導(dǎo)數(shù)大題的常用找點(diǎn)技巧和常見模型

1、導(dǎo)數(shù)大題的常用找點(diǎn)技巧和常見模型導(dǎo)數(shù)大題的常用找點(diǎn)技巧和常見模型引子：(2017年全國(guó)新課標(biāo)1理21)已知f2xae2ex(1)討論fx的單調(diào)性;(2)若fx有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解析:2ae2xa2ex12ex1xae10包成立，所以fx在R上遞減;1In.a(2)lnl時(shí)，f'alnl時(shí)，f'a當(dāng)a0時(shí),0,所以f0,所以f在,ln1上遞減;a在ln工，上遞增.ax在R上遞減；當(dāng)a0時(shí),1,ln一a上遞減,fx有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足fxmin0,即0,且xmin111cln0.aa構(gòu)造函數(shù)gx1xlnx,xlnx單調(diào)遞減.一一,_1又因?yàn)間10,所以11aln工a卜面只

2、要證明當(dāng)0a1時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)即可,為此我們先證明當(dāng)0時(shí)，xlnx.事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)xlnx.當(dāng)0a1時(shí),2aeae22e0,3aflnaa3lna3ln一1a其中1ln1,aln"a所以f11,lnaln"aaa上各有一個(gè)零點(diǎn).故a的取值范圍是0,1注意：取點(diǎn)過(guò)程用到了常用放縮技巧。一方面：2xx2xxxxx3a3aea2ex0aea2ee0aea30exIn1;aa另一方面：x0時(shí)，ae2xa2exx0a2exx0x1（目測(cè)的）常用的放縮公式（考試時(shí)需給出證明過(guò)程）第一組：對(duì)數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）lnxx1,lnxx,In1xx（放縮成雙撇函數(shù)）inx1x1x1,inx

3、1x12x2x0x1,inx（放縮成二次函數(shù)）inxx2*x,in1x12x-x1x0,in1x2（放縮成類反比例函數(shù)）1inx1,inxx2x10x1,x1in1xx,in1x第二組：指數(shù)放縮2x0，in2x（放縮成一次函數(shù)）（放縮成類反比例函數(shù)）（放縮成二次函數(shù)）ex11x12一x2第三組:指對(duì)放縮第四組:三角函數(shù)放縮sinxxtanxsinxcosx第五組：以直線x1為切線的函數(shù)xinx.幾個(gè)經(jīng)典函數(shù)模型經(jīng)典模型一：y叱或y.xlnx(1)【例11討論函數(shù)fxlnxax的零點(diǎn)個(gè)數(shù).無(wú)零點(diǎn).(2)1個(gè)零點(diǎn).(3)1時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).e0（目測(cè)）ln1(4)0時(shí),1個(gè)零點(diǎn).xmaxxmaxea1

4、2a0.lnaIne0.0.0,（用到了lnxe.（放縮）1a一aaea2e0.【變式】（經(jīng)過(guò)換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例1:fxlnxax):1 .討論fxlnxm77的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令Vxt,ma）;212 .討論fxxmlnx的布點(diǎn)個(gè)數(shù)（令一a）;m3 .討論fx豉lnxmx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮gx4 .討論fxlnx工mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮gxVxfx,令tx2,3ma);5 .討論fxlnxmx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(令tx2,2ma);6.討論fxaxex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令ext)xx經(jīng)典模型二：y上或yxx【例2】討論函數(shù)fxexax的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（1）a0時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).f'xexa0,fxe

5、xax單調(diào)遞增.11,*一，且f01a（2）a0時(shí)，無(wú)零點(diǎn).0,fea10,所以在1,0上有一個(gè)零點(diǎn);aafxex0包成立;（3） 0ae時(shí)，無(wú)零點(diǎn).fxminfInaa1Ina0；（4） ae時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).11,aa2lnaae20.f-ea10,f1a【變式】（經(jīng)過(guò)換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2：fxexax）：1 .討論fxe2xmx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令2xt,ma）;2x2 .討論fx之二的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（去分母后與1等價(jià)）；xe3 .討論fxexmV7的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)平方后與1等價(jià)）；4 .討論fxexmx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)開方后換元與1等價(jià)）；5 .討論fxex1mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（乘以系數(shù)

6、e,令ema）;6 .討論fx叱mx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令xe,轉(zhuǎn)化成2）x7 .討論fxex1mxm的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令x1t,1a）;e經(jīng)典模型三：yxlnx或yxxe【例】討論函數(shù)fxlna的零點(diǎn)個(gè)數(shù).x(D0時(shí),xa2xlnxa單調(diào)遞增(2)0時(shí),(3)(4)(5)1.討論f2.討論0,In1個(gè)零點(diǎn)無(wú)零點(diǎn).1個(gè)零點(diǎn).0時(shí)，2個(gè)零點(diǎn).lna21a3.討論4.討論1)x0xminaln1.fxeminln1e0,ea（經(jīng)過(guò)換元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3:ln平方y(tǒng)=x'e爭(zhēng)ZlTI1-xealnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù);Vxlnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令ea的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；x(考慮gx-ext);找點(diǎn)問(wèn)題中的常見函數(shù)模型之間的關(guān)系-v=->y=.X1|巾，1；Mm令J取廁H同理，可以轉(zhuǎn)化成上的JI他任意次鵬,剎下的四個(gè)函數(shù)亦然！練習(xí)題21 .已知函數(shù)fxx2exax1有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.2 .設(shè)函數(shù)fxe2xalnx,討論fx的導(dǎo)函數(shù)f'x