大學(xué)物理：19-2物質(zhì)波 測不準(zhǔn)關(guān)系(資料）a

1、192物質(zhì)波物質(zhì)波 不準(zhǔn)確關(guān)系不準(zhǔn)確關(guān)系引言引言:半經(jīng)典半量子的玻爾理論存在局限半經(jīng)典半量子的玻爾理論存在局限,看來是建看來是建 立新理論的候了立新理論的候了,但新理論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)是什么呢但新理論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)是什么呢? 一一) ) 德布羅意假設(shè)德布羅意假設(shè) 19 世紀(jì)后半期，世紀(jì)后半期，電磁理論成功地解釋了光電磁理論成功地解釋了光的干涉、衍射、偏振等現(xiàn)象，建立了光的波動(dòng)的干涉、衍射、偏振等現(xiàn)象，建立了光的波動(dòng)圖象，但圖象，但到了廿世紀(jì)初，人們到了廿世紀(jì)初，人們?yōu)榻忉専彷椛洹榻忉専彷椛?、光電效?yīng)、康普頓效應(yīng)，又光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)，又不得不不得不將光當(dāng)作微將光當(dāng)作微粒來處理。粒來處理。 尤其愛因斯

2、坦提出了光子的概念，尤其愛因斯坦提出了光子的概念，建立了建立了E=h 的關(guān)系后，更使人認(rèn)識到的關(guān)系后，更使人認(rèn)識到光光是具是具有有波粒二象性波粒二象性的東西。的東西。波動(dòng)性波動(dòng)性-它能在空間表現(xiàn)出干涉、衍射等波動(dòng)現(xiàn)它能在空間表現(xiàn)出干涉、衍射等波動(dòng)現(xiàn) 象，具有一定的波長、頻率。象，具有一定的波長、頻率。粒子性粒子性-是指它具有集中的不可分割的性質(zhì)。是指它具有集中的不可分割的性質(zhì)。一顆光子就是集中的不可分割的一顆，它一顆光子就是集中的不可分割的一顆，它具有能量（具有能量（ 、 ）、動(dòng)量、與質(zhì)量。）、動(dòng)量、與質(zhì)量。huZXYEH光子光子波動(dòng)波動(dòng)如此截然不同的圖象卻集中于一體，如此截然不同的圖象卻集中

3、于一體，很難想象！很難想象！光的波粒二象性引起了法國光的波粒二象性引起了法國Lous De Broglie的思考的思考，-奇妙！奇妙！德布羅意覺得自然界在很多方面是對稱的，但整個(gè)世紀(jì)德布羅意覺得自然界在很多方面是對稱的，但整個(gè)世紀(jì)以來，人們對光的研究是否過多地注意到了它們的波動(dòng)以來，人們對光的研究是否過多地注意到了它們的波動(dòng)性；性；而對實(shí)物粒子（靜止而對實(shí)物粒子（靜止 質(zhì)量不為零的微觀粒子及由它質(zhì)量不為零的微觀粒子及由它們組成的實(shí)物）的研究，又是否把粒子的圖象想得過多們組成的實(shí)物）的研究，又是否把粒子的圖象想得過多而忽咯了它們的波的圖象呢！而忽咯了它們的波的圖象呢！1922年他的這種思想進(jìn)一年

4、他的這種思想進(jìn)一步升華，經(jīng)再三思考，步升華，經(jīng)再三思考，1924年，年，De Broglie在他的博士論在他的博士論文文“量子論研究量子論研究”中，大膽地提出了如下假設(shè)：中，大膽地提出了如下假設(shè)：De Broglie假設(shè)：假設(shè)： 不僅輻射具有二象性，而且一切實(shí)物粒子不僅輻射具有二象性，而且一切實(shí)物粒子也具有二象性。也具有二象性。注意注意：這一假設(shè)建立了對實(shí)物粒子的一種新的圖象，這：這一假設(shè)建立了對實(shí)物粒子的一種新的圖象，這種圖象既允許它表現(xiàn)微粒性，又允許它表現(xiàn)出波動(dòng)性。種圖象既允許它表現(xiàn)微粒性，又允許它表現(xiàn)出波動(dòng)性。這種波稱為這種波稱為“物質(zhì)波物質(zhì)波”或或“德布羅意波德布羅意波”。二）德布羅意

5、關(guān)系式二）德布羅意關(guān)系式德布羅意關(guān)系式是對光的波粒二象性的推廣德布羅意關(guān)系式是對光的波粒二象性的推廣光的波粒二象性光的波粒二象性:粒子性粒子性波動(dòng)性波動(dòng)性（具有能量）（具有能量）（具有頻率）（具有頻率）（具有動(dòng)量）（具有動(dòng)量）（具有波長）（具有波長）EPh二者通過二者通過 h來聯(lián)系來聯(lián)系)1 (2mChE)2(/hChCEmCP推廣：推廣：實(shí)物粒子也具有波粒二象性，設(shè)質(zhì)量為實(shí)物粒子也具有波粒二象性，設(shè)質(zhì)量為m以勻速運(yùn)動(dòng)的粒子也具有頻率以勻速運(yùn)動(dòng)的粒子也具有頻率 ，波長，波長 。2202)( cPEE推推廣廣實(shí)物粒子也具有波粒二象性，實(shí)物粒子也具有波粒二象性，設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m以勻速運(yùn)以勻速運(yùn)動(dòng)

6、的粒子也具有頻率動(dòng)的粒子也具有頻率 ，波長，波長 。EP)3(2hmCE)4(hmVP光的波粒二象性光的波粒二象性粒子性粒子性波動(dòng)性波動(dòng)性（具有能量）（具有能量）（具有頻率）（具有頻率）（具有動(dòng)量）（具有動(dòng)量）（具有波長）（具有波長）Eh二者通過二者通過h h來聯(lián)系來聯(lián)系) 1 (hE ) 2 (/hChCEPPh粒子性粒子性波動(dòng)性波動(dòng)性二者通過二者通過h h來聯(lián)系來聯(lián)系)3(2hmCE)4(hmVP)5(2hmChE)6(mVhPh由：由：20)/(1CVmm)7()/(1220CVhCm)8(1220CVVmh即：即：在非相對論條件下（在非相對論條件下（VC）)9(20hCm)10(0Vm

7、hPh代入（代入（5）、（）、（6）式可得：）式可得：可得德布羅意關(guān)系式可得德布羅意關(guān)系式)7()/(1220CVhCm)8(1220CVVmh（VC時(shí)）：時(shí)）：)9(20hCm)10(0VmhPh德布羅意關(guān)系式德布羅意關(guān)系式注意注意：De Broglie關(guān)系式可解釋玻爾關(guān)系式可解釋玻爾H原子理原子理 論的定態(tài)條件論的定態(tài)條件nL （VC）設(shè)電子在設(shè)電子在rn軌道上運(yùn)動(dòng)，其物質(zhì)軌道上運(yùn)動(dòng)，其物質(zhì)波一定是一駐波，（因只有駐波波一定是一駐波，（因只有駐波是一穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)，不輻射能是一穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)，不輻射能量）一定滿足：量）一定滿足：mVhnnrn22hnmVrnnhnL2（證畢）（證畢）rn+

8、H)10(0VmhPh2）De Broglie關(guān)系式可解釋玻爾關(guān)系式可解釋玻爾H原子理原子理 論的定態(tài)條件論的定態(tài)條件nL UBK發(fā)射電發(fā)射電子陰級子陰級加速電極加速電極em0V一原靜止的電子被電場加速到速度一原靜止的電子被電場加速到速度V V。（。（V VC C），），加速電壓為加速電壓為U U，則速度為，則速度為V V的電子的電子的的De BrDe Brglieglie波波波長為多大？波長為多大？eUVm2021解：解：依守恒定律：依守恒定律：電子波的波長：電子波的波長：02meUV PhUemh02AU3 .12Vmh0代入代入h、e、m0值：值：)(103 .1210mU或或U3 .1

9、2當(dāng)當(dāng)U=100伏伏23. 13 .12UUBK發(fā)射電發(fā)射電子陰級子陰級加加速速電電極極em0VeUVm2021故德布羅意波長：故德布羅意波長：De Broglie假設(shè)：假設(shè)：不僅輻射具有二象性，而且一切實(shí)物粒子也具有不僅輻射具有二象性，而且一切實(shí)物粒子也具有二象性。二象性。事實(shí)上德布羅意提出以上想法后，也沒有被大家接受，事實(shí)上德布羅意提出以上想法后，也沒有被大家接受，直到他的導(dǎo)師朗之萬將其論文的復(fù)制品交給愛因斯坦，直到他的導(dǎo)師朗之萬將其論文的復(fù)制品交給愛因斯坦，愛因斯坦稱贊他愛因斯坦稱贊他“揭開揭開 了大幕的一角了大幕的一角”才引起學(xué)術(shù)界的才引起學(xué)術(shù)界的重視，并研究如何從實(shí)驗(yàn)上去驗(yàn)證。重視，

10、并研究如何從實(shí)驗(yàn)上去驗(yàn)證。從經(jīng)典物理看來，簡直是荒謬和不可思議，看來從經(jīng)典物理看來，簡直是荒謬和不可思議，看來提出這種想法沒有一定的氣魄是不行的。德布羅提出這種想法沒有一定的氣魄是不行的。德布羅意回憶說：意回憶說：“我當(dāng)時(shí)只不過是一種想法，而且覺我當(dāng)時(shí)只不過是一種想法，而且覺得這種想法不敢講出去得這種想法不敢講出去”。但什么是德布羅意波呢？但什么是德布羅意波呢？三）德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證三）德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1）戴維遜）戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)與湯姆遜實(shí)驗(yàn)革末實(shí)驗(yàn)與湯姆遜實(shí)驗(yàn)2）電子雙縫實(shí)驗(yàn)）電子雙縫實(shí)驗(yàn)3)量子圍欄量子圍欄(Quantum Corral)中的駐波中的駐波樣品表面樣品表面隧道電流隧道電

11、流掃描探針掃描探針計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)放大器放大器樣品樣品探針探針運(yùn)動(dòng)控制運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)系統(tǒng)顯示器顯示器掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡示意圖示意圖超高真空低能電子衍射掃描隧道顯微鏡超高真空低能電子衍射掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡中的原子形象掃描隧道顯微鏡中的原子形象例例1，試求速度，試求速度V=5106m/s的的粒子的物質(zhì)波粒子的物質(zhì)波波長。波長。oAmVmhPh446273401098. 11098. 11051067. 141063. 6解：例例2 2，設(shè)有，設(shè)有m m0 0=0.04kg=0.04kg的子彈，的子彈，V=1000m/sV=1000m/s，求其，求其物質(zhì)波的波長。物質(zhì)波的波長。oAmV

12、mhPh25353401065. 11065. 1100004. 01063. 6解：例例3) 設(shè)光子和電子的波長均為設(shè)光子和電子的波長均為2nm, 則它們的動(dòng)量、則它們的動(dòng)量、動(dòng)能和總能量各是多少動(dòng)能和總能量各是多少?它們的頻率各是多少它們的頻率各是多少?解：解：由于電子和光子的波長相同由于電子和光子的波長相同,所以它們的動(dòng)量所以它們的動(dòng)量也相同也相同,均為均為smkghpp/.1032. 31021063. 62593421光子的動(dòng)能與總能量相同光子的動(dòng)能與總能量相同,有有eVJchhEEkk21711022. 610952. 9電子的動(dòng)能和總能量不相等電子的動(dòng)能和總能量不相等,分別計(jì)算分

13、別計(jì)算電子的總能量由相對論公式電子的總能量由相對論公式,有有: 26222621720222202210510102261051010959eVeVeVJEchEcPE .).().( 可見可見PcEo, 因此有因此有MeVEE51. 00由相對論動(dòng)能表達(dá)式由相對論動(dòng)能表達(dá)式,有有00kEEEEeVJmhmPEk38. 01061. 02219222所以所以,可以不考慮相對論效應(yīng)可以不考慮相對論效應(yīng), 因此有因此有hP(3)光子的頻率為光子的頻率為Hzc1798105 . 1102103電子的頻率為電子的頻率為 (由由h=E)HzhE213419610123. 01063. 6106 . 11

14、051. 0例例4，（，（1）考慮相對論效應(yīng)，推證實(shí)物粒子的物）考慮相對論效應(yīng)，推證實(shí)物粒子的物質(zhì)波波長與粒子動(dòng)能質(zhì)波波長與粒子動(dòng)能Ek及靜質(zhì)量及靜質(zhì)量m0的關(guān)系；的關(guān)系；（2）計(jì)算）計(jì)算Ek=6.6310103 3MeVMeV的電子波的波長。的電子波的波長。2202)(1pcEE ）（解解：kEEE 020222022cEEEcEEpkk )2(22002cmEEhcEEEhcphkkkk MeVcmEMeVEk51.0,1063.6)2(2003 0,kEE應(yīng)考慮相對論效應(yīng)：okkkAEhccmEEhc61763834201088.1106 .1101063.61031063.6)2( （

15、二）不準(zhǔn)確關(guān)系（二）不準(zhǔn)確關(guān)系 （ 測不準(zhǔn)關(guān)系，不確定關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系，不確定關(guān)系 ） 引言：在進(jìn)一步描述引言：在進(jìn)一步描述De Brglie波之前，考查波之前，考查 一下經(jīng)一下經(jīng) 典物理描述問題時(shí)受到什么限制。典物理描述問題時(shí)受到什么限制。 玻爾氫原子理論，被認(rèn)為是半經(jīng)典半量子的理論，用到了玻爾氫原子理論，被認(rèn)為是半經(jīng)典半量子的理論，用到了確定的確定的位置、軌道、動(dòng)量位置、軌道、動(dòng)量的概念。就是說總可以通過實(shí)驗(yàn)手的概念。就是說總可以通過實(shí)驗(yàn)手段精確地測定微觀粒子的位置和動(dòng)量。段精確地測定微觀粒子的位置和動(dòng)量。對具有波粒二象性的微觀粒子，這種概念還正確嗎？對具有波粒二象性的微觀粒子，這種概念還正

16、確嗎？1、由電子衍射實(shí)驗(yàn)估計(jì)電子位置及動(dòng)量的精度、由電子衍射實(shí)驗(yàn)估計(jì)電子位置及動(dòng)量的精度 電子具有波粒二象性，也可產(chǎn)生類似波的單縫衍電子具有波粒二象性，也可產(chǎn)生類似波的單縫衍射圖樣，若電子波長為射圖樣，若電子波長為 ，則讓電子進(jìn)行單縫衍射則，則讓電子進(jìn)行單縫衍射則應(yīng)滿足：應(yīng)滿足：3 .2 .1k明紋明紋暗紋暗紋2)12(sinkakasin1) 位置的不確定程度位置的不確定程度電子在單電子在單縫的何處縫的何處通過是不通過是不確定的確定的!只知是在只知是在寬為寬為a的的縫中通縫中通過。過。結(jié)論結(jié)論:電子在單縫處的位置電子在單縫處的位置 不確定量為不確定量為ax U2 2）單縫處電子動(dòng)量的不確定程

17、度）單縫處電子動(dòng)量的不確定程度說明：說明：電子衍射是電子自身的波粒二象性的結(jié)果，不能電子衍射是電子自身的波粒二象性的結(jié)果，不能歸于外部的原因，即不是外界歸于外部的原因，即不是外界作用的結(jié)果。作用的結(jié)果。 有人認(rèn)為，衍射是電子與單縫的作用，即電子與單有人認(rèn)為，衍射是電子與單縫的作用，即電子與單縫材料中的原子碰撞的結(jié)果，碰撞后電子的動(dòng)量大小縫材料中的原子碰撞的結(jié)果，碰撞后電子的動(dòng)量大小與方向均發(fā)生改變。與方向均發(fā)生改變。 但實(shí)驗(yàn)表明，衍射的花樣與單縫材料無關(guān)，只決定但實(shí)驗(yàn)表明，衍射的花樣與單縫材料無關(guān)，只決定于電于電子子的波長與縫寬的波長與縫寬a，可見不能歸結(jié)于外部作用。，可見不能歸結(jié)于外部作用。

18、 電子通過單縫時(shí)，不與單縫材料作用，因此通過電子通過單縫時(shí)，不與單縫材料作用，因此通過單縫后，其動(dòng)量大小單縫后，其動(dòng)量大小P不變。不變。但不同的電子會到達(dá)屏上不同的點(diǎn)。故各電子的動(dòng)量但不同的電子會到達(dá)屏上不同的點(diǎn)。故各電子的動(dòng)量方向有不同。方向有不同。aBKEXPaPbPdPeabcdePPPPP當(dāng)分 別為，P ，時(shí)Pc其衍射角其衍射角分別為：分別為：caedbaecbdaaxPPsinbbxPPsin0sinccxPPddxPPsineexPPsin即處在單縫處電子動(dòng)量在即處在單縫處電子動(dòng)量在X軸上的分量有不確定值軸上的分量有不確定值UXaxPP單縫處，衍射角為單縫處，衍射角為 的電子在的電

19、子在X軸上存在動(dòng)量的軸上存在動(dòng)量的分量分量U電子大部分都到達(dá)中央明紋處，作為分析：電子大部分都到達(dá)中央明紋處，作為分析：要估算單縫處電子在要估算單縫處電子在X軸上的分量的不確定量，可軸上的分量的不確定量，可先抓住到達(dá)中央明紋處的電子在單縫處的不確定量先抓住到達(dá)中央明紋處的電子在單縫處的不確定量來研究。即正負(fù)一級暗紋間的電子來研究。這部分來研究。即正負(fù)一級暗紋間的電子來研究。這部分電子在單縫處的動(dòng)量在電子在單縫處的動(dòng)量在X軸上的分量值為：軸上的分量值為：1為一級暗紋的衍射角為一級暗紋的衍射角1sin0P ka1sina1sinaPPxXY1I也就是說到達(dá)正負(fù)一級暗紋間的電子在單縫也就是說到達(dá)正負(fù)

20、一級暗紋間的電子在單縫處的動(dòng)量在處的動(dòng)量在X軸上的分量的不確定量為：軸上的分量的不確定量為：1sinPpx1為一級暗紋的衍射角為一級暗紋的衍射角由單縫暗紋條件：由單縫暗紋條件：UXY1I由德布羅意關(guān)系式：由德布羅意關(guān)系式：xhahPxhxPx考慮到還存在考慮到還存在1方向方向的電子，這些方向電子的電子，這些方向電子的動(dòng)量不確定量還要大的動(dòng)量不確定量還要大hxPxhP 動(dòng)量和位置的不確定量關(guān)系式動(dòng)量和位置的不確定量關(guān)系式aPPx 當(dāng)我們同時(shí)測量一個(gè)粒子的位當(dāng)我們同時(shí)測量一個(gè)粒子的位置（坐標(biāo)置（坐標(biāo) x ）和動(dòng)量）和動(dòng)量 p 時(shí)，位時(shí)，位置置 x和動(dòng)量和動(dòng)量p的不確定量滿足如的不確定量滿足如下關(guān)系

21、式：下關(guān)系式：量子力學(xué)給出了更準(zhǔn)確的表達(dá)量子力學(xué)給出了更準(zhǔn)確的表達(dá)2、海森伯測不準(zhǔn)關(guān)系（原理）海森伯測不準(zhǔn)關(guān)系（原理）2/xPx2/yPy2/zPz對三維直角坐標(biāo)系，有：對三維直角坐標(biāo)系，有：=2h注意：注意：1）測不準(zhǔn)關(guān)系意味著兩個(gè)互相制約、互成反比）測不準(zhǔn)關(guān)系意味著兩個(gè)互相制約、互成反比 的共軛物理量的不確定量不能同時(shí)無限制地的共軛物理量的不確定量不能同時(shí)無限制地 減小。減小。xpx.xPx.如：如：px則0動(dòng)量完全不確定動(dòng)量完全不確定xp則0粒子位置完全不確定，粒子位置完全不確定，可在全空間出現(xiàn)。可在全空間出現(xiàn)。又以一個(gè)作勻速運(yùn)動(dòng)的一維粒子為例，它可在整個(gè)又以一個(gè)作勻速運(yùn)動(dòng)的一維粒子為例

22、，它可在整個(gè)X軸上出現(xiàn)；軸上出現(xiàn)；x0pp為常數(shù)為常數(shù)hp 完全確定。完全確定。即其德布羅意波為單色平面波即其德布羅意波為單色平面波vKEU2）不確定關(guān)系是微觀粒子波粒二象性所決定的，）不確定關(guān)系是微觀粒子波粒二象性所決定的， 不能理解為儀器的精度達(dá)不到。不能理解為儀器的精度達(dá)不到。比如我們試圖通過單縫來確定粒子的位置，但單縫隙越比如我們試圖通過單縫來確定粒子的位置，但單縫隙越窄（窄（ x越?。┭苌湟苍絽柡?，動(dòng)量的不確定量也大。越?。┭苌湟苍絽柡Γ瑒?dòng)量的不確定量也大。如果要減小動(dòng)量的不確定如果要減小動(dòng)量的不確定量，則單縫的寬度就要增量，則單縫的寬度就要增大，位置大，位置 的不確定量也就的不確定

23、量也就變大。變大。2)12(sinkaa1BpBpBpX不確定關(guān)系是微觀粒子波粒二象性所決定的，不確定關(guān)系是微觀粒子波粒二象性所決定的，不確定關(guān)系更確切、更準(zhǔn)確地反映了微觀粒不確定關(guān)系更確切、更準(zhǔn)確地反映了微觀粒子的本質(zhì)子的本質(zhì)22420CPCmE設(shè)有一個(gè)速度為設(shè)有一個(gè)速度為V，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的粒子，其能量的粒子，其能量考慮到考慮到E的增量：的增量：EPmVCCPCmPPCE222420222PVxPt/ 2Etx p 2tE能量與時(shí)間不確定關(guān)系式能量與時(shí)間不確定關(guān)系式即：即：3、能量與時(shí)間測不準(zhǔn)關(guān)系、能量與時(shí)間測不準(zhǔn)關(guān)系2/Et能級能級E的值有一定的不確定量的值有一定的不確定量說明能級有一寬度說明能級有一寬度hEE12原子在激發(fā)態(tài)有一定的壽命原子在激發(fā)態(tài)有一定的壽命 ，即原子在時(shí)間，即原子在時(shí)間 內(nèi)能保持這個(gè)狀態(tài)。經(jīng)過時(shí)間內(nèi)能保持這個(gè)狀態(tài)。經(jīng)過時(shí)間 原子狀態(tài)將發(fā)原子狀態(tài)將發(fā)生顯著變化。即在關(guān)系生顯著變化。即在關(guān)系中：中：2tEI