大一經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分Appt課件

1、1.1 實實 數(shù)數(shù) (R)1. 實數(shù)的分類實數(shù)的分類實數(shù)實數(shù)無理數(shù)：無理數(shù)：有理數(shù)有理數(shù)(Q)：無限不循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)正數(shù)正數(shù)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)正整數(shù)正整數(shù)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)(0)qpp 2. 實數(shù)的性質(zhì)實數(shù)的性質(zhì)1).實數(shù)關(guān)于加、減、乘、除四種運算封鎖實數(shù)關(guān)于加、減、乘、除四種運算封鎖. 思索自然數(shù)思索自然數(shù)N、整數(shù)、整數(shù)Z、無理數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、有理數(shù)Q能否關(guān)于上能否關(guān)于上述四種運算封鎖述四種運算封鎖?352 N 30.65 Z 220不是無理數(shù)，而是有理數(shù)不是無理數(shù)，而是有理數(shù).只需有理數(shù)關(guān)于此四種運算封鎖只需有理數(shù)關(guān)于此四種運算封鎖.零零正分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù) 可以把數(shù)軸看成是實數(shù)的

2、直觀圖形可以把數(shù)軸看成是實數(shù)的直觀圖形( (幾何模型幾何模型),),即即一個實數(shù)可以了解為數(shù)軸上的一個點。一個實數(shù)可以了解為數(shù)軸上的一個點。4).實數(shù)與數(shù)軸的上的點一一對應(yīng)。實數(shù)與數(shù)軸的上的點一一對應(yīng)。2).實數(shù)是有序的實數(shù)是有序的,即恣意兩個實數(shù)即恣意兩個實數(shù)a,b必滿足下述三個關(guān)必滿足下述三個關(guān)系系 之一：之一：ab,ab,a=b.實數(shù)的三歧性實數(shù)的三歧性3).實數(shù)具有稠密性實數(shù)具有稠密性.而實數(shù)不僅具有稠密性而實數(shù)不僅具有稠密性,而且具有延續(xù)性而且具有延續(xù)性(實數(shù)間無實數(shù)間無“空隙空隙) 。例例.設(shè)設(shè)a為有理數(shù)，為有理數(shù)，x為無理數(shù)，證明：為無理數(shù)，證明：(1)a+x是無理數(shù)是無理數(shù) (

3、2)當(dāng)當(dāng)a0時，時，ax是無理數(shù)是無理數(shù).證：反證法證：反證法axb 若若為為有有理理數(shù)數(shù), ,則則因因為為有有理理數(shù)數(shù)對對四四種種運運算算滿滿足足封封閉閉性性, ,xba,也也為為有有理理數(shù)數(shù),ax 與與已已知知矛矛盾盾 所所以以.為為無無理理數(shù)數(shù)3. 實數(shù)的絕對值實數(shù)的絕對值1).定義定義ab ababba ab ,0|,0aaaaa 2).幾何意義幾何意義|aa表表示示實實數(shù)數(shù) 與與原原點點的的距距離離; ;|abab 表表示示實實數(shù)數(shù) 與與 的的距距離離; ;3).性質(zhì)性質(zhì)21 | | 0,|.aaaa 2; aba b |3|(0).|aabbb 4|.aaa 5|;ahhah |;

4、(0)ahahah h 或或思索：兩個等號何時成立？思索：兩個等號何時成立？0,;aaaa0,aaaa 0,;aaaa6|; | ababab |abab , | abab 下下證證：,ababab （）ababab即即|,|,aaabbb|,|,aaabbb 從從而而|,ababab.abab于于是是成成立立| abab下下證證：|.ababab即即證證| |aabb |abb| |bbaa |aba |,abab|abab |.ababab 即即|.| abab 因因此此abab|,aabb|.bbaa 4. 常用的實數(shù)集常用的實數(shù)集-區(qū)間和鄰域區(qū)間和鄰域設(shè)設(shè)a, ba, b都是實數(shù)都是實

5、數(shù), , 且且ab,ab,有下面方式的區(qū)間有下面方式的區(qū)間a bx axb , , a bx axb( , , , ),a bx axb ababab(, ),axxa a閉區(qū)間閉區(qū)間半開半半開半閉區(qū)間閉區(qū)間無窮區(qū)間無窮區(qū)間區(qū)間區(qū)間,x xa 或或(, ,axxa a ,),ax ax a( ,),ax ax a(,).xx 無窮區(qū)間無窮區(qū)間,x xa,x xa,x xa鄰域鄰域定義定義1 以以x0為中心為中心, 以以 為半徑為半徑, 長為長為2 的開區(qū)間的開區(qū)間.即即 000(,),0,xxx xx 2 0 xx0 0 x 稱為點稱為點 x0 的的 鄰域鄰域 , 記為記為U(x0 , ).例

6、例1 U(2 , 1) U(- , )=x|x-2|1=(1,3).= x|x + | 01.2 函數(shù)的概念函數(shù)的概念一、一、 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 定義定義 設(shè)設(shè)D為一個非空實數(shù)集為一個非空實數(shù)集,假設(shè)對假設(shè)對D中每一中每一個值個值 x,按照一定的對應(yīng)法那么按照一定的對應(yīng)法那么 ,總有確定的數(shù)值總有確定的數(shù)值y和它對應(yīng)和它對應(yīng),那么稱那么稱 f是定義在是定義在D上的一個函數(shù)上的一個函數(shù),記作記作 y=(x). 稱稱 x 為自變量為自變量, y 為因變量為因變量; D 為為 f 的定義的定義域域; 注：注：1. 要求定義域要求定義域D為非空集合為非空集合.21yx 如如：0 x當(dāng)當(dāng) 時時, ,

7、稱稱 為函數(shù)在為函數(shù)在 的函數(shù)值的函數(shù)值. .Dx 0)(0 xf函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集 Z =y|y=f(x), xD為為 f 的值域的值域.4. 定義域定義域D和對應(yīng)法那么和對應(yīng)法那么f 是確定函數(shù)的兩要是確定函數(shù)的兩要素素.3. 函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的全體。函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的全體。所以普通情況下，函數(shù)的定義域都省略不寫所以普通情況下，函數(shù)的定義域都省略不寫.1( ),f xx 如如：|0fDx x( )21,f xx1|2fDx x 在判別兩個函數(shù)能否一樣時，判別其能否具有在判別兩個函數(shù)能否一樣時，判別其能否具有一樣的定義域及對應(yīng)法那么一

8、樣的定義域及對應(yīng)法那么.2. 由由f 確定的確定的y 值，必需是獨一的值，必需是獨一的.這類函數(shù)成為單值函數(shù)這類函數(shù)成為單值函數(shù), 還有一類函數(shù)為多值函數(shù)還有一類函數(shù)為多值函數(shù).2222,.yx xya 如如：( )1(,)( )(,0)(0,)f xxxg xxx 例例：( )1(,)( )2(,)f xxg xx 定定義義域域不不同同對對應(yīng)應(yīng)法法則則不不同同2( ) |( )f xxg xx 形形式式上上不不同同的的函函數(shù)數(shù)可可能能表表示示同同一一個個函函數(shù)數(shù). .2( )( )f xxg xx xR 值值域域不不同同fZR 0,)gZ 2( )210,25( )0,24f xxxg xx

9、x 1,x 當(dāng)當(dāng)時時(1)3,f 5(1).4g 對對應(yīng)應(yīng)法法則則不不同同 由于有些函數(shù)的對應(yīng)法那么雖然方式上不同，由于有些函數(shù)的對應(yīng)法那么雖然方式上不同，但卻表示同一個函數(shù)但卻表示同一個函數(shù),所以在判別過程中經(jīng)常把兩所以在判別過程中經(jīng)常把兩個函數(shù)的定義域及值域能否一樣作為一種判別方個函數(shù)的定義域及值域能否一樣作為一種判別方法法. 但要留意的是但要留意的是,函數(shù)的定義域及值域一樣僅是兩函數(shù)的定義域及值域一樣僅是兩個函數(shù)一樣的必要條件而非充分條件個函數(shù)一樣的必要條件而非充分條件.即普通用它即普通用它來判別兩個函數(shù)不一樣來判別兩個函數(shù)不一樣.ycos xusin v 221 5.同一個函數(shù)不會因自

10、變量同一個函數(shù)不會因自變量,因變量字符的改動因變量字符的改動而發(fā)生改動而發(fā)生改動.二、函數(shù)的表示法二、函數(shù)的表示法: :列舉法、描畫法、列表法、圖列舉法、描畫法、列表法、圖象法象法. .三、分段函數(shù)三、分段函數(shù) 問題：能否一切的函數(shù)都可用一個數(shù)學(xué)式子問題：能否一切的函數(shù)都可用一個數(shù)學(xué)式子表示呢？表示呢？ 有的函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi)有的函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi), ,要用兩個要用兩個或兩個以上的數(shù)學(xué)式子來表示或兩個以上的數(shù)學(xué)式子來表示, ,這一類函數(shù)叫作這一類函數(shù)叫作分段函數(shù)分段函數(shù). .例：絕對值函數(shù)例：絕對值函數(shù) 00 xxyxx x yxo oy=|x|1,0sgn()0,01,0 x

11、yxxx 例例 符號函數(shù)符號函數(shù)11o oxy例例 狄立克萊函數(shù)狄立克萊函數(shù) 1,(0,(xQyxQ 有理數(shù)集)有理數(shù)集)無理數(shù)集)無理數(shù)集)例例 取整函數(shù)取整函數(shù)(階梯曲線階梯曲線) y = x 為不超越為不超越 x 的最大整的最大整數(shù)部分?jǐn)?shù)部分. 實踐上是取左端點實踐上是取左端點. .o oxy1 12 21111220.3=02.8=2-0.3=-1-2.6= -31112 0011101kkxkxyxxxkkxk 注：分段函數(shù)雖然有幾個式子，但它們合起來注：分段函數(shù)雖然有幾個式子，但它們合起來是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù). .四、函數(shù)定義域的求法四、函數(shù)定義域的

12、求法1.1.實踐問題中的函數(shù)定義域?qū)嵺`問題中的函數(shù)定義域 例例 邊長為邊長為a的正方形鐵皮，在四個角裁掉的正方形鐵皮，在四個角裁掉邊長為邊長為x的四個小正方形后，所得鐵皮折為一個的四個小正方形后，所得鐵皮折為一個無頂?shù)牧⒎襟w，問無頂?shù)牧⒎襟w，問x多大時，可使容積最大？多大時，可使容積最大？V axx 2(2 )axVD axx |02ax (0,)2集合表示法集合表示法區(qū)間表示法區(qū)間表示法2.2.普通函數(shù)的定義域普通函數(shù)的定義域例例 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .yxx 1(4)ln(2)解：解：要使要使 有意義，必需有有意義，必需有yxx 1(4)ln(2)xxx 40ln(2)020

13、 xxx 4212xxx 432從而，函數(shù)的定義域為從而，函數(shù)的定義域為x (2,3)(3,4)(4,) 如未特別指明如未特別指明,函數(shù)定義域函數(shù)定義域Df 為使函數(shù)有意義的自變?yōu)槭购瘮?shù)有意義的自變量的全體量的全體.例例 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .xyxx 2223解：解：要使要使 有意義，必需有有意義，必需有xyxx 2223xxxxx 222023230 xxx 220230 xxx 220230或或xxx 20(1)(3)0 xxx 20(1)(3)0或或xxx 213或或xx 213或或從而，函數(shù)的定義域為從而，函數(shù)的定義域為x ( 1,2(3,) xxx 213或或xx 2

14、13或或xx 23xx 213或或x 3x12或或3.3.分段函數(shù)的定義域分段函數(shù)的定義域分段函數(shù)的定義域為各分段子定義域的并集分段函數(shù)的定義域為各分段子定義域的并集. .xxf xxxx 2210( )10201例例 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .解：可以看出，函數(shù)的定義域為解：可以看出，函數(shù)的定義域為x 1,0(0,1 x 1,1.即即例例.)3(,212101)(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx故故f(x+3)的定義域為：的定義域為：-3,-1確定分段函數(shù)的定義域并求確定分段函數(shù)的定義域并

15、求f (1), f (0), f (1), f (x1).2110 ( ),201xxf xx 例例 222 01.212xxxx 解解( 1)2f (0)2f (1)2f 2(1)1110(1),201 1xxf xx 2(1)(,),0,).yxyx 的的值值域域的的值值域域2(5)1cos22cos2 |cos|yxxx0, 2,值值域域為為2cos2, 2.yx 的的值值域域為為習(xí)題習(xí)題1.3 函數(shù)的根本性質(zhì)函數(shù)的根本性質(zhì)一、一、 單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性上上升升下下降降對應(yīng)曲線是對應(yīng)曲線是的的. 那么稱那么稱(x)(x)在區(qū)間在區(qū)間 I

16、 I 上嚴(yán)厲單調(diào)或單調(diào)上嚴(yán)厲單調(diào)或單調(diào).增增 加加減減 少少xyo2x1x1()f x2()f xy= (x)2x1()f x2()f xy= (x)oxy1x 設(shè)設(shè)(x)(x)為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I I 上的函數(shù)上的函數(shù), ,假設(shè)假設(shè)x1, x1, x2D,x2D,當(dāng)當(dāng)x1 x2 x10,使得對使得對xD,都有都有| f (x)| M 成立成立,那么稱那么稱f (x)在在D上有上有界界.oy=My=Mxyy= (x) 函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域D上有界的充要條件是在該區(qū)域上上有界的充要條件是在該區(qū)域上既有上界又有下界既有上界又有下界.1,(,),Mx 取取此此時時對對都都有有|sin| 1,

17、x 所以函數(shù)所以函數(shù) y=sin(x)在在，上有界上有界.2 1,2yx 例例 判判斷斷函函數(shù)數(shù)在在上上是是否否有有界界. .4, 1,2,Mx 取取此此時時對對都都有有2|4,x 2 1,2yx 所所以以函函數(shù)數(shù)在在上上有有界界. .2,yx 例例 判判斷斷函函數(shù)數(shù)在在上上是是否否有有界界. .oxy2yx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在D上有定義上有定義.假設(shè)假設(shè)M,使得對使得對xD,都都有有f (x) M 成立成立,那么稱那么稱f (x)在在D上有上界上有上界. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在D上有定義上有定義.假設(shè)假設(shè)M,使得對使得對xD,都都有有f (x) M 成立成立,那么稱那么稱f

18、(x)在在D上有下界上有下界. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在D上有定義上有定義.假設(shè)假設(shè)M0,使得對使得對xD,都有都有| f (x)| M 成立成立,那么稱那么稱f (x)在在D上有界上有界. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在D上有定義上有定義.假設(shè)假設(shè) M,x0(M)D,使得使得 f (x0) M ,那么稱那么稱f (x)在在D上無上界上無上界. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在D上有定義上有定義.假設(shè)假設(shè) M,x0 (M) D,使得使得f (x0) 0,x0 (M) D,使得使得 f (x0) M或或 f (x0)|-M 成立成立,那么稱那么稱f (x)在在D上無界上無界. oxyx0 y =M y =M1x12(,)yx 例例 判判斷斷函函數(shù)數(shù)在在上上是是否否有有界界. .0,M 解解： 0 x 取取200()f xx 此此時時1M 2(1)M 221MM M 2(,)yx 所所以以函函數(shù)數(shù)在在上上無無界界. .1,M 0 x 取取0()f x此此時時M2M M