第一章 恒定電場下的電介質(zhì)極化

1、12r，真空介電常數(shù)米牛庫米法無量綱數(shù)（相對介電常數(shù)），電荷所在介質(zhì)的介電常一、庫侖定理：靜電場基本定理電介質(zhì)極化第一章、恒定電場下的mN/C,/1085. 8FFrr4qqF. 112222120211220211任何一電荷系統(tǒng)的周圍均有庫倫力的作用，電荷庫侖力能影響的區(qū)域稱為電場。iiii20EEFFrr4qE/qFE疊加原理：庫侖力和電場強度滿足即：庫侖牛頓量綱二、電場和電場強度二、電場和電場強度jm1j2jjzzzyzxyzyyyxxzxyxx20rrq41Dm/ED個點電荷產(chǎn)生的電場：對于由對各向異性介質(zhì)：米庫量綱三、電位移（電感應(yīng)強度）四、高斯定理 設(shè)點電荷q被任意封閉面所包圍，在

2、S面上任意一點的電位移D的大小將等于q/4r2，其方向?qū)⑴cq所在點至該點的徑向量相同。于是穿過單元面積dS的電位移通量d為：dV)z,y,x(dSD)z,y,x(Sqmqd4qdSr4cosqdqdSr/cosdSdScosr4qdSDdVSm1jjSS222，則：分布電荷密度為中的電荷為分布電荷，如封閉面?zhèn)€點電荷的體系：對有：量移通通過此封閉面的總電位。于是點所對應(yīng)的立體角在正是面積元SqidSdDD例zkyjxis NabblaUGradUEr4dVdEUorr4qUPq,q,qdEdEUUBABAV0pPm1jj0jPm21BAABBA點的電位為：）體系中，在多電荷（電位差，即：兩點間的

3、、的功稱為（電場）對該電荷所作，移動至另一點一點電位正電荷從電場中的xyzIIIyDdyyDDyyszyxyyyyyyysdDdzdydxzDyDxDdzdydxyDdzdxdyyDDdzdxDIIIdzdxdyyDDII,dzdxDIdzdydxdV為：六個面的總電位移通量為：總共穿出的電位移通量面和表，于是由表面：穿出的電位移通量則為由表面的電位移通量為：穿出的表面在單元體積0U0) z, y, x() z, y, x(U) z, y, x(zUyUxUzUEEDyUEEDxUEED) z, y, x(zDyDxDD) z, y, x(dV2020222222zz0zyy0yxx0 xzy

4、x時，則為拉普拉斯方程當(dāng)即：泊松方程，則由高斯定理：內(nèi)的電荷密度為如單元體積sinsinr1sinr1rrrr1zr1rr1rzyx22222222222222222222222注：常用邊界條件：在導(dǎo)體與電介質(zhì)的界面上，由于導(dǎo)體表面是一等電位面，電場強度，電位移必須與導(dǎo)體表面垂直；在兩種不同的介質(zhì)界面上，且當(dāng)界面上沒有電荷集聚時，電位移向量的垂直界面的分量應(yīng)當(dāng)連續(xù)，即：D1n=D2n 或 E1n/E2n=2/1另一方面，由于電場為保守場，電場強度在兩個不同介質(zhì)的交界面上的切線分量應(yīng)當(dāng)連續(xù)，即E1t=E2t。介質(zhì)1介質(zhì)212N1E2E212122201110tantancosEcosE所在點的徑

5、向量。電荷為定點（參考點）至點式中）德拜（米（量綱：庫極矩定義為：荷的系統(tǒng)中，系統(tǒng)的電個點電矩是一向量。在所在點的徑向量，電極為定點至電荷，義為的電極矩（或電矩）定對某一定點（參考點）點電荷jj29jm1jjqrD103)mcrqmqrrqqq參考點rjjjjjjjqr) rr (qr0q為：化量時，系統(tǒng)的總電極矩變當(dāng)參考點移動的位置無關(guān)。極矩與參考點）的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的電對于總電荷量等于零（rjrxyz+Q-QnrprnprrQrQrQrqnpjjj對如圖所示系統(tǒng)：理想偶極矩或點偶極矩的概念理想偶極矩或點偶極矩的概念：r+q-qO處的電勢為條件的參考點位于點，滿足設(shè)一點電荷的個別現(xiàn)象偶極矩的概

6、念是極矩中i0iQ41)M(UaQA（QI）MOar 1)COS2(COS214QMU1r /aOAOM2OAOMAM220i22221和則：令：而極子的電勢的點的四極子電勢點的電勢點偶極子的電勢點的單極子在其中：寫成：從物理意義考慮，可將勒讓德函數(shù)展開利用nniiiiiinnnnnnniOUOraQUOAQraQUQOrQUUUUUUMUMUddnPPrQMUxn221cos234cos44)()(1coscos!21coscos41123022201002421020021任何一電荷系統(tǒng)（如分子中的電荷），在該電荷組足夠遠的某一點M來看，可看成是點多極子的電勢疊加。即：一個單極子Q0（標(biāo)量

7、）；一個點偶極子 （矢量）；一個點四極子（二階張量）；一個點2n極子（ 2n階張量）。例例 試求位于正方體的六個面心上六個理想偶極子在立試求位于正方體的六個面心上六個理想偶極子在立方體中心產(chǎn)生的電場強度。方體中心產(chǎn)生的電場強度。答案軸平行。，方向與有偶極矩的大小等于為正六面體的邊長，所標(biāo)分別為，六個理想偶極矩的坐以正六面體中心為原點解：za2)0 , 0 , a (m)0 , 0 , a(m)0 , a, 0(m)0 , a, 0(m)a, 0 , 0(m)a, 0 , 0(m654321電介質(zhì)的極化和極化強度電介質(zhì)的極化和極化強度極化的定義極化的定義：在電場的作用下，電介質(zhì)內(nèi)部沿電場方向感應(yīng)

8、出偶極矩，即在電介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電荷的物理現(xiàn)象。極化強度極化強度：極化強度定義為電介質(zhì)單位體積內(nèi)電偶極矩的向量和，即量綱：庫/米2 C/m2極化強度是表征電介質(zhì)在電場作用下極化程度的向量。電介質(zhì)在電場作用下，一方面感應(yīng)出偶極矩，另一方面在電介質(zhì)表面感應(yīng)出束縛電荷。表面感應(yīng)束縛電荷的大小亦表征了電介質(zhì)在電場作用下極化的程度，因此，極化強度p與感應(yīng)出的表面束縛電荷應(yīng)存在一定的關(guān)系。-EnSVnpcospcosSVSVp故：而：則：、荷密度分別為如圖所示的表面束縛電電介質(zhì)極化的宏觀、微觀概念A(yù)QUQCQ. 100000則：電荷為器，在真空下極板上的對如圖所示的平板電容極化的宏觀概念+ +-+ +-0

9、000000EDA2A2EA2EdAEdAD即則：由高斯定理：1Ep1EEE0000故E1pnE1nEnEnEnD0000000+ +-極化強度的宏觀式極化的微觀概念極化的微觀概念：在電場作用下，雖然正電荷沿電場方向移動，負電荷逆電場方向移動，但它們并不能離開介質(zhì)形成電流，只能產(chǎn)生微觀尺度的相對位移出現(xiàn)偶極矩，這個現(xiàn)象叫做極化。E中性介質(zhì)離子型介質(zhì)極性介質(zhì)宏觀、微觀極化的關(guān)系宏觀、微觀極化的關(guān)系如設(shè)N為單位體積內(nèi)的偶極矩數(shù)，且把每個偶極矩看成相等，令其為Np則：因：Vpii有效電場 實際上引起電介質(zhì)中粒子產(chǎn)生感應(yīng)電極矩的電場，稱為有效電場iE顯然：iE由此：微觀極化宏觀極化宏觀、微觀聯(lián)系式宏觀

10、、微觀聯(lián)系式對電介質(zhì)極化的研究：對電介質(zhì)極化的研究：提高電介質(zhì)介電常數(shù)：提高電介質(zhì)介電常數(shù)：克勞修斯方程克勞修斯方程極化率（極化率（Polarizability) 分子的極化及極化率：根據(jù)參加極化的微觀粒子的種類，電介質(zhì)的根據(jù)參加極化的微觀粒子的種類，電介質(zhì)的分子極化可分為三類：電子位移極化；離子分子極化可分為三類：電子位移極化；離子位移極化；偶極矩轉(zhuǎn)向極化。位移極化；偶極矩轉(zhuǎn)向極化。EE電子位移極化電子位移極化率定義：在外電場作用下，構(gòu)成原子外圍的電子云相對在外電場作用下，構(gòu)成原子外圍的電子云相對于原子核發(fā)生位移，這種極化稱為電子位移極化（電于原子核發(fā)生位移，這種極化稱為電子位移極化（電子極

11、化），其極化率稱為電子位移極化率子極化），其極化率稱為電子位移極化率 e.e.。在外電場作用下，電子云相對原子核的位移是彈性聯(lián)系，其振動頻率在光頻范圍，所以電子極化又稱光極化，極化建立和消除的時間極短，約10-1510-16s。電子位移極化率e電子位移極化的量子力學(xué)模型： 我們考慮一個由帶正電的核和圍繞核的Z個電子所組成的原子體系。且整個體系是完全孤立的，即，體系不受任何擾動。dexMMUUMEUUUUUUUUUUUU0kZi1ii0jjk0k0jjk0j0kjk20jjkj3210k0j030201矩陣元，為：之間所有未微擾電子的和是在波函數(shù)式中，二級微擾理論求解：被電場擾動的能級可用，為：

12、則上面的量子化能級變作用。則該體系受到電場微擾如果體系處在電場中，體系的能級為：k010kk1e2e011011k010kk12011UUM2E21UUUUUUMEUU:故：修正：被電場所形成的位能的即是由經(jīng)典理論，如只考慮基態(tài)矩陣元的計算是相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，每個元都包含諸波函數(shù)的乘積，而這些波函數(shù)僅在很有限的幾種情況下才能求得解。電子極化率求解的簡化模型1. 原子電子云模型 一個原子可以看作是一個電荷為+Q的正電核和周圍均勻分布、半徑為R、介電常數(shù)為0的球狀電子云組成。-QQdRE30e3030220213332021R4ER4dQR4dQd4qQEQFFR34d34QqQRdqd4qQFEQFd

13、0E因此：即：平衡建立后：而：的庫侖力為：核移動后，受到電子云使核移動的電場力為：點，核沿電場方向移動，以電子云中心為參考當(dāng)2.圓周軌道模型 我們用玻爾原子模型來考慮被研究原子。即，一個電電荷-Q沿著環(huán)繞電荷為+Q的原子核作軌道運行。oEoAMdFE=QEFEFRRFEoAMdFE=QEFEFRRF3.介質(zhì)球模型 如圖，把原子看成是一介電常數(shù)為的介質(zhì)球。Rr為點偶極矩，點看，原子極化球可視從R20r4U即：30e00030e0030R42R4E2R4即：電子位移極化結(jié)論電子位移極化結(jié)論同族元素：e由上到下增大，因：外層電子數(shù)增加，原子半徑R增大；同周期元素：不定，因：外層電子數(shù)雖然增加，但軌道

14、半徑可能減??；離子的電子位移極化率的變化規(guī)律與原子大致相同。離子半徑大，極化率大；實測電子位移極化率與理論結(jié)果仍有差別，但研究發(fā)現(xiàn)，e/40R3值大，對極化貢獻大，如：Pb2+、O2-；表電子位移極化率與溫度無關(guān)，因為，R與T無關(guān)；極化率為快極化：10-15 10-16s，在第二章解釋該極化無損耗。在光頻下，只有電子極化，介質(zhì)的光折射率為：為光頻下的介電常數(shù)原子或離子實測電子極化率e10-40Fm2原子半徑a 10-10me/40a3B0.0220.261.14Ag2.051.131.28Pb4.801.321.89Hg2.211.121.41C0.0130.201.50O3.0691.321

15、.20S6.551.741.12Zr0.890.871.21Cu2.011.001.81水分子的偶極矩O2-H+H+104H+R解答O2-H+H+2H+REE2E121e水分子的偶極矩等于：6.110-30庫米，為強極性分子。同樣分子結(jié)構(gòu)的CO2則為非極性分子（因它的鍵角為180）。離子位移極化和極化率離子位移極化和極化率離子晶體的介電常數(shù)值比n2值大的多，如n2KCl2.134.68TiO27.3110-114CaF21.998.43因此，必然存在電子極化外的其他極化機制。離子位移極化離子位移極化：離子晶體中正、負離子發(fā)生相對位移而形成的極化，稱為離子（位移）極化(Ionic polariz

16、ation)。極化率用i表示。r-q+qEK=?K值的求解值的求解.根據(jù)正、負離子對的固有諧振頻率用實驗方法求解值。2121202212121000021mmmm4Kmmmmmm1m1m1mmK2mm為離子對的折合質(zhì)量：為：和固有諧振頻率諧振角頻率，其固有和別為設(shè)正、負離子的質(zhì)量分212221220i0210021221220220110MMC4MMqNKqNMMCNMMMMC4KNMmNMmC為阿佛加德羅常數(shù)。，為正、負離子的原子量分別與的波長；為對應(yīng)于諧振頻率為光速；式中則：，學(xué)的關(guān)系：利用波動力學(xué)及物理化式中可由吸收光譜測得，其它參數(shù)為已知常數(shù)。（）rOar庫侖引力勢能電子云斥力勢能.勢

17、阱法求解值設(shè)（）和（）分別為正、負離子位移前后的互作用能量。則：2r0r0) r(K21rdrKrdF) r (u) rr (unaqb0r) r (uruarr4br4q) r (u) r() rr (uK1n2arn0020r22由此）有極小值，即：（時，當(dāng)疊加。即：電子云間的排斥勢能的周圍引力勢能和正負離子核而勢阱的勢能是有庫侖即：式中為晶體離子間電子云排斥能指數(shù)，可由實驗確定，一般晶體的值在之間。1na4Kqa4q) 1n(aq) 1n(aq241) ra (4aq) 1n() ra (4q2) r() ra (uKnr4aqr4q) r (ub302i302323200r2n01n2

18、3020r22n01n202代入，得：將一維計算：三維計算：離子位移極化結(jié)論離子位移極化結(jié)論離子位移極化率與電子位移極化率幾乎有相同的數(shù)量級，均在40（10-10）310-40法米2數(shù)量級；離子位移極化只可能在離子晶體中存在，液體或氣體介質(zhì)中不存在離子極化；離子位移極化只與離子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與溫度無關(guān)；離子位移極化建立或消除時間與離子晶格振動周期有相同數(shù)量級，10-1210-13秒。偶極子轉(zhuǎn)向極化和極化率偶極子轉(zhuǎn)向極化和極化率當(dāng)極性分子受外電場作用時，偶極子就會產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，由于偶極子與電場方向相同時具有最小位能，于是就電介質(zhì)整體來看，偶極矩不再等于零，而出現(xiàn)沿電場方向的宏觀偶極矩，這種極化現(xiàn)

19、象稱為偶極子轉(zhuǎn)向極化。極化建立時間：10-610-2秒，為慢極化開焦耳玻爾滋蔓常數(shù)米庫極性分子固有偶極矩/1038. 1k1023300 d的求解的求解極化和極化率總結(jié)極化和極化率總結(jié)根據(jù)電介質(zhì)分子參與極化運動的種類，把極化分成三類：電子位移極化e；離子位移極化i；偶極矩轉(zhuǎn)向極化d。電介質(zhì)的總極化為： = e+i +d熱離子極化熱離子極化熱離子極化（離子松弛極化）為慢極化，建立時間約為10-210-6秒洛侖茲（洛侖茲（Lorentz）有效電場計算模型有效電場計算模型r+-E2E1AEyAxzddS洛侖茲電場洛侖茲電場E2=？克勞修斯方程克勞修斯方程式中：式中：M為介質(zhì)千克分子量（千克為介質(zhì)千克

20、分子量（千克/千克分千克分子）；子）； 為密度（千克為密度（千克/米米3）；）；N0為阿佛迦德為阿佛迦德羅常數(shù)羅常數(shù)=6.023 1026（1/千克分子）或千克分子）或= 6.023 1023（1/摩爾）。摩爾）?？藙谛匏?莫索締（Clausius-Mosotti）方程（簡稱克-莫方程）應(yīng)用于光頻作用下的電介質(zhì)時，光在電介質(zhì)中（相對于真空）的折射率n等于：2mmmn1n于是：一般的電介質(zhì)電介質(zhì)的磁導(dǎo)率，對于光頻下的介電常數(shù)光在介質(zhì)中的速度光在真空中的速度氣體電介質(zhì)的介電常數(shù)氣體電介質(zhì)的介電常數(shù) 氣體是各向同性的，在壓力不太大的條件下，分子之間間距很大，相互作用很小，在常溫下，分子作布朗運動，分

21、子在空間各點出現(xiàn)的幾率相同。因此，氣體電介質(zhì)適用克-莫方程。一、非極性氣體結(jié)構(gòu)特征單原子、相同原子的雙原子氣體及有對稱結(jié)構(gòu)的多原子氣體。主要極化電子位移極化。00025. 1N13N13N21m10687. 2NmmHg760PK274TkkNTPmF1011156. 1104R40e0e0e32524010030e）（時，有：，當(dāng)為玻爾茲曼常數(shù)）（）（非極性氣體介質(zhì)極性液體中極性液體：0.5D0 1.5D極化形式：電子位移極化、偶極子轉(zhuǎn)向極化，并已偶極子轉(zhuǎn)向極化為主。因極性液體分子的間距相對液體來說小得多，其分子間的相互作用很強烈，E20，不適用克-莫方程。電場作用在偶極矩上的有效化率極性分

22、子的電子位移極極性分子固有偶極矩表示。理想偶極矩偶極矩用位于球心上的的小球，分子的成一半徑為極性液體極性分子可看，）（分子模型假設(shè)：ie0ie03EaE1Na34.1Onsager. 1ieE0GRiE30R202RRa121241RRa4ar0r時，有限，當(dāng)方程整理后可得電子位移極化率方程Onsagera43NE2n1nN3Onsager. 33ie0220e)2)(n2()2n(kT3N2n1n212220022eNnnnnkTNnkTNnOnsager022200222020202321210229123311. 4時，當(dāng)）（時，當(dāng)時，當(dāng)理論的討論對介電常數(shù)在10以上的離子晶體，具有電子

23、位移極化和離子位移極化。由于晶體的結(jié)構(gòu)Ei很大如：TiO2，金紅石，=7.3，=173 SnO，金紅石結(jié)構(gòu)， =4.7，=24 PbO2，金紅石結(jié)構(gòu)， =6.75，=26xyzETi4+O2-一、內(nèi)電場的計算（斯卡娜維法）有洛侖茲假設(shè)：Ei=E+P/30+E 5j2j2j0jj1jjjjrrz34EzyxjE為：在原點產(chǎn)生的電場強度）的離子感應(yīng)偶極矩，（任意一點構(gòu)為例。對如圖所示的金紅石結(jié)？求5220z30202102010rrz34zEr4zqdr /zsincosr4cosdqr1r14qr4qr4q)z, y, x( ,r1r2rxyzO121122222212211111N1j252j

24、2j2j2j2j2j2j012N1j252j2j2j2j2j2j2j011N1jN1j252j2j2j2j2j2j2j022252j2j2j2j2j2j2j01112211252j2j2j2j2j2j2jN1j0j1ECECEECECE)zyx()zyx(z341C)zyx()zyx(z341C)zyx()zyx(z34E)zyx()zyx(z34EEEE)zyx()zyx(z34E2112 同樣：則：令：則：率為，離子的電子位移極化第二種離子上的電場為率為，離子的電子位移極化第一種離子上的電場為設(shè)：二、介電常數(shù)高的原因4 .1123213 . 79 . 61045. 310262. 0103

25、 .16107 .33108 .101072. 012321122321. 121024022401103211031210322103112221112102211211221222111112121221221210）（莫方程：克實測值：計算值：）（）；（；忽略二次項）（）（）（只考慮電子位移極化NmFmFaCaCaCaCCCNCCCCCCCCCCN21i222111i2102300iCCC123N21mF104. 2）（子位移極化考慮電子位移極化和離計算值：170；實測值：173: 在沒有外電場的作用時，晶體內(nèi)部某些區(qū)域的正、負電荷中心不重合而呈現(xiàn)電偶極矩，這種現(xiàn)象稱為自發(fā)極化。鐵電體：

26、具有自發(fā)極化的電介質(zhì)稱為。鐵電體的特征：具有高的介電常數(shù)，幾百幾萬；介電常數(shù)與電場強度大小有關(guān)；PE的關(guān)系為電滯回線（Hysteresis curve)oEP矯頑電場Ec自發(fā)極化Ps具有宏觀偶極矩的區(qū)域稱為“電疇”。在初始狀態(tài)，就鐵電體整體而言，對外界將不呈現(xiàn)電荷和極化狀態(tài)（相當(dāng)與回線的O點）。l電子技術(shù)l紅外探測技術(shù)l超聲（和微波聲學(xué)）技術(shù)l固態(tài)記憶按微觀結(jié)構(gòu)，鐵電體可分為偶極矩有序型和離子位移型兩類。：晶體內(nèi)含有能夠旋轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)的固有偶極矩，在居里溫度以下，由于強烈的內(nèi)電場作用，這些偶極子形成長程有序，因而出現(xiàn)自發(fā)極化“電疇”。如KH2PO4。：晶體內(nèi)部的離子，在居里溫度以下的溫度內(nèi)，由于強

27、烈的離子位移引起晶體的對稱性降低，而形成自發(fā)極化的電介質(zhì)，如BaTiO3。在低溫時，鐵電體中的偶極矩借助于相互作用而有序在低溫時，鐵電體中的偶極矩借助于相互作用而有序排列排列當(dāng)溫度升高，有序排列被熱運動擾動，自發(fā)極化隨溫當(dāng)溫度升高，有序排列被熱運動擾動，自發(fā)極化隨溫度的升高而減小，當(dāng)溫度達到某個臨界溫度時，有序度的升高而減小，當(dāng)溫度達到某個臨界溫度時，有序排列完全被破壞，自發(fā)極化消失，低溫的鐵電相轉(zhuǎn)變排列完全被破壞，自發(fā)極化消失，低溫的鐵電相轉(zhuǎn)變?yōu)楦邷氐姆氰F電相為高溫的非鐵電相順電相，這個溫度叫順電相，這個溫度叫居里溫度。居里溫度。 最小穩(wěn)定系統(tǒng) GTCTExamples: Barium Strontium Titanate (BST)AOBBaO立方晶系四角晶系正交晶系三角