微分方程應(yīng)用舉例

1、§8-5 微分方程應(yīng)用舉例 在前面幾節(jié)，已經(jīng)舉了一些力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)方面應(yīng)用微分方程的實(shí)例，本節(jié)將再集中學(xué)習(xí)幾個(gè)在其他方面的應(yīng)用實(shí)例，說明微分方程在許多實(shí)際領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題通常按下列步驟進(jìn)行：(1)建立模型：分析實(shí)際問題，建立微分方程，確定初始條件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根據(jù)初始條件確定出符合實(shí)際情況的特解；(3)解釋問題：從微分方程的解，解釋、分析實(shí)際問題，預(yù)計(jì)變化趨勢例1 有一個(gè)30´30´12(m3)的車間，空氣中CO2的容積濃度為0.12%為降低CO2的含量，用一臺(tái)風(fēng)量為1500(m3/min)的進(jìn)風(fēng)鼓風(fēng)機(jī)通入

2、CO2濃度為0.04%的新鮮空氣，假定通入的新鮮空氣與車間內(nèi)原有空氣能很快混合均勻，用另一臺(tái)風(fēng)量為1500(m3/min)的排風(fēng)鼓風(fēng)機(jī)排出，問兩臺(tái)鼓風(fēng)機(jī)同時(shí)開動(dòng)10min后，車間中CO2的容積濃度為多少？解車間體積為10800m3設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)t（min）后，車間空氣中CO2的含量為x=x(t)，那么容積濃度為 記在t到t+dt這段時(shí)間內(nèi)，車間CO2含量的改變量為dx，則dx=該時(shí)間段內(nèi)CO2通入量-該時(shí)間段內(nèi)CO2排出量=單位時(shí)間進(jìn)風(fēng)量´進(jìn)風(fēng)CO2的濃度´時(shí)間-單位時(shí)間排風(fēng)量´排風(fēng)CO2濃度´時(shí)間=1500´0.04%´dt -150

3、0´´dt，于是有=1500´0.04% -1500´即=(4.32-x)初始條件x(0)=10800´0.12%=12.96方程為可分離變量的方程，其通解為x(t)=4.32+C將初始條件代入上式，得C=8.64于是在t時(shí)刻車間內(nèi)空氣中CO2的含量為x(t)=4.32(1+2)所以鼓風(fēng)機(jī)打開10min后，車間中CO2濃度為=0.06%例2(馬爾薩斯人口方程)英國人口學(xué)家馬爾薩斯在1798年提出了人口指數(shù)增長模型：人口的增長率與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)成正比若已知t=t0時(shí)人口總數(shù)為x0，試根據(jù)馬爾薩斯模型，確定時(shí)間t與人口總數(shù)x(t)之間的函數(shù)關(guān)系據(jù)我

4、國有關(guān)人口統(tǒng)計(jì)的資料數(shù)據(jù)，1990年我國人口總數(shù)為11.6億，在以后的8年中，年人口平均增長率為14.8，假定年增長率一直保持不變，試用馬爾薩斯方程預(yù)測2005年我國的人口總數(shù)解 記t時(shí)的人口總數(shù)為x=x(t)，則人口的增長率為，據(jù)人口指數(shù)增長模型為=rx(t),(r為比例系數(shù)，即馬爾薩斯增長指數(shù))(1)并附初始條件：x(t0)=x方程是可分離變量方程，易得它的通解為x=Cert將初始條件x(t0)=代入，得C=x0于是時(shí)間t與人口總數(shù)x(t)之間的函數(shù)關(guān)系為x(t)=x0將t=2005, t0= 1990, x0=11.6, r=0.0148代入，可預(yù)測出2005年我國的人口總數(shù)為x|t=2

5、005=11.6e 0.0148´(2005-1990) »14.5(億)例3 有一由電阻、電感串接而成的電路,如圖8-6所示，其中電源電動(dòng)勢E=E0sinwt,(E0,w為常量），電阻R和電感L為常量，在t=0時(shí)合上開關(guān)S，其時(shí)電流為零，求此電路中電流i與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系 圖8-6RLSE解 由電學(xué)知識(shí)，電感L上的感應(yīng)電動(dòng)勢為L，根據(jù)回路電壓定律，有E=Ri+L，即sinwt， (1)初始條件為i(0)=0方程是一階非齊次線性微分方程，它的通解為i(t)=C+ (Rsinwt-wLcoswt) 將初始條件i(0)=0代入上式，得C=于是所求電流為i(t)=(wL+Rsin

6、wt-wLcoswt), (t³0)例4輕質(zhì)油料滴入靜水中后會(huì)迅速擴(kuò)散，在水面形成一層圓形油膜設(shè)油膜半徑的增加速度與油膜厚度成正比，滴入油料的體積為V0，油料在水中擴(kuò)散過程中的形狀近似看做圓柱體，初始t=0時(shí)圓柱高度為h0，求油膜半徑與時(shí)間t的關(guān)系解 設(shè)圓柱體油料半徑r=r(t)，厚度h=h(t)，則在任何時(shí)刻t有圖8-7r(t)h(t)pr2(t)×h(t)=V0 (1)兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得2pr(t)h(t)+pr2(t)=0，據(jù)油膜半徑的增加速度與油膜厚度成正比,得2kh2(t)+=0，即 =-2k(t)分離變量后成為dh=-2kdt，兩邊積分得=kt+C，或h(t)=代

7、入(1)，得r（t）= （2） 由初始條件pr2(0)h(0)=pr2(0)h0=V0，得r(0)=；代入(2)得C=回代到(2)，最終得油膜半徑與時(shí)間t的關(guān)系為圖8-8x0r(t)=例5 一邊長為3m的立方體形狀的木材浮于水面上處于平衡位置，然后向水里按下x0(m)后松手，物體會(huì)在上面上下沉浮振動(dòng)(圖8-8)已知振動(dòng)的周期為2s，水的密度為1，試求物體的質(zhì)量及物體沉浮振動(dòng)的規(guī)律解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，物體在時(shí)刻t相對(duì)于平衡位置的位移為x，振動(dòng)規(guī)律為x=x(t)因?yàn)閤是相對(duì)于平衡位置的位移，物體所受重力已經(jīng)被抵消，故物體在振動(dòng)過程中只要考慮浮力的作用假設(shè)x以向下為正向由阿基米德原理，當(dāng)物體位移為

8、x時(shí)所受浮力F(x)與x的符號(hào)相反，大小為：F(x)=-3´3´x´1000g=-9000xg,(g=9.8m/s2為重力加速度)由牛頓第二定律得m=-9000gx，即 m+9000gx=0這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次方程，滿足初始條件x(0)=x0, x¢(0)=0 其特征方程為r2+=0，特征根為r1,2=±i，通解為x(t)=C1cost+C2sint由周期T=2，解得，m=»8937(kg)所以x(t)=C1cospt+C2sinpt由初始條件，得C1=x(0)=x0，C2=0，所以物體的位移規(guī)律為x(t)=x0cospt圖8-7R

9、LSEC例6在例3的電路上，若再串接一個(gè)的電容C，且R2-<0,(電路中電阻較小或電容較小)求合上開關(guān)后電路上電流的變化的一般形式解 以Q(t)表示電路上流動(dòng)的電量，則由電學(xué)知識(shí)，電容兩端的電動(dòng)勢為EC=Q；電感兩端的電動(dòng)勢EL= L= L；電阻兩端的電動(dòng)勢ER=Ri=R據(jù)回路電壓定律，有L+ R+Q=E0sinwt，或 +Q=sinwt， (3) 方程(3)是二階線性常系數(shù)的，對(duì)應(yīng)的特征方程為r2+r+=0，特征根r1 =(-R-), r2=(-R+)因?yàn)镽2-<0，所以(3)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Q*(t)=(C1sint+C2cost)設(shè)Q*(t)為(3)的一個(gè)特解，據(jù)公式可

10、得Q*(t)=應(yīng)用積分公式，可得 Q*(t)=- =-r2(-r1sinwt-wcoswt)+w(wsinwt-r1coswt) =-(w2-r1r2)sinwt-w(r1+r2)coswt =-(w2-)sinwt+wcoswt=-(w2-)sinwt+coswt即Q*(t)=-sin(wt+j), tanj= (4)所以方程(3)的通解為Q(t)=(C1sint+C2cost)-sin(wt+j) 根據(jù)i=，即得電路上電流變化的一般形式為i(t)=(+C4cost)-cos(wt+j)，其中j由(3)確定且習(xí)題8-51. 一曲線過點(diǎn)(1,1)，且曲線上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線與過原點(diǎn)的直線OM垂直，求此曲線方程2. 設(shè)質(zhì)量為m的降落傘從飛機(jī)上下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開飛 機(jī)時(shí)(t=0)速度為零求降落傘下落的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系3. 設(shè)火車在平直的軌道上以16m/s的速度行駛當(dāng)司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方約200m處鐵軌上有異物 時(shí)，立即以加速度-0.8m/s2制動(dòng)(剎車)試問：(1)自剎車后需經(jīng)多長時(shí)間火車才能停車？ (2)自開始剎車到停車，火車行駛了多少路程？4 太陽能熱水器加熱水時(shí)，在某時(shí)間段水溫度升高的速度與水溫成反比現(xiàn)設(shè)某型號(hào)的太 陽能熱水器的比例系