常微分方程證明題

1、常微分方程習(xí)題集(5)(五)證明題1,試證：如果列t)是dX=AX滿足初始條件甲(to)"的解，那么dt(t)=expA(t-t0).2 .設(shè)y=/(x)和y=%(x)是方程y"+q(x)y=0的任意兩個解,求證：它們的朗斯基行列式W(x)三C,其中C為常數(shù).3 .假設(shè)m不是矩陣A的特征值，試證非齊線性方程組dX=AX+Cemt,有一解形如：甲(t)=Pemt,其中C,P是常數(shù)向量.dt4 .設(shè)f(x,y)及四連續(xù)，試證方程dyf(x,y)dx=0為線性方程的充：:y要條件是它有僅依賴與x的積分因子.5 ,設(shè)f(x)在0,+8)上連續(xù)，且lim/(x)=0,求證：方程與+y

2、=f(x)的任意解y=y(x)均有Jimy(x)=0.6 .試證:若已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等積分法求它的通解.7 ,n階齊線性方程一定存在n個線性無關(guān)解.8,設(shè)y=(x)是一階非齊次線性方程于區(qū)間I上的任一解，中(x)是其對應(yīng)一階齊次線性方程于區(qū)間I上的一個非零解。則含有任意常數(shù)C的表達式：y=C(x)(x)是一階非齊次線性方程于區(qū)間I上的全部解的共同表達式。9,設(shè)n"矩陣函數(shù)Ai(t),A2(t)在(a,b)上連續(xù)，試證明，若方程組呸=A1(t)X與dX=A2(x)X有相同的基本解組，則Ai(t)三4(t)。dtdt10.證明：一個復(fù)值向量函數(shù)X(t)=u(t)+iv(

3、t)是(LH)的解的充要條件，它的實部u(t)和虛部v(t)都是(LH)的解。(五)、證明題參考答案1,試證：如果列t)是吆=AX滿足初始條件平&)=n的解，那么dt(t)expA(t-to).證明：因為(t)=expAt是呸=AX的基本解矩陣，中(t)是其解，dt所以存在常向量C使得：中(t)=expAtC,令t=to,則：n=exoAt0C,所以C=(expAto)n,故:(t)=expAt(expAt0)二expAtexp(-At0)=expA(t-to)2 .設(shè)y=?i(x)和y=%(x)是方程y,+q(x)y=0的任意兩個解，求證:它們的朗斯基行列式W(x)三c,其中c為常數(shù)

4、.證明：設(shè)q(x)在區(qū)間I上連續(xù)，由劉維爾公式可知，對任意x°w|,它們的朗斯基行列式W(x)滿足：W(x)=W(x0)exp(£ai(t)dt),x0亡I而在方程y"+q(x)y=0中，a1(x)=0,所以W(x)=W(x0)1=W(x0),即W(x)三c,xwI3 .假設(shè)m不是矩陣A的特征值，試證非齊線性方程組dX=AX+Cemt,有一解形如：中(t)=Pemt,其中C,P是常數(shù)向量.dt證明：要證中(t)=pemt是解，就是要證能夠確定常數(shù)向量P,它使得d(Pemt)mtmt=APe+Ce,dt即Pmemt=APemt+Cemt,成立。亦即P(mE-A)=C

5、,由于m不是A的特征值，故mE-A=0,從而mE-A存在逆矩陣，那么可取向量，P=C(mEA),這樣方程就有形如中(t)=Pemt的解.4 .設(shè)f(x,y)及f連續(xù)，試證方程dyf(x,y)dx=0為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積分因子.證明：先證必要性，設(shè)方程dy.f(x,y)dx=0為線性方程，即dy+(p(x)y-f(x)dx=0,所以川協(xié)-p(x),-0,.二y；:x:M；:N二y二x/、二p(x),N即它有僅依賴與x的積分因子，且R(x)=exo(jp(x)dx)是其積分因子。再證充分性，因為在方程dyf(x,y)dx=0,中M一(x,y),N=1,所以:y如果它有僅依賴與的

6、積分因子,f工:0,.y二x；:M；:NFy.x_開N一jy則-色是x的函數(shù)，設(shè)二y二f，、-二p(x)二y關(guān)于y積分得：f(x,y)=_p(x)y+f(x),f(x)是x的可微函數(shù)，故方程dy-f(x,y)dx=0可表為：dy(p(x)y-f(x)dx=0是線性方程.5 .設(shè)f(x)在0,+9)上連續(xù)，且limf(x)=0,求證：方程包+y=f(x)x二dx的任意解y=y(x)均有l(wèi)imy(x)=0.x_.證明：設(shè)y=y(x)為方程的任一解，它滿足初始值條件雙工孫三0,+時由常數(shù)變易法有：y(x)=丫03小巾+e”r)1f(s)e(s*0)ds,于是limx)二limx”二f(s)exfex

7、-ex%，若。f(s)e=0,若:f(s)x0esfds發(fā)散6 .試證:若已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等積分法求它的通解.證明：設(shè)中(x)為黎卡提方程的一個特解，則d:(x).2=p(x)中(x)+q(x)9(x)十r(x),dx令y=<P(x)+z,貝U有當(dāng)二p(x)(:(x)z)2q(x)(x)z)r(x)dxdx整理得：dz.22p(x)(x)q(x)zp(x)zdx它是n=2的伯努利方程，可用初等積分法求它的通解.7 .n階齊線性方程一定存在n個線性無關(guān)解.證明：設(shè)竺=A(t)X的系數(shù)矩陣A(t)在區(qū)間I上連續(xù)，任意取定一dt點卜wI和n個線性無關(guān)的n維常向量二務(wù)，二。對于

8、每一個i,i=1,2，n,以XQ)表示dX=A(t)X滿足初始條件dtXi(t0)=與的解向量。由存在與唯一性定理可知，此解向量在區(qū)間I上存在且有定義。由于常向量組X1(t0),X2(t。),，Xn(t0)是線性無關(guān)的，從而向量函數(shù)組X1(t),X2(t),，Xn(t)于區(qū)間I上線性無關(guān).8 .設(shè)y=(x)是一階非齊次線性方程于區(qū)間I上的任一解，平(x)是其對應(yīng)一階齊次線性方程于區(qū)間I上的一個非零解。則含有任意常數(shù)c的表達式：y=c(x)(x)是一階非齊次線性方程于區(qū)間I上的全部解的共同表達式。證明：將y="(x)+W(x)直接代入一階非齊次線性方程曳+p(x)y=f(x)可知，對任

9、意常數(shù)c,y=c中(x)+甲(x)都是一階非齊次dx線性方程的解。反之，設(shè)y0(x)是一階非齊次線性方程的任一解，則y0(x)3(x)是其對應(yīng)齊次方程dy+p(x)y=0的解。dx任取x°wI,由于中(x)是其對應(yīng)一階齊次線性方程dy+p(x)y=0于dx區(qū)間I上的一個非零解，所以中(x0)#0。令c=H(x0)L(y(x0)7(x。)，則m(x)和y0(x)(x)都是其對應(yīng)齊次方程dy+p(x)y=0的解，并且在x=xo時取相同的值，故由初值問題dx解的唯一性知，應(yīng)有C5(x)=yo(x)7(x),即yo(x)=C(x)+中(x)。9 .設(shè)nxn矩陣函數(shù)Ai(t),Az(t)在(a

10、,b)上連續(xù)，試證明，若方程組呸=A1(t)X與呸=A2(x)X在(a,b)上有相同的基本解組，則出出A(t)三A2(t),xW(a,b).證明：因為方程組與dX=A2(x)X在(a,b)上有相同的基本解組，dt所以可設(shè)6(t)是其基本解矩陣。從而有：d?也三為(t),te(a,b),dt與吧。三人中，tja,b),成立。dt所以A人)(t)三Az(t)(t),t運(a,b),又由于G(t)是其基本解矩陣，所以det9(t)#0,即6(t)可逆，故A(t)三Az(t),xa,b).10 .證明：一個復(fù)值向量函數(shù)X=")=u(t)+iv(t)是(LH)的解的充要條件，它的實部u(t)和虛部v(t)都是(LH)的解。證明：設(shè)X=中0)=口0)+»a)是呸=小叢的解，A(t)是實函數(shù)矩陣，dt則：ju(t)iv(t)=A(t)(u(t)iv(t),dt從而二u(t)idv(t)=A(t)u(t)iA(t)v(t),dtdt所以d