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1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的一種嚴(yán)格的推理方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中占有很重要的地位(1)第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題,如果 (1數(shù)學(xué)歸納法的基本形式)時(shí),成立;假設(shè)成立,由此推得時(shí),也成立,那么,根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí),成立(2)第二數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題,如果當(dāng)()時(shí),成立;假設(shè)成立,由此推得時(shí),也成立,那么,根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí),成立2數(shù)學(xué)歸納法的其他形式(1)跳躍數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí),成立,假設(shè)時(shí)成立,由此推得時(shí),也成立,那么,根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí),成立(2)反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題,如果 對(duì)無(wú)限多個(gè)正整數(shù)成立;假設(shè)時(shí),命題成立,則當(dāng)
2、時(shí)命題也成立,那么根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí),成立例如,用數(shù)學(xué)歸納法證明: 為非負(fù)實(shí)數(shù),有 在證明中,由 真,不易證出 真;然而卻很容易證出 真,又容易證明不等式對(duì)無(wú)窮多個(gè) (只要 型的自然數(shù))為真;從而證明 ,不等式成立(3)螺旋式歸納法 P(n),Q(n)為兩個(gè)與自然數(shù) 有關(guān)的命題,假如 P(n0)成立; 假設(shè) P(k) (k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假設(shè) Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立; 綜合(1)(2),對(duì)于一切自然數(shù)n(>n0),P(n),Q(n)都成立;(4)雙重歸納法設(shè) 是一個(gè)含有兩上獨(dú)立自然數(shù) 的命題 與 對(duì)任意自然數(shù) 成立;若由 和 成立,能推出 成立;根
3、據(jù)(1)、(2)可斷定, 對(duì)一切自然數(shù) 均成立3應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧(1)起點(diǎn)前移:有些命題對(duì)一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù)都成立,但命題本身對(duì)也成立,而且驗(yàn)證起來(lái)比驗(yàn)證時(shí)容易,因此用驗(yàn)證成立代替驗(yàn)證,同理,其他起點(diǎn)也可以前移,只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以因而為了便于起步,有意前移起點(diǎn)(2)起點(diǎn)增多:有些命題在由向跨進(jìn)時(shí),需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ),此時(shí)往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形,因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn)(3)加大跨度:有些命題為了減少歸納中的困難,適當(dāng)可以改變跨度,但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多(4)選擇合適的假設(shè)方式:歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè)時(shí)命題成立”不可,需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍
4、、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式,靈活選擇使用(5)變換命題:有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時(shí),需要引進(jìn)一個(gè)輔助命題幫助證明,或者需要改變命題即將命題一般化或加強(qiáng)命題才能滿足歸納的需要,才能順利進(jìn)行證明5歸納、猜想和證明在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過特例或根據(jù)一部分對(duì)象得出的結(jié)論可能是正確的,也可能是錯(cuò)誤的,這種不嚴(yán)格的推理方法稱為不完全歸納法不完全歸納法得出的結(jié)論,只能是一種猜想,其正確與否,必須進(jìn)一步檢驗(yàn)或證明,經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法從0以外的數(shù)字開始如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù),而只是針對(duì)所有大于等于某個(gè)數(shù)字b的自然數(shù),那么證明的步驟需要做如下修改: 第一步
5、,證明當(dāng)n=b時(shí)命題成立。 第二步,證明如果n=m(mb)成立,那么可以推導(dǎo)出n=m+1也成立。 用這個(gè)方法可以證明諸如“當(dāng)n3時(shí),n2>2n”這一類命題。 只針對(duì)偶數(shù)或只針對(duì)奇數(shù)如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù),而只是針對(duì)所有奇數(shù)或偶數(shù),那么證明的步驟需要做如下修改: 奇數(shù)方面: 第一步,證明當(dāng)n=1時(shí)命題成立。 第二步,證明如果n=m成立,那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。 偶數(shù)方面: 第一步,證明當(dāng)n=0或2時(shí)命題成立。 第二步,證明如果n=m成立,那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。 遞降歸納法數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如“對(duì)任意的n”這樣的命題。對(duì)于形如“對(duì)任意的n=0,1
6、,2,.,m”這樣的命題,如果對(duì)一般的n比較復(fù)雜,而n=m比較容易驗(yàn)證,并且我們可以實(shí)現(xiàn)從k到k-1的遞推,k=1,.,m的話,我們就能應(yīng)用歸納法得到對(duì)于任意的n=0,1,2,.,m,原命題均成立。(一)第一數(shù)學(xué)歸納法: 一般地,證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n),有如下步驟:(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1,但也有特殊情況;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kn0,k為自然數(shù))時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù)n(n0),命題P(n)都成立。(二)第二數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n),(1)驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n)成立;(2)假設(shè)n0n<=k時(shí)P(n)成立,并在此基礎(chǔ)上,推出P(k+1)成立。綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù)n(n0),命題P(n)都成立。(三)倒推歸納法(反向歸納法):(1)驗(yàn)證對(duì)于無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)n命題P(n)成立(無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)可以是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列中的數(shù),如對(duì)于算術(shù)幾何不等式的證明,可以是2k,k1);(2)假設(shè)P(k+1)(kn0)成立,并在此基礎(chǔ)上,推出P(k)成立,綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù)n(n0),命題P(n)都成立;(四)螺旋式歸納法對(duì)兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n),Q(
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