán)量是代數(shù)量，它的正負(fù)不僅與速度的方向有關(guān)，還與速度環(huán)量是代數(shù)量，它的正負(fù)不僅與速度的方向有關(guān)，還與線積分的繞行方向有關(guān)；線積分的繞行方向有關(guān)；規(guī)定：繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，即封鎖周線所包圍的面規(guī)定：繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，即封鎖周線所包圍的面積總在繞行前進(jìn)方向的左側(cè)；封鎖周線所圍曲面的法線正積總在繞行前進(jìn)方向的左側(cè)；封鎖周線所圍曲面的法線正方向與繞行的正方向構(gòu)成右手螺旋系統(tǒng)。方向與繞行的正方向構(gòu)成右手螺旋系統(tǒng)。()xyzv dlv dxv dyv dz 7.7.2 7.7.2 斯托克斯定理斯托克斯定理在渦量場中，沿恣意封鎖周線的速度環(huán)量等于經(jīng)過該周線所在渦量場中，沿

50、恣意封鎖周線的速度環(huán)量等于經(jīng)過該周線所張曲面的渦通量張曲面的渦通量斯托克斯定理的運(yùn)用區(qū)域限制條件斯托克斯定理的運(yùn)用區(qū)域限制條件區(qū)域內(nèi)恣意封鎖周線都能延續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的區(qū)域內(nèi)恣意封鎖周線都能延續(xù)地收縮成一點(diǎn)而不越出流體的邊境邊境這種區(qū)域稱為單連通域這種區(qū)域稱為單連通域否那么稱為多連通域否那么稱為多連通域KAv dldA 【例【例7-3】知二維流場的速度分布為】知二維流場的速度分布為vx=-6y，vy=8x，試求繞，試求繞圓圓x2+y2=R2的速度環(huán)量。的速度環(huán)量?！纠纠?-4】在二元渦量場中，知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑】在二元渦量場中，知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑r=0.2m的圓區(qū)域內(nèi)的圓區(qū)

51、域內(nèi)流體的渦通量流體的渦通量J=0.8m2/s。假設(shè)流體微團(tuán)在半徑。假設(shè)流體微團(tuán)在半徑r處的速度分量處的速度分量v為為常數(shù)，它的值是多少？常數(shù)，它的值是多少？【例【例7-57-5】知理想流體的速度分布為】知理想流體的速度分布為 ，試求渦線方程以及沿封鎖周線試求渦線方程以及沿封鎖周線 的速度環(huán)的速度環(huán)量，其中量，其中a a、b b為常數(shù)。為常數(shù)。22,0 xyzvayzvv 222(0)xybz 7.8 7.8 湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 7.8.1 7.8.1 湯姆孫定理湯姆孫定理正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由

52、流體質(zhì)點(diǎn)組成的封鎖周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化；成的封鎖周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化；正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，速度環(huán)量和渦旋不正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，速度環(huán)量和渦旋不能自行產(chǎn)生，也不能自行消逝。能自行產(chǎn)生，也不能自行消逝。7.8.1 7.8.1 湯姆孫定理湯姆孫定理理想流體無粘性，不存在切應(yīng)力，不能傳送旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；理想流體無粘性，不存在切應(yīng)力，不能傳送旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；既不能使不旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)，也不能使旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)既不能使不旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)，也不能使旋轉(zhuǎn)的流體微團(tuán)停頓旋轉(zhuǎn)；停頓旋轉(zhuǎn)；流場中原來有渦旋和速度環(huán)量的，將堅(jiān)持有渦旋和速度環(huán)量；流場中原來有渦旋和速度環(huán)量的，將堅(jiān)持有渦

53、旋和速度環(huán)量；原來沒有渦旋和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有渦旋和速度環(huán)量；原來沒有渦旋和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有渦旋和速度環(huán)量；流場中也會(huì)出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有渦旋的情況，此時(shí)渦旋是流場中也會(huì)出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有渦旋的情況，此時(shí)渦旋是成對出現(xiàn)的，每對渦旋的強(qiáng)度相等而旋轉(zhuǎn)方向相反。成對出現(xiàn)的，每對渦旋的強(qiáng)度相等而旋轉(zhuǎn)方向相反。7.8.2 7.8.2 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲第一定理亥姆霍茲第一定理在同一瞬時(shí)渦管各截面上的渦通量一樣。在同一瞬時(shí)渦管各截面上的渦通量一樣。渦管在流體中既不能開場，也不能終止，只能是自成封鎖的渦管在流體中既不能開場，也不能終止，只能是自成封鎖的管圈，或在邊境上開場、終止。管

54、圈，或在邊境上開場、終止。7.8.2 7.8.2 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲第二定理渦管守恒定理亥姆霍茲第二定理渦管守恒定理在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管一直由一樣在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管一直由一樣的流體質(zhì)點(diǎn)組成。的流體質(zhì)點(diǎn)組成。亥姆霍茲第三定理渦管強(qiáng)度守恒定理亥姆霍茲第三定理渦管強(qiáng)度守恒定理在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管強(qiáng)度不隨時(shí)在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管強(qiáng)度不隨時(shí)間變化。間變化。7.9 7.9 二維渦流二維渦流 7.9 7.9 二維渦流二維渦流設(shè)在重力作用下的不可緊縮理想流體中，有一無限長的渦通設(shè)在重力作用下的不可緊縮理想流體

55、中，有一無限長的渦通量為量為J J的垂直渦束，像剛體一樣以等角速度的垂直渦束，像剛體一樣以等角速度繞本身軸旋繞本身軸旋轉(zhuǎn)；轉(zhuǎn)；渦束周圍的流體受渦束的誘導(dǎo)將繞渦束軸作對應(yīng)的等速圓周渦束周圍的流體受渦束的誘導(dǎo)將繞渦束軸作對應(yīng)的等速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)斯托克斯定理運(yùn)動(dòng)，根據(jù)斯托克斯定理=J=J；由于直線渦束無限長，與渦束軸垂直的一切平面上的流動(dòng)情由于直線渦束無限長，與渦束軸垂直的一切平面上的流動(dòng)情況都一樣，可只研討其中一個(gè)平面的流動(dòng)況都一樣，可只研討其中一個(gè)平面的流動(dòng) 。7.9 7.9 二維渦流二維渦流渦束內(nèi)的流動(dòng)區(qū)域，稱為渦核區(qū)。渦束內(nèi)的流動(dòng)區(qū)域，稱為渦核區(qū)。有旋流動(dòng)，其半徑為有旋流動(dòng)，其半徑為rbrb

56、。渦束外的流動(dòng)區(qū)域稱為環(huán)流區(qū)渦束外的流動(dòng)區(qū)域稱為環(huán)流區(qū) 。由于沿區(qū)內(nèi)恣意封鎖曲線的速度環(huán)量都為零，故為無旋流動(dòng)。由于沿區(qū)內(nèi)恣意封鎖曲線的速度環(huán)量都為零，故為無旋流動(dòng)。7.9 7.9 二維渦流二維渦流環(huán)流區(qū)環(huán)流區(qū) 環(huán)流區(qū)的速度分布環(huán)流區(qū)的速度分布vr=0vr=0v=v=/(2r) (rrb)v=v=/(2r) (rrb)環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑的減小，流速升高。環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑的減小，流速升高。環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)分布環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)分布p+v2/2=pp+v2/2=pp=p-v2/2=p -2/(82r2)p=p-v2/2=p -2/(82r2)環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑的減小，壓強(qiáng)降低。環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑的減小，壓強(qiáng)降低。7.9

57、7.9 二維渦流二維渦流環(huán)流區(qū)環(huán)流區(qū)在與渦核交界處，流速到達(dá)該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)那么是該在與渦核交界處，流速到達(dá)該區(qū)的最高值，而壓強(qiáng)那么是該區(qū)的最低值。區(qū)的最低值。2bbvr 222228bbvpppr 7.9 7.9 二維渦流二維渦流渦核區(qū)渦核區(qū) 渦核區(qū)的速度分布渦核區(qū)的速度分布vr=0vr=0v=v=r (rrb)v=v=r (rrb)渦核區(qū)為有旋流動(dòng)，伯努利方程的積分常數(shù)隨流線而變，其渦核區(qū)為有旋流動(dòng)，伯努利方程的積分常數(shù)隨流線而變，其壓強(qiáng)分布由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程推出：壓強(qiáng)分布由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程推出：11xxxyyyxyvvpvvxyxvvpvvxyy yxbbbbvxvyrrppvvr

58、2222221122bbppvbprr 7.9 7.9 二維渦流二維渦流渦核區(qū)渦核區(qū)渦核中心的流速為零，壓強(qiáng)最低渦核中心的流速為零，壓強(qiáng)最低渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)降渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強(qiáng)降渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)降相等，都等于以它們交界處的速度渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強(qiáng)降相等，都等于以它們交界處的速度計(jì)算的動(dòng)壓頭；計(jì)算的動(dòng)壓頭；由于渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的低，而渦核區(qū)又很小，徑向壓由于渦核區(qū)的壓強(qiáng)比環(huán)流區(qū)的低，而渦核區(qū)又很小，徑向壓強(qiáng)梯度很大，故有向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，這強(qiáng)梯度很大，故有向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強(qiáng)，這種作用越大，如龍卷風(fēng)，具有極強(qiáng)的渦旋，有很大的破壞種作用越大，如龍卷

59、風(fēng)，具有極強(qiáng)的渦旋，有很大的破壞力；力；在工程實(shí)踐中，也有許多與渦流有關(guān)的安裝。在工程實(shí)踐中，也有許多與渦流有關(guān)的安裝。2222221122bbppvbprr 2cbppv 212bcbbppvpp 7.10 7.10 速度勢速度勢 流函數(shù)流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng) 7.10 7.10 速度勢速度勢 流函數(shù)流函數(shù) 流網(wǎng)流網(wǎng)自然界中無旋流動(dòng)是很少的自然界中無旋流動(dòng)是很少的有許多有旋流動(dòng)可以近似地視為無旋流動(dòng)有許多有旋流動(dòng)可以近似地視為無旋流動(dòng)可以使繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算得到簡化，處理工程實(shí)踐問題；可以使繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算得到簡化，處理工程實(shí)踐問題；此類分析、計(jì)算方法曾經(jīng)很成熟。此類分析、計(jì)算方法曾經(jīng)很成熟。7.10.

60、1 7.10.1 速度勢函數(shù)速度勢函數(shù) 無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)是是vxdx+vydy+vzdzvxdx+vydy+vzdz成為某函數(shù)成為某函數(shù)(x,y,z)(x,y,z)的全微分的充要條件的全微分的充要條件 d=vxdx+vydy+vzdz d=vxdx+vydy+vzdz流場的速度等于勢函數(shù)流場的速度等于勢函數(shù)的梯度，的梯度， 為速度勢函數(shù)，簡稱速為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢；度勢；稱無旋流動(dòng)為有勢流動(dòng)，簡稱勢流。稱無旋流動(dòng)為有勢流動(dòng)，簡稱勢流。0v yyzzxxvvvvvvyzzxxyxyzvvvxyz xyzvv iv jv kijkgradxyz ddxdydzxyz 7.10.1 7.10.1